第六章《平面向量及其應(yīng)用》同步單元必刷卷（培優(yōu)版）（全解全析）

第六章《平面向量及其應(yīng)用》同步單元必刷卷（培優(yōu)版）解析版1．B【分析】根據(jù)圖形及正三角形的集合性質(zhì)可得.【詳解】解：如圖：因?yàn)槭钦闹行?，所以為外接圓的半徑，所以向量，，是模相等的向量，但方向不同.故選：B.2．A【分析】先考慮充分性，再考慮必要性得解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的非必要條件.所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A3．B【分析】求出向量，根據(jù)題意與和與的夾角相等列出等式，化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】由題意，得，由于與和與的夾角相等，故，即，即，故選：B.4．B【分析】利用向量的加減法及其幾何意義求解【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，所以的大小為，故選：B5．A【分析】先由題意，得到為銳角，由正弦定理求得，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，所以為銳角，由正弦定理可得：，又，所，因此，因?yàn)闉殇J角，所以.故選：A.6．B【分析】利用正弦定理和三角恒等變換可得，再利用余弦定理即可求得的值.【詳解】根據(jù)正弦定理，由得，又因?yàn)?，可得，即得，，所以，由余弦定理可知，，?故選：B7．A【分析】先由切化弦化簡(jiǎn)得，再由和角公式及誘導(dǎo)公式求得，結(jié)合正弦定理得，再由輔助角公式求得最大值即可.【詳解】由可得，兩邊同乘得，兩邊同加得，即，又，則，設(shè)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，由正弦定理得其中，不妨設(shè)，易得當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)周長(zhǎng)最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于化簡(jiǎn)得到后，兩邊同加結(jié)合和角公式得，進(jìn)而結(jié)合正弦定理得到，借助輔助角公式求得最值.8．B【分析】根據(jù)已知條件可以判斷是直角三角形，且隨著的變化三條邊的長(zhǎng)度也會(huì)隨著發(fā)生改變，因此先根據(jù)余弦定理和正弦定理確定與邊的變化關(guān)系，再構(gòu)造一個(gè)關(guān)于邊的三角形，根據(jù)與邊的關(guān)系在新構(gòu)造的三角形中解出的表達(dá)式，找出最大值.【詳解】由可知，是，的直角三角形，如圖所示：設(shè)，，，則由余弦定理得，即由正弦定理得，所以.連接，在中，由余弦定理，得當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度取得最大值，為故選:B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：可變動(dòng)圖形與某一變量的變化關(guān)系引出的求邊求角類問(wèn)題（以本題為例）：①確定變動(dòng)圖形的變化規(guī)律：如上題的變化是角度不變，邊長(zhǎng)可等比例變化②確定圖形變化與某個(gè)變量的聯(lián)系：變化發(fā)生變化整體變化③找到有直接聯(lián)系的兩個(gè)變量的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后推廣到整體變化上：此處最為困難，需要學(xué)生根據(jù)已知條件活用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí).9．ABCD【分析】對(duì)于A，根據(jù)向量的概念判斷，對(duì)于BCD，舉例判斷.【詳解】因?yàn)槭羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以向量不能比較大小，故A錯(cuò)誤；由于零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若為零向量，則與可能不是共線向量，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，故D錯(cuò)誤．故選：ABCD10．BCD【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可判斷ABC選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，、、分別為、、的中點(diǎn)，所以，，同理可得，，所以，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，由重心的性質(zhì)可知，，，由A選項(xiàng)可知，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由重心的性質(zhì)可知，，，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，同理可得，，因此，，D對(duì).故選：BCD.11．ACD【分析】利用向量共線定理推論可判斷A，利用向量的線性運(yùn)算幾何表示可判斷B，利用向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可判斷C，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)镻在在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD（含邊）內(nèi)，且，所以，則，故B錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，，所以，故C正確；若P，Q在線段BD上，且，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，∴∴當(dāng)時(shí)，有最小值為1，故D正確.故選：ACD.12．ACD【分析】設(shè)，求出比例即可判斷A選項(xiàng)；由余弦定理得，結(jié)合向量數(shù)量積即可判斷B選項(xiàng)；由向量的線性運(yùn)算得即可判斷C選項(xiàng)；取中點(diǎn)，由求出最小值即可判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，三式聯(lián)立解得，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，則，即，即，則，，C正確；對(duì)于D，若，則，取中點(diǎn)，連接，則，顯然當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，則，則的最小值為，D正確.