2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

z_2（2-i）

1.復(fù)數(shù)l-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【正確答案】A

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡復(fù)數(shù)，即可得復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)，進(jìn)而確定所在象限.

2（2-i）（2-i）（l+i）3+i

【詳解】由題意得三一＜=2xk=3+i,

l-i+2

所以Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（3,1）,位于第一象限.

故選：A

2.若a為平面，有下列命題，其中真命題的是（）

A.若直線/平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，貝U〃a

B,若直線a在平面。外，則。平面a

C.若直線a6,直線bu平面a,則。平面a

D.若直線?！ǔ餬平面a,則〃平行于平面1內(nèi)的無數(shù)條直線

【正確答案】D

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系可直接判斷.

【詳解】A項還可能/ua,故A錯誤：

B項還可能。與平a交，故B錯誤；

C項還可能aua,故c錯誤；

由直線與平面平行的性質(zhì)以及平行的傳遞性可知D正確.

故選：D.

3.已知圓錐的體積為其中S為圓錐的底面積，〃為圓錐的高.現(xiàn)有一個空杯子，盛水

3

部分為圓錐（底面半徑為4cm,高為8cm）,現(xiàn)向杯中以8cm?/s的速度勻速注入水，則注

水Mo</<io)s后，杯中水的高度為()

D.2；怪cm

V兀

【正確答案】D

【分析】根據(jù)已知條件及圓錐的體積公式即可求解.

【詳解】假設(shè)注水［0<，<10)s后，杯中水的水面半徑為xcm,則

Q

杯中水的高度〃=-x=2xcm,

4

所以17tx2x2x-8t,31?/

解得

3

故杯中水的高度〃=2

故選：D.

4.如圖，在正四棱錐。中，側(cè)棱長均為4,且相鄰兩條側(cè)棱的夾角為30°,E，F(xiàn)

分別是線段08,。。上的一點(diǎn)，則4E+M+ED的最小值為()

C.272D,472

【正確答案】D

【分析】將正四棱柱的側(cè)面展開，可知NE+即+尸。的最小值為Z。，然后在中

求解即可

【詳解】如圖，將正四棱柱的側(cè)面展開，

則++的最小值為AD?

在△04。中，04=00=4,N4O￡>=90。,

則AD=&OA=472.

故選：D

5.如圖所示，HB'C'是水平放置的Z8C的斜二測直觀圖，其中O'C'=OW=2O'8'=2,

則以下說法正確的是（）

C'/O'rx'

A.Z8C是鈍角三角形B./8C的面積是HB'C'的面積

的2倍

C.8點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,JI）D.N8C的周長是4+4J5

【正確答案】D

【分析】將N'8'C'還原成原圖依次分析選項可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，將H6'C'還原成原圖，如圖，

對于A,中，有OC=O/=O8=2,AC工0B,所以BC=AB=2g，AC=4,

故Z8C是等腰直角三角形，A錯誤；

1./?

對于B,N8C的面積是一N8xO8=4,HB'C'的高為O'8'xsin45°=注，

22

所以HB'C'的面積為,力。&也=正，的面積是A'B'C'的2近倍，B錯誤;

22

對于C,因為。6=2,8的坐標(biāo)為（0,2）,C錯誤；

對于D,Z8C的周長為BC+/8+ZC=4+40，D正確

故選：D.

B

6.已知4/2eCjz「Z2|=2&,|zJ=2jz2|=2,則區(qū)+22|=()

A.272B.2C.1D.y

【正確答案】A

【分析】設(shè)Z1=a+6i,Z2=〃?+〃i,根據(jù)已知可得/+/,/+總2am+2bn,代入

匕?+z2|=J(a+—)2+(>+〃)-計算可得答案，

【詳解】設(shè)4=a+6i(a,6eR),z2=m+m[r)i,nGR),

所以/+/=4，m2+/?2=4?

因為%—Z21二2日，所以(a-加『+(b1=8,

即2am+2hn=0,所以

2

|zt+z2|=Q(a+m)~+(6+〃『-J/+b+加?+/+2ab+2nm=2^2?

故選：A.

