高三人教A版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)第六章不等式推理與證明第4節(jié)

第六章第4節(jié)[基礎(chǔ)訓(xùn)練組]1．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577548)設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) B．a(chǎn)<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a(chǎn)<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2) D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b解析：B[∵0<a<b，∴a<eq\f(a＋b,2)<b，A、C錯(cuò)誤；eq\r(ab)－a＝eq\r(a)(eq\r(b)－eq\r(a))>0，即eq\r(ab)>a，D錯(cuò)誤，故選B.]2．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577549)已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時(shí)x的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：B[∵0<x<1，∴1－x>0.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq\f(3,4).當(dāng)x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．]3．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577550)函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值是()A．2eq\r(3)＋2 B．2eq\r(3)－2C．2eq\r(3) D．2解析：A[∵x>1，∴x－1>0.∴y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋2x＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2x－1＋3,x－1)＝eq\f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝x－1＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(x－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x－1))))＋2＝2eq\r(3)＋2.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝1＋eq\r(3)時(shí)，取等號(hào)．]4．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577551)(2018·長(zhǎng)春市質(zhì)檢)設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最大值4 B.eq\r(ab)有最小值eq\f(1,2)C.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2) D．a(chǎn)2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)解析：C[由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，∴eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，∴ab≤eq\f(1,4)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4，因此eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝1＋2eq\r(ab)≤1＋1＝2，所以eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)，故選C.]5．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577552)要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元A．80元 B．120元C．160元 D．240元解析：C[設(shè)該容器的總造價(jià)為y元，長(zhǎng)方體的底面矩形的長(zhǎng)為xm，因?yàn)闊o(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積為4m3，高為1m，所以長(zhǎng)方體的底面矩形的寬為eq\f(4,x)m，依題意，得y＝20×4＋10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2×4,x)))＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥80＋20×2eq\r(x×\f(4,x))＝160eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝\f(4,x)，即x＝2時(shí)取等號(hào)))，所以該容器的最低總造價(jià)為160元．]6．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577553)當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為________.解析：因?yàn)閤＞1，所以x－1＞0.又x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)等號(hào)成立，所以a的最大值為3.答案：37．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577554)(文科)設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是________.解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b∵a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(2a＋b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即b＝2a時(shí)等號(hào)成立．答案：87．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577555)(理科)(2018·濟(jì)寧市一模)已知圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0關(guān)于直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)對(duì)稱，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為_________.解析：∵圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0?(x－1)2＋(y－2)2＝2，圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0關(guān)于直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)對(duì)稱，∴該直線經(jīng)過(guò)圓心(1,2)．把圓心(1,2)代入直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)，得2a＋2b∴a＋b＝eq\f(3,2)，a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2＋\f(b,a)＋\f(2a,b)))≥eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(\f(b,a)·\f(2a,b))))＝2＋eq\f(4\r(2),3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2a,b)＝eq\f(b,a)，即b＝eq\r(2)a時(shí)取得最小值2＋eq\f(4\r(2),3).答案：2＋eq\f(4\r(2),3)8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577556)(2018·天津河北區(qū)三模)已知a＞0，b＞0滿足a＋b＝ab－3，那么a＋2b的最小值為____.