2023年廣東省汕尾市高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析答案）

汕尾市2023-2022學(xué)年度第二學(xué)期全市高中一年級教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)

本真題共4頁，考試時間120分鐘，總分值150分

考前須知：

1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、精確，將精確粘貼在粘貼處.

2.請按照題號順序在答題卡各題目的答題地域內(nèi)作答，超出答題地域書寫的答案無效.

3.答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修

正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請將本真題及答題卡交回.

一、選擇題：此題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪

一項符合題目要求的.

1.已知集合/=卜|》之—|},5={xeZ|x2<1},則408=（）

「3-

A.{1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.--,1

（答案）B

（解析）

（分析）求出集合B,然后進行交集的運算即可.

3

（詳解）A={x\x...--},5={xeZ|-l?x?1}={-1,0,1},

.??/n8={0,1}.

應(yīng)選：B.

2.已知實數(shù)b滿足。<b,則以下關(guān)系式肯定成立的是（）

A.a1<b2B.ln（Z>-a）>0C.D.2a<2h

ab

（答案）D

（解析）

（分析）A、B、C三個選項只需要舉出反例即可判定，D選項結(jié)合函數(shù)夕=2、的單調(diào)性即可推斷.

（詳解）A：當(dāng)。=-3/=2滿足但是/=9,〃=4,所以片>〃，故A錯誤；

31,,

B：當(dāng)a=1,6=—滿足a<b,但是a-b=—,所以In（b-a）<0,故B錯誤；

22

C：當(dāng)a=-3,b=2滿足,但是，=-：，=1,所以?！<:,故C錯誤；

a3b2ab

D：因為函數(shù)y=2*在7?上單調(diào)遞增，且。<b,所以2"<2J故D正確，

應(yīng)選：D.

3.已知口=M=1，向量￡與區(qū)的夾角為60°,貝43%—4神=（）

A.5B.V19C.372D.歷

（答案）D

（解析）

【分析）由己知先求出【秘，然后依據(jù)RZ—4/=/9同一24￡%+16忸『，代值即可求解.

（詳解）..?口=M=1,向量％與辦的夾角為60°

J.a-h-1?|忖cos60°=—

；?舊-叫=J（31甸2=247B+16用=V9-12+16=V13

應(yīng)選：D.

4.假設(shè)棱長為2夜的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的外表積為（）.

A.12兀B.24兀C.36兀D.144TI

（答案）B

（解析）

（分析）由于正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線，從而求出體對角線，可得球的直徑，進而可

求出球的外表積

（詳解）解：設(shè)正方體外接球的半徑為R,則由題意可得

（2火）2=3x（20y,得4R2=3X（20>=24,

所以球的外表積為4萬火2=24萬,

應(yīng)選：B

5.在口Z8C中，已知/C=l,8C=Ji,8=工，則角。為（）

6

兀71

A.-B.一C、或仁D.1或1

24

（答案）C

（解析）

（分析）直接利用正弦定理即可得出答案.

（詳解）解：在口/6。中，已知NC=1,8C=出,8=工

6

iACBC

因為二一-=-——

sinBsmA

Aj_

所以..BC-sinBVJX2G,

sin/=----=-----=——

AC12

所以/=3或4，

所以C=工或

26

應(yīng)選：C.

+sina=,則cos［二2兀-+a］的值是（

6.已知cos|a——

I653

442732V3

A.----B.-C.

55r"I-

（答案）A

（解析）

（分析）使用整體處理以及兩角和與差得公式解決問題.

.（兀）,4G

（詳解）由cos|a——+sina=----得:

65

cosacos工+sinasin四+sina=3cosa+%na=Gcos但-a］=迪,

6622{3}5

7.如圖，已矢口在=2加，貝I麗=（）

B

A.-OA--OBB.--OA+-OB

2222

1—3—

C.-OA+-OBD.——OA——OB

2222

（答案）B

（解析）

（分析）利用向量的加法和數(shù)乘運算法則，取萬，礪為基底，通過運算，即可得答案;

—,—.—,—.3—?—?—?—?—?—?

（詳解）?.?OP=OA+AP=OA+3AB=04+3BP=OA+3(OP-OB),

OP=--OA+-OB,

22

應(yīng)選：B.

