2023年南京市中考數(shù)學(xué)試卷

2023年南京市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共6小題，每小題2分，共12分．）1．全國(guó)深入踐行生態(tài)文明思想，科學(xué)開(kāi)展大規(guī)模國(guó)土綠化行動(dòng)，厚植美麗中國(guó)亮麗底色，去年完成造林約3830000公頃．用科學(xué)記數(shù)法表示3830000是A． B． C． D．2．整數(shù)滿足，則的值為A．3 B．4 C．5 D．63．若一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為3，則它的周長(zhǎng)可能是A．5 B．10 C．15 D．204．甲、乙兩地相距，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時(shí)間（單位：與行駛速度（單位：之間的函數(shù)圖象是A． B． C． D．5．我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書(shū)九章》中有一道問(wèn)題：“問(wèn)沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何？”問(wèn)題大意：如圖，在中，里，里，里，則的面積是A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里6．如圖，不等臂蹺蹺板的一端碰到地面時(shí)，另一端到地面的高度為；當(dāng)?shù)囊欢伺龅降孛鏁r(shí)，另一端到地面的高度為，則蹺蹺板的支撐點(diǎn)到地面的高度是A． B． C． D．二、填空題（共10小題，每小題2分，共20分．）7．計(jì)算：；．8．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．9．計(jì)算的結(jié)果是．10．分解因式的結(jié)果是．11．計(jì)算的結(jié)果是．12．某校九年級(jí)有8個(gè)班級(jí)，人數(shù)分別為37，，32，36，37，32，38，34．若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為32，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．13．甲車從地出發(fā)勻速行駛，它行駛的路程（單位：與行駛的時(shí)間（單位：之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．甲車出發(fā)后，乙車從地出發(fā)沿同一路線勻速行駛．若乙車經(jīng)過(guò)追上甲車，則乙車的速度（單位：的取值范圍是．14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，且．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的取值范圍是．15．如圖，與正六邊形的邊，分別相切于點(diǎn)，．若，則的半徑長(zhǎng)為．16．如圖，在菱形紙片中，點(diǎn)在邊上，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，，垂足為．若，，則．三、解答題（共11小題，共88分．）17．（7分）計(jì)算．

18．（8分）解不等式組，并寫(xiě)出它的整數(shù)解．

19．（7分）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，對(duì)角線分別交，于點(diǎn)，．求證．

20．（8分）社會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)和日常生活離不開(kāi)物流行業(yè)的發(fā)展，閱讀以下統(tǒng)計(jì)圖并回答問(wèn)題．（1）下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．①年社會(huì)物流總費(fèi)用占比重總體呈先下降后穩(wěn)定的趨勢(shì)；②年社會(huì)物流總費(fèi)用的波動(dòng)比年社會(huì)物流總費(fèi)用的波動(dòng)大；③年社會(huì)物流總費(fèi)用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是2021年．（2）請(qǐng)結(jié)合上圖提供的信息，從不同角度寫(xiě)出兩個(gè)與我國(guó)相關(guān)的結(jié)論．

21．（8分）某旅游團(tuán)從甲、乙、丙、丁4個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選取景點(diǎn)游覽．（1）選取2個(gè)景點(diǎn)，求恰好是甲、乙的概率；（2）選取3個(gè)景點(diǎn)，則甲、乙在其中的概率為．

22．（8分）如圖，某校的飲水機(jī)有溫水、開(kāi)水兩個(gè)按鈕，溫水和開(kāi)水共用一個(gè)出水口．溫水的溫度為，流速為；開(kāi)水的溫度為，流速為．某學(xué)生先接了一會(huì)兒溫水，又接了一會(huì)兒開(kāi)水，得到一杯溫度為的水（不計(jì)熱損失），求該學(xué)生分別接溫水和開(kāi)水的時(shí)間．物理常識(shí)開(kāi)水和溫水混合時(shí)會(huì)發(fā)生熱傳遞，開(kāi)水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為開(kāi)水的體積開(kāi)水降低的溫度溫水的體積溫水升高的溫度．

