人教版必修第二冊直線與直線垂直教案

8.6.1直線與直線垂直

一、教學(xué)目標(biāo)1.理解兩異面直線所成角的定義，會求兩異面直線所成的角

2.掌握證明兩條異面直線垂直的方法

二、教學(xué)重點(diǎn)理解異面直線所成角的定義以及證明兩直線垂直

教學(xué)難點(diǎn)會求兩異面直線所成的角

三、教學(xué)過程

1、復(fù)習(xí)回顧情境引入

問題1：空間兩條直線有哪些位置關(guān)系

相交直線——只有一個公共點(diǎn)

共面在線

I平行直線｝沒有公共點(diǎn)

異面直線

觀察：如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，直線A'C'與直線AB,直線A'D'與直線

AB都是異面直線,直線A'C與A'D'相對于直線AB的位置相同嗎?如果不同，

如何表示這種差異呢？

答：我們知道，平面內(nèi)兩條直線相交形成4個角，其中不大于90°的角稱為

這兩條直線所成的南（或夾角），它刻畫了一條直線相對于另一條直線傾

斜的程度，類似地，我們也可以用“異面直線所成的角”來刻畫兩條異

面直線的位置關(guān)系

2、探索新知

1）異面直線。與b所成的角（或夾角）

如圖，已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)。分別作直線我

們把直線"與//所成的

角叫做異面直線。與b所成的角（或夾角）

問題1：直線a、b所成角的大小與點(diǎn)。的位置有關(guān)嗎?

2）異面直線互相垂直

如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線

a與直線b垂直,

記作a±b

特別的，當(dāng)兩條直線a、b相互平行時，我們規(guī)定它們所成的角為0。.所以空間兩

條直線所成角a的取值范圍是0°<a<90°

【例1】如右圖，已知正方體ABCD-ARCR

(1)哪些棱所在的直線與直線AA]垂直？

(2)求直線BA與CC所成角的大小

11

(3)求直線BA_與AC所成角的大小

解：(1)棱AB、BC、CD、DA、B|C「CjDpRA1所在直線與直線AA1

垂直

⑵在正方體ABCD-A|B￡D|中，因?yàn)镃C&BB],所以NB〔BA為直線

BA1與CC,所成的角.而NB|BA=45。

(3)連接A￡、BC「所以NB|BA為直線BA,與C￡所成的角.在正方體

ABCD-A|B]C|D]中，AC〃A|C「則NBAg1為直線BA1與AC所成

的角.而△A|BC]是等邊三角形，所以NBA￡=60°,從而直線BA,

與AC所成的角等于60。

【例2】如圖所示，在長方體48CZ)—EFGH中，AB=AD^2y[i,4E=2

HG

(1)求直線BC和EG所成的角

(2)求直線AE和BG所成的角

解：⑴連接AC

■:EG"AC,：.Z.ACB即是BC和EG所成的角

?.?在長方體A8CD-E尸G”中，AB=AD=2小

；.tanNACB=l,二NACB=45°

直線BC和EG所成的角是45。

(2)'：AE//BF

NFBG即是AE和BG所成的角.

易知tanNFBG=4§

NFBG=60°

：.直線AE和BG所成的角是60°

方法規(guī)律：求兩異面直線所成角的三個步驟

(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角

(2)證：證明作出的角就是要求的角

(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出

可用“一作二證三計(jì)算”來概括.同時注意異面直線所成角的范圍是0。(區(qū)90。

【例3】如右圖，在正方體ABCD-ABCD中，0為底面ABCD的中心，求證:AO，BD

1111111)11

證明：如圖，連接8。

11

ABCQ-ABCO是正方體，:.BB11￡>D

1111I-I

??.四邊形83。。是平行四邊形???.5D//BD

?iii

廠.直線AO與BD所成的角即為直線AO與8。所成的角

111?

連接A3,AD,易證A3=4。

1111

又。為底面A8C。的中心，.??0為8。的中點(diǎn)

1iiii?1?

??.AO1BD

111

/.AO1BD

1

【例4】空間四邊形ABCD,E,F,G分別是BC,AD,DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G=2,GE=木,

EF=3

求證：AC1BD

證明：?.?點(diǎn)G,E分別是CD,BC的中點(diǎn)

Z.GE/7BD,同理GF〃ACv/\\

NFGE或NFGE的補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角/\'''\\

在aEFG中，VFG=2,GE=小，EF=3

滿足FG2+GE2=EF2

ZFGE=90°

即異面直線AC與BD所成的角是9(r....AC_LBD

方法規(guī)律：證明兩條異面直線垂直的步驟：

(1)，恰當(dāng)選點(diǎn)，用平移法構(gòu)造出一個相交角

(2)證明這個角就是異面直線所成的角(或補(bǔ)角)

(3)把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構(gòu)造

的角的度數(shù)

(4)給出結(jié)論：若求出的平面角為直角，垂直得證

四、課堂練習(xí)

P練習(xí)

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1、如圖，在正方體ABC。-A181cpi中，C￡>］與。J相交于點(diǎn)O,求證：AOYA}B.

A,

證明：如圖，?.?ABC￡>—A1B￡O1是正方體

：.AyDx//BC

：.四邊形A}DyCB是平行四邊形

，直線AO與4盧所成南即為直線A0與QC所成角

連接4C,ADr易證AC=A0

又。為CQ的中點(diǎn)

：.AO±DiC

：.AOA.A}B

2、如圖所示，A8是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D、E分別是V8、氣的中

點(diǎn)，求異面直線DE與

A8所成的角

解：因?yàn)?。、E分別是V7?、VC的中點(diǎn)

所以BC//DE

因此NABC是異面直線DE與AB所成的角

又因?yàn)锳B是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)

所以△ABC是以NACB為直角的等腰直角三角形

所以NABC=45°

故異面直線DE與AB所成的角為45°

五、課堂小結(jié)

1、在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直

線所成的角，將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)