7T

8.一紙片上繪有函數(shù)/（x）=JIsin(OX——（6>>0）一個周期的圖像，現(xiàn)將該紙片沿X軸折成直二面

4

角，原圖像上相鄰的最gao點和最di點此時的空間距離為2J2,假設(shè)方程/（x）=-1在區(qū)間（0,。）上有兩

個實根，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(4,7)B.(4,7]C.[4,7)D.[4,7]

（答案）B

（解析）

（分析）由原圖像上相鄰的最gao點和最di點此時的空間距離得出口，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出實數(shù)。

的取值范圍.

124

（詳解）原圖像上相鄰的最gao點和最di點此時的空間距離為(揚2+I+(揚2=2萬

2CD

7171

:.(o=g故/(x)=V^sin—X----

24

方程/（X）=—1在區(qū)間（0,。）上有兩個實根，即缶由生―7=-1有2個解,

7萬an兀-137_

——<----------<——，貝ij4<aW7,

4244

二、選擇題：此題共4小題，每題5分，共20分.在每題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，局部選對的得2分，有選錯的得。分.

9.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)2=二一的四個命題，其中真命題為（）

-1+1

A.z?=2iB.|z|=2

C.z的虛部為一1D.z的共軌復(fù)數(shù)為1+i

（答案）AC

（解析）

（分析）利用復(fù)數(shù)的四則運算即可求解.

2

二］

（詳解）Z=---------

-1+Z

所以z2=(—1—i)2=2i,故A正確;

回=及，故B錯誤；

z的虛部為-1,故C正確；

z的共粗復(fù)數(shù)為-1+i,故D錯誤.

應(yīng)選：AC

10.已知a,〃是兩條不同的直線，a,一是兩個不同的平面，則以下說法正確的選項是（）

A.假設(shè)a/R,mua,nu。,則加〃“B.假設(shè)加_La,mlln,nA.J3,則a///?

C.假設(shè)a，加ua,nu0,則加_L〃D.假設(shè)〃?_La,相〃”，〃///7,則aJ_￡

（答案）BD

（解析）

（分析）A選項，C選項依據(jù)面面平行，面面垂直關(guān)系很簡單找到反例，B選項理解成法向量簡單證明,

D選項利用線面平行的性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理證明.

（詳解）A選項，兩個平行平面內(nèi)的兩條直線，可能平行，或者異面，A選項錯誤；B選項，加la,

C0,可理解直線如〃對應(yīng)的方向向量也〃可看作a,￡的法向量，由于藍〃兀又。，僅是兩個不同

的平面，則a///?,故B選項正確；兩個面垂直，那么在一個面內(nèi)垂直于兩個面交線的直線才垂直另一個

面，從選項中無法推斷加，〃和交線的位置關(guān)系，因此朋，〃可能相交但不垂直，平行，異面但不垂直，C選

項錯誤；D選項，假設(shè)用u^,又掰J_a,依據(jù)面面垂直的判定，即有假設(shè)加也夕,由于

mlln,nll/3,則加□￡,過加任作一個面，使其和僅相交于直線c,依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，

加口c,又〃?_La則cla,結(jié)合cu〃，即a_L￡,故D選項正確.

應(yīng)選：BD.

11.正四棱臺48CD-48CQ中，上底面4為。|"的邊長為2,下底面N8CZ）的邊長為4,棱臺高為1,

則（）

A.該四棱臺的側(cè)棱長為有B.與8C所成角的余弦值為:

ITTT

C.與面48co所成的角大小為一D.二面角/—6C—4的大小為一

44

（答案）BD

（解析）

（分析）連接NC,作GN，平面/8CQ,由線面垂直的判定定理可得8cl平面GM0,得到

BCJLNM,求出G"可推斷A；BCHAD,所以與3c所成角即為與/。所成的角，即

為所求，求出可推斷B；NG?？杉礊镃G與面N8CD所成的角，

由求出tanNC\CN可推斷c；由BCJ.平面C{NM得出AC,MN即為平面BCCR與平面ABCD所成的

角，求出NqWN,依據(jù)正四棱臺/8CQ-44Gq的四個側(cè)面與底面所成的角相等，可推斷D.

