2023年中考數(shù)學考前第2講：新定義理解問題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學考前沖刺第2講：新定義理解問題

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

新定義問題：是指題目提供一定的材料,或介紹一個新概念,或給

出一種解法等,在理解材料的基礎上,獲得探索解決問題的方法,從而

加以運用，解決問題.這類問題一般由“閱讀材料”和“提出問題”

兩個部分組成.解決此類題的步驟：①理解“新定義”一一明確“新

定義”的條件、原理、方法、步驟和結論；②重視“舉例”，利用“舉

例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的解題

方法.歸納“舉例”提供的分類情況；③類比新定義中的概念、原理、

方法,解決題中需要解決的問題。

解決此類題的關鍵是（1）深刻理解“新定義”一一明確“新定

義”的條件、原理、方法、步驟和結論；（2）重視“舉例”，利用“舉

例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的做

題方法；歸納“舉例”提供的分類情況；（3）依據(jù)新定義，運用類比、

歸納、聯(lián)想、分類討論以及數(shù)形結合的數(shù)學思想方法解決題目中需要

解決的問題。

類型L方法模擬型，該類題目是指通過閱讀所給材料，將得到

的信息通過觀察、分析、歸納、類比，作出合理的推斷，大膽的猜測,

從中獲取新的思想、方法或解題途徑，進而運用歸納與類比的方法來

解答題目中所提出的問題.

類型2：新知識學習型，這類題目就是由閱讀材料給出一個新的

定義、運算等，涉及的知識可能是以后要學到的數(shù)學知識，也有可能

是其他學科的相關內(nèi)容，然后利用所提供的新知識解決所給問題.解

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答這類問題的關鍵是要讀懂題目提供的新知識，理解其本質(zhì)，把它與

已學的知識聯(lián)系起來，把新的問題轉化為已學的知識進行解決.

類型3：信息處理型，這類題目主要是根據(jù)提供的表格，從中獲

得信息，并結合題意進行解答，這就需要我們將表格內(nèi)容轉化為數(shù)學

信息或者已知條件。

類型4：閱讀操作型，這類題目就是由閱讀材料給出一個新的定

義、運算等，涉及的知識可能是以后要學到的數(shù)學知識，也有可能是

其他學科的相關內(nèi)容，然后利用所提供的新知識解決所給問題.解答

這類問題的關鍵是要讀懂題目提供的新知識，理解其本質(zhì)，把它與已

學的知識聯(lián)系起來，把新的問題轉化為己學的知識進行解決.

一、選擇題：

1.定義：點A(x,y)為平面直角坐標系內(nèi)的點，若滿足x=y,則把

點A叫做“平衡點”.例如：M(l,1),N(—2,—2)都是“平衡點”.當

-l≤x≤3?,直線y=2x+m上有“平衡點”，則m的取值范圍是

()

A.O≤m≤lB.-3≤m≤lC.-3≤m≤3D.-l≤m≤0

2.已知點A在函數(shù)yι=-1(x>0)的圖象上，點B在直線y2=kx+l+k

X

(k為常數(shù)，且k20)上.若A,B兩點關于原點對稱，則稱點A,B

為函數(shù)y”y2圖象上的一對“友好點”.請問這兩個函數(shù)圖象上的

“友好點”對數(shù)的情況為()

A.有1對或2對B.只有1對C.只有2對D.有2對或3對

二、填空題：

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3.經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩

個小三角形，如果其中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三

角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”.如

圖23-4,線段切是△/a'的"和諧分割線”，△力如為等腰三角形,

△血?和相似，Z/4=46°，則N∕β?的度數(shù)為.

三、解答題：

4.設a,b是任意兩個實數(shù)，規(guī)定a與b之間的一種運算“十”為：

-(a>0),

a十b='a

a-b(a≤0).

例如:1Φ(—3)=—?-=—3,(—3)十2=(—3)—2=—5,(x2+1)Φ(x

-1)=受(因為χ2+l>0)?

X2+1

參照上面材料，解答下列問題：

(1)2十4=,(-2)Φ4=；

(2)若x>上且滿足(2x—1)十(4χ2-1)=(―4)十(1—4x),求X的

2

值.

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2023年中考數(shù)學考前沖刺第2講：新定義理解問題答案解析

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

新定義問題：是指題目提供一定的材料,或介紹一個新概念,或給

出一種解法等,在理解材料的基礎上,獲得探索解決問題的方法,從而

加以運用，解決問題.這類問題一般由“閱讀材料”和“提出問題”

兩個部分組成.解決此類題的步驟：①理解“新定義”一一明確“新

定義”的條件、原理、方法、步驟和結論；②重視“舉例”，利用“舉

例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的解題

方法.歸納“舉例”提供的分類情況；③類比新定義中的概念、原理、

方法,解決題中需要解決的問題。

解決此類題的關鍵是（1）深刻理解“新定義”一一明確“新定

義”的條件、原理、方法、步驟和結論；（2）重視“舉例”，利用“舉

例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的做

題方法；歸納“舉例”提供的分類情況；（3）依據(jù)新定義，運用類比、

歸納、聯(lián)想、分類討論以及數(shù)形結合的數(shù)學思想方法解決題目中需要

解決的問題。

類型L方法模擬型，該類題目是指通過閱讀所給材料，將得到

的信息通過觀察、分析、歸納、類比，作出合理的推斷，大膽的猜測,

從中獲取新的思想、方法或解題途徑，進而運用歸納與類比的方法來

解答題目中所提出的問題.

