2024年江西省南昌市中考一模數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024年九年級(jí)第一次學(xué)習(xí)效果檢測數(shù)學(xué)說明：1.本試卷滿分120分，考試時(shí)間為120分鐘．2.請(qǐng)按試題序號(hào)在答題卡相應(yīng)位置作答，答在試題卷或其他位置無效．一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填涂在答題卡的相應(yīng)位置．錯(cuò)選、多選、未選均不得分．1.將一元二次方程3x2－8x＝－10化成一般形式是（）A.3x2－8x＋10＝0 B.3x2－8x－10＝0 C.3x2－8x＝10 D.3x2＝8x－102.下列圖案中屬于中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.如圖，已知AB//CD//EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝10，則BC的長等于（）A.4 B.5 C.6 D.74.下列各選項(xiàng)為某同學(xué)得出的關(guān)于二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋5的性質(zhì)的結(jié)論，其中不正確的是（）A.開口向下 B.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）C.方程－x2＋4x＋5＝0的解是 D.當(dāng)－1＜x＜5，函數(shù)值小于05.物理興趣小組在實(shí)驗(yàn)室研究電學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)電路，其電路圖如圖1所示．經(jīng)測試，發(fā)現(xiàn)電流I（A）隨著電阻R（Ω）的變化而變化，并結(jié)合數(shù)據(jù)描點(diǎn)，連線，畫成圖2所示的函數(shù)圖象．若該電路的最小電阻為1Ω，則該電路能通過的（）圖1圖2A.最大電流是36A B.最大電流是27AC.最小電流是36A D.最小電流是27A6.如圖，⊙O上依次有點(diǎn)A，C，G，F(xiàn)，E，D，B，已知DE＝AB，F(xiàn)G＝AC．?dāng)?shù)學(xué)小組在探究時(shí)得到以下結(jié)論：①DE＋FG＝BC；②；③∠DOE＋∠FOG＝∠BOC；④∠DEO＋∠FGO＝∠BAC．你認(rèn)為結(jié)論正確的序號(hào)是（）A.①②③④ B.②③ C.②④ D.②③④二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7.已知反比例函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限，則m的取值范圍為．8.某實(shí)施科技強(qiáng)市的戰(zhàn)略，為加強(qiáng)科技基礎(chǔ)研究能力，逐步加大了對(duì)科研經(jīng)費(fèi)的投入．2022年投入科研經(jīng)費(fèi)6000萬元，2024年投入經(jīng)費(fèi)8000萬元．設(shè)科研經(jīng)費(fèi)投入的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程為．9.設(shè)是關(guān)于x的方程x2－12x＋1＝0的兩個(gè)根，則．10.如圖，這是某市文化生態(tài)園中拋物線型拱橋及其示意圖，已知拋物線型拱橋的函數(shù)表達(dá)式為，為了美化拱橋夜景，擬在該拱橋上距水面（AB）6m處安裝夜景燈帶EF，則夜景燈帶EF的長是m．11.如圖，已知△ABC和△以點(diǎn)C（－1，0）為位似中心，位似比為1∶2的位似圖形，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．12.如圖，已知過點(diǎn)A（－，0）的直線y＝kx＋2與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B（，3），連接OB，將△AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，△AOB的頂點(diǎn)依然在該反比例函數(shù)的圖象上，則旋轉(zhuǎn)的角度為．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13.（本題共2小題，每小題3分）（1）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，求∠DAC的度數(shù)；（2）下圖是某學(xué)校人行過道中的一個(gè)以O(shè)為圓心的圓形拱門，路面AB的寬為2m，高CD為5m，求圓形拱門所在圓的半徑．14.課堂上，劉老師展示了一位同學(xué)用配方法解的過程，如下：解：原方程可化為，…………………第一步配方，得，……第二步即，……………第三步直接開平方，得，……………第四步所以．…………第五步（1）這位同學(xué)的解題過程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)你正確求解該方程．15.數(shù)學(xué)老師在作業(yè)批改中，針對(duì)作業(yè)出現(xiàn)多處錯(cuò)誤的同學(xué)設(shè)計(jì)了“日日清”的A，B，C，D四種過關(guān)訓(xùn)練卡片題組，讓他們加強(qiáng)練習(xí)．這些卡片的背面、大小完全相同．