2021年高等數學大一題庫

（一）函數、極限、持續(xù)一、選取題：在區(qū)間(-1,0)內，由()所給出函數是單調上升。(A)(B)(C)(D)當時，函數f(x)=xsinx是()（A）無窮大量（B）無窮小量（C）無界函數（D）有界函數當x→1時，都是無窮小，則f(x)是()（A）高階無窮?。˙）低階無窮?。–）同階無窮?。―）等階無窮小x=0是函數()（A）可去間斷點（B）跳躍間斷點；（C）振蕩間斷點（D）無窮間斷點下列對的結論是（）（A）若存在，則f(x)有界；（B）若在某鄰域內，有且都存在，則也存在；（C）若f(x)在閉區(qū)間[a，b]上持續(xù)，且f(a)，f(b)<0則方程f(x)=0,在(a，b)內有唯一實根;當時，都是無窮小，但與卻不能比.二、填空題：若且則f(x)表達式為;已知數列極限是4，對于滿足n>N時，總有成立最小N應是;(b為有限數)，則a=，b=;設則x=a是f(x)第類間斷點;且f[g(x)]在R上持續(xù)，則n=；計算題:1、計算下列各式極限：（1）；（2）；（3）（4）（5）（6）2、擬定常數a，b，使函數在x=-1處持續(xù).四、證明：設f(x)在閉區(qū)間[a，b]上持續(xù)，且a<f(x)<b，證明在(a，b)內至少有一點，使.（二）導數與微分一、填空題:設存在，則=;則;設，則dy=;設則;y=f(x)為方程xsiny+ye擬定隱函數，則.二、選取題:則值為()(A)–lna(B)lna(C)(D)設曲線與直線相交于點，曲線過點處切線方程為()(A)2x-y-2=0(B)2x+y+1=0(C)2x+y-3=0(D)2x-y+3=0設處處可導，則()(A)a=b=1(B)a=-2，b=-1(C)a=0，b=1(D)a=2，b=1若f(x)在點x可微,則值為()(A)1(B)0(C)-1(D)不擬定5、設y=f(sinx)，f(x)為可導函數，則dy表達式為()(A)(B)(C)(D)三、計算題：設對一切實數x有f(1+x)=2f(x),且,求若g(x)=又f(x)在x=0處可導，求求曲線在t=0處切線方程f(x)在x=a處持續(xù),求設，求設，求.計算近似值.（三）中值定理與導數應用一、填空題：函數f(x)=arctanx在[0,1]上使拉格朗日中值定理結論成立=;若則a=，b=;設f(x)有持續(xù)導數，且則=;極大值為，極小值為;最大值為，最小值為.二、選取題：如果a,b是方程f(x)=0兩個根，函數f(x)在[a,b]上滿足羅爾定理條件，那么方程f’(x)=0在(a,b)內（）（A）僅有一種根；（B）至少有一種根；（C）沒有根；（D）以上結論都不對。函數在區(qū)間[-上（）（A）滿足羅爾定理條件，且（B）滿足羅爾定理條件，但無法求（C）不滿足羅爾定理條件，但有能滿足該定理結論；（D）不滿足羅爾定理條件如果一種持續(xù)函數在閉區(qū)間上既有極大值，又有極小值，則（）（A）極大值一定是最大值；（B）極小值一定是最小值；（C）極大值一定比極小值大；（D）極在值不一定是最大值，極小值不一定是最小值。設f(x)在(a，b)內可導，則是f(x)在(a，b)內為減函數（）（A）充分條件；（B）必要條件；（C）充要條件；（D）既非充分又非必要條件。若f(x)在(a，b)上兩次可導，且（），則f(x)在(a，b)內單調增長且是上凹。（A）；（B）；（C）；（D）三、計算題：求：求過曲線y=xe上極大值點和拐點連線中點，并垂直于直線x=0直線方程.