高中數(shù)學(xué)必修2第2章2.1.5平面上兩點間的距離作業(yè)

[學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練]1．已知點A(1，－1)，B(2,3)，則線段AB的長為________．解析：AB＝eq\r(1－22＋－1－32)＝eq\r(1＋16)＝eq\r(17).答案：eq\r(17)2．已知點A(x,5)關(guān)于點(1，y)的對稱點為(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是________．解析：根據(jù)中點坐標(biāo)公式得到eq\f(x－2,2)＝1且eq\f(5－3,2)＝y(tǒng)，解得x＝4，y＝1，所以點P的坐標(biāo)為(4,1)，則點P(x，y)到原點的距離d＝eq\r(4－02＋1－02)＝eq\r(17).答案：eq\r(17)3．已知點A(1,2)，B(3,1)，則線段AB的垂直平分線方程是________．解析：∵kAB＝eq\f(2－1,1－3)＝－eq\f(1,2)，∴AB的中垂線的斜率為2，又AB中點為(eq\f(1＋3,2)，eq\f(1＋2,2))，即(2，eq\f(3,2))，故線段AB的垂直平分線方程是y－eq\f(3,2)＝2(x－2)，即4x－2y＝5.答案：4x－2y＝54．x軸上任一點到定點(0,2)，(1,1)距離之和的最小值是________．解析：點(1,1)關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)為(1，－1)，要求的最小值為eq\r(1－02＋－1－22)＝eq\r(10).答案：eq\r(10)5．已知A(1,2)，B(－1,1)，C(0，－1)，D(2,0)，則四邊形ABCD的形狀為________．解析：由kAB＝eq\f(1,2)，kCD＝eq\f(1,2)，kBC＝－2，kAD＝－2得AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，ABCD為矩形，又AB＝eq\r(1＋12＋2－12)＝eq\r(5)，BC＝eq\r(－1－02＋1＋12)＝eq\r(5)，∴AB＝BC，故ABCD為正方形．答案：正方形6．直線l1：x－y＋1＝0關(guān)于點P(1,1)對稱的直線l2的方程為________．解析：法一：設(shè)點M(x，y)是直線l2上的任意一點，點M關(guān)于點P(1,1)的對稱點為N，則N點坐標(biāo)為(2－x,2－y)．∵直線l1與l2關(guān)于點P(1,1)對稱，∴點N(2－x,2－y)在直線l1上，∴(2－x)－(2－y)＋1＝0，即x－y－1＝0.∴直線l2的方程為x－y－1＝0.法二：因為點P不在直線l1上，所以l2∥l1，設(shè)l2的方程為x－y＋c＝0，在l1上取點A(－1,0)，則A關(guān)于點P的對稱點A′(3,2)在直線l2上，所以3－2＋c＝0，即c＝－1，所以l2的方程為x－y－1＝0.答案：x－y－1＝07．已知過點P(0,1)的直線l和兩直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0相交于兩點，點P(0,1)恰好是兩交點的中點，求直線l的方程．解：法一：過點P與x軸垂直的直線顯然不合要求，故設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，若與兩已知直線分別交于A，B兩點，則解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,x－3y＋10＝0))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,2x＋y－8＝0))，可得xA＝eq\f(7,3k－1)，xB＝eq\f(7,k＋2).由題意eq\f(7,3k－1)＋eq\f(7,k＋2)＝0，∴k＝－eq\f(1,4).故所求直線方程為x＋4y－4＝0.法二：設(shè)l與l1、l2的交點分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)．∵A為l1上的點，B為l2上的點，∴x1－3y1＋10＝0,2x2＋y2－8＝0.∵AB的中點為P(0,1)，∴x1＋x2＝0，y1＋y2＝2.∴x2＝－x1，y2＝2－y1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－3y1＋10＝0，,2x1＋y1＋6＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－4，,y1＝2.))∴x2＝4，y2＝0.∴A(－4,2)、B(4,0)．∴直線l的方程為y－0＝eq\f(2－0,－4－4)(x－4)，即x＋4y－4＝0.8．