第46講：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第46講：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【考綱要求】1、了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）2、了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件：會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉期間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）二、求函數(shù)的極值的一般步驟先求定義域SKIPIF1<0,再求導(dǎo)，再解方程SKIPIF1<0（注意和SKIPIF1<0求交集），最后列表確定極值。一般地，函數(shù)在SKIPIF1<0點SKIPIF1<0連續(xù)時，如果SKIPIF1<0附近左側(cè)SKIPIF1<0>0，右側(cè)SKIPIF1<0<0，那么SKIPIF1<0是極大值。一般地，函數(shù)在SKIPIF1<0點SKIPIF1<0連續(xù)時，如果SKIPIF1<0附近左側(cè)SKIPIF1<0<0，右側(cè)SKIPIF1<0>0，那么SKIPIF1<0是極小值。應(yīng)用一求函數(shù)的單調(diào)性解題步驟求函數(shù)的定義域SKIPIF1<0→求導(dǎo)SKIPIF1<0→解不等式SKIPIF1<0＞SKIPIF1<00得解集SKIPIF1<0→求SKIPIF1<0,得函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間。例1．已知函數(shù)f(x)=SKIPIF1<0,求導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0,并確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的變化情況如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0所以，當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．學(xué)應(yīng)用二求函數(shù)的極值解題步驟先求定義域SKIPIF1<0,再求導(dǎo)，再解方程SKIPIF1<0（注意和SKIPIF1<0求交集），最后列表確定極值。例2已知函數(shù),其中（1）當(dāng)滿足什么條件時,取得極值?（2）已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.當(dāng)時,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x1,x2處分別取得極大值和極小值.當(dāng)時,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x1,x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當(dāng)滿足時,取得極值.(2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.即恒成立,所以設(shè),,令得或(舍去),當(dāng)時,,當(dāng)時,單調(diào)增函數(shù);當(dāng)時,單調(diào)減函數(shù),所以當(dāng)時,取得最大,最大值為.所以當(dāng)時,,此時在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時最大,最大值為,所以綜上,當(dāng)時,;當(dāng)時,（Ⅰ）當(dāng)SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)SKIPIF1<0時，求函數(shù)SKIPIF1<0的極大值和極小值；（Ⅲ）當(dāng)SKIPIF1<0時，證明存在SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立．已知函數(shù)SKIPIF1<0.（Ⅰ）求SKIPIF1<0的最小值；（Ⅱ）若對所有SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.學(xué)SKIPIF1<0恒成立.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函數(shù)，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.【方法點評】（1）如果是開區(qū)間SKIPIF1<0，則必須通過求導(dǎo)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后確定函數(shù)的最值。（2）分離參數(shù)法是處理參數(shù)問題常用的方法，注意靈活運用?！咀兪窖菥?】已知函數(shù)f(x)=SKIPIF1<0(Ⅰ)當(dāng)SKIPIF1<0時,求SKIPIF1<0的最大值;(Ⅱ)設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立?若存在,求SKIPIF1<0的取值范圍;若不存在,請說明理由.應(yīng)用四證明不等式解題步驟一般先要構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值等來解答。例4．求證下列不等式（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立（2）原式SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（3）令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0應(yīng)用五解應(yīng)用題解題步驟（1）讀題和審題，主要是讀懂那些字母和數(shù)字的含義。（2）分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系SKIPIF1<0（注意確定函數(shù)的定義域）；（3）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0，解方程SKIPIF1<0；（4）如果函數(shù)的定義域是閉區(qū)間，可以比較函數(shù)在區(qū)間端點和使SKIPIF1<0的點的函數(shù)值的大小，最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲担蝗绻瘮?shù)的定義域不是閉區(qū)間，SKIPIF1<0又只有一個解，則該函數(shù)就在此點取得函數(shù)的最大（?。┲担且M(jìn)行必要的單調(diào)性說明。例5為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=SKIPIF1<0若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元。設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式。（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達(dá)到最小，并求最小值。解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去）.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最小值點，對應(yīng)的最小值為SKIPIF1<0。