《統(tǒng)考版》高考數(shù)學(xué)（理科）一輪練習(xí)專練65離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布

專練65離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布命題范圍：離散型隨機(jī)變量的均值、方差及正態(tài)分布．[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．[2021·唐山摸底]隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，則μ＝()A．6B．5C．4D．32．已知X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則E(Y)和D(Y)分別是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.63．設(shè)隨機(jī)變量X～N(2,4)，若P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1B.eq\f(5,3)C．5D．94．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：X135P0.5m0.2則E(X)＝()A．1B．0.6C．2.44D．2.45．[2021·吉林長春一中高三測試]隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝()X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)A.2B．3C．4D．56．[2021·廣東廣雅中學(xué)高三測試]口袋中有5個(gè)形狀和大小完全相同的小球，編號(hào)分別為0,1,2,3,4，從中任取3個(gè)球，以X表示取出的球的最小號(hào)碼，則E(X)＝()A．0.45B．0.5C．0.55D．0.67．某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.38．設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)9．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，若P(X>1)＝P，則P(－1<X<0)＝()A.eq\f(1,2)＋P B．1－PC．1－2P D.eq\f(1,2)－P二、填空題10．一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝________.11．一個(gè)正四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上分別標(biāo)有1分，2分，3分和4分，往地面拋擲一次記不在地面上的頂點(diǎn)的分?jǐn)?shù)為X，則X的均值為________．12．在我校2018屆高三10月份高考調(diào)研中，理科數(shù)學(xué)成績X～N(90，σ2)(σ>0)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示P(60≤X≤120)＝0.8，假設(shè)我校參加此次考試的有780人，那么估計(jì)此次考試中，我校成績高于120分的有________人．[能力提升]13．[2021·天津一中高三測試]設(shè)袋中有兩個(gè)紅球一個(gè)黑球，除顏色不同，其他均相同，現(xiàn)有放回地抽取，每次抽取一個(gè)，記下顏色后放回袋中，連續(xù)摸三次，X表示三次中紅球被摸中的次數(shù)，每個(gè)小球被抽取的幾率相同，每次抽取相對獨(dú)立，則方差D(X)＝()A．2B．1C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)14．[2021·廣西柳州高三測試]甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙在每局中獲勝的概率為eq\f(1,3)，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)ξ的期望E(ξ)為()A.eq\f(241,81)B.eq\f(266,81)C.eq\f(274,81)D.eq\f(670,243)15．2012年國家開始實(shí)行法定節(jié)假日高速公路免費(fèi)通行政策，某收費(fèi)站在統(tǒng)計(jì)了2021年清明節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天每天通行車輛的數(shù)量ξ服從正態(tài)分布ξ～N(1000，σ2)，若P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1000)＝b，則eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值為________．16．已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)的最大值為________.ξ012Py0.4x專練65離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1.C由正態(tài)分布的特點(diǎn)可知，P(ξ>6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴μ＝eq\f(2＋6,2)＝4.2．B∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，又X＋Y＝8，∴Y＝8－X，∴E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝2.4.3．B∵P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，∴eq\f(a＋2＋2a－3,2)＝2，得a＝eq\f(5,3).4．D由分布列的性質(zhì)可知0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.5．C由分布列的性質(zhì)可知eq\f(1,6)＋p＋eq\f(1,3)＝1，∴p＝eq\f(1,2)，∴E(X)＝0×eq\f(1,6)＋2×p＋a×eq\f(1,3)＝1＋eq\f(a,3)＝2，∴a＝3，∴D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1，∴D(2X－3)＝4D(X)＝4.6．B由題可知X可取的值為0,1,2，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝0.6，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝0.3，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝0.1，∴E(X)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5.7．B由題意得X～B(10，p)，則D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，得p＝0.4或p＝0.6，又P(X＝4)<P(X＝6)，∴Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6<Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4，∴(1－p)2<p2，∴p>0.5，∴p＝0.6.8．C由圖可知，μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A不正確；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B不正確；當(dāng)t為任意正數(shù)時(shí)，由圖可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝－1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正確，D不正確．9．D∵X～N(0,1)，∴正態(tài)分布曲線關(guān)于x＝0對稱，∴P(X>0)＝P(X<0)＝eq\f(1,2)，∴P(X>1)＝P(X<－1)＝P，∴P(－1<X<0)＝P(X<0)－P(X<－1)＝eq\f(1,2)－P.10．1.96解析：由題意，X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.11.eq\f(5,2)解析：X的分布列為X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)∴E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(5,2).12．78解析：∵X～N(90，σ2)，∴正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝90對稱，又P(60≤X≤120)＝0.8，∴P(X>120)＝eq\f(1－0.8,2)＝0.1，∴估計(jì)高于120分的有780×0.1＝78人．13．C每次取球時(shí)，取到紅球的概率為eq\f(2,3)，黑球的概率為eq\f(1,3)，∴取到紅球的概率服從二項(xiàng)分布，即：X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，∴D(X)＝3×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,3).14．B由已知，ξ的可能取值是2,4,6.設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪比賽停止的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).若該輪結(jié)束時(shí)比賽還要繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對下一輪比賽是否停止沒有影響．所以P(ξ＝2)＝eq\f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq\f(5,9)×eq\f(4,9)＝eq\f(20,81)，P(ξ＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2＝eq\f(16,81)，所以E(ξ)＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81).故選B.15．32解析：由ξ～N(1000，σ2)，P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1000)＝b得a＝0.5－b，所以a＋b＝eq\f(1,2)，則eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))(a＋b)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(b,a)＋\f(9a,b)))≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2\r(\f(b