2023- 2024學(xué)年杭州市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)檢測卷附答案解析

2023-2024學(xué)年杭州市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)檢測卷（試卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘）2024年2月注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本答題卡一并交回.4．測試范圍：人教A版2019必修第一冊全冊＋必修第二冊6.1－6.3.第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．若，則2．在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．3．已知不等式的解集為或，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．或4．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的定義域是 B．在其定義域內(nèi)為減函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)5．“實(shí)數(shù)”是“函數(shù)在上具有單調(diào)性”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件6．已知，則的值為（

）A． B． C． D．7．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．以下四個(gè)命題，其中是真命題的有（

）A．命題“”的否定是“”B．設(shè)向量的夾角的余弦值為，且，則C．函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)D．若某扇形的周長為6cm，面積為，圓心角為，則10．若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．有最大值 B．有最小值C．的最小值是10 D．11．函數(shù)在其定義域上的圖像是如圖所示折線段，其中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，以下說法中正確的是（

）A．B．為偶函數(shù)C．的解集為D．若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．定義函數(shù)，則.13．若用二分法求方程在初始區(qū)間內(nèi)的近似解，則第三次取區(qū)間的中點(diǎn).14．已知，，則．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知.(1)化簡；(2)已知，求的值.16．已知，，且為偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值；(3)薦在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值.18．某家電銷售商城電冰箱的銷售價(jià)為每臺(tái)2100元，空調(diào)的銷售價(jià)為每臺(tái)1750元，每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)比每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)多400元，商城用80000元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用64000元購進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等．(1)求每臺(tái)電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價(jià)分別是多少；(2)現(xiàn)在商城準(zhǔn)備一次購進(jìn)這兩種家電共100臺(tái)，設(shè)購進(jìn)電冰箱x臺(tái)，這100臺(tái)家電的銷售總利潤為y元，要求購進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤不低于13200元，請(qǐng)分析合理的方案共有多少種，并確定獲利最大的方案以及最大利潤；(3)實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)電冰箱出廠價(jià)下調(diào)k（）元，若商店保持這兩種家電的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）問中條件，設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)家電銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案．19．已知(1)當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，解決以下兩個(gè)問題：①求k的值；②若關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，設(shè)，那么當(dāng)n為何值時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)．1．C【分析】由數(shù)集的概念，元素與集合，集合與集合的關(guān)系，依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，中不含有任何元素，是任何集合的子集，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，表示有理數(shù)集，為無理數(shù)，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，表示自然數(shù)集，表示整數(shù)集，則，故C正確；對(duì)于D，，則，故D錯(cuò)誤.故選：C2．B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．3．C【分析】根據(jù)給定的解集求出，再解一元二次不等式即得.【詳解】由不等式的解集為或，得是方程的兩個(gè)根，且，因此，且，解得，不等式化為：，解得，所以不等式為.故選：C4．D【分析】首先將點(diǎn)坐標(biāo)代入得冪函數(shù)表達(dá)式進(jìn)而得其定義域單調(diào)性，結(jié)合奇偶性的定義即可得解.【詳解】由題意設(shè)冪函數(shù)為，則，所以，，其定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且它在內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以是偶函數(shù)，故ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.5．A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出，再根據(jù)充分不必要條件的判定即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，即其在上具有單調(diào)性，則正向可以推出；若函數(shù)在上具有單調(diào)性，則對(duì)稱軸，解得，則反向無法推出；故“實(shí)數(shù)”是“函數(shù)在上具有單調(diào)性”的充分不必要條件.故選：A.6．D【分析】以為整體，利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式運(yùn)算求解.【詳解】∵，故選：D.7．C【分析】要使函數(shù)是減函數(shù)，須滿足求不等式組的解即可.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的性質(zhì).8．D【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)遞增區(qū)間，然后分類討論可得.【詳解】由解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間上單調(diào)遞增可知，得；當(dāng)時(shí)，由解得；當(dāng)時(shí)，無實(shí)數(shù)解.易知，當(dāng)或時(shí)不滿足題意.綜上，ω的取值范圍為.故選：D9．ACD【分析】利用全稱命題的否定可判定A，利用平面向量的數(shù)量積公式及運(yùn)算律可判定B，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判定C，利用扇形的周長、面積公式可判定D.【詳解】對(duì)于A，命題“”的否定是“”正確，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，設(shè)扇形半徑，則或，又，所以成立，故D正確.故選：ACD10．