當(dāng)隔熱層修建SKIPIF1<0厚時，總費用達(dá)到最小值為70萬元?！军c評】（1）本題主要考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，同時考查運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。（2）理解函數(shù)f（x）的含義并求出函數(shù)的表達(dá)式是此題的關(guān)鍵點?！咀兪窖菥?】統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米。（1）當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（2）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升2、（2012高考真題廣東理21）.（本小題滿分14分）設(shè)，集合，，。（1）求集合（用區(qū)間表示）（2）求函數(shù)在內(nèi)的極值點。當(dāng)時，，，所以此時，當(dāng)時，，所以此時，（2），3.【2012高考真題安徽理19】（本小題滿分13分）設(shè)SKIPIF1<0。（=1\*ROMANI）求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值；（=2\*ROMANII）設(shè)曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0；求SKIPIF1<0的值?！窘馕觥浚?1\*ROMANI）設(shè)SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0，=1\*GB3①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，得：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0。=2\*GB3②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0。（=2\*ROMANII）SKIPIF1<0，由題意得：SKIPIF1<0。4、（2012高考真題福建理20）（本小題滿分14分）已知函數(shù)（Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）試確定的取值范圍，使得曲線上存在唯一的點，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點。（Ⅰ）由題意得：得：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為①當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，在上單調(diào)遞增只有一個根②當(dāng)時，得：，又存在兩個數(shù)使，得：又存在使，與條件不符。③當(dāng)時，同理可證，與條件不符從上得：當(dāng)時，存在唯一的點使該點處的切線與曲線只有一個公共點5.【2012高考真題新課標(biāo)理21】（本小題滿分12分）已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足滿足SKIPIF1<0；（1）求SKIPIF1<0的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.且單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0得SKIPIF1<0=1\*GB3①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0矛盾=2\*GB3②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0得：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<06.【2012高考真題浙江理22】(本小題滿分14分)已知a＞0，bSKIPIF1<0R，函數(shù)SKIPIF1<0．(Ⅰ)證明：當(dāng)0≤x≤1時，(ⅰ)函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為|2a－b|﹢a；(ⅱ)SKIPIF1<0＋|2a－b|﹢a≥0；(Ⅱ)若﹣1≤SKIPIF1<0≤1對xSKIPIF1<0[0，1]恒成立，求a＋b的取值范圍．當(dāng)b≤0時，SKIPIF1<0＞0在0≤x≤1上恒成立，此時SKIPIF1<0的最大值為：SKIPIF1<0＝|2a－b|﹢a；當(dāng)b＞0時，SKIPIF1<0在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷，此時SKIPIF1<0的最大值為：SKIPIF1<0＝|2a－b|﹢a；綜上所述：函數(shù)SKIPIF1<0在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a；(ⅱ)要證SKIPIF1<0＋|2a－b|﹢a≥0，即證SKIPIF1<0＝﹣SKIPIF1<0≤|2a－b|﹢a．亦即證SKIPIF1<0在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，∵SKIPIF1<0，∴令SKIPIF1<0．當(dāng)b≤0時，SKIPIF1<0＜0在0≤x≤1上恒成立，此時SKIPIF1<0的最大值為：SKIPIF1<0＝|2a－b|﹢a；當(dāng)b＜0時，SKIPIF1<0在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷，SKIPIF1<0SKIPIF1<0≤|2a－b|﹢a取b為縱軸，a為橫軸．則可行域為：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，目標(biāo)函數(shù)為z＝a＋b．作圖如下：由圖易得：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z＝a＋b過P(1，2)時，有SKIPIF1<0．∴所求a＋b的取值范圍為：SKIPIF1<0．7、（2012高考真題山東理22）（本小題滿分13分）已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與軸平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)，其中是的導(dǎo)函數(shù)．證明：對任意，．（22）解：（Ⅰ），依題意，為所求.（Ⅱ）此時記，，所以在，單減，又，所以，當(dāng)時，，，單增；當(dāng)時，，，單減.所以，增區(qū)間為（0，1）；減區(qū)間為（1，.所以，，即綜①、②知，【反饋訓(xùn)練】已知函數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0．（Ⅰ）求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；學(xué)科網(wǎng)（Ⅱ）若以函數(shù)SKIPIF1<0圖像上任意一點SKIPIF1<0為切點的切線的斜率SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的最小值；2、設(shè)SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間.3、已知函數(shù).設(shè)，求函數(shù)的極值；(2)若，且當(dāng)時，12a恒成立，試確定的取值范圍.4、已知函數(shù)f(x)=SKIPIF1<0x2+lnx.