23．（8分）如圖，為了測(cè)量無(wú)人機(jī)的飛行高度，在水平地面上選擇觀測(cè)點(diǎn)，．無(wú)人機(jī)懸停在處，此時(shí)在處測(cè)得的仰角為；無(wú)人機(jī)垂直上升懸停在處，此時(shí)在處測(cè)得的仰角為．，點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，，兩點(diǎn)在的同側(cè)．求無(wú)人機(jī)在處時(shí)離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，．

24．（8分）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺(tái)燈和一支鉛筆，點(diǎn)光源與鉛筆所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，在地面上形成的影子為（不計(jì)折射），．（1）在桌面上沿著方向平移鉛筆，試說(shuō)明的長(zhǎng)度不變．（2）桌面上一點(diǎn)恰在點(diǎn)的正下方，且，，，桌面的高度為．在點(diǎn)與所確定的平面內(nèi)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得的長(zhǎng)度最大．①畫(huà)出此時(shí)所在位置的示意圖；②的長(zhǎng)度的最大值為．

25．（8分）已知二次函數(shù)為常數(shù)，．（1）若，求證：該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，．（3）若該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，且，則的取值范圍是．

26．如圖，在中，，是的外接圓，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，分別交直線，于點(diǎn)，，射線交直線于點(diǎn)．（1）求證．（2）若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，求的度數(shù)．（3）當(dāng)時(shí)，隨著的長(zhǎng)度的增大，的長(zhǎng)度如何變化？請(qǐng)描述變化過(guò)程，并說(shuō)明理由．

