福建省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

福建師大附中20192020學(xué)年上學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)（理科）試卷試卷說(shuō)明：（1）本卷共三大題，22小題，解答寫(xiě)在答卷的指定位置上，考試結(jié)束后，只交答卷。（2）考試過(guò)程中不得使用計(jì)算器或具有計(jì)算功能的電子設(shè)備。第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則A．B．C．D．2.若非零向量，滿足，向量與垂直，則與的夾角為A．B．C．D．3.已知，則的大小關(guān)系為A．B．C．D．4.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為85.5尺，則芒種日影長(zhǎng)為A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺5.設(shè)是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，則“”是“對(duì)任意的正整數(shù)，”的A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件6.若，則A．B．C．D．己知某函數(shù)圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是A.B.C.D.8.17世紀(jì)德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為的等腰三角形（另一種是頂角為的等腰三角形）.例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金中，.根據(jù)這些信息，可得A.B.C.D.9.若x，y滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)（2，0）處取得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．B．C．D．10.已知平面向量滿足，若，則的最大值為A．B．C．D．11.已知函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是A．B．C．D．12.設(shè)函數(shù)()有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)()，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：每小題5分,共20分.13.邊界在直線及曲線上的封閉的圖形的面積為．14.16至17世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，約翰納皮爾正是在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)．后來(lái)數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即.現(xiàn)在已知，，則．15.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.現(xiàn)要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑,兩點(diǎn)間的距離，在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測(cè)得，，，，則,兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_______．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（），且滿足，若對(duì)恒成立，則首項(xiàng)的取值范圍是_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，.（1）求的值；（2）求的值.18.（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.19．（12分）如圖，在中，角的對(duì)邊分別為,.（1）求角的大??；（2）若為外一點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值.20．（12分）已知數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，記的最小值為，證明：.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，已知直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B．（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)P(1，2)，求的取值范圍．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）設(shè)函數(shù)的最小值為，實(shí)數(shù)滿足，，，求證：.

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：題號(hào)123456789101112答案CBCBCCACADDB二、填空題：13.14.15.16.三、解答題:17.解：（1）∵sinBsinC．由正弦定理得，bc，…………2分∵a﹣cb，∴a＝2c，，…………4分，由余弦定理知，cosA．…………6分（2）∵由（1）知，cosA．A為三角形內(nèi)角，∴sinA，……7分∴sin2A=……8分cos2A=…………9分∴＝sin2Acoscos2Asin．…………12分18.解：因?yàn)棰偎援?dāng)時(shí)，，得.…………1分當(dāng)時(shí)，②①②得，…………3分即，∴，…………5分符合上式.故．．．．．．．．．．6分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）在中，∵.∴，…………1分∴，∴，即，…………4分∵∴.…………6分（2）在中，又，則為等腰直角三角形，，……………8分又，………9分，……………11分當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值，最大值為.……………12分20.解：（1）時(shí)，…………1分①②①2×②…………4分滿足上式，故.…………5分（2），有累加整理①…………7分②②①得滿足上式，故.…………12分21.（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，………?分所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，若時(shí)，，在單調(diào)遞減；若時(shí)，，在單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．…………4分（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，，…………5分令，，則，令，，則，所以在單調(diào)遞減，又，，所以存在，使得，且，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，因?yàn)椋?，，則在單調(diào)遞減，所以，所以，因此當(dāng)時(shí)，，即．…12分22.解：（1）因?yàn)椋?，兩式相減可得直線的普通方程為.…………2分因?yàn)椋?，所以曲線的直角坐標(biāo)方程.…………4分（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程：.因?yàn)橹本€與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以上述方程有兩個(gè)不同的解，設(shè)為，則，.…………5分并且，注意到，解得.………6分因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，所以根據(jù)參數(shù)的幾何意義，有，…………8分因?yàn)椋裕?因此的取值范圍是.…