2022-2023學(xué)年廣西南寧市高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣西南寧市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)試卷

(含解析)

一、單選題(本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知i為虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)心的共扼復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知平面向量N=(1,2),石=(—2,y)，若./武則N+石=()

A.(-1,-2)B.(-1,6)C.(-1,3)D.(-1,1)

3.若函數(shù)即)=[藍(lán)"乳>o,則)

A.1B.2C.3D.4

4.已知集合A={x|y=十x+3},+={工|<0},則力UB=()

A.(-3,+8)B.[-3,+a))C.(-3,3)D.[-3,3)

5.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0，則tan(a+])+sin(2a-3兀)=()

A.|B.-JC.D.手

6.如圖所示，△ABC的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的等邊△/TB'C',則在原圖中，BC邊上的高為()

/B'c7

A.2<6B.<6C.273D.C

7.若sina=2sin0,sin(a+/?)?tan(a—/?)=1,則tanatan/?=()

A.2B.1C.1D.1

8.在平行四邊形ABC。中，BE=^EC,DF=2FC>設(shè)荏=N，AF=b<則前=()

A.穎+的B.軻+額C.+D.+

二、多選題(本大題共4小題，共20分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知％,yG/?,i為虛數(shù)單位，且(％+l)i-y=-1+2i,復(fù)數(shù)z=(l-。"+兀則以下結(jié)

論正確的是()

A.z的虛部為一2iB.z的模為2

C.z的共輸復(fù)數(shù)為2iD.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

10.在△ABC中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,下列說(shuō)法中正確的是（）

A.“△4BC為銳角三角形”是“sinA>cosB”的充分不必要條件

B.若sin24=sin2B,則△ABC為等腰三角形

C.命題“若A>B,則sin4>sinB”是真命題

D.若a=8,c=10,B=l，則符合條件的△ABC有兩個(gè)

11.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若五?了=益々，且;3力6，則了42

B.若Z1，Z2為復(fù)數(shù),則圖-Z2|=|Z1|?㈤

C.設(shè)5是非零向量，若位+方|=|五一石則方.了=0

D.設(shè)Z1，Z2為復(fù)數(shù),若氏+Z2I=|Z1-Z2I，則Z1Z2=0

12.向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，

是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.若向量五，石滿足同=|可=2，|a+b|=273，貝女）

A.a-b——2B.益與石的夾角為5

C.|a-/?|>|a+Z?|D.萬(wàn)一b在b上的投影向量為一，b

三、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.己知命題p：mx（）6R,就+2%0+aW0,命題q：Vx>0,x+：>a,若p假q真，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為.

11—tan75°

1A4——.

15.若圓X2+y2-2ax—2by=0（a>0,b>0）被直線x+y=1平分，則：+看的最小值為

16.如圖，在△ABC中，已知前=寺反，P為AD上一點(diǎn),且滿足而=mCA+^CB,若△ABC

的面積為V3,乙4cB=全則I函的最小值為.

BD

四、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題12分)

設(shè)向量3、b滿足回=歷|=1,-@.|3a—2b\=\1~7?

(1)求N與了夾角的大?。?/p>

(2)求N+方與方夾角的大??；

(3)求瑞號(hào)的值.

18.(本小題12分)

在△4BC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)bsbiC="/WsinC+3cosC，人=會(huì)

(I)求心

(口)若BC,AC邊上的兩條中線4M,BN相交于P,AM=3,以P為圓心，r(0<rW1)為半徑

的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)7,求|方+而+3元|的最大值.

19.(本小題10分)

已知Q€R,復(fù)數(shù)Z=W.

l+i

(1)若z為純虛數(shù)，求a的值；

(2)在復(fù)平面內(nèi)，若2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求a的取值范圍.

20.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=\/~3sin2x+1-2cos2x.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在銳角三角形4BC中，角4、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若=a=3,B屋,

求aABC的面積.

21.(本小題12分)

已知向量蒼=b=(0,-1).c=(1,73).

(1)若五12，求k的值；

(11)當(dāng)/￡=1時(shí)，五一焉家共線，求4的值;

(in)若際1=4向，且記與^的夾角為150。，求

\m+2c\.

22.(本小題12分)

已知可,與是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量,而=2匹+與，南=-西+混，無(wú)=-2國(guó)+G，

且4,E,C三點(diǎn)共線.

(1)求實(shí)數(shù)；I的值；

(2)若可=(3,1),^=(-1,-2),求正的坐標(biāo)；

(3)已知在(2)的條件下，若4B,C,。四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)

4的坐標(biāo).

答案和解析

1.【正確答案】D

..」=1+，一+工

IT(l-i)(l+i)22'

???復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)為?一?，

1-122

復(fù)數(shù)告的共輾復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)6,-3)位于第四象限.

故選：D.

2.【正確答案】4

a=(1,2),石=(-2,y)，a//b>

則y=-2x2=-4,

a=(1,2),E=(-2,-4)，

^+^=(-1,-2).

故選：A.