故選：ACD.13．4【分析】利用投影公式以及向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】由題知，，，所以，解得：.故答案為：4.14．（4，3）【分析】設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)列方程組解決.【詳解】設(shè)，又A、B的坐標(biāo)分別為（－2，5），（1，4），所以點(diǎn).故答案為：（4，3）15．【分析】根據(jù)，可知B和互余，C和互余，于是根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可得到，再根據(jù)可求出，從而求出和A.根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可將要求的式子化簡(jiǎn)為，根據(jù)A的大小即可求解．【詳解】∵A是最大內(nèi)角，∴均為銳角，∵，，∴，，∴，∴，即，∵是三角形內(nèi)角，∴，∴，∴．在△ABC中，由余弦定理得，，故，∴．故答案為：．16．【分析】結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算求得的關(guān)系式，設(shè)代入上述關(guān)系式，結(jié)合一元二次方程根的分布求得，也即的取值范圍.【詳解】設(shè)，為正數(shù)，依題意：中，為邊上的中線，，，兩邊平方得，，①，設(shè)，代入①得，整理得②，此方程至少有個(gè)正根，首先，解得③，在三角形中，由余弦定理得恒成立，即恒成立，整理得恒成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，結(jié)合③可得.對(duì)于方程②：若對(duì)稱軸，方程②變?yōu)椋项}意.若對(duì)稱軸，則方程②至少有一個(gè)正根，符合題意，若對(duì)稱軸，要使方程②至少有一個(gè)正根，則需，解得.綜上所述，也即的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】有關(guān)三角形中線長(zhǎng)度問(wèn)題的求解，可考慮利用向量運(yùn)算來(lái)建立關(guān)系式.有關(guān)三角形邊長(zhǎng)的和、差的取值范圍，可考慮余弦定理（或正弦定理），結(jié)合基本不等式（或三角函數(shù)的取值范圍）等知識(shí)來(lái)求解.17．(1)作圖見(jiàn)解析(2)作圖見(jiàn)解析(3)，，【分析】（1）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則即可作出；（2）先將共線向量計(jì)算出結(jié)果再作出；（3）根據(jù)利用勾股定理即可計(jì)算出各向量的模長(zhǎng).【詳解】（1）將的起點(diǎn)同時(shí)平移到A點(diǎn)，利用平行四邊形法則作出，如下圖所示：（2）先將共線向量的起點(diǎn)同時(shí)平移到B點(diǎn),計(jì)算出,再將向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出，如下圖所示：（3）由是單位向量可知，根據(jù)作出的向量利用勾股定理可知，；由共線向量的加法運(yùn)算可知；利用圖示的向量和勾股定理可知，.18．(1)(2)3.【分析】（1）向量的線性表示，利用三角形法則及題所給條件即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化用，表示，根據(jù)三點(diǎn)共線找出等量關(guān)系；【詳解】（1）在中，由,又，所以，所以（2）因?yàn)?，又，所以，，所以，又三點(diǎn)共線，且在線外，所以有：，即.19．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換可得，然后根據(jù)正弦定理及余弦定理結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)三角形面積公式可得，然后根據(jù)余弦定理及基本不等式即得.【詳解】（1）由，可得所以整理得：，由正弦定理得：，∴，∵A為內(nèi)角，∴；（2）由，得，所以，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，符號(hào)成立，∴，又，∴，即a的最小值為．20．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)是三角形的重心，結(jié)合三角形重心的向量表示以及數(shù)量級(jí)運(yùn)算，即可求得結(jié)果；（2）設(shè)，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合題意，求得與的關(guān)系，再求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求該函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）設(shè)，，當(dāng)，是的中點(diǎn)時(shí)，則是△的重心，,.（2）設(shè)，則，，由，得：.∴，因?yàn)?，，所以，，令，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，所以的最大值是又，在上單調(diào)遞減，所以.故的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是充分掌握三角形重心的向量表示，以及根據(jù)題意，建立參數(shù)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求函數(shù)的最值，屬綜合困難題.21．(1)(2)【分析】（1）先由題給條件求得，進(jìn)而求得；（2）先利用正弦定理和題給條件求得和，再構(gòu)造函數(shù)，求得此函數(shù)值域即為的取值范圍【詳解】（1）由，可得，則整理得，解之得或又，則，則，則（2）A，B為的內(nèi)角，則則由，可得，則均為銳角又，則，則，則則令，則又在單調(diào)遞增，，可得，則的取值范圍為，則的取值范圍為22．(1)AB為3米OB為2米(2)當(dāng)視角∠MSN取最大值時(shí),cosθ=.【詳解】(1)如圖,作SC⊥OB于C,依題意∠CSB=30°,∠ASB=60°.又SA=,故在Rt△SAB中,可求得AB==3,即攝影愛(ài)好者到立柱的水平距離AB為3米.在Rt△SCO中,SC=3,∠CSO=30°,OC=SC·tan30°=,又BC=SA=,故OB=2,即立柱的高度OB為