解析：因?yàn)閍＋b＝ab－3，所以ab－a＝b＋3.又因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a＝eq\f(b＋3,b－1)，所以a＋2b＝eq\f(b＋3,b－1)＋2b＝eq\f(b－1＋4,b－1)＋2(b－1)＋2＝eq\f(4,b－1)＋2(b－1)＋3≥2eq\r(\f(4,b－1)·2b－1)＋3＝4eq\r(2)＋3，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4,b－1)＝2(b－1)即b＝eq\r(2)＋1時(shí)取“＝”．答案：4eq\r(2)＋39．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577557)已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.證明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)≥2eq\r(\f(bc,a)·\f(ca,b))＝2c，eq\f(bc,a)＋eq\f(ab,c)≥2eq\r(\f(bc,a)·\f(ab,c))＝2b，eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥2eq\r(\f(ca,b)·\f(ab,c))＝2a.以上三式相加得：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)＋\f(ca,b)＋\f(ab,c)))≥2(a＋b＋c)，即eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.10．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577558)已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0，,3xy＝x＋y＋1.))(1)∵x＞0，y＞0，∴3xy＝x＋y＋1≥2eq\r(xy)＋1，∴3xy－2eq\r(xy)－1≥0，即3(eq\r(xy))2－2eq\r(xy)－1≥0，∴(3eq\r(xy)＋1)(eq\r(xy)－1)≥0，∴eq\r(xy)≥1，∴xy≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號(hào)成立．∴xy的最小值為1.(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號(hào)，∴x＋y的最小值為2.[能力提升組]11．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577559)(2018·金麗衢市聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝eq\f(2x2－a,x－1)(a<2)在區(qū)間(1，＋∞)上的最小值為6，則實(shí)數(shù)a的值為()A．0 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(1,2)解析：B[由題意得f(x)＝eq\f(2x2－a,x－1)＝eq\f(2x－12＋4x－1＋2－a,x－1)＝2(x－1)＋eq\f(2－a,x－1)＋4≥2eq\r(2x－1·\f(2－a,x－1))＋4＝2eq\r(4－2a)＋4，當(dāng)且僅當(dāng)2(x－1)＝eq\f(2－a,x－1)，即x＝1＋eq\r(\f(2－a,2))時(shí)，等號(hào)成立，所以2eq\r(4－2a)＋4＝6，即a＝eq\f(3,2)，故選B.]12．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577560)(理科)(2018·平頂山市一模)若對(duì)于任意的x＞0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)≥eq\f(1,5) B．a(chǎn)＞eq\f(1,5)C．a(chǎn)＜eq\f(1,5) D．a(chǎn)≤eq\f(1,5)解析：A[由x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)，令t＝x＋eq\f(1,x)，則t≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，t取得最小值2，eq\f(x,x2＋3x＋1)取得最大值eq\f(1,5)，所以對(duì)于任意的x＞0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a≥eq\f(1,5)，故選A.]12．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577561)(文科)(2018·邯鄲市調(diào)研)若正數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，則eq\f(4,a－1)＋eq\f(16,b－1)的最小值為()A．16 B．25C．36 D．49解析：A[因?yàn)閍，b>0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝ab，所以eq\f(4,a－1)＋eq\f(16,b－1)＝eq\f(4b－1＋16a－1,a－1b－1)＝eq\f(4b＋16a－20,ab－a＋b＋1)＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝20＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥20＋4×2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝36，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，即a＝eq\f(3,2)，b＝3時(shí)取等號(hào)．所以eq\f(4,a－1)＋eq\f(16,b－1)≥36－20＝16.]13．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577562)規(guī)定記號(hào)“?”表示一種運(yùn)算，即a?b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實(shí)數(shù))．若1?k＝3，則k的值為____________，此時(shí)函數(shù)f(x)＝eq\f(k?x,\r(x))的最小值為________.解析：1?k＝eq\r(k)＋1＋k＝3，即k＋eq\r(k)－2＝0，∴eq\r(k)＝1或eq\r(k)＝－2(舍去)，k＝1.f(x)＝eq\f(1?x,\r(x))＝eq\f(\r(x)＋x＋1,\r(x))＝1＋eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥1＋2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(1,\r(x))即x＝1時(shí)等號(hào)成立．答案：1314．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577563)(2018·安徽皖北片第一次聯(lián)考)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x(萬(wàn)元)．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450(萬(wàn)元)．每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元．通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．(1)寫出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？解：(1)∵每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元，∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬(wàn)元，①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)＝銷售收入－成本，∴L(x)＝(0.05×1000x)－eq\f(1,3)x2－10x－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250；②當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)＝銷售收入－成本，∴L