歷年高考數(shù)學（文）知識清單-專題08 平面向量（考點解讀）（原卷+解析版）

1專題8平面向量考情解讀高考側重考查正、余弦定文與其他知識(如三角函數(shù)、平面向量等)的綜合應用，試題一般為中檔題，各種題型均有可能出現(xiàn)．高考仍將以正、余弦定文的綜合應用為主要考點，重點考查計算能力及應用數(shù)學知識分析、解決問題的能力.重點知識梳理1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量.(2)零向量的模為0，方向是任意的，記作0.(3)長度等于1的向量叫單位向量.(4)長度相等且方向相同的向量叫相等向量.(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量．零向量和任一向量平行.2．共線向量定文向量a(a≠0)與b共線，當且僅當存在唯一一個實數(shù)λ,使b=λa.3．平面向量基本定文如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.4．兩向量的夾角已知兩個非零向量a和b，在平面上任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作a與b的夾角.5．向量的坐標表示及運算a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1).6．平面向量共線的坐標表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a與b共線.7．平面向量的數(shù)量積設θ為a與b的夾角.(1)定義：a·b＝|a||b|cosθ.(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.8．數(shù)量積的性質(2)當a與b同向時，a·b＝|a|·|b|；當a與b反向時，a·b|a|·|b|；特別地，a·a＝|a|2；(4)cosθ=.9．數(shù)量積的坐標表示、模、夾角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)x2＋y1y2；(2)|a|x＋y·x2＋y2(4)cosθ=x1x＋y·x2＋y2【誤區(qū)警示】1．兩向量夾角的范圍是[0，π]，a·b>0與〈a，b〉為銳角不等價；a·b<0與〈a，b〉為鈍角不等價.2．點共線和向量共線，直線平行與向量平行既有聯(lián)系又有區(qū)別.3．a在b方向上的投影為，而不是.4．若a與b都是非零向量，則λa+μb＝0?a與b共線，若a與b不共線，則λa+μb＝0?λ=μ=0.高頻者點突破高頻考點一平面向量的概念及線性運算例1．(2018·高考全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝()A.－B.－C.＋D.＋【變式探究】2017山東，文11】已知向量a=（2,6）,b=(-1,λ),若a||b,則λ=.a||b【變式探究】已知向量a＝(m,4)，b＝(32)，且a∥b，則m＝.【方法技巧】平面向量線性運算的兩種技巧(1)對于平面向量的線性運算問題，要盡可能轉化到三角形或平行四邊形中，靈活運用三角形法則、平行四邊形法則，緊密結合圖形的幾何性質進行運算.(2)在證明兩向量平行時，若已知兩向量的坐標形式，常利用坐標運算來判斷；若兩向量不是以坐標形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當b≠0時，a∥b?存在唯一實數(shù)λ,使得a=λb)來判斷.【變式探究】(1)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－43)，則向量＝()A．(－74)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)【舉一反三】向量的三角形法則要保證各向量“首尾相接”；平行四邊形法則要保證兩向量“共起點”，結合幾何法、代數(shù)法(坐標)求解.(2)設D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則()A.B.C.D.高頻考點二平面向量數(shù)量積的計算與應用例2．(2018·高考全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b1，則a·(2a－b)＝()【變式探究】(2017·高考全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則·(＋)的最小值是()A2BCD1【變式探究】(1)已知向量＝2，2，＝2，2C．60°D．120°【變式探究】(1)向量a＝(11)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝()A1B．0【方法規(guī)律】1．一般地，用向量方法解決模的問題的途徑有三：一是利用公式|a|2＝a2，將模的平方轉化為數(shù)量積問題；二是利用模的幾何意義；三是坐標法．解決向量的夾角問題主要是利用公式“cos〈a，b〉＝”將向量的夾角問題轉化為數(shù)量積及模的問題來解決.2．求解向量數(shù)量積最值問題的兩種思路(1)直接利用數(shù)量積公式得出代數(shù)式，依據代數(shù)式求最值.(2)建立平面直角坐標系，通過坐標運算得出函數(shù)式，轉化為求函數(shù)的最值.【舉一反三】當向量以幾何圖形的形式(有向線段)出現(xiàn)時，其數(shù)量積的計算可利用定義法；當向量以坐標形式出現(xiàn)時，其數(shù)量積的計算用坐標法；如果建立坐標系，表示向量的有向線段可用坐標表示，計算向量較簡單.(2)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則·=.