湖南省婁底市新化縣第十四中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

湖南省婁底市新化縣第十四中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.從圓:上任意一點(diǎn)向軸作垂線,垂足為,點(diǎn)是線段

的中點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡方程是

A．

B．

C．

D．參考答案：D2.雙曲線3x2﹣y2=3的離心率為（）A．1 B． C． D．2參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】將雙曲線3x2﹣y2=3化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得，從而得出出a、b的值，用平方關(guān)系算出c==2，再用雙曲線的離心率公式，可得離心率e的值．【解答】解：雙曲線3x2﹣y2=3化成標(biāo)準(zhǔn)形式為∴a2=1，b2=3，得c==2由此可得雙曲線的離心率為e==2故選D3.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，過B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線的斜率的取值范圍是（

）． A． B． C． D．參考答案：A解：如圖，軸于點(diǎn)，，，點(diǎn)在軸上，由射影定理得，，，解得，解得，則，即且．故選．4.已知命題p：存在x0∈R，使得x0﹣10＞lgx0；命題q：對(duì)任意x∈R，都有x2＞0，則（）A．p∨q是假命題 B．p∧q是真命題 C．￢q是假命題 D．p∧￢q是真命題參考答案：D【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題的真假；2B：邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”．【分析】命題p：是真命題，例如取x0=100；命題q：是假命題，例如取x=0時(shí)不成立．【解答】解：命題p：存在x0∈R，使得x0﹣10＞lgx0，是真命題，例如取x0=100，則100﹣10=90＞2=lg100；命題q：對(duì)任意x∈R，都有x2＞0，是假命題，例如取x=0時(shí)不成立，因此是假命題．可得：p∧（￢q）是真命題．故選：D．5.已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2是銳角三角形，則該橢圓的離心率e的取值范圍是（）A．（0，﹣1） B．（﹣1，1） C．（0，﹣1） D．（﹣l，1）參考答案：B【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由題設(shè)知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），由△ABF2是銳角三角形，知tan∠AF2F1＜1，所以，由此能求出橢圓的離心率e的取值范圍．【解答】解：∵點(diǎn)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，∴F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），∵△ABF2是銳角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴，整理，得b2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，兩邊同時(shí)除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e＞，或e＜﹣，（舍），∴0＜e＜1，∴橢圓的離心率e的取值范圍是（）．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．6.下列敘述中正確的是（）A．“m=2”是“l(fā)1：2x+（m+1）y+4=0與l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分條件B．“方程Ax2+By2=1表示橢圓”的充要條件是“A≠B”C．命題“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x0∈R，x02≥0”D．命題“a、b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為“a+b不是偶數(shù)，則a、b都是奇數(shù)”參考答案：A【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】A．根據(jù)充分條件的定義進(jìn)行判斷B．根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行判斷．C．根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷．D．根據(jù)逆否命題的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：A．當(dāng)m=2時(shí)，兩直線方程為“l(fā)1：2x+3y+4=0與l2：2+3y﹣2=0”此時(shí)兩直線平行，即“m=2”是“l(fā)1：2x+（m+1）y+4=0與l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分條件正確．B．若A2+By2=1表示橢圓，則A＞0，B＞0，且A≠B，則“方程Ax2+By2=1表示橢圓”的充要條件是“A≠B”錯(cuò)誤．C．命題“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x0∈R，x02＜0”，故C錯(cuò)誤，D．命題“a、b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為“a+b不是偶數(shù)，則a、b不都是偶數(shù)”，故D錯(cuò)誤，故選：A7.在長方體，底面是邊長為的正方形，高為，則點(diǎn)到截面的距離為

(

)

A

B

C

D

參考答案：C略8.當(dāng)x∈[﹣2，﹣1]，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣5，﹣3] B．（﹣∞，﹣] C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣4，﹣3]參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】根據(jù)x的范圍，不等式可整理為a≤﹣﹣，構(gòu)造函數(shù)f（x）=﹣﹣，通過導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值即可．【解答】解：x∈[﹣2，﹣1]，ax3﹣x2+4x+3≥0，∴ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≤﹣﹣，令f（x）=﹣﹣，f'（x）=﹣，當(dāng)﹣2≤x＜﹣1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∴f（x）≥f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2．故選C．9.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知前6項(xiàng)和為36，＝324，最后6項(xiàng)和為180，（n>6），則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的值是（