（詳解）對于A,連接ZC,作CN_L平面/BCD,C、N=',因為/8CD-44G2為正四棱臺，

則N在力。上，作8c交3C于M點，連接NM,因為￡N，8C,所以

8C1平面NMu平面C]NM,所以8CJ.NM,

因為上底面44G2的邊長為2,下底面/BCD的邊長為4,所以CN=1,由/4。0=45°，所以

NM=1,C、M=6,故A錯誤；

對于B,因為3C〃4O,所以力4與6c所成角即為N4與/。所成的角，即乙4/。為所求，因為正四

棱臺ABCDfCR的四個側(cè)面為全等的等腰梯形，所以^AXAD=ZC.C5,

由。0=1,G"=&得GC2=CM2+MC2=3,所以4%與6c所成角的余弦值為1,故B正確；

對于C,因為GN_L平面/8C0,所以NGCN即為CG與面Z8CO所成的角，

由CA/=1,"N=l得OV=&，由GN=1得tanN￡CN=V?=9wl，

7T

所以NGCNH^，因為/BCD-48cA為正四棱臺，所以與面Z8CO所成的角與CG與面Z8CQ

所成的角相等，故C錯誤；

對于D,依據(jù)A選項，8C,平面GM0，所以NG"N即為平面8CG4與平面所成的角，且

MN=C]N=1,所以NGA/N=因為正四棱臺的四個側(cè)面與底面所成的角相等，二

JT

面角/—8C一4的大小為:，故D正確.

12.在口48。中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,R為LM8C外接圓的半徑，LM8C的面積記為5“叱

,則以下命題正確的選項是（）

A.sin〃<sin8的充要條件是/<8

B.假設(shè)acos8-bcos/=c,則口/8C是直角三角形

C.假設(shè)b=3,〃=60。，51/死=36,則尺=半

IT

D.不存在口28。，滿足a=5,b=10,/=—同時成立

4

（答案）ABD

（解析）

（分析）依據(jù)正弦定理邊角互化即可推斷A,B,依據(jù)三角形面積公式可求c=4,進而由余弦定理可求。，最

后由正弦定理可求外接圓半徑，假設(shè)存在，依據(jù)正弦定理得到矛盾可求D.

（詳解）在口48。中，由正弦定理可得：sin/<sinBoa<b<=>/<8,故A正確.

acosB-hcos/=cnsin4cos5-sin5cos/=sinC=>sin(/-5)=sinCn4-3=C或者

A—B+C=TI（不符合內(nèi)角和，故舍去），因此4=8+C,又/+8+。=兀,

TC

A=—,故B正確.

2

由SARC-3G=』besinA=—x3x^-c=>c=4，由余弦定理可得:

222

a=yjb2+c2-2bccosA=^32+42-2x3x4x；=y/l3,

1a1V13V39

R---------——x------=------

因此2sin/2V33，故C錯誤.

T

1072

假設(shè)存在口Z8C,滿足a=5,6=10,/=￡同時成立，則.cbsin/2尻，矛盾，

4smB=--------=--------=<2>1

a5

7T

故不存在口N8C,滿足a=5,6=10,4=:同時成立，故D正確.

4

應(yīng)選:ABD

三、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分

13.已知向量a=（2,3）,b=（A,4）,假設(shè)a//B，則/=.

8c2

（答案）一2二

33

（解析）

（分析）依據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式求解即可

Q

（詳解）由題意，2x4—34=0,解得4二一

3

Q

故答案為：一

3

[lgx,x>0（<1

14.已知函數(shù)/（x）={,則//—=_______.

[2A,x<01UOJJ

（答案）Jo.5

（解析）

(分析)分段函數(shù)解析式的正確使用，可迅速解決.

lgx,x>0

(詳解)由/(%)=：八，得:

29x<0

小慍卜/尾卜，(T)=⑵"4

故答案為：;.

JT

15.已知函數(shù)/(x)=cos(4x+e)(owR),將y=/(x)圖象上全部點向右平移一個單位，得到奇函數(shù)

6

?=g(x)的圖象，則常數(shù)"的一個取值為一.

7171

(答案)一(滿足9=一+%兀浦￡2都正確)

66

(解析)

(分析)利用函數(shù)圖象平移規(guī)則，得出g(x)的解析式，再依據(jù)奇函數(shù)的定義求出。的可能取值即可.

jr

(詳解)將/(x)=cos(4x+。)圖象上全部點向右平移一個單位，得:

Xvg(x)為奇函數(shù),

—4x———卜（p=R-4xH———（p+2klt,kGZ,

兀

解得：（p=—+kjt、keZ,

6

7T

常數(shù)。的一個取值為

6

irir

故答案為：—（滿足e=：+都正確）.

