2024年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn)總結(jié)題型專訓(xùn)專題35最值問(wèn)題篇（原卷版+解析）

專題35最值問(wèn)題考點(diǎn)一：利用對(duì)稱求最值問(wèn)題知識(shí)回顧知識(shí)回顧基本知識(shí)點(diǎn)：①兩點(diǎn)之間線段最短；②點(diǎn)到直線的距離最短。求最值問(wèn)題的類型問(wèn)題基本圖形解題圖形解題思路與步驟如圖①：如圖，存在直線l以及直線外的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，直線上存在一點(diǎn)M，使得MP＋MQ的值最小。解題思路：找點(diǎn)作對(duì)稱解題步驟：①?gòu)膯?wèn)題中確定定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)。②作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)。通常情況下其中一個(gè)定點(diǎn)的關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)存在，找出即可。③連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)。與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即是動(dòng)點(diǎn)的位置。然后解題。如圖②：如圖，已知∠MON以及角內(nèi)一點(diǎn)P，角的兩邊OM與ON上存在點(diǎn)A與點(diǎn)B，使得△PAB的周長(zhǎng)最小。如圖③：如圖：已知∠AOB以及角內(nèi)兩點(diǎn)點(diǎn)P與點(diǎn)Q，角的兩邊上分別存在M、N使得四邊形PQMN的周長(zhǎng)最小。微專題微專題1．(2023?德州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E在BC上，CE＝2．點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（）第1題第2題A．6 B．3 C．2 D．42．(2023?資陽(yáng)）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)．若AB＝4，則AE+OE的最小值是（）A．4 B．2+2 C．2 D．23．(2023?菏澤）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CF＝BF，則MA+MF的最小值為（）第3題第4題第5題A．1 B． C． D．24．(2023?廣安）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．5．(2023?赤峰）如圖，菱形ABCD，點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上．∠ABC＝120°，點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（）A．3 B．5 C．2 D．6．(2023?安順）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為CD上一點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AF，交AF于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，N為EF的中點(diǎn)，M為BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MC，MN．若，則MC+MN的最小值為．第6題第7題7．(2023?內(nèi)江）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是．8．(2023?賀州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PEF的周長(zhǎng)最小值為．第8題第9題9．(2023?婁底）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝45°，點(diǎn)P、Q分別是BC、BD上的動(dòng)點(diǎn)，CQ+PQ的最小值為．10．(2023?眉山）如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，則PE+PB的最小值為．第10題第11題11．(2023?濱州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC且分別交對(duì)角線AC、直線BC于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，AF+FE+EC的最小值為．12．(2023?自貢）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF＝1，則GE+CF的最小值為．第12題第13題13．(2023?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作正方形DEFG．設(shè)DE＝d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（）A． B．2 C．2 D．414．(2023?安徽）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，則線段OP長(zhǎng)的最小值是（）A． B． C．3 D．考點(diǎn)二：利用確定圓心的位置求最短路徑知識(shí)回顧知識(shí)回顧解題思路：通過(guò)確定圓心的位置，利用定點(diǎn)到圓心的距離加或減半徑解題。確定圓心的方法：方法①：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)確定圓心。通常存在線段旋轉(zhuǎn)。方法②：直徑所對(duì)的圓周角等于90°。找90°的角所對(duì)直線的中點(diǎn)。通常出現(xiàn)兩個(gè)角相等。微專題微專題15．(2023?泰安）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（） B． C．﹣ D．﹣216．(2023?黃石）如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點(diǎn)E為高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF＝，F(xiàn)B+FD的最小值為．第16題第17題17．(2023?柳州）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長(zhǎng)的最小值為．18．(2023?無(wú)錫）△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△DCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC＝20°，則∠BAF＝°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是．專題35最值問(wèn)題考點(diǎn)一：利用對(duì)稱求最值問(wèn)題知識(shí)回顧知識(shí)回顧基本知識(shí)點(diǎn)：①兩點(diǎn)之間線段最短；②點(diǎn)到直線的距離最短。求最值問(wèn)題的類型問(wèn)題基本圖形解題圖形解題思路與步驟如圖①：如圖，存在直線l以及直線外的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，直線上存在一點(diǎn)M，使得MP＋MQ的值最小。解題思路：找點(diǎn)作對(duì)稱解題步驟：①?gòu)膯?wèn)題中確定定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)。