高頻考點三平面向量的坐標運算例3、(2019·高考全國卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，則·=()A3B2【舉一反三】(2018·高考全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(22)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ=.________【變式探究】平面向量a＝(1，m)，b＝(4，m)，若(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，則實數(shù)m＝.真題感悟為2π5πCD2．【2019年高考全國II卷文數(shù)】已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，則|a-b|=5C．5√2D．503．【2019年高考北京卷文數(shù)】已知向量a=（–4，3），b=（6，m），且a」b，則m=.點E在線段CB的延長線上，且AE=BE，則.=.6．【2019年高考江蘇卷】如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CEAC_____------------------|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD------------------1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2?4e·b+3=0，則|a?b|的最小值是A.?1B.+1C.2D.2?2.（2018年天津卷）在如圖的平面圖形中，已知,則的值為6A.-15B.-9C.-6D.03.（2018年全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足al=1，a·b=-l，則a·(2a-b)=A.4B.3C.2D.0=A.B.C.D.5.（2018年全國III卷）已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,)．若cl(2a+b)，則.6.（2018年天津卷）已知函數(shù)f(x)=exlnx，f(x)為f(x)的導函數(shù)，則的值為.7.（2018年北京卷）設向量“=（1,0b=(?1,m）,若a⊥(ma-b)，則m=.8.（2018年江蘇卷）在平面直角坐標系xoy中，A為直線ly=2x上在第一象限內的點，B(5,)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D．若，則點A的橫坐標為.1.【2017課標II，文4】設非零向量“，b滿足“+b=“-b則A.“⊥bB.“=bC.“∥bD.2.【2017山東，文11】已知向量“=（2,6）,b=(一1,λ),若“||b,則λ=.“||b3.【2017北京，文12】已知點P在圓x2+y2=1上，點A的坐標為(-2,0)，O為原點，則.的最大值為.---------------5.【2017天津，文14】在△ABC中，經A=60O---------------且.=4，則λ的值為.6.【2017課標1，文13】已知向量“=（–1，2b=（m，1若向量“+b與“垂直，則m=.7.【2017江蘇，12】如圖,在同一個平面內，向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為C,7------------------------------CBCOA（1）若a∥b,求x的值；（2）記f(x)=a.b,求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.（A8（B6（C）6（D）82.【2016高考江蘇卷】如圖，在ΔABC中，D是BC的中點，E,F是A,D上的兩個三等分點，---------------------------------------DA3.【2016年高考四川文數(shù)】在平面內，定點A，B，C，D滿足DA---------------------------=DB=DC,DA.DB=DB.DC=DC.DA=-2，動點---------------------------大值是()----BM----BM2（ABCD）4.【2016高考江蘇卷】如圖，在ΔABC中，D是BC的中點，E,F是A,D上的兩個三等分點，------------------9專題8平面向量考情解讀高考側重考查正、余弦定文與其他知識(如三角函數(shù)、平面向量等)的綜合應用，試題一般為中檔題，各種題型均有可能出現(xiàn)．高考仍將以正、余弦定文的綜合應用為主要考點，重點考查計算能力及應用數(shù)學知識分析、解決問題的能力.重點知識梳理1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量.(2)零向量的模為0，方向是任意的，記作0.(3)長度等于1的向量叫單位向量.(4)長度相等且方向相同的向量叫相等向量.(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量．零向量和任一向量平行.2．共線向量定文向量a(a≠0)與b共線，當且僅當存在唯一一個實數(shù)λ,使b=λa.3．平面向量基本定文如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.4．兩向量的夾角與b的夾角.5．向量的坐標表示及運算a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1).6．平面向量共線的坐標表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a與b共線.7．平面向量的數(shù)量積設θ為a與b的夾角.(1)定義：a·b＝|a||b|cosθ.(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.8．數(shù)量積的性質(2)當a與b同向時，a·b＝|a|·|b|；當a與b反向時，a·b|a|·|b|；特別地，a·a＝|a|2；(4)cosθ=.9．