7.如圖所示，在空間四邊形中，點(diǎn)E,H分別是邊,力。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸，G分

CC7

別是邊8C,上的點(diǎn)，且——=—=；,則下列說法正確的是()

CBCD3

A.EF與GH平行

B.EF與GH異面

C.EE與GH的交點(diǎn)”可能在直線/C上，也可能不在直線NC上

D.ER與GH的交點(diǎn)A/一定在直線ZC上

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，連接E，，F(xiàn)G,由線面的平行關(guān)系，即可得到結(jié)果.

【詳解】如圖所示：

因為凡G分別是邊BC,8上的點(diǎn)，且絲=更=],

CBCD3

2

所以GF//BD,且Gb=-8O.

3

因為點(diǎn)E,，分別是邊N8,的中點(diǎn)，

所以EH//BD,且

2

所以EH//GF,且EH羊GF,

所以EF與G4相交，設(shè)其交點(diǎn)為例，

則Mw平面ABC,同理“e平面ACD.

又平面ABCc平面ACD=AC,

所以M在直線4C上.

故選:D

22

8.已知銳角45C中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為〃、b、c,a=b+bc，若

cos(C-8)+；lcosZ存在最大值，則實數(shù)4的取值范圍是()

A.(0,V2)B.(1,V3)C.(0,2)D.(2,4)

【正確答案】C

【分析】利用余弦定理結(jié)合正弦定理化簡可得出4=28,根據(jù)Z8C為銳角三角形可求得

角8的取值范圍，利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡得出

cos(C-5)+2cos^=-2cos225+Acos25+l,求出cos23的取值范圍，根據(jù)二次函

數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于實數(shù)2的不等式，解之即可.

【詳解】由余弦定理可得/=〃+/-2bccos/=〃+A，則c-2bcos/=b,

由正弦定理可得sin8=sinC-2sin5cos^=sin(/+8)—2cos4sin8

=sinAcosB+cosAsinB-2cos力sin8=sinAcosB-cos4sin3=sin(4—8),

因為/8C為銳角三角形，則0</<W，0<5<-,所以，」<A_B<三,

2222

（兀兀）

又因為函數(shù)y=sinx在一5,5內(nèi)單調(diào)遞增，所以，A—B=B,可得4=25,

?兀?7T

0<A<—0<25<-

22

兀71兀兀

由于N8C為銳角三角形，則<0<B<~,即Q<B<—,解得一<8<—

2264

0<C<-0<7i-35<-

[2[2

cos（C一4）+4cosA=cos（兀-48）+Xcos25=2cos2B-cos4B

=-2cos?2B+A,cos2B+1，

TTTV1

因為一<26<一,則Ovcos2B<一,

322

21

因為—2COS?28+%cos28+1存在最大值，則0<一<—<解得0<4<2.

42

故選：C.

方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)最值的不同求法：

①利用sinx和cosx的最值直接求；

②把形如y=asinx+bcosx的三角函數(shù)化為y=Zsin（Q）X+夕）的形式求最值；

③利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值：

④形如y-asin2x++=acos2x+bcosx+c轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知2=（1,3）》=（—2,1）1=（3,—5）,則（）

A.（a+2h）rcB.（5+26）//c

C.\a+c\=2D.|萬+司=2忖

【正確答案】BD

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積、用坐標(biāo)求向量的模、共線向量的坐標(biāo)

表示逐項計算判斷作答.

【詳解】￡=(1,3)1=(一2,1),"=(3,—5)

對于A,a+2b=(-3,5))(a+lb)-c=-3x3+5x(-5)0，a+2^與c不垂直,A不正

確：

對于B,a+2b=(-3,5)=-c>有(a+26//c,B正確;

對于C,a+c=(4,-2)，有|￡+J|=j42+(—2)2=2#,C不正確；

對于D,|b|=7(-2)2+12=V5>由選項C知|￡+"|=2jL|￡+"=2向，D正確.

故選：BD

10.如圖，在下列四個正方體中，48為正方體的兩個頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則

在這四個正方體中，直線Z8與平面0切平行的是()

【分析】對A,C,利用線面平行的判定定理即可判斷；對C,將平面?！晔瑪U(kuò)展，即可得

出與平面。EE相交；對D,由。產(chǎn)與其所在的對角線平行，而與對角線相交，可知

48與平面。EF相交.

