新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章計數(shù)原理6.2排列與組合6.2.2排列數(shù)第1課時排列數(shù)公式教師用書新人教A版選擇性必修第三冊

6.2.2排列數(shù)第1課時排列數(shù)公式學(xué)習任務(wù)1．能用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式．(數(shù)學(xué)抽象)2．能運用排列數(shù)公式熟練地進行相關(guān)計算．(數(shù)學(xué)運算)2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，1921年中國共產(chǎn)黨的誕生掀開了中國歷史的新篇章，百年來，黨帶領(lǐng)全國人民譜寫了中華民族自強不息、頑強奮進的壯麗史詩．有30位老革命家參觀完一大會址后，要在一大會址旁站成一排照相，那么這30位老革命家的排列順序有多少種？這樣的排列問題能否用一個公式來表示呢？知識點排列數(shù)與排列數(shù)公式排列數(shù)定義及表示從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號An全排列的概念n個不同的元素全部取出的一個排列階乘的概念正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n！表示排列數(shù)公式Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m階乘式Anm＝n！(n-m)！(n，特殊情況Ann＝n！，1?。?，0排列數(shù)公式的特征：(1)乘積是m個連續(xù)正整數(shù)的乘積；(2)最大的因數(shù)是n，最小的因數(shù)是n－m＋1；(3)m，n∈N*，m≤n，當m>n時不成立．排列與排列數(shù)有何區(qū)別？[提示]“排列”是指從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，是一個數(shù)．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)因為排列數(shù)的階乘式是一個分式，所以其化簡的結(jié)果不一定是整數(shù)．()2A52表示從5個不同元素中取出(5 ()(3)若Anm＝10×9×8×7×6，則n＝10，m＝6． ((4)n?。?×2×3×…×(n－1)×n． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)排列數(shù)是從若干個元素中取出若干個元素的排列的個數(shù)，所以排列數(shù)一定是整數(shù)．2A52表示從5(3)在Anm中，m表示連乘因數(shù)的個數(shù)，所以n＝10，m＝(4)n！＝1×2×3×…×(n－1)×n．故正確．2．2022×2021×2020×…×2000＝()A．A2022C．A202223C[因為2022－2000＋1＝23，所以2022×2021×2020×…×2000＝A2022233．A54＝________．(120[A54．甲、乙、丙三名同學(xué)排成一排，不同的排列方法有________種．6[由排列定義得，共有A33＝6類型1排列數(shù)的計算【例1】(源自北師大版教材)計算下列排列數(shù)：1A153；2A50[解]1A153＝15×14×132A503＝50×49×483A55＝54A66排列數(shù)的計算方法(1)常用公式：排列數(shù)的乘積公式；(2)乘積公式的逆用：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個數(shù)是選取元素的個數(shù)；(3)應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計算，這樣往往會減少運算量．[跟進訓(xùn)練]1．(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n<55)＝()A．AC．AB[因為55－n，56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(個)，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A69-2．化簡A11+2An+1n+1－1[因為kAkk＝k+1Ak所以原式＝1＋(A33－A22)＋(A4＝An+1n+1＋1－A22＝A類型2與排列數(shù)有關(guān)的求解與證明與排列數(shù)相關(guān)的方程或不等式【例2】(1)解方程3A(2)解不等式：A9[解](1)由3A8x即3×化簡得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13．∵0<x≤8且0<x－1≤9，x∈N*，∴原方程的解為x＝6．(2)原不等式可化為9！9-即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13．又易得2<x≤9，x∈N*，∴2<x<8，x∈N*．故x＝3，4，5，6，7．∴不等式的解集為{3，4，5，6，7}．利用排列數(shù)公式化簡與證明【例3】求證：An+1m－[證明]∵An+1m＝n+1＝n＝n＝m·n！∴An+1m－排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用時注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡化計算．[跟進訓(xùn)練]3．不等式A8x<6{8}[由題意可得，原不等式可化為8！8-x！<6×8！10-x！，化簡得1<610-x9解得2＜x≤8，又x∈N＋，所以x＝8．]4．求證：2n！2n·n?。?·3·5[證明]2n！2＝2＝n！·1·3·…·2n-3·2n-故原等式成立．類型3排列數(shù)公式的簡單應(yīng)用【例4】某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？[解]分3類：第1類，用1面旗表示的信號有A3第2類，用2面旗表示的信號有A3第3類，用3面旗表示的信號有A3由分類加法計數(shù)原理，所求的信號種數(shù)是A31＋A32＋A33＝3＋3×2＋3×即一共可以表示15種不同的信號．(1)對于簡單的排列問題可直接代入排列數(shù)公式，也可以用樹狀圖法．(2)對于情況較多的情形，則先進行分類，利用排列數(shù)計算，再借助加法(乘法)計數(shù)原理求解．[跟進訓(xùn)練]5．從班委會的5名成員中選出3名分別擔任班級學(xué)習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．36[分兩步：先排文娛委員有3種選法，再從剩余的4人中選兩人安排學(xué)習委員、體育委員有A42＝12(種由分步乘法計數(shù)原理知，共有3×12＝36(種)選法．]