27．在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作，順，；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作，逆，．例如：如圖①，先將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，再將△以點(diǎn)為位似中心縮小到原來(lái)的，得到△，這個(gè)變換記作，逆，．（1）如圖②，經(jīng)過(guò)，順，得到△，用尺規(guī)作出△．（保留作圖痕跡）（2）如圖③，經(jīng)過(guò)，逆，得到，經(jīng)過(guò)，順，得到，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．（3）如圖④，在中，，，．若經(jīng)過(guò)（2）中的變換得到的四邊形是正方形．Ⅰ．用尺規(guī)作出點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）；Ⅱ．直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．）1．全國(guó)深入踐行生態(tài)文明思想，科學(xué)開(kāi)展大規(guī)模國(guó)土綠化行動(dòng)，厚植美麗中國(guó)亮麗底色，去年完成造林約3830000公頃．用科學(xué)記數(shù)法表示3830000是A． B． C． D．解：．故選：．2．整數(shù)滿足，則的值為A．3 B．4 C．5 D．6解：，即，整數(shù)，故選：．3．若一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為3，則它的周長(zhǎng)可能是A．5 B．10 C．15 D．20解：等腰三角形的腰長(zhǎng)為3，等腰三角形的底長(zhǎng)，即等腰三角形的底長(zhǎng)，等腰三角形的周長(zhǎng)，故選：．4．甲、乙兩地相距，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時(shí)間（單位：與行駛速度（單位：之間的函數(shù)圖象是A． B． C． D．解：根據(jù)題意有：，所以，故與之間是反比例函數(shù)，其圖象在第一象限．故選：．5．我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書(shū)九章》中有一道問(wèn)題：“問(wèn)沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何？”問(wèn)題大意：如圖，在中，里，里，里，則的面積是A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)里，則里，在中，，在中，，，，解得，在中，（里，的面積（平方里），故選：．6．如圖，不等臂蹺蹺板的一端碰到地面時(shí)，另一端到地面的高度為；當(dāng)?shù)囊欢伺龅降孛鏁r(shí)，另一端到地面的高度為，則蹺蹺板的支撐點(diǎn)到地面的高度是A． B． C． D．解：如圖：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，，如圖：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，，，，，解得：，蹺蹺板的支撐點(diǎn)到地面的高度是，故選：．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）7．計(jì)算：2；．解：，，故答案為：2，2．8．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．解：式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，．．故答案為：．9．計(jì)算的結(jié)果是．解：，故答案為：．10．分解因式的結(jié)果是．解：．故答案為：．11．計(jì)算的結(jié)果是．解：．故答案為：．12．某校九年級(jí)有8個(gè)班級(jí)，人數(shù)分別為37，，32，36，37，32，38，34．若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為32，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為35．解：一組數(shù)據(jù)37，，32，36，37，32，38，34的眾數(shù)為32，，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為32，32，32，34，36，37，37，38，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別為34，36，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．故答案為：35．13．甲車從地出發(fā)勻速行駛，它行駛的路程（單位：與行駛的時(shí)間（單位：之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．甲車出發(fā)后，乙車從地出發(fā)沿同一路線勻速行駛．若乙車經(jīng)過(guò)追上甲車，則乙車的速度（單位：的取值范圍是．解：根據(jù)圖象，得甲車的速度為，設(shè)甲車出發(fā)后乙車追上甲車，根據(jù)題意，．則，得，隨的增大而減?。?dāng)時(shí)，取最小值，；當(dāng)時(shí)，取最大值，，，故答案為：．14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，且．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的取值范圍是．解：由題意可知為反比例函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)時(shí)，的值最大，在直線上時(shí)，，，此時(shí)，點(diǎn)在第一象限，，的取值范圍是，故答案為：．15．如圖，與正六邊形的邊，分別相切于點(diǎn)，．若，則的半徑長(zhǎng)為．解：連接，，，過(guò)作于，過(guò)作于，，，是的切線，，多邊形是正六邊形，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，過(guò)作于，，，的半徑長(zhǎng)為，故答案為：．16．如圖，在菱形紙片中，點(diǎn)在邊上，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，，垂足為．若，，則．解：作于點(diǎn)，則，，，，由折疊得，，四邊形是菱形，，，，于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，故答案為：．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（7分）計(jì)算．解：．18．（8分）解不等式組，并寫(xiě)出它的整數(shù)解．解：，由①得：，由②得：，不等式組的解集為，則原不等式組的整數(shù)解是，，0．19．（7分）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，對(duì)角線分別交，于點(diǎn)，．求證．【解答】證明：連接交于，四邊形是平行四邊形，，，，，在與中，，，，，．20．（8分）社會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)和日常生活離不開(kāi)物流行業(yè)的發(fā)展，閱讀以下統(tǒng)計(jì)圖并回答問(wèn)題．