【詳解】解：對于A,AB//DE,AB(Z平面DEF,DEu平面DEF,

???直線與平面。E尸平行，故A正確；

對于B,如圖，取正方體所在棱的中點(diǎn)G,連接FG并延長，交工8延長線于4,則N8與

平面?！晔嘟挥邳c(diǎn)”，故B錯誤；

D

對于C,AB//DF,46（Z平面。EHOEu平面。ER

r.直線與平面。E尸平行，故C正確；

對于D,45與。尸所在平面的正方形對角線有交點(diǎn)8,與該對角線平行，

直線48與平面OE/相交，故D錯誤.

故選：AC.

11.在Z8C中，角48,C所對的邊分別為“c,下列說法中正確的是（）

A.若/>8,則sin/>sin8B.若仁=上-,則Z8C為等腰

cosBcosA

直角三角形

C.a=-----------------D.若tarU+taafi+tanCO,則

sinNsin5+sinC

N6C為鈍角三角形

【正確答案】ACD

【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和三角形的面積公式，比例的等比

性質(zhì)的應(yīng)用判斷結(jié)論.

【詳解】對于A,若A>B，所以。>b,利用正弦定理可得2Rsin/>2Rsin8,所以

sin4>sin8,故A正確;

對于B,由于4=工，利用正弦定理可得sin/cos4=sin8cos8,整理得

cosBcosA

]sin2Z=!sin28,即sin2/=sin23,所以2/=28或24+23=兀，所以4=8或

22

7T

A+B=~,所以48c為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；

2

對于C,由正弦定理，一=▲—=」一=2火，所以

sinAsinBsinC

6+c2RsinB+2HsinCa

---------=--------------=2R=——,故C正確；

sinB+sinCsinB+sinCsiM

對于D,由于tarvl+tanS+tanCvO,

所以tan4+tan8+tanC=tan(4+8)(l-tanAtan8)+tanC

=-tanC+tanC+tarvitan5tanC=tarL4tan5tanC<0,

因為0〈4B,Cv兀，所以43。中必有一個鈍角，故Z8C為鈍角三角形，故D正確.

故選：ACD.

12.在N8C中，P,。分別為邊/C,8C上一點(diǎn)，BP,AQ交于煎D,且滿足N=f定,

麗=/1反，BD^juDP,AD-mDQ,則下列結(jié)論正確的為()

12

八.若/=—且義=3時，則加=—,〃=9

23

B.若〃=2且加寸，則4=1,t=-

32

,1212,

C.若-----=1時，則------=1

AtRt

tfj.Am

n--------------------------

(1+//)(1+Z)(l+/n)(l+2)

【正確答案】AD

2/+1IT)1ITJ

【分析】根據(jù)向量共線定理的推論，得到‘一———=1,

1+4tm+11+4加+1

1L."J——J=l,代入相應(yīng)的變量的值，求出其他變量，從而判斷AB

1+Z2〃+11+Z〃+1

tA+Z11121

選項，對上式變形得到一^一7+;-=1+—，假設(shè)-----=1成立，推導(dǎo)出一=0,得到

U+21+rpi2tA

2n+1m14+1,

矛盾，故c錯誤，根據(jù)向量共線定理的推論得到「??仁---------+-——匕一=1,

1+Z〃m+\\+m〃

M/n+1t1w+1,.tR_加〃

l+〃mZ+l+l+//m，乂形得到(1+4)(1+/)(l+m)(l+2)-

【詳解】由題意得：AC^^-AP,而=如出力，BQ=AQC，

tm

AQ-AB^A（JC-AQ）,即而=——AC+——AB

1+丸1+4

口r加+1m4，+11~1,~

即------AD=-------------AP+------AB,

m14"?!t1+4

ll?m%E+1/71,~1H1-,rr

所以AD-------------------APH--------------AB,

1+丸tni+11+Az/7+1

因為民三點(diǎn)共線，

o---F1[

當(dāng)且時37m1m

/=,2=3,---------幺-------------1----------------1,

21+31加+11+3加+1

2

2

解得：m=一,

3

「等而，心竽初

AP^tPC＜所以麗-麗=t網(wǎng)-麗）,

即旃=」一品+」-前，

1+￡1+￡

即壯前」.但取一雙

〃l+Z21+Z

所以=------^—BA,

1+fA.〃+11+z〃+1

因為a。,。三點(diǎn)共線，

t2+1Ll1LI.