3.【正確答案】C

根據(jù)題意，函物3={瑟工>o,則心)=4+1=5,

貝好=log28=3.

故選：C.

4.【正確答案】B

A=(x\x>—3),B={x|l<x<3}>

故Ak)B=[—3,+8).

故選:B.

5.【正確答案】D

因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一1,<3),

所以tana=4=—V3，

則tan(a+/)+sin(2a—3兀)=~^~~sin2a

12sinacosa

tanasin2a+cos2a

12tana_12x(-V3)_5V-3

tanatan2a+l—y/~33+16

故本題選D.

6.【正確答案】A

在直觀圖中，

???在原圖中，BC上的高4。=2，石.

故選：A.

7.【正確答案】A

田、/|cos(a+/?)=cosacosp-sinasin/?

/J(cos(a-0)=cosacos/3+sinasin^1

所以sinasin/?=1[cos(a-/?)—cos(a4-￡)],

所以sin(a+￡)sin(a-￡)=1(cos2/?-cos2a),

又sin(a+B),tan(a-￡)=1,

所以sin(a+B)?=1，即sin(a+0)sin(a-0)=cos(a—/?),

所以T(cos2/?—cos2a)=cos(a-/?),

所以g(l—2s譏20-14-2sin2a)=cos(a一夕)，即s譏2a—sin2p=cos(a一夕),

又sina=2sin/?,

所以4sin2p-sin2/?=cosacos/i+sinasin^,

所以4sin2s—sin2p=cosacos/?+2str^B,

所以si712s=cosacosp,

所以gsinasin/?=cosacos/?,即sinasin/?=2cosacos夕，

又易知cosacosp=0,

所以黑翳=2,即tanatan”2.

故選4

8.【正確答案】B

如圖：

因?yàn)樗倪呅瘟C。為平行四邊形，

所以前=荏+而，BC=AD，DC=AB，

因?yàn)檎f(shuō)反，而=2阮,

所以成=g前,DF=^DC,

所以荏=AB+BE=AB+1BC=AB+|AD,

,，>,2，>，>2>

AF=AD+DF=AD+^DC=AD+“B,

因?yàn)樽?萬(wàn)，萬(wàn)=石,

AB+^AD=aAB^a-^b

所以^4-=^解得

而=”-穎'

所以前=AB+AD=^a-^b+^b-^a=^a+^b,

故選:B.

9.【正確答案】BC

(%+l)i-y=-1+23

則第+1=2,—y=-1,解得％=1,y=1,

故z=(1-i)2=-23

z的虛部為-2,z的模為2,故4錯(cuò)誤，8正確；

2=23故C正確；z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(0,-2)位于虛軸負(fù)半軸上，故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.【正確答案】AC

若^ABC為銳角三角形,則46(0,分,BG(0胃)，且A+B>%即4>與一B,又AG(0,Qy-BG

(0,^),則sinA>sin(1-B)=cosB；反之，若B為鈍角，滿足sin4>cosB,不能推出△ABC為

銳角三角形，故/正確；

由sin2A=sin2B,得2A=2B或24+2B=兀，即A=B或4+B=],所以△ABC為等腰三角形

或直角三角形，故8錯(cuò)誤；

若A>B,則a>b,由正弦定理得即sin4>sinB成立，故C正確；

s】nAsmF

根據(jù)余弦定理得/=a2+c-2-2accosB,即產(chǎn)=82+1()2一2x8x10x"=84,所以b=2，五,

符合條件的△ABC只有一個(gè)，故。錯(cuò)誤.

故選/C.

11.【正確答案】BC

若五?石=五下，且萬(wàn)力正則方?(石一下)=0，即方或了=/故/錯(cuò)誤；

設(shè)Zi=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,de/?),

2222

\zr\=Va4-b?\z2\=Vc4-d，

貝“ZiZzI=\ac-bd+(ad+bc)i\=Va2c24-Z?2d24-a2d2+b2c2=(a2+62)(c2+d2)?

2

|z1z2|=J(a2+按)?2+d),故B正確；

因?yàn)檎藶榉橇阆蛄?，|a+b|=\a-b\r兩邊同時(shí)平方可得，(a+6)2=(a-6)2，

Wa2+b2+2a-b=a2+h2-2a-&-

所以方.方=0，故C項(xiàng)正確；

當(dāng)Zi=i,Z2=l時(shí)，滿足|zi+Z2I=|zi-Z2I，但不滿足Zi?Z2=0,故。項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.【正確答案】BD

???|a|=\b\=2，|a+6|=2J1，

所以12=|五+石產(chǎn)=矛+2役?石+鏟=4+22不+4，

解得,?b=2，A錯(cuò)誤;

設(shè)N,了的夾角為a,貝iJcosa=

\^\\b\2x22

由于ae[0,TT],

二五與石的夾角為全故8正確：

\a-b\=J@_赤=ja2-2a-fe+b2=74-2a-fe+4=2<[a+b\=2/3>故錯(cuò)誤；

a-了在了上的投影向量為逛0.X=邁式.且=_2=_與，故。正確.