求證：梯形中位線平行于上底和下底且等于上底與下底和的一半．證明：如圖為梯形ABCD，以線段BC的中點為原點，直線BC為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．分別取AB，CD，AC的中點E，F(xiàn)，G.連結(jié)EG，GF.設(shè)A(a，b)，C(c,0)，則B(－c,0)．AB的中點E的坐標(biāo)是(eq\f(a－c,2)，eq\f(b,2))，AC的中點G的坐標(biāo)是(eq\f(a＋c,2)，eq\f(b,2))．EG＝eq\r(\f(a－c,2)－\f(a＋c,2)2＋\f(b,2)－\f(b,2)2)＝|c|；BC＝2|c|.∴EG＝eq\f(1,2)BC.∴又E，G的縱坐標(biāo)相同，∴EG∥BC.同理可證，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)AD，F(xiàn)G∥AD.于是可得EF∥AD∥BC，EF＝EG＋FG＝eq\f(1,2)(BC＋AD)．而EF即為梯形的中位線，故梯形中位線平行于上底和下底且等于上底和下底和的一半．[高考水平訓(xùn)練]1．光線從點A(－3,5)出發(fā)，經(jīng)x軸反射后經(jīng)過點B(2,10)，則光線從A到B的距離為________．解析：利用光學(xué)原理，求出點B(2,10)關(guān)于x軸的對稱點B′(2，－10)．根據(jù)兩點間的距離公式，得AB′＝eq\r(－3－22＋5＋102)＝5eq\r(10).答案：5eq\r(10)2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點的一直線與函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是________．解析：由題知：直線的斜率k存在且k＞0，設(shè)方程為y＝kx，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx,y＝\f(2,x)))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(\f(2,k)),y＝\r(2k)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(\f(2,k)),y＝－\r(2k)))，∴PQ2＝4(eq\f(2,k)＋2k)，令f(k)＝eq\f(2,k)＋2k.∵k＞0，且當(dāng)0＜k＜1時，函數(shù)f(k)為減函數(shù)，當(dāng)k＞1時，函數(shù)f(k)為增函數(shù)，∴當(dāng)k＝1時，函數(shù)f(k)取最小值4，即PQ2取得最小值16，PQ取得最小值4.答案：43．求點A(2,2)關(guān)于直線2x－4y＋9＝0的對稱點坐標(biāo)．解：設(shè)點A′(a，b)是點A(2,2)關(guān)于直線2x－4y＋9＝0的對稱點，則有AA′與已知直線垂直且線段AA′的中點在已知直線上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·\f(b－2,a－2)＝－1，,2·\f(a＋2,2)－4·\f(b＋2,2)＋9＝0.))解得a＝1，b＝4.∴所求對稱點坐標(biāo)為(1,4)．4．已知傾斜角為45°的直線l過點A(1，－2)和點B，B在第一象限，AB＝3eq\r(2).(1)求點B的坐標(biāo)．(2)對于平面上任一點P，當(dāng)點Q在線段AB上運動時，稱PQ的最小值為P與線段AB的距離．已知點P在x軸上運動，寫出點P(t,0)到線段AB的距離h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．解：(1)直線AB方程為y＝x－3，設(shè)點B(x，y)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－3,x－12＋y＋22＝18))及x＞0，y＞0得x＝4，y＝1，點B的坐標(biāo)為(4,1)．(2)設(shè)線段AB上任意一點Q坐標(biāo)為Q(x，x－3)，PQ＝eq\r(x－t2＋x－32)，記f(x)＝eq\r(x－t2＋x－32)，＝eq\r(2x－\f(t＋3,2)2＋\f(t－32,2))(1≤x≤4)，當(dāng)1≤eq\f(t＋3,2)≤4時，即－1≤t≤5時，PQmin＝f(eq\f(t＋3,2))＝eq\f(\r(2)|t－3|,2)，當(dāng)eq\f(t＋3,2)＞4，即t＞5時，f(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，∴PQmin＝f(4)＝eq