分?jǐn)?shù)階脈沖和四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和同步性

分?jǐn)?shù)階脈沖和四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和同步性近年來,分?jǐn)?shù)階微積分作為整數(shù)階微積分在階次上的任意推廣,在科學(xué)和工程領(lǐng)域的諸多分支的理論研究和應(yīng)用實(shí)踐中都獲得了廣泛地關(guān)注。這主要得益于和整數(shù)階微積分相比,分?jǐn)?shù)階微積分具有非局部性和弱奇異性。分?jǐn)?shù)階微積分最大的優(yōu)勢(shì)在于它能夠很好地描述具有記憶和遺傳特性的各種材料和過程。眾所周知,為了提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理二維數(shù)據(jù)的能力,人們提出了復(fù)數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),原因是復(fù)數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以在二維空間里將一個(gè)點(diǎn)看成一個(gè)整體來描述,而不是像實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣將這個(gè)點(diǎn)看作一個(gè)含有兩個(gè)數(shù)據(jù)的集合來處理。然而,在實(shí)際生活中,我們不可避免地會(huì)遇到處理三維數(shù)據(jù),像身體圖像,顏色圖像等。這個(gè)時(shí)候,復(fù)數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就失去了它的優(yōu)勢(shì)了,盡管我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^使用多個(gè)復(fù)數(shù)神經(jīng)元來實(shí)現(xiàn)三維數(shù)據(jù)的處理。于是,為了能夠直接處理三維數(shù)據(jù),人們提出了四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。由于四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠高效、緊湊地直接對(duì)三維數(shù)據(jù)編碼處理。因此,四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)迅速成為研究熱點(diǎn),并廣泛應(yīng)用于圖像壓縮,衛(wèi)星姿態(tài)控制,計(jì)算機(jī)制圖等領(lǐng)域。另外,很多實(shí)際應(yīng)用的系統(tǒng)模型,諸如調(diào)頻信號(hào)處理系統(tǒng),病理學(xué)中的節(jié)奏破裂模型,人口交互模型以及飛行物運(yùn)動(dòng)模型等,它們的狀態(tài)總是會(huì)不可避免地遭受瞬時(shí)的擾動(dòng),或者在某些特定的時(shí)刻突然產(chǎn)生了跳變。這些情況的發(fā)生主要來源于頻率的變化,切換現(xiàn)象或者一些突然噪聲干擾等,我們稱之為脈沖影響。本文主要結(jié)合上述涉及的內(nèi)容,研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和同步性問題。具體有以下幾方面內(nèi)容:首先,分別研究了一類分?jǐn)?shù)階脈沖非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,和一類帶有不確定參數(shù)的分?jǐn)?shù)階脈沖非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。基于分?jǐn)?shù)階微積分理論,脈沖微分方程理論,S-過程,Lyapunov直接方法和一些矩陣不等式,并通過設(shè)計(jì)合適的脈沖控制器,建立了一些判定研究模型的Mittag-Leffler穩(wěn)定性的充分性判據(jù)。第二,研究了一類狀態(tài)相關(guān)脈沖分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,和一類狀態(tài)相關(guān)脈沖分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題。通過運(yùn)用B-等價(jià)方法和分?jǐn)?shù)階微積分理論,所討論的狀態(tài)相關(guān)脈沖分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)(或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))可以弱化為固定時(shí)刻脈沖非線性系統(tǒng)(或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)),并且后者可以看作是前者的比較系統(tǒng)。同時(shí),給出了一系列說明狀態(tài)相關(guān)脈沖非線性系統(tǒng)(或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))和與之對(duì)應(yīng)的固定時(shí)刻脈沖系統(tǒng)(或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))具有相同的穩(wěn)定特性的充分性判據(jù)。此外,建立了一些判定研究模型的穩(wěn)定性的充分性條件。第三,研究了一類具有不確定參數(shù)的時(shí)滯分?jǐn)?shù)階憶阻復(fù)數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近同步性問題。在Filippov解和微分包含的理論支撐下,采取線性反饋控制理論并基于Lyapunov直接方法和比較定理的方法,建立了幾個(gè)用于判定所研究的驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)模型能夠?qū)崿F(xiàn)全局漸近同步的充分性判據(jù)。第四,研究了一類帶有線性閾值函數(shù)的分?jǐn)?shù)階四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局Mittag-Leffler穩(wěn)定性和同步性問題?；谒脑獢?shù)乘法的Hamilton法則,將研究模型分離成四個(gè)實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。于是,通過研究分離的實(shí)值模型的動(dòng)力學(xué)特征可以間接得到原模型的動(dòng)力學(xué)特征。然后,基于M-矩陣方法,給出了分?jǐn)?shù)階四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)的存在唯一性條件。此外,通過運(yùn)用Lyapunov直接方法,分?jǐn)?shù)階微分方程理論,矩陣特征值理論和一些不等式技巧,建立了幾個(gè)判定研究模型的唯一平衡點(diǎn)的全局Mittag-Leffler穩(wěn)定性判據(jù)以及相關(guān)驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)模型的全局Mittag-Leffler同步性判據(jù)。第五,研究了脈沖對(duì)帶有不確定參數(shù)的四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性的影響問題。討論了兩種情況:(i)脈沖四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)帶有穩(wěn)定的連續(xù)子系統(tǒng)和鎮(zhèn)定的脈沖的魯棒Mittag-Leffler穩(wěn)定性分析;(ii)脈沖四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)帶有不穩(wěn)定的連續(xù)子系統(tǒng)和鎮(zhèn)定的脈沖的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性分析。對(duì)于情形(i),通過運(yùn)用Lyapunov直接方法,脈沖微分方程理論和Laplace變換的方法,建立了幾個(gè)判定研究模型的零解是魯棒Mittag-Leffler穩(wěn)定性的判定條件。對(duì)于情形(ii),通過運(yùn)用Lyapunov直接方法,脈沖微分方程理論和數(shù)學(xué)歸納法,建立了幾個(gè)判定研究模型的零解是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的判據(jù)。最后,研究了狀態(tài)相關(guān)脈沖對(duì)帶有不確定參數(shù)的四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性的影響問題。由于四元數(shù)乘法的不可交換性,研究模型被分離成了四個(gè)實(shí)值網(wǎng)絡(luò)模型。然后,建立了幾個(gè)確保分離的實(shí)值狀態(tài)相關(guān)脈沖網(wǎng)絡(luò)模型的每一個(gè)解能夠且僅能夠和不連續(xù)平面碰撞一次的假設(shè)條件。同時(shí),通過運(yùn)用B-等價(jià)方法,所研究的狀態(tài)相關(guān)脈沖模型可以弱化為固定時(shí)刻脈沖模型,且后者可以看作是前者的比較系統(tǒng)。為了后續(xù)的分析,提出了一個(gè)新穎的分塊矩陣的范數(shù)不等式,該不等式在分析狀態(tài)相關(guān)脈沖模型和其弱化的固定時(shí)刻脈沖模型具