湖南省湘潭市第十二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

湖南省湘潭市第十二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，，過(guò)F2作x軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，已知，，點(diǎn)P是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B令x=c代入雙曲線的方程可得，由|F2Q|>|F2A|,可得，即為3>2=2(?)，即有①又恒成立，由雙曲線的定義,可得c恒成立，由,P,Q共線時(shí),取得最小值，可得，即有②由e>1，結(jié)合①②可得，e的范圍是.故選：B.

2.橢圓上有一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離是5，則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離是（

）

A.4

B.5

C.6

D.7參考答案：C3.若，則

的最小值為（

）A

2

B

4

C

8

D

16參考答案：B4.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上兩動(dòng)點(diǎn)，且EF＝2，則三棱錐P－QEF的體積為A.

B.

C.8

D.16參考答案：A5.如圖直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為V，點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱AA1和CC1上，AP=C1Q，則四棱錐B﹣APQC的體積為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】組合幾何體的面積、體積問(wèn)題．【分析】把問(wèn)題給理想化，認(rèn)為三棱柱是正三棱柱，設(shè)底面邊長(zhǎng)a和側(cè)棱長(zhǎng)h均為1，P、Q分別為側(cè)棱AA′，CC′上的中點(diǎn)求出底面面積高，即可求出四棱錐B﹣APQC的體積．【解答】解：不妨設(shè)三棱柱是正三棱柱，設(shè)底面邊長(zhǎng)a和側(cè)棱長(zhǎng)h均為1

則V=SABC?h=?1?1??1=

認(rèn)為P、Q分別為側(cè)棱AA′，CC′上的中點(diǎn)

則VB﹣APQC=SAPQC?=

（其中表示的是三角形ABC邊AC上的高）

所以VB﹣APQC=V故選B6.若點(diǎn)A（1，m-1,1）和點(diǎn)B(-1,-3,-1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則m=（

）A.-4

B.4

C.2

D.-2參考答案：B略7.如圖所示，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點(diǎn)，BC=3過(guò)C作圓的切線l，過(guò)A作l的垂線AD，垂足為D，則∠DAC=(

) A．15° B．30° C．45° D．60°參考答案：B考點(diǎn)：弦切角．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：根據(jù)所給的圓的直徑和BC的長(zhǎng)，得到三角形的一個(gè)銳角是30°，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于弦切角，得到另一個(gè)直角三角形的角的度數(shù)，即為所求．解答： 解：∵圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點(diǎn)，BC=3∴∠BAC=30°，∠B=60°，∵過(guò)C作圓的切線l∴∠B=∠ACD=60°，∵過(guò)A作l的垂線AD，垂足為D∴∠DAC=30°，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查弦切角，本題解題的關(guān)鍵是同弧所對(duì)的圓周角和弦切角相等和含有30°角的直角三角形的應(yīng)用，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．8.如圖，點(diǎn)為正方體的中心，點(diǎn)為面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則空間四邊形在該正方體的面上的正投影可能是(

)A．①③④

B．②③④

C．①②④

D．①②③參考答案：D略9.拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.設(shè)x∈R，則x>e的一個(gè)必要不充分條件是A.x>1

B.x<1

C.x>3

D.x<3參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“，”的否定是

．參考答案：12.命題“對(duì)任何”的否定是________參考答案：略13.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn)，且∠AFO=120°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，求出直線AF的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此可求△AKF的面積【解答】解：由題意，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1∵∠AFO=120°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），∴∴直線AF的方程為：代入拋物線方程可得：3（x﹣1）2=4x∴3x2﹣10x+3=0∴x=3或∵∠AFO=120°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），∴A（3）∴△AKF的面積是故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題以?huà)佄锞€的性質(zhì)為載體，考查三角形面積的計(jì)算，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是關(guān)鍵．14.（本大題12分）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，求直線AM與CN所成角的余弦值參考答案：直線AM和CN所成角的余弦值為15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)___________。參考答案：略16.在平行四邊形ABCD中，AD=1，AB=2，，E是CD的中點(diǎn)，則

.參考答案：17.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)＝____________.參考答案：-1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB（1）求cosA（2）若a=3，求△ABC的面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊化角，利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)得出cosA；（2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面積公式求出面積最大值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵3acosA=bcosC+ccosB，∴3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，即3sinAcosA=sinA，又A∈（0，π），∴sinA≠0，∴．（2）∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即，∴b2+c2=9+bc≥2bc，∴．∵sinA==，∴△ABC的面積，（時(shí)取等號(hào)）∴．19.（本小題滿(mǎn)分14分）已知的頂點(diǎn)，在橢圓上，在直線上，且.（1）當(dāng)邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)及的面積；（2）當(dāng)，且斜邊的長(zhǎng)最大時(shí)，求所在直線的方程．參考答案：解：（1）∵，且邊通過(guò)點(diǎn)，∴直線的方程為．…1分設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為．由，得．…3分∴．………4分又邊上的高等于原點(diǎn)到直線的距離．∴，．………6分（2）設(shè)所在直線的方程為，由得．………8分因?yàn)锳,B在橢圓上，所以．設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，，所以．………12分又因?yàn)榈拈L(zhǎng)等于點(diǎn)到直線的距離，即．所以．所以當(dāng)時(shí)，邊最長(zhǎng)，（這時(shí)）此時(shí)所在直線的方程為．………1

略20.如圖，在三棱錐中，已知△是正三角形，平面，，為的中點(diǎn)，在棱上，且，（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（3）若為的中點(diǎn)，問(wèn)上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，說(shuō)明點(diǎn)的位置；若不存在，試說(shuō)明理由．

參考答案：解一：（1）取AC的中點(diǎn)H，因?yàn)锳B＝BC，所以BH⊥AC．因?yàn)锳F＝3FC，所以F為CH的中點(diǎn)．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以EF∥BH．則EF⊥AC．因?yàn)椤鰾CD是正三角形，所以DE⊥BC．因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB⊥DE．因?yàn)锳B∩BC＝B，所以DE⊥平面ABC．所以DE⊥AC．因?yàn)镈E∩EF＝E，所以AC⊥平面DEF（2）（3）存在這樣的點(diǎn)N，當(dāng)CN＝時(shí)，MN∥平面DEF．連CM，設(shè)CM∩DE＝O，連OF．由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM．所以當(dāng)CF＝CN時(shí)，MN∥OF．所以CN＝解二：建立直角坐標(biāo)系

略21.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí)污水處理池，池的深度一定（平面圖形如圖所示），如果池四周?chē)鷫ㄔ靻蝺r(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造單價(jià)為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)與寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)。參考答案：略22.（14分）已知函數(shù)．（1）若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；參考答案：（1）由，得，……（2分）令，得或．

……（3分）列表如下：0

00極小值極大值……（5分）由，，∴，即函數(shù)在上的最大值為，

……（6分）∴．