四川省遂寧市射洪中學2022-2023學年高二上學期期中數(shù)學（文）試題

射洪中學高2021級2022年下期半期考試數(shù)學試題（文科）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將答案涂在答題卡上．1.直線的傾斜角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結合直線斜率與傾斜角的關系，運算即可得解.【詳解】設直線的傾斜角為，由題意直線的斜率，所以，.故選：B.【點睛】本題考查了直線斜率與傾斜角關系的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.2.直線的斜率是，在軸上的截距是4，則直線的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線方程的斜截式方程即可得出答案.【詳解】由題意直線的斜率為2，在軸上的截距為4，則直線的斜截式方程為：.故選：C.【點睛】本題考查了直線斜截式方程的直接應用，屬于基礎題.3.已知點，點，則線段的垂直平分線的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出線段的中點與，從而得到，再由點斜式求出直線方程.【詳解】因為點，點，所以線段的中點為，且，所以，則線段的垂直平分線的方程為，即.故選：A4.圓的圓心到直線的距離為1，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】因為圓的圓心到直線的距離為1，所以，解得，故選：A5.設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】D【解析】詳解】試題分析：，,故選D.考點：點線面的位置關系.6.某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先確定幾何體的結構特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形，側面為三個邊長為2的正方形，則其表面積為：.故選：D.【點睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和．7.若滿足約束條件則的最小值為（）A.18 B.10 C.6 D.4【答案】C【解析】【分析】由題意作出可行域，變換目標函數(shù)為，數(shù)形結合即可得解.【詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點,轉換目標函數(shù)為，上下平移直線，數(shù)形結合可得當直線過點時,取最小值，此時.故選：C.8.已知直線，直線，則下列命題中不正確的是（）A.直線過定點 B.若，則C.直線過定點 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線過定點判斷A、C，根據(jù)兩直線垂直求出參數(shù)，即可判斷B，根據(jù)兩直線平行求出，即可判斷D.【詳解】對于A：直線，當時，無論取何值，恒成立，所以直線恒過定點，故A正確．對于B：若，則，，故B正確；對于C：直線，當時，無論取何值，恒成立，所以此時直線恒過定點，故C正確；對于D：若，則，，或，經檢驗此時兩直線平行，故D錯誤；故選：D9.點關于直線的對稱點是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設出對稱點，根據(jù)對稱關系列出式子即可求解.【詳解】解：設點關于直線的對稱點是，則有，解得，，故點關于直線的對稱點是.故選：B.【點睛】方法點睛：關于軸對稱問題：（1）點關于直線的對稱點，則有；（2）直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱問題來解決.10.直線與直線交于點，則點到直線的最大距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)聯(lián)立直線的方程解出交點P，再得出直線的恒過點，從而求得最大距離得選項．【詳解】由解得，所以，由，得，令，恒成立，所以直線恒過點，所以點到直線的最大距離為，故選：C．【點睛】方法點睛：求直線恒過點的方法：方法一（換元法）：根據(jù)直線方程的點斜式直線的方程變成，將帶入原方程之后，所以直線過定點；方法二（特殊引路法）：因為直線的中的m是取不同值變化而變化，但是一定是圍繞一個點進行旋轉，需要將兩條直線相交就能得到一個定點.取兩個m的值帶入原方程得到兩個方程，對兩個方程求解可得定點.11.已知是正方體的中心O關于平面的對稱點，則下列說法中正確的是（）A.與是異面直線 B.平面C. D.平面【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方體的性質、空間直線與平面的位置關系，即可對選項做出判斷.【詳解】連接、，交于點，連接、，交于點.連接、、、、.由題可知，在平面上，所以與共面，故A錯誤；在四邊形中，且，所以四邊形為平行四邊形..平面，平面，平面，故B正確；由正方體的性質可得，因為，所以，又，平面，，又，，而與所成角為，所以顯然與不垂直，故C錯誤；顯然與不垂直，而平面，所以與平面不垂直，故D錯誤.故選：B.12.如圖，已知菱形中，，，為邊的中點，將沿翻折成（點位于平面上方），連接和，為的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）①平面平面②與的夾角為定值③三棱錐體積最大值為④點的軌跡的長度為A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】①由題設結合線面垂直的判定證面，再由面面垂直的判定即可判斷正誤；②若是的中點，應用平行四邊形的性質有，可知與的夾角為或其補角，進而求其大?。虎鄹鶕?jù)①②的分析，當面時最大，求其最大值；④確定F的軌跡與到的軌跡相同，且到的軌跡為以中點為圓心，為半徑的半圓，即可求軌跡長度.【詳解】對于①：由，，為邊的中點知且，易知，，而，面，故面，又面，所以面面，故①正確；對于②：若是的中點，又為的中點，則且，而且，所以且，即為平行四邊形，故，所以與的夾角為或其補角，若為中點，即，由①分析易知，故與的夾角為，故②正確；對于③：由上分析知：翻折過程中當面時，最大，此時，故③錯誤；對于④：由②分析知：且，故的軌跡與到的軌跡相同，由①知：到的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，而為中點，故到的軌跡為以中點為圓心，為半徑的半圓，所以的軌跡長度為，故④正確.