數(shù)量積的坐標表示、模、夾角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)x2＋y1y2；(2)|a|(4)cosθ=x1x2＋y1y2【誤區(qū)警示】1．兩向量夾角的范圍是[0，π]，a·b>0與〈a，b〉為銳角不等價；a·b<0與〈a，b〉為鈍角不等價.2．點共線和向量共線，直線平行與向量平行既有聯(lián)系又有區(qū)別.3．a在b方向上的投影為，而不是.4．若a與b都是非零向量，則λa+μb＝0?a與b共線，若a與b不共線，則λa+μb＝0?λ=μ=0.高頻考點突攻高頻考點一平面向量的概念及線性運算例1．(2018·高考全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則E→B＝(【解析】如圖，【答案】A【變式探究】2017山東，文11】已知向量“=（2,6）,b=(-1,λ),若“||b,則λ=.【答案】-3【解析】由“||b可得-1題6=2λ牽λ=-3.【變式探究】已知向量“＝(m,4)，b＝(32)，且“∥b，則m＝.【解析】基本法：∵“∥b，∴“=λb即(m,4)=λ(32)＝(3λ,-2λ)∴速解法：根據向量平行的坐標運算求解：∵“=(m,4)，b＝(32)，?∥b∴m×(－2)－4×3＝0∴-2m－12＝0，∴m6.【答案】－6【方法技巧】平面向量線性運算的兩種技巧(1)對于平面向量的線性運算問題，要盡可能轉化到三角形或平行四邊形中，靈活運用三角形法則、平行四邊形法則，緊密結合圖形的幾何性質進行運算.(2)在證明兩向量平行時，若已知兩向量的坐標形式，常利用坐標運算來判斷；若兩向量不是以坐標形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當b≠0時，a∥b?存在唯一實數(shù)λ,使得a=λb)來判斷.A．(－74)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)x4，→y2，所以從而BC＝(－42)－(3,2)x4，→y2，【答案】A【舉一反三】向量的三角形法則要保證各向量“首尾相接”；平行四邊形法則要保證兩向量“共起點”，結合幾何法、代數(shù)法(坐標)求解.A.ADB.2ADC.BCD.2BC-1a＋b1→ 2＝2(a＋-1a＋b1→=2AD＝=2AD＝AD.2【答案】A高頻考點二平面向量數(shù)量積的計算與應用例2．(2018·高考全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b1，則a·(2a－b)＝()【解析】a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.【答案】B---122). 3而A→E2＝22 322×.法二：以AB所在直線為x軸，AB的中點為原點建立平面直角坐標系，如圖，11－xy)·－xy1=2(x＋1·xy·y－= ∵BA= 24.x＋2＋y ∵BA= 24.442442【答案】B1 →,21 →,2，BC＝22，則∠ABC＝()C．60°D．120°【解析】通解：根據向量的夾角公式求解. 2 2,BC===3BA==32.2.1 2.優(yōu)解：如圖，以B為原點建立平面直角坐標系，則A1 2.2 2 【答案】A【變式探究】(1)向量a＝(11)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝()A1B．0【解析】基本法：因為2a＋b＝2(11)＋(－1,2)＝(22)＋(－1,2)＝(1,0)，所以(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，-1)＝1×1＋0×(－1)＝1.故選C.【答案】C【方法規(guī)律】1．一般地，用向量方法解決模的問題的途徑有三：一是利用公式|a|2＝a2，將模的平方轉化為數(shù)量積問題；二是利用模的幾何意義；三是坐標法．解決向量的夾角問題主要是利用公式“cos〈a，b〉＝”將向量的夾角問題轉化為數(shù)量積及模的問題來解決.2．求解向量數(shù)量積最值問題的兩種思路(1)直接利用數(shù)量積公式得出代數(shù)式，依據代數(shù)式求最值.(2)建立平面直角坐標系，通過坐標運算得出函數(shù)式，轉化為求函數(shù)的最值.【舉一反三】當向量以幾何圖形的形式(有向線段)出現(xiàn)時，其數(shù)量積的計算可利用定義法；當向量以坐標形式出現(xiàn)時，其數(shù)量積的計算用坐標法；如果建立坐標系，表示向量的有向線段可用坐標表示，計算向量較簡單.2速解法：(坐標法)先建立平面直角坐標系，結合向量數(shù)量積的坐標運算求解.如圖，以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，【答案】2高頻考點三平面向量的坐標運算A3B2故選C.【答案】C【舉一反三】(2018·高考全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(22)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ=.________【解析】由題意得2a＋b＝(4,2)，因為c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ-2＝0，解得λ=.【答案】【變式探究】平面向量a＝(1，m)，b＝(4，m)，若(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，則實數(shù)m＝.【解析】由題意可得a＋b＝(5,2m)，則2|a|－|b|＝0，即2|a|＝|b|，亦即＝2，解得m=±2.【答案】±2真題感悟為2π5π【答案】B cosθ==2=，所以“cosθ==2=，所以“與b的夾角為-，故選B.“.b“.b2．【2019年高考全國II卷文數(shù)】已知向量“=(2，3)，b=(3，2)，則|“-b|=C．5√2D．50【答案】A2故選A.3．【2019年高考北京卷文數(shù)】已知向量“=（–），），【答案】8【答案】【解析】22 22點E在線段CB的延長線上，且AE=BE，則.