（1）小明從A，B，C，D四種過關(guān)訓(xùn)練卡片題組中任選一種，是A卡片題組的概率是；（2）小明和小紅分別從A，B，C，D四種過關(guān)訓(xùn)練卡片題組中隨機(jī)各選一種，請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法求兩位同學(xué)恰好抽到同種過關(guān)訓(xùn)練卡片題組的概率．16.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的對(duì)稱軸是直線x＝1，其最大值是4，經(jīng)過點(diǎn)A（－1，－4），交y軸于點(diǎn)B，請(qǐng)僅用無刻度直尺按下列要求作圖．（1）在圖1中作二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)P（2，2）；（2）在圖2中二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使△ABQ的周長最短．圖1圖217.主題為“安全騎行，從頭盔開始”的安全教育活動(dòng)在某市全面開展．為了解市民騎電動(dòng)自行車出行自覺佩戴頭盔的情況，某數(shù)學(xué)實(shí)踐探究小組在某路口進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過連續(xù)6天的同一時(shí)段的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)并整理如下表：經(jīng)過路口的電動(dòng)自行車數(shù)量/輛180230300260240280自覺佩戴頭盔人數(shù)/人171216285250228266自覺佩戴頭盔的頻率0.950.940.950.960.95m（1）表格中m＝；（2）由此數(shù)據(jù)可估計(jì)，經(jīng)過該路口的電動(dòng)自行車騎行者佩戴了頭盔的概率為；（結(jié)果精確到0.01）（3）若該小組某天調(diào)查到經(jīng)過該路口的電動(dòng)自行車共有1200輛，請(qǐng)問其中佩戴了頭盔的騎行者大約有多少人？四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2－（k＋4）x＋3k．（1）求證：無論k為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）若二次函數(shù)的頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系及y的最大值．19.如圖，△ABC的各頂點(diǎn)都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，其中A（m－3，－4），B（4－m，6）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若直線AB解析式為y＝ax＋b，求的解集；（3）若反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－12，將線段BC平移到線段AD，（點(diǎn)B與點(diǎn)A重合）請(qǐng)判斷四邊形ABCD的形狀．20.小明大學(xué)畢業(yè)后積極自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上創(chuàng)辦了一個(gè)微店，銷售一款鄉(xiāng)村太陽能美化路燈，該燈成本是40元/盞．通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若按50元/盞銷售，一個(gè)月可售500盞；若銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10盞．（1）月銷售量m（盞）與銷售單價(jià)x（元/盞）之間的函數(shù)關(guān)系式為．（2）小明若想讓太陽能美化路燈的月銷售利潤達(dá)到8000元，則太陽能美化路燈銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3）太陽能美化路燈的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，月銷售能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21.如圖，在三角形ABD中，AD＝BD，∠ADB＝90°，AB//DC，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，作∠BEC＝45°，CE交DB于點(diǎn)F．（1）求證：△FBE~△FCD；（2）求證：∠ABE＝∠DBC；（3）已知AB＝6，ED＝2AE，求S△BDC．22.已知二次函數(shù)y＝kx2－6kx＋5k（k＞0）經(jīng)過A，B兩定點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為P．（1）求定點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）把二次函數(shù)y＝kx2－6kx＋5k的圖象在直線AB下方的部分向上翻折，將向上翻折得到的部分與原二次函數(shù)位于直線AB上方的部分的組合圖象記作圖象W，求向上翻折部分的函數(shù)解析式；（3）在（2）中，已知△ABP的面積為8．①當(dāng)1≤x≤4時(shí)，求圖象W中y的取值范圍；②若直線y＝m與圖象W從左到右依次交于C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)，若CD＝DE＝EP，求m的值．六、解答題（本大題共12分）23.