AD【分析】利用可判斷A；利用可判斷B；展開后再利用基本不等式可判斷C，由再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D．【詳解】對(duì)于A，∵，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，∴，∴有最大值，∴選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到等號(hào)，所以C不正確；對(duì)于D，∵，∴，∴D正確．故選：AD.11．ACD【分析】利用函數(shù)圖像逐一判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由圖像可得，所以，A正確；由圖像可得關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，B錯(cuò)誤；由圖像可得即的解集為，C正確；由圖像可得在上單調(diào)遞減，所以的取值范圍為，D正確；故選：ACD12．49【分析】根據(jù)分段函數(shù)，結(jié)合指對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可?！驹斀狻恳?yàn)椋?，因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋?9.13．##0.625【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理及二分法求解即可.【詳解】設(shè)，則，，∴第一次取區(qū)間的中點(diǎn)，，∴，∴的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，∴第二次取區(qū)間的中點(diǎn)，，∴，∴的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，∴第三次取區(qū)間的中點(diǎn).故答案為：.14．##【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系計(jì)算即可【詳解】由題意可知，即，由題意可知，則.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角恒等變換化簡求值問題需要注意已知角與未知角的關(guān)系，利用合理的配湊即可處理.本題已知及與的關(guān)系，所以構(gòu)造，利用整體思想湊出未知式計(jì)算即可.15．(1)；(2)3.【分析】（1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡即得；（2）根據(jù)同角關(guān)系式結(jié)合條件即得.【詳解】（1）.（2）因?yàn)椋?，?16．(1)(2)或【分析】（1）由偶函數(shù)的定義結(jié)合函數(shù)定義域可知，則a可求；（2）將原問題轉(zhuǎn)化為方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，令且，則可得關(guān)于的方程有且只有一個(gè)不為1和的正根，分和兩種情況進(jìn)行討論即可得到答案.【詳解】（1）由，可知，又為偶函數(shù)，所以有，即，化簡得，即，所以，得.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意成立，即滿足為偶函數(shù).故所求的值為2.（2）由（1）可知，即方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，顯然，所以上述方程可化為，即方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，令且，則關(guān)于的方程有且只有一個(gè)不為1和的正根，，①當(dāng)時(shí)，.（i）若，則方程化為，此時(shí)方程的解為，符合題意.（ii）若，則方程化為，此時(shí)方程的解為，不符題意，故舍去.②當(dāng)時(shí)，需滿足即解得.當(dāng)時(shí)，即1為方程的解時(shí)，.當(dāng)時(shí).所以當(dāng)方程有兩根，有且只有一個(gè)不為1和的正根時(shí)，.綜上可知，當(dāng)或時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.17．(1)(2)，(3)【分析】（1）由三角恒等變換化簡表達(dá)式得，，令，解不等式組即可得解.（2）由，得，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性即可得解.（3）由題意得即，進(jìn)一步結(jié)合換元、誘導(dǎo)公式以及平方關(guān)系即可得解.【詳解】（1）.由，可得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.（3）因?yàn)椋?，同理由題意可得，.即，所以，所以，即可得，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，可設(shè)，則，所以，因?yàn)?，且，所以，所?18．(1)每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)為1600元，則每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)為2000元(2)3種方案；購買電冰箱34臺(tái)，購進(jìn)空調(diào)66臺(tái)，利潤最大，為13300元(3)答案見解析【分析】（1）列方程求解原價(jià)即可.（2）合理列出不等式組，確定方案個(gè)數(shù)，再求利潤即可.（3）分析一次函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）設(shè)每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)為元，則每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)為元，由題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；∴；故每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)為元，則每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)為元；（2）設(shè)購進(jìn)電冰箱x臺(tái)，則購進(jìn)空調(diào)臺(tái)，由題意，得：，解得：，為整數(shù)，，共3種方案；，隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為元，即當(dāng)購買電冰箱34臺(tái)時(shí)，購進(jìn)空調(diào)臺(tái)，利潤最大，為元．（3）由題意得：，當(dāng)，即：，隨的增大而增大，∴當(dāng)購買電冰箱36臺(tái)，購進(jìn)空調(diào)臺(tái)，利潤最大，當(dāng)，即：，隨的增大而減小，∴當(dāng)購買電冰箱34臺(tái)，購進(jìn)空調(diào)臺(tái)，利潤最大，當(dāng)，即：，每種方案的總利潤相同，均為元．19．(1)①；②；(2)當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn).【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，由此求得；②化簡已知不等式，利用換元法、分離常數(shù)法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的知識(shí)求得的取值范圍.（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得，轉(zhuǎn)化，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行分類討論，從而求得的范圍.【詳解】（1）①當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，，，解得.②由得，則不等式，可化為，令，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以也為增函數(shù)，，，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?，，即?shí)數(shù)m的取值范圍為.（2）當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，，，解得，，所以，即，令，則，則函數(shù)有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程在時(shí)有實(shí)數(shù)根，即是在時(shí)有實(shí)數(shù)根，令為開口向下的二次函數(shù)，當(dāng)方程在有兩相等實(shí)數(shù)根時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，，即，解