類型2：新知識學習型，這類題目就是由閱讀材料給出一個新的

定義、運算等，涉及的知識可能是以后要學到的數(shù)學知識，也有可能

是其他學科的相關內(nèi)容，然后利用所提供的新知識解決所給問題.解

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答這類問題的關鍵是要讀懂題目提供的新知識，理解其本質(zhì)，把它與

已學的知識聯(lián)系起來，把新的問題轉化為已學的知識進行解決.

類型3：信息處理型，這類題目主要是根據(jù)提供的表格，從中獲

得信息，并結合題意進行解答，這就需要我們將表格內(nèi)容轉化為數(shù)學

信息或者已知條件。

類型4：閱讀操作型，這類題目就是由閱讀材料給出一個新的定

義、運算等，涉及的知識可能是以后要學到的數(shù)學知識，也有可能是

其他學科的相關內(nèi)容，然后利用所提供的新知識解決所給問題.解答

這類問題的關鍵是要讀懂題目提供的新知識，理解其本質(zhì)，把它與已

學的知識聯(lián)系起來，把新的問題轉化為己學的知識進行解決.

一、選擇題：

1.定義：點A(x,y)為平面直角坐標系內(nèi)的點，若滿足x=y,則把

點A叫做“平衡點”.例如：M(l,1),N(—2,—2)都是“平衡點”.當

-l≤x≤3?,直線y=2x+m上有“平衡點”，則m的取值范圍是

(B)

A.O≤m≤lB.-3≤m≤lC.-3≤m≤3D.-l≤m≤0

【解析】?.?χ=y,.?.x=2x+m,即x=—m.

?.?—1≤x≤3,—1≤—m≤3,一3≤m≤1.

2.已知點A在函數(shù)y∣=-』(x>0)的圖象上，點B在直線y2=kx+l+k

X

(k為常數(shù)，且k20)上.若A,B兩點關于原點對稱，則稱點A,B

為函數(shù)y∣,y2圖象上的一對“友好點”.請問這兩個函數(shù)圖象上的

“友好點”對數(shù)的情況為()

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A.有1對或2對B.只有1對C.只有2對D.有2對或3對

【分析】根據(jù)“友好點”的定義知，函數(shù)y∣圖象上點A(a,-1)

a

關于原點的對稱點B(a,-L)一定位于直線力上，即方程ka2-(k+l)

a

a+l=O有解，整理方程得(a-1)(ka-1)=0,據(jù)此可得答案.

【解答】解：設A(a,-?),

U

由題意知，點A關于原點的對稱點B((a,-L),)在直線y2=kx+l+k

a

上，

則L=-ak+1+k,

a

整理，得：ka--(k+l)a+l=0①，

即(a-1)(ka-1)=0,

.*.a-1=0或ka-1=0,

則a=l或ka-1=0,

若k=0,則a=l,此時方程①只有1個實數(shù)根，即兩個函數(shù)圖象上的

“友好點”只有1對；

若kW0,則a=),此時方程①有2個實數(shù)根，即兩個函數(shù)圖象上的

“友好點”有2對，

綜上，這兩個函數(shù)圖象上的“友好點”對數(shù)情況為1對或2對，

故選：A.

二、填空題：

3.經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩

個小三角形，如果其中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三

角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”.如

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圖23-4,線段切是△/a'的"和諧分割線”，4/0為等腰三角形,

△物和相似，Z∕l=46o,則/力巾的度數(shù)為.

【解析】,C∕?CBD和△4比相似，

ΛZBCD=ZA=46°.

設∕ACB=x,貝!jN4a?=x—46。.

是等腰三角形，又/ADO/BCD,：.∕ADC>/A,即/分必

φ?AC=AD,貝!jN∕gN4T=χ-46°,

V460+x—46°+χ-46°=180°,

.?.x=113°.

②若AD=CD,則N4g∕4

即46°=x—46°,

.?.x=92°.

綜上所述，N4"的度數(shù)為113°或92°.

三、解答題：

4.設a,b是任意兩個實數(shù)，規(guī)定a與b之間的一種運算“十”為：

-(a>0),

a十b='a

a一b(a≤0).

例如：1十(—3)=——=—3,(-3)?2=(—3)—2=-5,(x2+l)?(x

-1)=口(因為χ2+l>0)?

X+1

參照上面