所以....................-+---------=1,

1+zZ〃+1\+t〃+1

1

當(dāng)/=2且4=3時,23+1〃?1____

21+13〃+11+1〃+1

22

解得：〃=9,

故A正確；

AZ+l13t2+113

若"=2且加=1時,-------------+——=2,------------------------------二—

1+4t1+41+/X1+/2

解得：B錯誤;

23

A+l〃1〃tX+111

-------------------1----------------1,變形為:-------+——=1+

1+zA,〃+11+/〃+1"+A1+z5①

1211

若-----=1時，貝ijf-24=2f,代入①式得：--------二1

At〃1+，

121?

假設(shè)---1-成-立，則---=—,解得：t=—2，

〃t1+￡t

此時—=0,顯然無解,故假設(shè)不成立，故C錯誤;

A//+1m+14+1m+\t1m+1,

同理可得:=1,4--------------+---------------=1,

1+2"777+11+加〃1+〃mZ+l1+〃m

m1m^-\

所以一

1+4Z+1加+11+〃(加+1)(1+〃)，

2tn加〃一1

1+4加+1〃+11+用(加+1)。+")'

t/.iAm

所以

(1+4)(1+Z)(1+77?)(1+4)

D正確.

故選：AD

利用向量共線定理的推論得到關(guān)系式，然后解決向量的倍數(shù)關(guān)系，本題中要能在多個等式中

進(jìn)行適當(dāng)變形，然后找到等量關(guān)系

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知|萬月3|=3,。是與向量B方向相同的單位向量，向量萬在向量日上的投影向量為

3

-e,則2與方的夾角為

2

【正確答案】600##。

3

【分析】根據(jù)向量3在向量B上的投影向量為士巨，由夫;求解.

2\b\2

3

【詳解】解：因為向量方在向量B上的投影向量為萬)，

a-b3

所以

\b\網(wǎng)2

即COS(a,3)=5,

因為,

所以?&=60。,

故60°

14.棱長為1的正方體紙盒展開后如圖所示，則在原正方體紙盒上，分別將A/,N,C,Z)四

點(diǎn)兩兩相連，構(gòu)成的幾何體的表面積為.

【正確答案】2百

【分析】在原正方體紙盒上，分別將四點(diǎn)兩兩相連，即可得出。-朋NC為正

四面體，求出表面積即可.

【詳解】在原正方體紙盒上，分別將N,N,C,。四點(diǎn)兩兩相連，如圖所示，

因為MN,MC,MD,ND,NC,CD為正方體的面對角線，

所以MN=MC=MD=ND=NC=CD=4i，

所以0-MNC為正四面體，

所以表面積為：—x(V2)2x4=2V3.

4

故2百.

兀力/)1

15.在Z8C中，。是8C邊上一點(diǎn)，且6=^,——=—,若。是8C的中點(diǎn)，則

6BD2

—=;若力。=4百，則A4OC的周長的最大值為.

AB

【正確答案】①.②.8+4G##4G+8

33

【分析】第一空，先在△Z60中利用余弦定理得到/8=且8。，再在Z8C中利用余

2

弦定理得到4C=也8D，從而得解；第二空，先求得=工，從而在△ZDC中,

23

利用余弦定理與基本不等式求得Z0+8W8,從而得解.

【詳解】因為。是6C的中點(diǎn)，則/。=吆=生，B=j

246

在△Z80中，由余弦定理可得ZD?=8。2+工82—80?cos6，

即%=BD°+AB—ABBDx?，整理得AB2-超ABBD+-BD2=O,

424

解得-包8。=0,所以AB=曲BD，

22

在Z8C中，由余弦定理得AC?=8C2+/B2-2Z8.8C.COS8

,3當(dāng)BDx2BDq=『D'

=4BD2+-BD27-2X

4

6ffD.AC圣BD而

即AC=?BD，

2施BBD3

2

若4c=46，B=gBD=2AD,由上述知Z8=中6。=6Z。，

62

TT?71

所以8。2=4/。2=/82工。2,則故,則4。。=—

33

在△NOC中，由余弦定理得/。2=/02+82一2/。.8405乙4。。，

即48=AD2+CD2+ADCD=(AD+CD\-ADCD

>(JZ)+CD)2-AD+CD

2

則（40+8）2W64,即ZO+C0W8,當(dāng)且僅當(dāng)CD=4時，等號成立,

故力。+CD+ZCW8+4百，即"DC的周長的最大值為8+4百.