②作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)。通常情況下其中一個(gè)定點(diǎn)的關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)存在，找出即可。③連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)。與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即是動(dòng)點(diǎn)的位置。然后解題。如圖②：如圖，已知∠MON以及角內(nèi)一點(diǎn)P，角的兩邊OM與ON上存在點(diǎn)A與點(diǎn)B，使得△PAB的周長(zhǎng)最小。如圖③：如圖：已知∠AOB以及角內(nèi)兩點(diǎn)點(diǎn)P與點(diǎn)Q，角的兩邊上分別存在M、N使得四邊形PQMN的周長(zhǎng)最小。微專題微專題1．(2023?德州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E在BC上，CE＝2．點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．4【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化ME，MC的值，從而找出其最小值求解．【解答】解：如圖，連接AE交BD于M點(diǎn)，∵A、C關(guān)于BD對(duì)稱，∴AE就是ME+MC的最小值，∵正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一定點(diǎn)，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，∵AB＝，∴AE＝＝2，∴ME+MC的最小值是2．故選：C．2．(2023?資陽(yáng)）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)．若AB＝4，則AE+OE的最小值是（）A．4 B．2+2 C．2 D．2【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問(wèn)題，需要通過(guò)軸對(duì)稱，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，再連接A'O，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短得到A'O為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線段A'O的長(zhǎng)度即可．【解答】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'O，其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，再作OF⊥AB交AB于點(diǎn)F，∵A與A'關(guān)于BC對(duì)稱，∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，當(dāng)且僅當(dāng)A'，O，E在同一條線上的時(shí)候和最小，如圖所示，此時(shí)AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，∴，∵A與A'關(guān)于BC對(duì)稱，∴AB＝BA'＝4，∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，在Rt△OFA'中，，故選：D．3．(2023?菏澤）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CF＝BF，則MA+MF的最小值為（）A．1 B． C． D．2【分析】當(dāng)MA+MF的值最小時(shí)，A、M、F三點(diǎn)共線，即求AF的長(zhǎng)度，根據(jù)題意判斷△ABC為等邊三角形，且F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出AF的長(zhǎng)度即可．【解答】解：當(dāng)A、M、F三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)M點(diǎn)位于M′時(shí)，MA+MF的值最小，由菱形的性質(zhì)可知，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∵F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，AB＝2，∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，∴在Rt△ABF中，AF＝＝．故選：C．4．(2023?廣安）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)T，連接PT，F(xiàn)T．首先證明四邊形ADFT是平行四邊形，推出AD＝FT＝2，再證明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)T，連接PT，F(xiàn)T．∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵DF＝CF，AT＝TB，∴DF＝AT，DF∥AT，∴四邊形ADFT是平行四邊形，∴AD＝FT＝2，∵四邊形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，∴E，T關(guān)于AC對(duì)稱，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PT+PF，∵PF+PT≥FT＝2，∴PE+PF≥2，∴PE+PF的最小值為2．故選：A．5．(2023?赤峰）如圖，菱形ABCD，點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上．∠ABC＝120°，點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（）A．3 B．5 C．2 D．【分析】根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是BC的中點(diǎn)E'，連接DE'交AC與點(diǎn)P，此時(shí)PD+PE有最小值，求出此時(shí)的最小值即可．【解答】解：根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是BC的中點(diǎn)E'，連接DE'交AC與點(diǎn)P，此時(shí)PD+PE有最小值為DE'，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，點(diǎn)A（﹣3，0），∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴DE'＝OC＝3，即PD+PE的最小值是3，故選：A．6．(2023?安順）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為CD上一點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AF，交AF于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，N為EF的中點(diǎn)，M為BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MC，MN．若，則MC+MN的最小值為．【分析】由正方形的性質(zhì)，可得A點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱，則有MN+CM＝MN+AM≥AN，所以當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN+CM的值最小為AN，先證明△DCG∽△FCE，再由＝，可知＝，分別求出DE＝1，CE＝3，CF＝12，即可求出AN．