=.【答案】1【解析】建立如圖所示的直角坐標系，∠DAB=30°,AB=2,AD=5,則B(2,0)，D(,).|√3所以直線BE的斜率為，其方程為y=(x一2|√3y6．【2019年高考江蘇卷】如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CEAB交于點O.若AB.AC=6AO.EC，則AC的值是_____.【答案】√3.【解析】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC的中點，知BF=FE=EA,AO=OD.6A.E=3A.(A-A)=A+A).(A-A)，=A.A-A2+A2=A.A-A2+A2=A.A，232AB232AB|λ1A+λ2B+λ3C+λ4D+λ5A+λ6B|的最小值是；最大值是.【答案】0；2.【解析】以AB,AD分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖.令所以當λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=1,λ2=-1時，有最小值ymin=0.因為(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)的取值不相關，λ6=1或λ6=-1，所以當(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)分別取得最大值時，y有最大值，所以當λ1=λ2=λ5=λ6=1,λ3=λ4=-1時，有最大值ymax=222+42.=20=25.故答案為0；2.1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2?4e·b+3=0，則|a?b|的最小值是A.?1B.+1C.2D.2?【答案】A【解析】設a=(xy),e=(1,0),b=(m,n)，則由得，由b2-48·b+3=0得因此的最小值為圓心(2,0)到直線y=±5x的距離減去半徑1，為5-1.選A.2.（2018年天津卷）在如圖的平面圖形中，已知,則的值為A.-15B.-9C.-6D.0【答案】C【解析】如圖所示，連結MN，由BiM=2iA,CN=2NA可知點M,N分別為線段AB,AC上靠近點A的三等分點，由題意可知：OM2=2=1結合數(shù)量積的運算法則可得：.本題選擇C選項.3.（2018年全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足al=1，a·b=-l，則a·(2a-b)=A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】因為，所以選B.=A.B.C.D.【答案】A【解析】根據向量的運算法則，可得,所以，故選A.5.（2018年全國III卷）已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,)．若cl(2a+b)，則.【答案】【解析】由題可得…,故答案為6.（2018年天津卷）已知函數(shù)f(x)=exlnx，f(x)為f(x)的導函數(shù)，則的值為.【答案】e【解析】由函數(shù)的解析式可得：，則：f0-(-.值為e.7.（2018年北京卷）設向量“=（1,0b=(?1,m）,若a⊥(ma-b)，則m=.【答案】-1【解析】=(1,0).5=(-1m)，·md-3=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m)，由得：?·(m3-)=0，,即m=-1.8.（2018年江蘇卷）在平面直角坐標系xoy中，A為直線ly=2x上在第一象限內的點，B(5,)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D．若，則點A的橫坐標為.【答案】3【解析】設A(a,2a)(a>0)，則由圓心為AB中點得易得，與y=2x聯(lián)立解得點D的橫坐標所以D(1,2).所以，由得或a=-l，因為a>0，所以a=3.1.【2017課標II，文4】設非零向量“，b滿足“+b=“-b則A.“⊥bB.“=bC.“∥bD.【答案】Aa-b|平方得(a)2a-b|平方得(a)2+2ab+(b)2------------A.2.【2017山東，文11】已知向量a=（2,6）,b=(一1,λ),若a||b,則λ=.【答案】-33.【2017北京，文12】已知點P在圓x2+y2=1上，點A的坐標為(-2,0)，O為原點，則.的最大值為.【答案】6【解析】所以最大值是6.【答案】2---------------5.【2017天津，文14】在△ABC中，經A=60O，AB=3，AC=2.若BD=2DC，AE=λAC一---------------且.=4，則λ的值為.【答案】 6.【2017課標1，文13】已知向量a=（–1，2b=（m，1若向量a+b與a垂直，則m=.【答案】77.【2017江蘇，12】如圖,在同一個平面內，向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為C,------------------------------CBCOA【答案】3【解析】由tanc=7可得sinc=，cosc=，根據向量的分解，5 45 47,48.【2017江蘇，16】已知向量n=(cosx,sinx),b=(3,_),xe[0,π].（1）若n∥b,求x的值；（2）記f(x)=n.b,求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.【解析】f(x)取到最小值_2.2x又xe[0,π]，所以x=5π.6(π)(π)(x)取到最小值_2.------------------（A8（B6（C）6（D）8------------------【答案】D2.【2016高考江蘇卷】如圖，在ΔABC中，D是BC的中點，E,F是A,D上的兩個三等分點，7878---2---2------1---1---1---1---4FD一