1．4×5×6×…×(n－1)×n＝()A．An4 BC．n?。?！ D．AD[4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3(個)因式，最大數(shù)為n，最小數(shù)為4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝Ann2．A76-AA．12B．24C．30D．36D[因為A76＝7×63．若A2n3＝10AnA．6 B．7C．8 D．9C[因為A2n3＝10An3，所以n≥所以有2n·(2n－1)·(2n－2)＝10n·(n－1)·(n－2)，即2(2n－1)＝5(n－2)，解得n＝8．故選C．]4．某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間互相給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言．(用數(shù)字作答)1560[根據(jù)題意，得A402＝1560，故全班共寫了1560回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．你能寫出排列數(shù)公式嗎？[提示]Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋Anm＝n！n-m！(m，n2．排列與排列數(shù)是一回事嗎？[提示]不是一回事．一個排列是完成一件事的一種方法，排列數(shù)是指所有排列的個數(shù)．3．怎樣靈活選擇兩個排列數(shù)公式？[提示]Anm＝n(n－1)…(n－m＋1)適用于An課時分層作業(yè)(四)排列數(shù)公式一、選擇題1．已知An+12－An2＝10，則nA．4 B．5C．6 D．7B[因為An+12－An2＝10，所以(n＋1)n－n(n－1)＝10，整理得2n＝10，即n2．已知a∈N*，且a<20，則(27－a)·(28－a)·(29－a)·…·(34－a)用排列數(shù)表示為()A．A27-aC．A34-aD[由已知34－a最大，且共有34－a－(27－a)＋1＝8個數(shù)的積，所以表示為A34-a83．有4名司機、4名售票員要分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有1名司機和1名售票員，則可能的分配方法有()A．A88種C．A44AC[司機、售票員各有A44種分配方法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有A4．某班級從A，B，C，D，E，F(xiàn)六名學(xué)生中選四人參加4×100m接力比賽，其中第一棒只能在A，B中選一人，第四棒只能在A，C中選一人，則不同的選派方法共有()A．24種 B．36種C．48種 D．72種B[若第一棒選A，則有A42種選派方法；若第一棒選B，則有2A42種選派方法．由分類加法計數(shù)原理知，共有A45．(多選)下列等式成立的是()A．An3B．1nAC．nAnD．nn-ACD[A中，右邊＝(n－2)(n－1)n＝AnC中，左邊＝n(n－1)(n－2)×…×2＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝AnD中，左邊＝nn-mB中，左邊＝1n·(n＋1)·n·(n－1)·…·2＝n+1·An-1n-1，右邊＝(n＋1)·二、填空題6．滿足不等式An7An5>1210[由排列數(shù)公式得n！n-5！n！n-7！>12，所以(n－5)(n－6)>12，即n2－11n＋18>0，解得n>9或n<2，又n≥7，所以n>97．化簡An-11[An-1m-1·An-mn-mAn-1n-1＝8．某搶紅包群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員先后搶四個不相同的紅包，每人最多搶一個紅包，且紅包全被搶光，則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有________種．72[第一步，甲、乙搶到紅包，不同的情況有A42＝4×3＝12(種)，第二步，其余三人搶剩下的兩個紅包，不同的情況有A32＝3×2＝6(種)，所以甲、乙兩人都搶到紅包的情況有12×6＝72(三、解答題9．求證：A11+2A22+3A[證明]法一：∵A11＝2A112A22＝3A23A33＝4A3…nAnn＝n+1Ann－∴左邊＝(A22－A11)＋(A33－A22)＝An+1n+1＝(n＋1)！－1＝右邊，∴原式成立．法二：∵(n＋1)?。?n＋1)·n?。絥Ann＋Ann＝nAnn+nAn-∴(n＋1)?。瑼11＝∴原式成立．10．若M＝A11＋A22＋A33＋…＋AA．3 B．8C．0 D．5A[∵當n≥5時，Ann＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×∴當n≥5時，Ann又∵A11＋A22＋A33＋A44＝1＋∴M的個位數(shù)字為3．]11．要從a，b，c，d，e5個人中選出1名組長和1名副組長，但a不能當副組長，則不同的選法種數(shù)是()A．20 B．16C．10 D．6B[不考慮限制條件有A52種選法，若a當副組長，有A41種選法，故a不當副組長，有A52－A12．英國數(shù)學(xué)家泰勒(B．Taylor，1685—1731)以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級數(shù)聞名于世，由泰勒公式，我們能得到e＝1＋11！+12！+13！+…+1n！+eθn+1！(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，0<θ<1，n?。絥×(n－1)×(n－2)×…×2×1)，其拉格朗日余項是Rn＝A．5 B．6C．7 D．8B[依題意得，(n＋1)！≥3000，又(5＋1)?。?×5×4×3×2×1＝720，(6＋1)?。?×6×5×4×3×2×1＝5040>3000，所以n的最小值是6．]13．已知正整數(shù)n滿足3An+13＝2An+22+644[由3An+13＝2An+22+6An+12，得3(n＋1)n(n－1)＝2(n＋2)(n＋1)＋6(n＋1)n，整理得3n2－11n－4＝0，由于n∈14．一條鐵路有n個車站，為適應(yīng)客運需要，新增了m個車站，且知m>1，客運車票增加了62種，問原有多少個車站？現(xiàn)在有多少個車站？[解]由題意可知，原有車票的種數(shù)是An2種，現(xiàn)有車票的種數(shù)是所以An+m2－An即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，因為m<2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，所以m解得m＝2，n＝15，故原