四、應用題：通過研究一組學生學習行為，心理學家發(fā)現接受能力（即學生掌握一種概念能力）依賴于在概念引人之前教師提出和描述問題所用時間，講座開始時，學生興趣激增，分析成果表白，學生掌握概念能力由下式給出：,其中G（x）是接受能力一種度量，x是提出概念所用時間（單位：min）（a）、x是何值時，學生接受能力增強或減少？（b）、第10分鐘時，學生興趣是增長還是注意力下降？（c）、最難概念應當在何時講授？（d）、一種概念需要55接受能力，它適于對這組學生講授嗎？五、證明題：證明不等式（四）不定積分一、選取題：設可微，則（）（A）（B）（C）（D）若F（x）是一種原函數，則cF（x）（）原函數（A）是（B）不是（C）不一定是若則（）（A）（B）（C）（D）設在[a，b]上持續(xù)，則在（a，b）內必有（）導函數（B）原函數（C）極值（D）最大值或最大值下列函數對中是同一函數原函數有（）在積分曲線族中，過點曲線方程是（）7、下列積分能用初等函數表出是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）.8、已知一種函數導數為，且x=1時y=2,這個函數是（ ）（A）（B）（C）（D）9、（ ）（A）；（B）；（C）；（D）.10、（ ）（A）；（B）；（C）；（D）.二、計算題:1、2、3、5、6、7、三、求其中（五）定積分及其應用一、填空題：設是持續(xù)函數，，則F'(x)=;設是持續(xù)函數，則；；4、設是持續(xù)函數，f(0)=-1,則；5、函數=在區(qū)間[a，b]上平均值為.二、單項選取題：設存在，則在[a，b]上()(A)可導(B)持續(xù)(C)具備最大值和最小值(D)有界設是以T為周期持續(xù)函數，則()（A）（B）（C）（D）設存在，則I=()(A)(B)(C)(D)0,在()（A）P<1時收斂,P≥1時發(fā)散（B）P≤1時收斂,P≥1時發(fā)散（C）P>1時收斂,P≤1時發(fā)散（D）P≥1時收斂,P<1時發(fā)散曲線及y軸所圍圖形面積為()(A)(B)(C)(D)三、計算下列定積分:1、2、3、4、四、求下列極限:1、2、五、設可導函數y=y（x）由方程所決定，試討論函數y=y（x）極值.六、已知拋物線，求p和a值，使得：拋物線與y=x+1相切；拋物線與0x軸圍成圖形繞0x軸旋轉有最大體積.（六）向量代數空間解析幾何一、填空題：1、向量與x，y，z軸夾角分別為，則，，。2、設，則=，=，=，=。3、以點為球心，且通過坐標原點球面方程為。4、平面通過點（5，-7，4）且在x，y，z三軸上截距相等，則平面方程為。5、把曲線繞x軸旋轉一周，則旋轉曲面方程為。二、選取題：1、平面與互相平行，則（）。（A）充要條件是（B）充要條件是（C）必要而不充分條件是（D）必要而不充分條件是2、設與為非零向量，則是（）（A）∥充要條件；（B）⊥充要條件；（C）=充要條件；（D）∥必要但不充分條件；3、設直線，則該直線為（）。（A）過原點且垂直于x軸（B）過原點且平行于x軸（C）但是原點但垂直于x軸（D）但是原點但平行于x軸4、直線和平面關系是（）。（A）直線與平面垂直；（B）直線與平面平行，但直線不在平面上；（C）直線在平面上；（D）直線與平面相交，但不垂直。5、平面在軸截距分別為，則（）。（A）（B）（C）（D）6、方程表達（）（A）橢球面；（B）橢圓柱面；（C）橢圓柱面在平面y=0上投影曲線；（D）y=1平面上橢圓。7、方程表達（）（A）錐面；（B）單葉雙曲面；（C）雙葉雙曲面；（D）橢圓拋物面。三、計算題：1、將直線方程化成對稱式方程。2、求兩平行平面及之間距離。3、設始終線通過點M（4，3，3），且垂直于由三點A1（6，0，1），A2（2，1，5），A3（5，3，5）所擬定平面，求該直線方程。4、求過點和且與平面成角平面方程。