網(wǎng)\b\2\b\\b\2

故選：BD.

13.【正確答案】(1,2)

命題P：由題意可得/=4-4aN0,解得a41；

命題q：由題意只需a<(x+又當(dāng)x>0時(shí)，x+：22,當(dāng)且僅當(dāng)x-1是取等號(hào)，所以a<2,

因?yàn)镻假q真，則｛：：；，所以l<a<2,

即實(shí)數(shù)a的范圍為(1,2).

故(1,2).

14.【正確答案】—苧

后Ttan450-tan75°垢/m。、V3

原式=l+tan450xtan75。=tan(-30)-V

15.【正確答案】3+2VI

由/4-y2-2ax—2by=0=>(%—a)24-(y-b)2=a2+Z?2,

所以該圓的圓心坐標(biāo)為(a,b),

因?yàn)閳A工2+y2—2ax—2by=0被直線x+y=1平分，

所以圓心(Q,b)在直線%+y=1上，

因此有a+b=1,i+|=(-+b(a+b)=3+-+^>3+2>[2,

7

ab'ab八ab

當(dāng)且僅當(dāng)卜與時(shí)，Q=JI—1，b=2—。時(shí)取等號(hào)，

故工+(的最小值為3+2y/~2-

ab

故3+2/2.

16.【正確答案】g

設(shè)族=AAD，則而=CA+AAD=CA+A(CD-C4)=(1-X)CA+|ACF.

_,_,4_,(1-A=m1

又CP=ma4+3C8,則《4_2],解得血=，

9匕=543

所以麗=3琳+9而，令|5|=X，I荏I=y，

則SZ^BC=||C7|x\CB\xsin^ACB=苧xy=<3>

所以%y=4,且無(wú)>0,y>0.

所以而F=#+梟2+捺孫=皋2+第2+■22j次嗒y2+荔=半

當(dāng)且僅當(dāng)#=監(jiān)丫2,即3x=4y,即3|兩=4|函時(shí)等號(hào)成立，

所以|函的最小值為去

17.【正確答案】⑴回=歷|=1.且囪-2了|=77,

即有畫-21)2=7.

即9a2-12a-b+4b2=7，

9—12x1xcos<a9~b>+4=7?

即有cos<a,h>=i,

由0<<a,b><71，

可得力與方夾角為全

(2)由0+了)不=互4+方2=：+1=5,

|a4-6|=-Ja2+b+2a-6=「1+1+1=y/~39

則cos<a+b>-b>=("￥>!=-2=r=

|a+6|-|Z>|^32

由于0<<a+b-b><71，

即有無(wú)+了與石夾角為親

(3)|3a+d|2=9a2+6a-b+h2=9+6x|+l=13,

即有囪+E|=713，

|3a—b|2=9a2—6a-h+h=9—6xg+l=7,

即有13萬(wàn)—b|=V-7，

故而^一〒，

18.【正確答案】(I)由正弦定理及bsinC=V^sinC+3cosC,A=冷得。5譏8=V3sinC+3cosC,

???csin(C+A)=2y/~3(^sinC+ycosC)，

???csin(C+1)=2csin(C+1),

??,Cw(0,亨)C+?E(/加)，二sin(C+?)H0,

???c=2AA3.

(n)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為%軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則4(0,0),8(0,3),設(shè)C(t,O),；.T|4"|=3,二t=2門，。(2門,0),

又rP為三角形的重心，.1),

???圓P：(x—V3)24-(y—I)2=r2(0<r<1),設(shè)T(rcos8+V_3,rsind+1),

TA=(—rcosd-A/~3,—rsind-1)，TB=(—rcosd,2—rsin。)，TC=(V3—rcosd,-1—

rsind),

:.TA+TB+3TC=(2V-3—Srcosd,—2—5rsin8)，

\TA+TB+3TC\2=(2/3-Srcosd)2+(-2-SrsinB)2==164-25r2+4Orsin(0—^)<

25r2+40r+16<25xl2+40x1+16=81,

\TA+TB+3TC\max=9.

B

4.NC

19.【正確答案】⑴z=：+：=；：+強(qiáng)b(7

因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以與1=0,且一早芋0,則a=l.

(2)由(1)知，2=等+竽口則點(diǎn)(芋，竽)位于第二象限，

所以｛?；弊得

所以Q的取值范圍是(一1,1).

20.【正確答案】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=>J~3sin2x+1-2cos2x=y/~3sin2x-cos2x=2sin(2x-^),

所以函數(shù)/*(%)的最小正周期T=7T.

令一、+2kn<2x—+2kji(kEZ),得—―4-kn<x<^+kji(kEZ),

所以函數(shù)/*(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為［Y+g尹而］,kez.

(2)因?yàn)閒(A)=y/~3所以2sin(2A—^)=V~3,即sin(24—7)=?，

f062

又4e(0j),所以2(_"(一%當(dāng),

乙666

所以2A—W或手所以或招，

當(dāng)4=印寸，=n-l-^=^,不符合