【解答】解：如圖，連接AM，∵四邊形ABCD是正方形，∴A點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱，∴CM＝AM，∴MN+CM＝MN+AM≥AN，∴當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN+CM的值最小，∵AD∥CF，∴∠DAE＝∠F，∵∠DAE+∠DEH＝90°，∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH＝90°，∴∠DAE＝∠CDG，∴∠CDG＝∠F，∴△DCG∽△FCE，∵＝，∴＝，∵正方形邊長(zhǎng)為4，∴CF＝12，∵AD∥CF，∴＝＝，∴DE＝1，CE＝3，在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，∴EF＝＝3，∵N是EF的中點(diǎn)，∴EN＝，在Rt△ADE中，EA2＝AD2+DE2，∴AE＝＝，∴AN＝，∴MN+MC的最小值為，故答案為：，7．(2023?內(nèi)江）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是．【分析】延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，則四邊形EFGC是平行四邊形，得CE＝FG，則AF+CE＝AF+FG，可知當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)即可．【解答】解：延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．8．(2023?賀州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PEF的周長(zhǎng)最小值為．【分析】如圖，在DC上截取DT，使得DT＝DE，連接FT，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥AB于點(diǎn)H．利用勾股定理求出FT＝，EF＝5，證明PE+PF＝PF+PT≥FT，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，在DC上截取DT，使得DT＝DE，連接FT，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥AB于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADT＝90°，∵∠AHT＝90°，∴四邊形AHTD是矩形，∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，∴FT＝＝＝，∵DG平分∠ADC，DE＝DT，∴E、T關(guān)于DG對(duì)稱，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，∵EF＝＝＝5，∴△EFP的周長(zhǎng)的最小值為5+，故答案為：5+．9．(2023?婁底）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝45°，點(diǎn)P、Q分別是BC、BD上的動(dòng)點(diǎn)，CQ+PQ的最小值為．【分析】連接AQ，作AH⊥BC于H，利用SAS證明△ABQ≌△CBQ，得AQ＝CQ，當(dāng)點(diǎn)A、Q、P共線，AQ+PQ的最小值為AH的長(zhǎng)，再求出AH的長(zhǎng)即可．【解答】解：連接AQ，作AH⊥BC于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），∴AQ＝CQ，∴當(dāng)點(diǎn)A、Q、P共線，AQ+PQ的最小值為AH的長(zhǎng)，∵AB＝2，∠ABC＝45°，∴AH＝，∴CQ+PQ的最小值為，故答案為：．10．(2023?眉山）如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，則PE+PB的最小值為．【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，交AC于點(diǎn)F，連接B′E交AC于點(diǎn)P，則PE+PB的最小值為B′E的長(zhǎng)度；然后求出B′B和BE的長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可求出答案．【解答】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，交AC于點(diǎn)F，連接B′E交AC于點(diǎn)P，則PE+PB的最小值為B′E的長(zhǎng)度，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，由對(duì)稱的性質(zhì)可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，∴B′B＝2BF＝4，∵BE＝BF，∠CBF＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BE＝BF＝B'F，∴△BEB'是直角三角形，∴B′E＝＝＝6，∴PE+PB的最小值為6，故答案為：6．11．(2023?濱州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC且分別交對(duì)角線AC、直線BC于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，AF+FE+EC的最小值為．【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H．利用相似三角形的性質(zhì)求出FH，EF，設(shè)BF＝x，則DE＝10﹣x﹣＝﹣x，因?yàn)镋F是定值，所以AF+CE的值最小時(shí)，AF+EF+CE的值最小，由AF+CE＝+，可知欲求AF+CE的最小值相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距離和最小，如圖1中，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′交x軸于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)PA+PB的值最小，最小值為線段A′B的長(zhǎng)，由此即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，∴四邊形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝5，∵BC＝AD＝10，∴AC＝＝＝5，∵EF⊥AC，∴∠COF＝90°，∴∠EFH+∠ACB＝90°，∵∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠EFH＝∠BAC，∴△EHF∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∴FH＝，EF＝，設(shè)BF＝x，則DE＝10﹣x﹣＝﹣x，∵EF是定值，∴AF+CE的值最小時(shí)，AF+EF+CE的值最小，∵AF+CE＝+，∴欲求AF+CE的最小值相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距離和最小，如圖1中，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′交xz軸于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)PA+PB的值最小，最小值為線段A′B的長(zhǎng)，∵A′（0，﹣5），B（，5），∴A′B＝＝，∴AF+CE的最小值為，∴AF+EF+CE的最小值為+．解法二：過(guò)點(diǎn)C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，連接C′F．