66

16.在平面四邊形/8C。中，ABVAD,AB=6,AD=8,JC=18,AC交BD于點、0,假設(shè)

CA=mCB+[5—m）00,則的值為,0D的長為.

,14

（答案）①.—0.5；②.—2.8.

（解析）

（分析）設(shè)函=彳0，則的2wC5+/l|-wCD,利用。、0、8三點共線即可求出之，進而得

An

到一上的值；再在△Z。。中，分別求出ZO以及C0SN/D8的值，再利用余弦定理求出0。的長.

0C

（詳解）依題意，如下圖，

|一〃？jCD,

設(shè)函=20，則co=x|加C8+=AmCB+A,

Q。、0、8三點共線，，/1加+4(|—=解得：/1=|,

...函二京,的二土經(jīng)」，

3OCC02

又/C=18,.,.NO=LC=L18=6,

33

,---------------,…4。84

,/BD=\JAB2+AD2=101cosN4DB=——.

AD1+DO1-AO164+。。2—364

在△Z。。中，由余弦定理得:cosZADB=

2ADD02x8xD(7-5

解得：。。=不或。0=10（舍），.?.OQ=《.

i14

故答案為：不；—.

5

四、解答題：此題共6小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在平而直角坐標(biāo)系xQy中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為『和1,04=7+2；,

05=27-4).

（1）求向量方與瓦夾角的余弦值;

（2）假設(shè)點P是線段的中點，且向量而與力+左方垂直，求實數(shù)上的值.

3

（答案）（1）0—

⑵,

14

（解析）

（分析）（1）用坐標(biāo)表示向量，然后由數(shù)量積的定義求得夾角余弦值；

（2）由向量而與方+左方的數(shù)量積為0可求得左.

（小問1詳解）

___UH4

由已知得場=(1,2),08=(2,—4),

所以：方.法=lx2-2x4=-6,|a|=#+22=',阿82+(—4)2=2后,

UUULU

OAOB-63

=-

所以所求余弦值為O少A0乎B=<.5x207/557.

（小問2詳解）

ULIuuuLLU（3、

因為。4+女08=（1+2左,2—4左），0P=-,-1,而向量而與向量有方+左礪垂直，

所以（況+左礪）?麗=0,所以^（1+2左）一（2—4左）=0.所以％=得

18.已知函數(shù)/（刀）=65m助；以）55：—以萬20%+；,其中①〉0,毛，&是函數(shù)/（X）的兩個零點，且

%-Xz|的最小值為

（1）求使/（x）取得最大值時自變量X的集合，并求/（制的最大值；

⑵求/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

（答案）（1）自變量的集合為：[x[x=]+E,kez},/（x）的最大值為1

、兀，兀71-7

（2）hkn，—Fku，%EZ

_63

（解析）

jr

（分析）（1）依據(jù)二倍角公式以及輔助角公式可化簡/（x）=sin（2/x-:），依據(jù)題意可得周期，進而可

求/(X)的解析式，進而可求最值和自變量的值.

(2)整體代入法求單調(diào)增區(qū)間.

(小問1詳解)

f(x)-V3sincoxcoscox-cos2a)x+—-——sin2cox——cos2a)x-sin(2dyx--)，

2226

由再，z是函數(shù)/(x)的兩個零點，且歸一到的最小值為5可知：/(X)的周期為T=2><5=7r,故

27rTF7T7T71

2a)=—=2=>刃=1,因此/(%)=$111(2%——),令2x——=—+2%兀=x=—+左兀，故自變量的集合

T'6623

為：{x|x=g+E,左wz},/(x)的最大值為1

(小問2詳解)

TTTT冗7T7T

令——+2%兀<2x——<—+2阮=>——+—+%兀，故/J)的單調(diào)遞增區(qū)間為

26263

7177t7.—

---1■既，一+E，KGZ

L63J

19.如圖，是圓。的直徑，點。是圓。上異于A,8的點，直線PCI平面Z8C,E,F分別是線

段上4,PC的中點.

(1)證明：平面平面尸8C；

(2)記平面6E/與平面N8C的交線為/,試推斷直線所與直線/的位置關(guān)系，并說明理由.