（1）下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③．①年社會(huì)物流總費(fèi)用占比重總體呈先下降后穩(wěn)定的趨勢(shì)；②年社會(huì)物流總費(fèi)用的波動(dòng)比年社會(huì)物流總費(fèi)用的波動(dòng)大；③年社會(huì)物流總費(fèi)用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是2021年．（2）請(qǐng)結(jié)合上圖提供的信息，從不同角度寫(xiě)出兩個(gè)與我國(guó)相關(guān)的結(jié)論．解：（1）年社會(huì)物流總費(fèi)用占比重總體呈先下降后穩(wěn)定的趨勢(shì)，故①正確；年社會(huì)物流總費(fèi)用的波動(dòng)范圍為2.7，年社會(huì)物流總費(fèi)用的波動(dòng)范圍為5.7，故年社會(huì)物流總費(fèi)用的波動(dòng)比年社會(huì)物流總費(fèi)用的波動(dòng)小，故②錯(cuò)誤；年社會(huì)物流總費(fèi)用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是2021年，故③正確．故正確的結(jié)論序號(hào)為：①③．故答案為：①③；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可得，從2011年到2022年我國(guó)的逐年穩(wěn)步增加；的循環(huán)規(guī)律是5到7年增長(zhǎng)，2年持平或衰退．21．（8分）某旅游團(tuán)從甲、乙、丙、丁4個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選取景點(diǎn)游覽．（1）選取2個(gè)景點(diǎn)，求恰好是甲、乙的概率；（2）選取3個(gè)景點(diǎn)，則甲、乙在其中的概率為．解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好是甲、乙的結(jié)果有2種，恰好是甲、乙的概率；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有24種等可能的結(jié)果，其中甲、乙在其中的結(jié)果有12種，甲、乙在其中的概率為，故答案為：．22．（8分）如圖，某校的飲水機(jī)有溫水、開(kāi)水兩個(gè)按鈕，溫水和開(kāi)水共用一個(gè)出水口．溫水的溫度為，流速為；開(kāi)水的溫度為，流速為．某學(xué)生先接了一會(huì)兒溫水，又接了一會(huì)兒開(kāi)水，得到一杯溫度為的水（不計(jì)熱損失），求該學(xué)生分別接溫水和開(kāi)水的時(shí)間．物理常識(shí)開(kāi)水和溫水混合時(shí)會(huì)發(fā)生熱傳遞，開(kāi)水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為開(kāi)水的體積開(kāi)水降低的溫度溫水的體積溫水升高的溫度．解：設(shè)該學(xué)生接溫水的時(shí)間為，根據(jù)題意可得：，解得，，，，該學(xué)生接溫水的時(shí)間為，接開(kāi)水的時(shí)間為．23．（8分）如圖，為了測(cè)量無(wú)人機(jī)的飛行高度，在水平地面上選擇觀測(cè)點(diǎn)，．無(wú)人機(jī)懸停在處，此時(shí)在處測(cè)得的仰角為；無(wú)人機(jī)垂直上升懸停在處，此時(shí)在處測(cè)得的仰角為．，點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，，兩點(diǎn)在的同側(cè)．求無(wú)人機(jī)在處時(shí)離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，．解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意得：，，設(shè)，，，在中，，，在中，，，，，解得：，，無(wú)人機(jī)在處時(shí)離地面的高度約為．24．（8分）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺(tái)燈和一支鉛筆，點(diǎn)光源與鉛筆所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，在地面上形成的影子為（不計(jì)折射），．（1）在桌面上沿著方向平移鉛筆，試說(shuō)明的長(zhǎng)度不變．（2）桌面上一點(diǎn)恰在點(diǎn)的正下方，且，，，桌面的高度為．在點(diǎn)與所確定的平面內(nèi)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得的長(zhǎng)度最大．①畫(huà)出此時(shí)所在位置的示意圖；②的長(zhǎng)度的最大值為80．解：（1）設(shè)平移到，在地面上形成的影子為．，，，，，，，，，，沿著方向平移時(shí)，長(zhǎng)度不變．（2）①以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，當(dāng)與相切于時(shí)，此時(shí)最大為．此時(shí)所在位置為．②，，，，設(shè)，則，在中，，，，，（舍去），，由①，，，即的長(zhǎng)度的最大值為．25．（8分）已知二次函數(shù)為常數(shù)，．（1）若，求證：該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，．（3）若該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，且，則的取值范圍是或．【解答】證明：（1）因?yàn)?，又因?yàn)椋?，，所以，所以該函?shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）將代入函數(shù)解析式得，，所以拋物線的對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向下．則當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．（3）因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線，且過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，且，所以當(dāng)時(shí)，，解得，故．當(dāng)時(shí)，，解得，故．綜上所述，或．故答案為：或．26．如圖，在中，，是的外接圓，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，分別交直線，于點(diǎn)，，射線交直線于點(diǎn)．（1）求證．（2）若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，求的度數(shù)．（3）當(dāng)時(shí)，隨著的長(zhǎng)度的增大，的長(zhǎng)度如何變化？請(qǐng)描述變化過(guò)程，并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：過(guò)作直徑，，，，，，，，，，；（2）解：，，，設(shè)，，，，，如圖：連，，又過(guò)圓心，垂直平分，，，又，，垂直平分，，，，，，，，，，；（3）答：當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。f(shuō)明：①當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與重合，在和中，，，，，，為等邊三角形，，，