3-1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

§3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算1．導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念(2)如果函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)．記作f′(x)或y′.2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線(xiàn)的斜率k，即k＝_______．f′(x0)3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝__f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝_______f(x)＝cosxf′(x)＝_________f(x)＝exf′(x)＝___αxα－1cos__x－sin__xex04.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有(1)[f(x)±g(x)]′＝______________；(2)[f(x)·g(x)]′＝__________________；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝__________，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于_____的導(dǎo)數(shù)與_____的導(dǎo)數(shù)的乘積.yu′·ux′y對(duì)uu對(duì)x【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率.(

)(2)曲線(xiàn)的切線(xiàn)不一定與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn).(

)(3)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)一定是曲線(xiàn)的切線(xiàn).(

)(4)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)＝cosx．(

)【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×1．若f(x)＝x·ex，則f′(1)等于(

)A．0

B．eC．2eD．e2【解析】

f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.【答案】

C5．曲線(xiàn)y＝－5ex＋3在點(diǎn)(0，－2)處的切線(xiàn)方程是________．【解析】

因?yàn)閥′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)(0，－2)處的切線(xiàn)方程為y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.【答案】

5x＋y＋2＝0【思維升華】

求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；遇到函數(shù)的商的形式時(shí)，如能化簡(jiǎn)則化簡(jiǎn)，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量．跟蹤訓(xùn)練1(1)f(x)＝x(2017＋lnx)，若f′(x0)＝2018，則x0等于(

)A．e2B．1C．ln2D．e(2)已知函數(shù)f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a為實(shí)數(shù)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．若f′(1)＝3，則a的值為_(kāi)_______．題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義角度一求切線(xiàn)方程【例2】

(1)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，－3)處的切線(xiàn)方程是________．(2)已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線(xiàn)y＝f(x)相切，則直線(xiàn)l的方程為(

)A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝0角度三求參數(shù)的值【例4】

(1)(2018·泉州模擬)函數(shù)y＝ex的切線(xiàn)方程為y＝mx，則m＝________．【解析】

(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0，y0)，由y′＝ex，得y′|x＝x0＝ex0，從而切線(xiàn)方程為y－ex0＝ex0(x－x0)，又切線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(0，0)，從而－ex0＝ex0(－x0)，解得x0＝1，則m＝e.【思維升華】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：k＝f′(x0)．(2)已知斜率k，求切點(diǎn)A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2018·開(kāi)封模擬)曲線(xiàn)f(x)＝x3－x＋3在點(diǎn)P處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)y＝2x－1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)和(－1，3)D．(1，－3)(2)(2018·云南一檢)已知函數(shù)f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的圖象在x＝1處的切線(xiàn)方程為2x－y＝0，則a＋b＝________．【解析】

(1)f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，則3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(1，3)，(－1，3)均不在直線(xiàn)y＝2x－1上，故選C.(2)由題意，得f