四、應用題：設有一質點開始時位于點P（1，2，-1）處，今有一方向角分別為60°,60°,45°,而大小為100克力作用于此質點，求當此質點自點P作直線運動至點M（2，5，-1+3）時，力所作功（長度單位為厘米）。（七）多元函數微分學一、填空題：1、設，則f（x，y）=.2、設，則=.3、由方程所擬定函數在點（1，2，2）處全微分dz=.4、曲面在點處切平面方程是.5、設，則該函數定義域為.二、選取題：1.當，時，函數極限（）（A）等于0；（B）等于；（C）等于；（D）不存在2.函數z=f（x，y）偏導數，在點（x0，y0）持續(xù)是函數z=f（x，y）在點（x0，y0）可微分（）（A）充分條件但非必要條件；（B）必要條件但非充分條件；（C）充分必要條件；（D）既非充分條件也非必要條件；3.設z=f（u，v），而，其中f具備一階持續(xù)偏導數，則等于（）（A）；（B）；（C）；（D）；4.在曲線所有切線中，與平面平行切線（）（A）只有1條；（B）只有2條；（C）至少有3條；（D）不存在5.設函數f（x，y）在點（0，0）某個鄰域內持續(xù)，且=2則在點（0，0）處f（x，y）（）（A）不可微分；（B）可微分，且；（C）獲得極大值；（D）獲得極小值.三、計算題：1、設，求2、設，求3、設,求4、設由方程所擬定，求dz5、設，求6、求函數極值.四、求曲面上同步垂直平面與切平面方程五、在旋轉橢球面上求距平面為近來和最遠點.習題答案（一）函數、極限、持續(xù)答案一、1、（D）2、（C）3、（C）4、（B）5、（D）二、1、2、N=103、4，104、一，跳躍5、三、1、（1）（2）（3）（不存在）（4）（5）（6）2、解：f（-1-0）=0f（-1）=bf（-1+0）=a+π使f（x）在x=-1持續(xù)四、證明：令F（x）=f（x）-x顯然F（x）在[a，b]上持續(xù)F（a）=f（a）-a〉0F（b）=f（b）-b〈0∴在（a，b）內至少有一點使F（）=0即：使f（）=（二）導數與微分答案一、1、2、不存在3、4、5、0二、1、（A）2、（D）3、（C）4、（B）5、（D）三、解：1、2、而3、解：對等式兩邊關于t求導對等式兩邊關于t求導∴當t=0時，得x=0，y=-1∴曲線在t=0處切線方程斜率為，∴切線方程4、5、6、…7、設,則（三）導數應用答案一、（1）（2）1，1；（3）1；（4）（5）二、B；D；D；A；A三、解：1.(1)、原式=(2)、原式=2.，駐點，，令，得，由于，所覺得極大值點，所覺得拐點因此極大值點與拐點中點坐標為，所求直線為：四、1、解：G（x）單調下降：因此當提出概念所用時間不大于13分鐘時，接受能力增強；當提出概念所用時間不不大于13分鐘時，接受能力減少（b）單調上升，學生興趣在增長。時取極大值，因此最難概念應當在提出問題后第13分鐘時講授。（d）由于G（13）=59.9，這個概念需要55接受能力，不大于最大接受能力，因此可以對這組學生講授該概念。2、解：設與公路總長為，則，因此，令，得：（舍去）只有唯一駐點，因此在處獲得最小值五、證：1、令當x>0時，，有，當x<0時，，有故（四）不定積分答案一、1、（C）2、（B）3、（C）4、（B）5、（A）6、（A）7、（D）8、（B）9、（D）10、（C）二、1、原式=2、原式=3、原式=4、原式=5、原式=6、原式===7、原式=三、原式=（五）定積分及其應用答案一、（1）（2）0；（3）ln2（4）（5）二、1、D，2、B，3、C，4、A，5、C。三、解：1、原式=2、原式=3、原式=4、原式=四、解：1、原式=2、，而又，由夾擠定理知，此外由任意性知五、兩邊求導得即令y'=0，得x=0，且由于x