∵EF＝CC′，EF∥CC′，∴四邊形EFC′C是平行四邊形，∴EC＝FC′，∵EF⊥AC，∴AC⊥CC′，∴∠ACC＝90°，∵AC′＝＝＝，∴AF+EC＝AF+FC′≥AC′＝，∴AF+EF+CE的最小值為+．故答案為：+．12．(2023?自貢）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF＝1，則GE+CF的最小值為．【分析】解法一：利用已知可以得出GC，EF長(zhǎng)度不變，求出GE+CF最小時(shí)即可得出四邊形CGEF周長(zhǎng)的最小值，利用軸對(duì)稱得出E，F(xiàn)位置，即可求出．解法二：設(shè)AE＝x，則BF＝3﹣x，根據(jù)勾股定理可得：EG+CF＝+，由勾股定理構(gòu)建另一矩形EFGH，根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短可得結(jié)論．【解答】解：解法一：如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH＝1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此時(shí)GE+CF的值最小，∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH＝CF，∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，∵AB＝4，BC＝AD＝2，G為邊AD的中點(diǎn)，∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，由勾股定理得：HG'＝＝3，即GE+CF的最小值為3．解法二：∵AG＝AD＝1，設(shè)AE＝x，則BF＝AB﹣EF﹣AE＝4﹣x﹣1＝3﹣x，由勾股定理得：EG+CF＝+，如圖，矩形EFGH中，EH＝3，GH＝2，GQ＝1，P為FG上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PG＝x，則FP＝3﹣x，∴EP+PQ＝+，當(dāng)E，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，EP+PQ最小，最小值是3，即EG+CF的最小值是3．故答案為：3．13．(2023?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作正方形DEFG．設(shè)DE＝d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（）A． B．2 C．2 D．4【分析】連接AE，那么，AE＝CG，所以這三個(gè)d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故當(dāng)AEFC四點(diǎn)共線有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如圖，連接AE，∵四邊形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條線上時(shí)，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，連接AC，∴d1+d2+d3最小值為AC，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，故選：C．14．(2023?安徽）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，則線段OP長(zhǎng)的最小值是（）A． B． C．3 D．【分析】如圖，不妨假設(shè)點(diǎn)P在AB的左側(cè)，證明△PAB的面積是定值，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線PM，連接CO延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)R，交PM于點(diǎn)T．因?yàn)椤鱌AB的面積是定值，推出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線PM，求出OT的值，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，不妨假設(shè)點(diǎn)P在AB的左側(cè)，∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線PM，連接CO延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)R，交PM于點(diǎn)T．∵△PAB的面積是定值，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴?AB?RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值為，當(dāng)點(diǎn)P在②區(qū)域時(shí)，同法可得OP的最小值為，如圖，當(dāng)點(diǎn)P在①③⑤區(qū)域時(shí)，OP的最小值為，當(dāng)點(diǎn)P在②④⑥區(qū)域時(shí)，最小值為，∵＜，故選：B．考點(diǎn)二：利用確定圓心的位置求最短路徑知識(shí)回顧知識(shí)回顧解題思路：通過(guò)確定圓心的位置，利用定點(diǎn)到圓心的距離加或減半徑解題。確定圓心的方法：方法①：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)確定圓心。通常存在線段旋轉(zhuǎn)。方法②：直徑所對(duì)的圓周角等于90°。找90°的角所對(duì)直線的中點(diǎn)。通常出現(xiàn)兩個(gè)角相等。微專題微專題15．(2023?泰安）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（）A． B． C．﹣ D．﹣2【分析】如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OM．證明∠AMD＝90°，推出OM＝AD＝2，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的⊙O．利用勾股定理求出OB，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OM．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的⊙O．∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值為﹣2．故選：D．16．(2023?黃石）如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點(diǎn)E為高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF＝，F(xiàn)B+FD的最小值為．【分析】首先證明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，BG，BG交CF于點(diǎn)F′，連接DF′，此時(shí)BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥CB，∴∠BAE＝∠BAC＝30°，∵△BEF是等邊三角形，∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠BCF＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，BG，BG交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F′，連接DF′，此時(shí)BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長(zhǎng)．∵∠DCF＝∠FCG＝30°，∴∠DCG＝60°，∵CD＝CG＝5，∴△CDG是等邊三角形，∴DB＝DC＝DG，∴∠CGB＝90°，∴BG＝＝＝5