(答案)(1)證明見解析；(2)EFHI,理由見解析.

(解析)

(分析)(1)推導(dǎo)出NC1PC,AC1BC,/C_L平面P8C,從而EF〃AC,進而Eb_L平面P8C

,由此能證明平面8￡E_L平面P3C.

(2)推導(dǎo)出跖〃4C,EF//平面4BC,依據(jù)線面平行的性質(zhì)，即能證明瓦7〃.

(詳解)解：(1)因為PC_L平面/8C,4Cu平面N3C,

所以NCJ_PC.

因為C是以為直徑的圓。上的點,

所以4C_L8C.

又PCcBC=C,

所以/C，平面P8C.

因為E，E分別是尸〃，PC的中點，

所以EF〃4c.

所以EF_L平面尸8C.

又EFu平面BEF,故平面8Eb_L平面尸8C.

（2）EF//1.

證明如下：由（1）,瓦7/4C.又/Cu平面/8C,EE仁平面48C,

所以EE〃平面/8C.

又EFu平面BEF,平面5EEI平面48C=/,

所以EF〃l.

20.設(shè)a,b,c分別為口48。三個內(nèi)角4B,C的對邊，已知bsinZ=acos（B-看）.

（1）求角以

（2）假設(shè)6=6,且sin8+sin（C-N）=2sin2N,求邊c.

71

（答案）（1）一；

3

（2）當(dāng)/=一時'c—2\/3;當(dāng)Nw一時，，c=4\/3-

22

（解析）

（分析）（1）依據(jù)正弦定理一吼=一2一,將已知條件轉(zhuǎn)化為asin8=acos（B-^\,再利用三角恒

sm力sin5\6y

等變換公式求出tan8=G，依據(jù)角5的取值范圍求出角8；

(2)依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，將sin8+sin(C-Z)=2sin24化簡為cosZsinC=2sinZcosZ,對

cos/的取值情況進行商量，再由正弦定理和余弦定理進行求解即可.

(小問1詳解)

在口/8C中，由/一=-^,可得asin8=6sinZ.

sinAsinB

又由bsin/=QCOS(8—看;得asinB=QCOS/-￡),

z.sin5=cosf5-y,sin5=—cos5+—sin5，

I22

/.tan5=73，又?:0<8<兀，，5=］；

(小問2詳解)

在口力8。中，/+8+。=兀，.?.sin5=sin(/+C)

sinB+sin(C-4)=sin(4+C)+sin(C-A)

=sinAcosC+cos/sinC+sinCcosA-cosCsinA

=2cos4sinC=2sin2A

二.cos^sinC=2sin4cos4.

假設(shè)cos4=0,即/=烏時，c=—^=2g；

2tan5

兀

假設(shè)COS/HO,即Z*一時，sinC=2sinZ,由正弦定理可知c=2a,

2

兀

由6?=/+M-2accos5及B=§可得，

a2+c2-b2=ac，

又b=6,c=2a,c=4v5，

綜上，當(dāng)/=5時，c=2V3；當(dāng)力時，C=4>/3.

21.在直三棱柱/8C-4AG中，。，E分別是8G的中點，44=2,AC=BC=1,

AB=C，DC、上BD.

[1]求證：&E〃平面C/D；

[2]求點4到平面C&D的距離.

（答案）（1）見解析（2）巫

6

（解析）

（分析）（1）連接與。交于點尸，連接。由中位線定理以及平行四邊形的性質(zhì)證明

A.E//DF,再由線面平行的判定證明即可；

（2）由等體積法得出點同到平面C1BD的距離.

（小問1詳解）

連接5.C交8G于點F,連接DF,EF,

???4尸分別是片G，8G的中點，

：.EFHBB{,EF=\,

AXD//BB,,AXD=\,EF//A、D,EF=AQ,

即四邊形4。依是平行四邊形，A{EHDF,

?.?/田仁平面。/。，。/（=平面。田。，

4E〃平面G8。；

（小問2詳解）

設(shè)點4到平面C]BD的距離為d,

:CC[±平面ABC,■■BC1CC{,

-：AC2+BC2=AB2，：.ACLBC,

?:C\D=0BD=#）,且DCX1BD,^,-SC,D=%A?D

—5A