故與；8+43

易錯點(diǎn)睛：本題容易犯錯的點(diǎn)是第一空的條件用于第

二空，或者在第二空的解析過程中被第一空的條件。是8C的中點(diǎn)誤導(dǎo)，導(dǎo)致走了彎路.

16.已知N6C中，|而『+2萬.％=9J豆4=3,則Z8C面積的最大值是.

【正確答案】3

【分析】利用條件結(jié)合余弦定理，求出2c2+〃=18，cosA=—,再求出

sinA=71-cos2A=Ql-=:x716c2-b2=:x7144-%2>代入面積公式

SABC二3灰^出工轉(zhuǎn)化為關(guān)于^的二次函數(shù)即可求解?

【詳解】由題知，/8C如圖所示：

BaC

因為||2+2AB-AC=9，所以c?+2chcos/=9，

由余弦定理得：a2=b2+c2-26ccos4=9=b2+c2-2bccosA，

聯(lián)立解得：2c2+/=18，cos/=3，

所以sinZ=A/1-COS2A=Jl-〔：,,=}xV16c2-b2=-^-xJ144-9"，

所以S--bcsmA=—xZ)xcx—xV144-9Z)2=—xA/144/)2-9/74,

ABC224c8

=1X^-9(62-8)2+576<3.

故3.

考查了解三角形中余弦定理，面積公式等相關(guān)知識點(diǎn)，對于范圍問題可嘗試轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)

或基本不等式來分析求解.

四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.

解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，三棱柱Z8C-481cl中，44i_L平面/BC,D、E分別為小囪、/4的中點(diǎn)，點(diǎn)尸

在棱48上，且/尸=248.

4

(1)求證：EP〃平面8DG；

(2)在棱力C上是否存在一個點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：

15,若存在，指出點(diǎn)G的位置；若不存在，說明理由.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)點(diǎn)G不存在，理由見解析

【分析】(1)取的中點(diǎn)根據(jù)“尸得到尸為/〃的中點(diǎn)，又E為/小的中點(diǎn),

4

根據(jù)三角形中位線定理得EF〃小從而在三棱柱Z8C-45G中，小。8"為平行四邊形,

進(jìn)一步得出EF〃8D.最后根據(jù)線面平行的判定即可證出EF〃平面BGQ.

(2)對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)在棱/C上存在一個點(diǎn)G,使得平面EEG將

三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：15,再利用棱柱、棱錐的體積公式，求出ZG與/C

的比值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在.

【小問1詳解】

證明：取48的中點(diǎn)〃，

I

'：AF=-AB,

4

二尸為的中點(diǎn)，

又為44的中點(diǎn)，

：.EF//A\M

在三棱柱Z8C-48cl中，D,M分別為小用，的中點(diǎn)，

：.A\D//BM,A\D=BM,

...ZiOBM為平行四邊形，.?.4W〃8。

J.EF//BD.

平面8G。，E/過平面8G。，

〃平面BCyD.

【小問2詳解】

設(shè)力C上存在一點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為I：15,則

^E-AFG-叱SC-，/?=1，16,

r/-x^-AF-AGsinZGAF-AE

.?〃E-AFG_32___________________

y-1

ABC-A^C一4BACsin/CAB-AA,

X21

111/G1AG

=-X—X—X--------=-----------------

342AC24AC

.1AG_1

"24^C"16)

.AG3

??'-f

AC2

3

：.AG=-AOAC.

2

所以符合要求的點(diǎn)G不存在.

18.在A48C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c.已知6+0__4_=."+°二人_

sinBsinA

(1)證明：A=B.

（2）若。為8c的中點(diǎn)，從①4。=4,②cosC=—,③CZ>=2這三個條件中選取兩個作

4

為條件證明另外一個成立.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化簡已知等式，可證/=8；

（2）三種情況，在/CD中，利用余弦定理證明即可.