故選：C.【點睛】關鍵點睛：應用線面、面面垂直的判定判斷面面垂直；根據(jù)線線角的定義，結合平行四邊形的性質找到線線角的平面角并求大??；判斷動點的軌跡，由圓的性質及棱錐的體積公式求的最大體積以及F的軌跡的長度.第Ⅱ卷非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.兩條平行線與之間的距離____________．【答案】【解析】【分析】直接利用距離公式計算可得.【詳解】兩條平行線與之間的距離.故答案為：14.若直線經過直線和的交點，則___________.【答案】【解析】【分析】求解出直線，交點坐標，再代入直線即可求解.【詳解】由題意，直線，，交于一點，所以，得，所以直線過點，得，求解得.故答案為：15.如圖是一個正方體的表面展開圖，A、B、D均為棱的中點，C為頂點，在該正方體中，異面直線AB和CD所成角的余弦值為______．【答案】【解析】【分析】首先將其還原成正方體，再用平移法找出異面直線所成角（或補角）進行求解即可.【詳解】將正方體的表面展開圖還原成正方體，如圖：連接、，因為A、B均為棱的中點，所以所以是異面直線AB和CD所成角（或補角），設正方體的棱長為，在中，，,故答案為：.16.設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值____________．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)直線方程求出定點，然后根據(jù)直線垂直，結合基本不等式求解即可；【詳解】由題意，動直線過定點，直線可化為，令，可得，又，所以兩動直線互相垂直，且交點為P，所以，因為，所以，當且僅當時取等號．【點睛】根據(jù)直線方程求定點，判斷直線垂直，將問題轉化為基本不等式是本題的難點和突破點.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17題10分，其余每題12分．17.在中，已知，，.（1）求邊所在的直線方程；（2）求面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由直線方程的兩點式可得；（2）先求直線方程，再求到的距離，最后用面積公式計算即可.【詳解】（1），，邊所在的直線方程為，即；（2）設到距離為，則，，方程為：即：..18.如圖，在三棱錐V－ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△VAC，△ABC都是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝VC，M，N分別為VA，VB的中點．（1）求證：AB//平面CMN；（2）求證：AB⊥平面VBC．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由中位線證明線線平行，進而證明線面平行；（2）由面面垂直得到線面垂直，結合等腰三角形得到垂直關系，證明出AB⊥平面VBC【小問1詳解】∵M，N分別為VA，VB的中點，∴MN//AB，∵平面CMN，MN平面CMN，∴AB//平面CMN．【小問2詳解】∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV＝2，M，N分別為VA，VB的中點．∴AB⊥BC，VC⊥AC，∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，∴VC⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴AB⊥VC．∵BC∩VC＝C，∴AB⊥平面VBC．19.已知的頂點A（3，1），邊AB上的高CE所在直線的方程為x+3y5=0，AC邊上中線BD所在的直線方程為x+y5=0（1）求直線AB的方程；（2）求點C的坐標．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）求出直線AB的斜率為，再利用點斜式即可求解.（2）設，由題意可知為AC中點可得，代入直線CE所在直線，再由，聯(lián)立方程即可求解.【詳解】（1）∵CE⊥AB，且直線CE的斜率為，∴直線AB的斜率為，∴直線AB的方程為，即；（2）設，由為AC中點可得，∴，解得，代入，∴．20.如圖，三棱柱中，底面為正三角形，平面且，，分別是，的中點．（1）求證：平面平面；（2）在側棱上是否存在一點，使得三棱錐的體積是，若存在，求長；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存，．【解析】【分析】（1）依題意可得，即可得到平面，再證明平面，從而得證；（2）由，根據(jù)錐體的體積公式求出，即可得解.【小問1詳解】∵，分別是，的中點，且，所以為平行四邊形，，而平面，平面，平面，連接，則且，又且，所以且，則為平行四邊形，所以，平面，平面，平面，而，且，平面，∴平面平面；【小問2詳解】在三棱柱中，底面為正三角形，平面，所以三棱柱為正三棱柱，平面，∵底面為邊長為的正三角形，是的中點，,，，解得，即，∴在側棱上是存在一點即，使得三棱錐的體積是．21.如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，點E在底面圓周上，，F(xiàn)為垂足．（1）求證：．（2）當直線DE與平面ABE所成角的正切值為2時，求點B到平面CDE的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明，可得，進而證明，根據(jù)線面垂直的性質定理可證明結論.（2）由為直線DE與平面ABE所成角，求得，設B到平面CDE的距離為h，則有，由等體積法可求h.【小問1詳解】∵AB為圓的直徑，，又平面AEB，平面AEB，，又，平面ADE，平面ADE，而平面AEB，，又，且，平面BDE，平面BDE，又平面BDE，；【小問2詳解】由題意可知，平面ABE，為直線DE與平面ABE所成角，，，設B到平面CDE的距離為h，則有，因為，，，由余弦定理得，則，故，由點向直線作垂線，垂足為，平面AEB，平面AEB，所以，平面，所以平面，且，，解得，∴B到平面CDE的距離為．22.已知直線l：，（）.（1）若直