第三講 數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用（原卷版）

第3講數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用我國著名數(shù)學家華羅庚曾針對數(shù)形結(jié)合思想作了一首著名的詩：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一種對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，達到“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題形象化。在三角函數(shù)的學習過程中，如三角函數(shù)的定義域，值域，周期性，奇偶性，單調(diào)性，對稱性等都可以從三角函數(shù)的圖象上直觀的顯現(xiàn)出來，而利用三角函數(shù)的圖象又非常容易理解三角函數(shù)的這些性質(zhì)。因此，明確研究三角函數(shù)問題都可用代數(shù)和幾何相結(jié)合的思想方法，即數(shù)形結(jié)合思想，來拓寬思維空間，提高解決問題的能力。例如數(shù)形結(jié)合思想在含絕對值的三角函數(shù)、在三角函數(shù)已知零點或極值點求ω及在三角函數(shù)求交點個數(shù)（解的個數(shù)、交點橫坐標之和）、方程的根及零點個數(shù)（零點之和）中都有廣泛的重要應(yīng)用，而本文會重點就數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的幾類應(yīng)用展開詳細講解?！緫?yīng)用一】數(shù)形結(jié)合思想在含絕對值的三角函數(shù)中的應(yīng)用我們在學習三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，經(jīng)常會遇到給定（）的函數(shù)解析式，求周期、最值、單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心及判斷奇偶性，此時我們可以直接利用公式或整體思想計算而得。但有時也會遇到這樣一類題，給定的三角函數(shù)解析式中含有絕對值，例如：、、、等，此時仍然考查周期、最值、單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心及判斷奇偶性，那么我們該如何求解呢？面對這類題，如果我們能把對應(yīng)三角函數(shù)的圖象畫出來，借助數(shù)形結(jié)合思想則可求解上述問題，例如下面這道例題：【例1】（2023春·山東·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)圖像關(guān)于對稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．若，則D．函數(shù)的最小值為通過觀察及上述方法介紹的學習，本題用數(shù)形結(jié)合思想來求解，那么我們應(yīng)該怎么去化簡函數(shù)和畫出圖象呢？首先先分類討論去絕對值，當時，即，當時，即，即可繪出函數(shù)圖像，如下所示：結(jié)合圖象即可得到答案【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對于給定、、、等函數(shù)解析式,可以先去掉絕對值，再畫出圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合思想來求解相關(guān)問題，可通過學習這一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究稍復雜型帶絕對值的同類題型求解。【變式1.1】（2022·湖南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，現(xiàn)有下述四個結(jié)論：①的最小正周期為；②曲線關(guān)于直線對稱；③在上單調(diào)遞增；④方程在上有4個不同的實根.其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②④【變式1.2】（2022·安徽·高三模擬）（多選）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．的增區(qū)間為，B．的對稱軸為，C．，使得對恒成立D．，若，則，【變式1.3】（2023春·安徽合肥·高一合肥市第八中學校考期中）（多選）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的最正周期為B．若，則C．在區(qū)間上是增函數(shù)D．的對稱軸是【應(yīng)用二】數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)已知零點或極值點求ω的應(yīng)用我們在學習三角函數(shù)圖象與性質(zhì)及三角恒等變換綜合時，會遇到這樣一類題，給出對應(yīng)的三角函數(shù)的解析式，已知單調(diào)性、奇偶性或?qū)ΨQ性求ω的范圍，我們可以借助整體思想求解即可。但有時也會遇到這樣一類題，給定三角函數(shù)在確定區(qū)間內(nèi)有幾個零點或幾個極值點求ω的范圍，那么此時我們應(yīng)該如何求解呢？考慮到題干當中已經(jīng)給出了確定的零點或極值點個數(shù)，如果我們能畫出圖象，并且能夠直觀的從圖象中讀出零點或極值點個數(shù)，從而確定區(qū)間范圍，再而可確定參數(shù)ω的范圍，則所求問題可求解，那么問題關(guān)鍵是我們能不能作出圖象？又該怎樣作出圖象呢？我們還是可以結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)借助五點作圖法來作圖，不妨先看下面這道例題：【例2】（2022秋·山西運城·高三校考）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有4個零點和1個極大值點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．觀察本題，角度是統(tǒng)一的，但函數(shù)名及次數(shù)不統(tǒng)一，我們可以先用輔助角公式把函數(shù)名統(tǒng)一，即，此時我們可以換元作圖，令，由，則，則，，作圖如下：有4個零點和1個極大值點，即右端點即可求解【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，在三角函數(shù)已知零點或極值點求ω,往往可以數(shù)形結(jié)合思想來作圖求解，如較復雜型函數(shù)則可通過誘導公式或三角恒等變換公式,將其轉(zhuǎn)化為形如（）等形式，進而結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可求解，可通過學習這一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究三角函數(shù)中已知的其他綜合條件來求ω的綜合問題。【變式2.1】（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個極值點和三個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間恰有3個零點，4個極值點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2.3】（2022·江蘇高三校考階段練習）已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【應(yīng)用三】數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)求交點個數(shù)（解的個數(shù)、交點橫坐標之和）、方程的根及零點個數(shù)（零點之和）中的應(yīng)用我們在學習函數(shù)的應(yīng)用時學習到函數(shù)零點的定義和函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用，我們知道求函數(shù)的零點可以等價轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的根或圖象交點的橫坐標。而在學習三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，我們?nèi)匀粫龅揭阎P(guān)于三角函數(shù)的解析式求交點個數(shù)（解的個數(shù)、交點橫坐標之和）、方程的根及零點個數(shù)（零點之和）的系列問題。在學習函數(shù)應(yīng)用時我們也曾作出圖象求解，那么在三角函數(shù)的相關(guān)問題求解中，我們同意可以利用數(shù)形結(jié)合思想求解，例如下面3道例題：【例3.1】（2023春·高三練習）方程的解的個數(shù)是A．0個 B．1個 C．2個 D．3個本題不難，分別作出和的圖象，觀察圖象，即可得到交點個數(shù)【例3.2】（2023秋·福建龍巖·高三統(tǒng)考）函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為（