）A．18

B．20

C．36

D．180參考答案：A略10.已知每項(xiàng)均大于零的數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1=1且前n項(xiàng)的和Sn滿足（n∈N*，且n≥2），則a81=（）A．638 B．639 C．640 D．641參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】等式兩邊同除以，可得}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，從而得到Sn=4n2﹣4n+1，利用n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得結(jié)論．【解答】解：∵，∴=2（n∈N*，且n≥2），∵a1=1，∴=1∴{}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴Sn=4n2﹣4n+1．∴n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（4n2﹣4n+1）﹣[4（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=8n﹣8．∴a81=8×81﹣8=640故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.“”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0互相垂直”的_____________條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）參考答案：充分不必要12.參考答案：略13.（5分）（2015?福州校級(jí)模擬）如圖所示2×2方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1、2、3中的任何一個(gè)，允許重復(fù)．若填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不同的填法共有種（用數(shù)字作答）．A BC D參考答案：27【分析】根據(jù)題意，先分析A、B兩個(gè)方格，由于其大小有序，則可以在l、2、3中的任選2個(gè)，大的放進(jìn)A方格，小的放進(jìn)B方格根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．【解答】解：若A方格填3，則排法有2×32=18種，若A方格填2，則排法有1×32=9種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所以不同的填法有18+9=27種．故答案為：27．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，如何分類是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14.已知有一組數(shù)據(jù)，他們的方差為，平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為

；平均數(shù)為

。

參考答案：略15..現(xiàn)將甲、乙、丙、丁四個(gè)人安排到座位號(hào)分別是1，2，3，4的四個(gè)座位上，他們分別有以下要求：甲：我不坐座位號(hào)為1和2的座位；乙：我不坐座位號(hào)為1和4的座位；丙：我的要求和乙一樣；丁：如果乙不坐座位號(hào)為2的座位，那么我就不坐座位號(hào)為1的座位.那么坐在座位號(hào)為3的座位上的是________.參考答案：丙【分析】根據(jù)題意，分類討論，即可得出符合題意的結(jié)果，得到答案．【詳解】由題意，若乙坐3號(hào)位置，則丁坐2號(hào)或4號(hào)位置，甲、丙兩人必定有1人坐1號(hào)位置，與題意矛盾，若乙坐2號(hào)位置，則丙坐3號(hào)位置，甲坐4號(hào)位置，丁坐1號(hào)位置，符合題意，故答案為：丙．【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理分類討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.如果直線與曲線有公共點(diǎn)，那么的取值范圍是

參考答案：17.在如圖所示的十一面體ABCDEFGHI中，用3種不同顏色給這個(gè)幾何體各個(gè)頂點(diǎn)染色，每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色，要求每條棱的兩端點(diǎn)異色，則不同的染色方案種數(shù)為

．參考答案：6空間幾何體由11個(gè)頂點(diǎn)確定，首先考慮一種涂色方法：假設(shè)A點(diǎn)涂色為顏色CA，B點(diǎn)涂色為顏色CB，C點(diǎn)涂色為顏色CC，由AC的顏色可知D需要涂顏色CB，由AB的顏色可知E需要涂顏色CC，由BC的顏色可知F需要涂顏色CA，由DE的顏色可知G需要涂顏色CA，由DF的顏色可知I需要涂顏色CC，由GI的顏色可知H需要涂顏色CB，據(jù)此可知，當(dāng)△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的顏色確定之后，其余點(diǎn)的顏色均為確定的，用三種顏色給△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)涂色的方法有種，故給題中的幾何體染色的不同的染色方案種數(shù)為6.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．參考答案：【考點(diǎn)】不等式的證明；基本不等式；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】左邊減去右邊等于2（ab+bc﹣ac），用等比數(shù)列的定義以及基本不等式可得a+c＞b，進(jìn)而推出2（ab+bc﹣ac）＞0，從而證得不等式成立．【解答】證明：∵a2+b2+c2﹣（a﹣b+c）2=2（ab+bc﹣ac）．∵a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac≤，開方可得，故a+c≥2b＞b．∴2（ab+bc﹣ac）=2（ab+bc﹣b2）=2b（a+c﹣b）＞0，∴a2+b2+c2﹣（a﹣b+c）2＞0，∴a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．19.（本題滿分12分）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),且與雙曲線實(shí)軸垂直,已知拋物線與雙曲線的交點(diǎn)為.求拋物線與雙曲線的方程.參考答案：解:由題意知,拋物線焦點(diǎn)在軸上,開口方向向右,可設(shè)拋物線方程為,將交點(diǎn)代入得,故拋物線方程為,雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則.又點(diǎn)也在雙曲線上,因此有.又,因此可以解得,因此,雙曲線的方程為.

略20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1，），橢圓C的離心率e=．（1）求橢圓C的方程；（2）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，且△ABC的重心是原點(diǎn)O，證明：△ABC的面積是定值．參考答案：解：（1）由已知可得：，，

∴，…………………2分

又由已知得：，∴，

∴橢圓的方程為，……………5分

（2）設(shè)、、，則因重心是原點(diǎn)可得：

，

∴，………6分

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，或，此時(shí)………7分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由可得：，∴……………………8分∴∵在橢圓上，∴∴，，∴，……………