統(tǒng)計(jì)學(xué)課件第12章 多維標(biāo)度分析及R使用

第12章多維標(biāo)度法MDS及R使用多元統(tǒng)計(jì)分析及R語(yǔ)言建模-

1-多元統(tǒng)計(jì)分析及R語(yǔ)言建模本章內(nèi)容第12章多維標(biāo)度法MDS及R使用內(nèi)容與要求內(nèi)容：

包括多維標(biāo)度法的基本理論、方法、古典解和非度量方法，計(jì)算程序中有關(guān)多維標(biāo)度法的算法基礎(chǔ)；多維標(biāo)度法的基本步驟以及實(shí)證分析。要求：

了解多維標(biāo)度的基本思想和實(shí)際意義，以及它的數(shù)學(xué)模型和二維空間上的幾何意義；掌握多維標(biāo)度法的基本性質(zhì)；能夠利用軟件自己編程解決實(shí)際問(wèn)題。多元統(tǒng)計(jì)分析及R語(yǔ)言建模第12章多維標(biāo)度法MDS及R使用12.1MDS的基本理論和方法12多維標(biāo)度法MDS及R使用

說(shuō)明：

多維標(biāo)度法是一種利用客體間的相似性數(shù)據(jù)去揭示它們之間的空間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析方法。說(shuō)明與舉例

例12-1：右表列出了美國(guó)10個(gè)城市間公路的距離。

如果用D＝（dij）表中的矩陣，它名義上是距離陣，但并不一定是n個(gè)點(diǎn)的距離，即不是我們通常所理解的距離陣。12.1MDS的基本理論和方法12多維標(biāo)度法MDS及R使用

定義12.1一個(gè)n×n矩陣

D=（dij），若滿足

D’=D，dii=0，dij≥0，（i,j=1,2,…,n;i

≠j

)，則稱D為距離陣。

對(duì)于距離陣D=（dij），多維標(biāo)度法的目的是要尋找p和Rp中的n個(gè)點(diǎn)x1，…，xn，用

表示xi與xj的歐氏距離，,使得

與D在某種意義下相近。

在實(shí)際運(yùn)用中，常取p＝1,2,3。將尋找到的n個(gè)點(diǎn)x1,x2,...,xn，寫成矩陣形式:

則稱X為D的一個(gè)解（或叫多維標(biāo)度解）。12.2

MDS的古典解

歐式型距離陣及其判定定理：

定義12.2一個(gè)距離陣D=（dij）稱為歐氏型的，若存在某個(gè)正整數(shù)p及p維空間Rp中的n個(gè)點(diǎn)x1,…，xn，使得

令定理12.1一個(gè)n×n的距離陣D是歐氏型的充要條件是B≥0。12多維標(biāo)度法MDS及R使用12.2

MDS的古典解

多維標(biāo)度法的古典解：(1)由距離陣D=（dij）構(gòu)造

(2)令B=（bij），使

(3)求B的特征根λ1≥λ2≥…≥λn，若無(wú)負(fù)特征根，表明B≥0，從而D是歐氏型

的；若有負(fù)特征根，D一定不是歐氏型的。令

這兩個(gè)量相當(dāng)于主成分分析中的累積貢獻(xiàn)率。

(4)令

，則

的行向量x1,…,xn即為欲求的古典解。12多維標(biāo)度法MDS及R使用12.2

MDS的古典解

例12-2：設(shè)有距離陣如下：12多維標(biāo)度法MDS及R使用求得λ1＝λ2＝3，λ3＝…＝λ7＝0，取，于是七個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：因?yàn)锽≥0，所以原矩陣D是歐氏型的，故這個(gè)古典解是D的古典解。12.2

MDS的古典解

例12-3：考慮例12.1中美國(guó)10個(gè)城市的距離陣，相應(yīng)B的特征根如下：λ1=958214，λ2=168682，λ3=8157，λ4=1433，λ5=509λ6=25，λ7=0，λ8=-898，λ9=-5468，λ10=-35479

最后三個(gè)特征根是負(fù)的，表明D不是歐氏型的。當(dāng)k=2時(shí)，a1,2=99.5%,

a2,2=100.0%

故取k＝2就可以了，前兩個(gè)主成分相應(yīng)的特征向量為：

x(1)=（-719，-382，482，-161，1204，-1134，-1072，1421，1342，-980）’x(2)=（143，-341，-25，573，390，582，-519，113，-580，-335）’

于是可將x(1)，x(2)相應(yīng)的10個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)畫在圖上，就可以看到由古典解確定的10個(gè)城市的位置。12多維標(biāo)度法MDS及R使用計(jì)算過(guò)程：#在mvstats4.xls:d12.1中選取A1:K11，拷貝12多維標(biāo)度法MDS及R使用D=read.table("clipboard",header=T)library(MASS)D=as.matrix(D)fit=isoMDS(D,k=2)fit12.2

MDS的古典解計(jì)算過(guò)程：12多維標(biāo)度法MDS及R使用x=fit$points[,1]y=fit$points[,2]plot(x,y,type="n")text(x,y,labels=s(D))12.2

MDS的古典解12.2

MDS的古典解

古典解的優(yōu)良性：

設(shè)X是一個(gè)n×p矩陣，令A(yù)=X

HX，In=1n1n

，A的特征根記作λ1≥…≥λp,為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)λ1，λ2，…，λp>0，可見(jiàn)，λ1，λ2，…，λp也為B=HXX

H的非零特征根。由于HX的行是X行的中心化，因此B=(bij)中的元素可表示為：bij=(xi-xj)

(xi-xj)

記v(i)為B對(duì)應(yīng)于λi的特征向量，且v(i)

v(i)=λi，i=1,2,…,p，此時(shí)令V(k)=(v(1),v(2),…,v(k))=(v1,v2,…,vn)

則稱(v1,v2,…,vn)為X的k維主坐標(biāo)。

定理12.2X的k維主坐標(biāo)是將X中心化后n個(gè)樣本的前k個(gè)主成分的值。12多維標(biāo)度法MDS及R使用12.3非度量方法

Shepard-Kruskal

算法：12多維標(biāo)度法MDS及R使用12.3非度量方法12多維標(biāo)度法MDS及R使用

Shepard-Kruskal

算法：12多維標(biāo)度法MDS及R使用12.4多維標(biāo)度法的計(jì)算過(guò)程

5

計(jì)算樣品間的距離矩陣3選擇樣品和變量2計(jì)算距離陣的古典解

分析樣品間的距離矩陣4

確定研究的目的1檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合效果6計(jì)算步驟

例12-4：

廣東省各地區(qū)農(nóng)村發(fā)展?fàn)顩r評(píng)價(jià)分析12多維標(biāo)度法MDS及R使用12.4多維標(biāo)度法的計(jì)算過(guò)程指標(biāo)：計(jì)算過(guò)程：

#在mvstats.xls:d12.2中選取A1:G22，拷貝12多維標(biāo)度法MDS及R使用12.4多維標(biāo)度法的計(jì)算過(guò)程X=read.table("clipboard",header=T)d=dist(X)fit=isoMDS(d,k=2)fit計(jì)算過(guò)程：12多維標(biāo)度法MDS及R使用12.4多維標(biāo)度法的計(jì)算過(guò)程x=fit$points[,1]y=fit