如圖1，在矩形ABCD中，CD＝BC＝4，點(diǎn)E，G分別是AD，AB上的中點(diǎn)，過點(diǎn)E，G分別作EF⊥AD，F(xiàn)G⊥AB，F(xiàn)G與EF交于點(diǎn)F，連接CF．特例感知（1）以下結(jié)論中正確的序號(hào)有；①四邊形AGFE是矩形；②矩形ABCD與四邊形AGFE位似；③以ED，CF，BG為邊圍成的三角形不是直角三角形類比發(fā)現(xiàn)（2）如圖2，將圖1中的四邊形AGFE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BG，觀察CF與BG之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的發(fā)現(xiàn)；拓展應(yīng)用（3）連接CE，當(dāng)CE的長度最大時(shí)，①求BG的長度；②連接AC，AF，CF，若在△ACF內(nèi)存在一點(diǎn)P，使CP＋AP＋PF的值最小，求CP＋AP＋PF的最小值．圖1圖22024年九年級(jí)第一次學(xué)習(xí)效果檢測數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1A2.B3.C4.D5.A【解析】根據(jù)電壓＝電流×電阻，設(shè)，將點(diǎn)（4，9）代入得，解得U＝36，∴；若該電路的最小電阻值為1，該電路能通過的最大電流是，故選A．6.D【解析】連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，BC，如圖．∵AB＋AC＞BC，AB＝DE，F(xiàn)G＝AC，∴DE＋FG＞BC．∴①錯(cuò)誤．∵AB＝DE，F(xiàn)G＝AC，∴，．∴．∴．∴②正確．∵AB＝DE，F(xiàn)G＝AC，∴∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG．∴∠AOB＋∠AOC＝∠DOE＋∠FOG，即∠DOE＋∠FOG＝∠BOC．∴③正確．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝．同理可得：∠OAC＝90°－∠AOC，∠DEO＝90°－∠DOE，∠FGO＝90°－∠FOG．∴∠OAB＋∠OAC＝180°－（∠AOB＋∠AOC）＝180°－∠BOC，∠DEO＋∠FGO＝180°－（∠DOE＋∠FOG）．由③知：∠DOE＋∠FOG＝∠BOC，∴∠OAB＋∠OAC＝∠DEO＋∠FGO．即：∠DEO＋∠FGO＝∠BAC．∴④正確．∴正確的序號(hào)為②③④．故選D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7.m＜－2【解析】∵反比例函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限，∴m＋2＜0，解得m＜－28.6000（1＋x）2＝80009.11【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，，，則．10.【解析】由題意得，，解得：，∴．11.【解析】設(shè)B點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，如圖，過B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，過作軸于點(diǎn)N．∴，∴，∴，即，解得，∴B點(diǎn)橫坐標(biāo)為．12.30°，120°或150°【解析】作BD⊥x軸于D，∵B（，3），∴OB＝2＝OA，∠BOD＝60°，∴∠BOA＝120°，根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性和圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，120°或150°后使△AOB的頂點(diǎn)依然在該反比例函數(shù)的圖象上．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13.（1）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠EAC＝60°．∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝30°．∴∠DAC＝30°．…………3分（2）解：如圖，連接OA，由垂徑定理得AD＝AB＝1，設(shè)OC＝OA＝r，則OD＝5－r．由勾股定理得OA2－OD2＝AD2，即r2－（5－r）2＝，解得．∴圓形拱門所在圓的半徑為m．……6分14.（1）二………2分（2）配方法：x2－x－4＝0x2－x＝4x2－x＋（）2＝4＋（）2（x－）＝12∴x－＝±解得．…6分公式法：x2－x－4＝0a＝1，b＝－，c＝－4，∴，∴，解得．……6分15.解：（1）小明從A、B、C、D四種過關(guān)訓(xùn)練卡片題組中，任選一張是A卡片題組的概率是．………………2分（2）列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，如下表：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由上表知，小明和小紅分別從A、B、C、D四種過關(guān)訓(xùn)練卡片題組中隨機(jī)選一張的等可能結(jié)果組合有16種，其中，兩位同學(xué)恰好抽到同種過關(guān)訓(xùn)練卡片題組的結(jié)果組合有4種，即（A，A），（B，B），（C，C），（D，D），……4分∴P（兩位同學(xué)恰好抽到同種過關(guān)訓(xùn)練卡片題組）＝．……6分16.