（I）求函數(shù)f(x)在[1，e]上的最大、最小值；（II）求證：在區(qū)間[1，+∞SKIPIF1<0上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=SKIPIF1<0x3的圖象的下方；（III）求證：[SKIPIF1<0(x)]n－SKIPIF1<0(xn)≥2n－2（n∈N*）.5、設(shè)，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行。(1)求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng) 6、某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費用＝平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用＝）當(dāng)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時，僅對SKIPIF1<0有SKIPIF1<0,對其余的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0,此時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也是增函數(shù)。當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，w.w.w.zxxk.c.o.m方程SKIPIF1<0有兩個不同的實根SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0_0+SKIPIF1<0單調(diào)遞增SKIPIF1<0極大單調(diào)遞減SKIPIF1<0極小單調(diào)遞增此時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增,在SKIPIF1<0是上單調(diào)遞減,在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.【變式演練2詳細(xì)解析】（Ⅰ）解：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以，曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程是SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．（Ⅱ）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，以下分兩種情況討論．（1）若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0變化時，SKIPIF1<0的正負(fù)如下表：因此，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0變化時，SKIPIF1<0的正負(fù)如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（Ⅲ）證明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（Ⅱ）知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，要使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0只要SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①設(shè)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值為SKIPIF1<0．要使①式恒成立，必須SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以，在區(qū)間SKIPIF1<0上存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立．【變式演練3詳細(xì)解析】(Ⅰ)當(dāng)-2≤SKIPIF1<0<SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0=0得x1=SKIPIF1<0顯然-1≤x1<SKIPIF1<0,SKIPIF1<0<x2≤2，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0=－SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0≤x≤x2時，SKIPIF1<0≥0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)x2<x≤2時，SKIPIF1<0<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，∴SKIPIF1<0max=SKIPIF1<0(x2)=SKIPIF1<0=-SKIPIF1<0(Ⅱ)答:存在SKIPIF1<0符合條件因為SKIPIF1<0，所以1+SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0符合條件。故知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)是減函數(shù)，在SKIPIF1<0內(nèi)是增函數(shù)，所以，在SKIPIF1<0處取得極小值SKIPIF1<0．（Ⅱ）證明：由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0的極小值SKIPIF1<0．于是由上表知，對一切SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0．從而當(dāng)SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)增加．所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故當(dāng)SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0．【變式演練5詳細(xì)解析】（1）若千米/小時，每小時耗油量為升/小時.共耗油升.所以，從甲地到乙地要耗油17.5升.（2）設(shè)當(dāng)汽車以千米/小時的速度勻速行駛時耗油量最少，，耗油量為S升.則，，令，解得，.列表：單調(diào)減極小值11.25單調(diào)增所以，當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，耗油量最少，為11.25升.【反饋訓(xùn)練詳細(xì)解析】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0。∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<02、【解析】：SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0.SKIPIF1<0（i）當(dāng)SKIPIF1<0時，對所有SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增.（ii）當(dāng)SKIPIF1<0時，對SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)SKIPIF1<0在x=1處連續(xù)，因此，函數(shù)SKIPIF1<0在（0，+SKIPIF1<0）內(nèi)單調(diào)遞增（iii）當(dāng)SKIPIF