）A．6 B．8 C．12 D．16觀察本題，的系數(shù)里有，不能直接作出的圖象，那么我們該怎樣把問題等價轉(zhuǎn)換呢？結(jié)合函數(shù)零點的定義，我們可以轉(zhuǎn)換成對應(yīng)方程的根或?qū)?yīng)兩個圖象的交點，我們不妨先把函數(shù)化簡，，令，即，于是我們可以轉(zhuǎn)換成兩圖象交點問題，可以發(fā)現(xiàn)與均關(guān)于點對稱，作圖如下：結(jié)合圖象即可求得零點之和即交點橫坐標之和【例3.3】（2022·北京·高三專題練習）若方程有兩個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．觀察本題，角度是統(tǒng)一的，但函數(shù)名及次數(shù)不統(tǒng)一，我們可以先用輔助角公式把函數(shù)名統(tǒng)一，即，此時我們可以換元作圖，原方程可等價于，于是我們可以畫出，如圖：結(jié)合圖象即可求得即的取值范圍【例3.4】（2023·高三練習）函數(shù)和的圖象在區(qū)間上交點的橫坐標之和為（

）A．6 B．4 C．8 D．12通過計算和類比思想，我們可以發(fā)現(xiàn)故是函數(shù)和的對稱中心，則本題直接可以作出與的圖象，如圖所示：結(jié)合圖象和對稱性即可求得交點橫坐標之和【思維提升】通過兩題我們不難發(fā)現(xiàn)，對于在三角函數(shù)求交點個數(shù)（解的個數(shù)、交點橫坐標之和）、方程的根及零點個數(shù)（零點之和）中的問題中，我們都可以用數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合具體函數(shù)作出圖象。從而可直觀求解出對應(yīng)問題，未來我們也可以用同樣的方法來研究較為復雜型的三角函數(shù)的性質(zhì)及零點、交點、方程的根的綜合問題。【變式3.1】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學?？计谀┰O(shè)常數(shù)使方程在區(qū)間上恰有五個解，則（

）A． B． C． D．【變式3.2】（2022·全國·高三專題練習）設(shè)，關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3.3】（2022春·江西贛州·高一贛州市贛縣第三中學?？茧A段練習）若方程在內(nèi)有解，則a的取值范圍是.【變式3.4】（2022秋·江蘇·高三專題練習）已知函數(shù)，有三個不同的零點、、，且，則的值為（

）A． B．C． D．不能確定【變式3.5】（2022春·河南安陽·高一林州一中?？茧A段練習）函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3.6】（2020秋·浙江溫州·高一溫州中學?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點，，，，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【變式3.7】（2022秋·四川廣安·高三四川省岳池縣第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，，若方程有三個不同的實數(shù)根，且三個根從小到大依次成等比數(shù)列，則實數(shù)的值可能是（

）A． B． C． D．【變式3.8】（2022秋·浙江杭州·高一杭州外國語學校?？计谥校┮阎P(guān)于的方程在區(qū)間上存在兩個根，則實數(shù)的取值范圍是.【變式3.9】（2023·福建·高三福建高三?？迹┖瘮?shù)，，滿足，若，在有兩個實根，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3.10】（2022·貴州貴陽·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)，若直線與的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．（-2，2） B．（-1，2） C．（1，2） D．（0，2）【變式3.11】（2022·廣東中山·高三?？茧A段練習）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象所有交點的橫坐標之和為（

）A． B． C． D．【變式3.12】（2022春·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習）函數(shù)與的圖像有個交點，其坐標依次為，，，，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16鞏固練習一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．2．（2022春·山西晉中·高一校考階段練習）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在上是減函數(shù)；③在上有三個零點；④的最小值是0.其中所有正確結(jié)論編號是（

）A．①②④ B．②③ C．①③ D．①④3．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是①函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為；②函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增；③函數(shù)圖象的一個對稱中心為點；④函數(shù)的值域為.A．①② B．③④ C．①③ D．②④4．（2022秋·福建·高三校考階段練習）函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·高三模擬）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是（

）A．98 B．100 C．102 D．2006．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)的零點為x軸上的所有整數(shù)，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．117．（2023·四川綿陽·三臺中學?？家荒＃┮阎瘮?shù)的最小正周期為，若在上有兩個實