解：（1）如圖1，點(diǎn)P即為所作；………………3分（2）如圖2，點(diǎn)Q即為所作．……………6分圖1圖217解：（1）0.95……………2分（2）0.95；提示：根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，隨著調(diào)查天數(shù)的增加，電動(dòng)自行車騎行者佩戴頭盔的頻率逐漸穩(wěn)定在0.95附近，故可估計(jì)經(jīng)過該路口的電動(dòng)自行車騎行者佩戴了頭盔的概率為0.95……………4分（3）1200×0.95＝1140（人）答：佩戴了頭盔的騎行者大約有1140人．……………6分四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18.（1）當(dāng)y＝0時(shí)，x2－（k＋4）x＋3k＝0∵．∴該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴無論k為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．……………3分（2）二次函數(shù)y＝x2－（k＋4）x＋3k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，可得k＝2x－4，將其代入，整理后得y＝－（x－3）2－3……6分∵頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為二次函數(shù)y＝－（x－3）2－3的圖象，且該圖象開口向下，故當(dāng)x＝3時(shí)，y取得最大值，最大值為－3……8分19.（1）∵A（m－3，－4），B（4－m，6）恰好落到雙曲線上，∴－4（m－3）＝6（4－m），解得m＝6∴A（3，－4），將A（3，－4）代入y＝，得到k＝－12∴反比例函數(shù)解析式為y＝－．………………2分（2）由（1）可知A（3，－4），B（－2，6），由得到ax＋b≥，根據(jù)圖象可知，ax＋b≥的解集為x≤－2或0＜x≤3故由ax≥－b的解集為x≤－2或0＜x≤3……………4分（3）四邊形ABCD是正方形．……………5分理由：由點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－12，可得點(diǎn)C（－12，1），線段BC沿BA平移到線段AD位置，可得BC//AD，BC＝AD，所以四邊形ABCD是平行四邊形．過點(diǎn)A，C分別作x軸的垂線AG，F(xiàn)H，（即AG⊥x軸，F(xiàn)H⊥x軸）過點(diǎn)B作x軸的平行線FG．∴AG∥FH，∴FG⊥CF，F(xiàn)G⊥AG．∴G（3，6），F(xiàn)（－12，6）．由坐標(biāo)可知AG＝BF，BG＝CF，∴△BCF≌△ABG．∴BC＝AB，∠CBF＝∠BAG．∴四邊形ABCD是菱形．∵∠BAG＋∠ABG＝90°，∴∠CBF＋∠ABG＝90°．∴∠ABC＝90°．∴四邊形ABCD是正方形．…………8分20解：（1）m＝1000－10x…………2分（2）設(shè)銷售單價(jià)為x元/盞由題意，得8000＝（1000－10x）（x－40）＝－10x2＋1400x－40000，解得：．答：銷售單價(jià)應(yīng)定為60元或80元．………………5分（3）設(shè)月銷售利潤y元，銷售單價(jià)x元/盞，可列函數(shù)為y＝（x－40）（1000－10x）＝－10x2＋1400x－40000，整理得y＝－10（x－70）2＋9000∵－10＜0，∴當(dāng)x＝70時(shí)，y有最大值，最大值為9000，∴當(dāng)銷售單價(jià)定為70元時(shí)獲得利潤最大，最大利潤是9000元．……………8分五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21.（1）證明：∵BD＝AD，∠BDA＝90°，∴∠ABD＝∠BAD＝45°∵DC∥AB，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，∵∠BEC＝45°，∴∠BEC＝∠BDC．∵∠BFE＝∠CFD，∴△FBE∽△FCD．…………3分（2）證明：∵△FEB∽△FDC，∴∵∠DFE＝∠CFB，∴△FED∽△FBC．∴∠CED＝∠DBC．∵∠DEB＝∠CED＋∠CEB＝∠A＋∠ABE，∠CEB＝45°＝∠A，∴∠CED＝∠ABE．∴∠ABE＝∠DBC．……………6分（3）解：∵AD＝BD，AD⊥DB，AB＝6，∴AD＝．∵ED＝2AE，∴AE＝．∴點(diǎn)E到AB的距離為1∴．∵∠ABE＝∠DBC；∠BDC＝45°＝∠A，∴△BAE∽△BDC．，即．．……9分22.解：（1）原函數(shù)可化為y＝k（x－1）（x－5），可得該函數(shù)圖象恒過兩點(diǎn)A（1，0），B（5，0），故定點(diǎn)為A（1，0），B（5，0）．…2分（2）y＝－kx2＋6kx－5k（1≤x≤5）．…………4分（3）①∵△ABP的面積為8，∴，∴k＝±1∵k＞0，∴k＝1，∴圖象W向上翻折部分的函數(shù)解析式為y＝－x2＋6x－5（1≤x≤5）．∵1≤x≤4，頂點(diǎn)在AB之間的圖象上，該段拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝3，∴當(dāng)x＝3時(shí)，；當(dāng)x＝1時(shí)，y的最小值為0∴在圖象W中，y的取值范圍為0≤y≤4……6分②若直線y＝m與圖象W從左到右依次交于C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)，則y＝x2－6x＋5圖象與直線y＝m交于點(diǎn)C，F(xiàn)，可得x2－6x＋5＝m，則CF＝；y＝－x2＋6x－5與直線y＝