【小問1詳解】

h2+c2-a2a2+c2-b2,.2bccosAlaccosB

已知------------------------由余弦定理可得----------=----------

sin5sin4sin5sin/

,bcosAacosB_,-__ba

即Dr--------------,又由正弦定理-----=------,"f#cosA-cosB,

sin5sinZsinBsinA

角48為A48C中內(nèi)角，所以4=B.

【小問2詳解】

△/8C中，A=B，。為8c的中點(diǎn)，如圖所示，

C

A.

AB

⑴①②n③

己知/。=4,COSC=-,求證C￡>=2.

4

、,日M八少八出「AC2+CD2-AD24CD2+CD2-\61

證明：AC=2CD，ACD中，cosC=-----------------=-------------；-------=—,

2ACCD4CD24

解得8=2.

⑵①③=>②

己知力。=4,CD=2,求證cosC=2.

4

1

.-pngicA而I”Amrh廣AC+CD~-AD~16+4—161

證明：AACr-2CD=4,所以/CZ)中，cosC------------------=----------=—.

2ACCD2x4x24

⑶②③n①

己知cosC=LCD=2,求證./。=4

4

證明：NC=2C0=4,在4c。中，由余弦定理，

^Z)2=^C2+C￡>2-2^C-C/)cosC=16+4-2x4x2x1=16,所以/。=4

4

19.在Z8C中，a、b、c■分別是角/、B、C所對的邊，已知在。=而，b>c,

tn-(cosC,cosA),〃=(Q,c-2h)±n?

(1)求角力大?。?/p>

(2)若48。面積為36，BD=；DC,求4。的長.

兀

【正確答案】(1)

3

⑵半

【分析】(1)利用向量垂直充要條件及兩角和的正弦公式即可求得cos/的值，進(jìn)而求得角

A大?。?/p>

(2)先利用題給條件求得氏c的值，再利用向量的數(shù)量積求得0萬進(jìn)而得到工。的長

【小問1詳解】

—?—?—?—?

m=(cosC,cosA),n=(a,c-26)且加_L〃，

則福?1=0,則acosC+(c-2b)cos4=0,

/.sinAcosC+(sinC-2sin5)cosA=0,則sin5-2sin3cos/=0

|jr

又sinB>0,cosA=一,又丁4w(0,it),A=—.

23

【小問2詳解】

由//席=gbcsin4=；VJbc=3A/J,可得be=12

又由/=13=/+/-be，可得25=/+。2

聯(lián)立《b~+c-25,解之得<6=4、或〈

、be=12c-=3、c=4

又b>c,則b=4,c=3

—?1—-—■1一2—

因為8。=—0C,所以ZQ=—ZC+—Z8

233

一21——24--24---------144176

所以=-AC+-AB+—/C/8=—xl6+—x9+—x3x4x—=一

99999929

所以I詬|=2M，即/￡>=3叵

1133

20.在Z8C中，。力,c分別為/8C三個內(nèi)角4民。的對邊，已知2S=JOccos4

(1)求角A大?。?/p>

(2)若4=百，求〃+02+3兒的取值范圍.

7T

【正確答案】(1)-

3

⑵(3,15]

【分析】(1)根據(jù)三角形的面積公式可得S=,besinZ,結(jié)合題設(shè)化簡即可求解；

2

(2)由正弦定理可得6=2sin5,c=2sinC,由余弦定理可得從+c?=3+bc，進(jìn)而結(jié)合

三角恒等變換化簡可得/+c2+3bc=7+8sin(28-。再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)求

解即可.

【小問1詳解】

根據(jù)題意，2S=?ccosZ，且S=；bcsinN,

則2x』hesinA=y/3bccosA,

即tanZ=Ji，

在Z8C中，有4G(O,TI),

所以人字

【小問2詳解】

jr

由(1)知，/=§，

可得siib4=——>B+C=H-A=—,

23

由。=君，則根據(jù)正弦定理有‘一=一也=上=2,得b=2sin5,c=2sinC,

sinAsiaffsinC

根據(jù)余弦定理有/=〃+/一accoU,得/+C2=3+命，

所以

〃+c?+3bc=3+4bc=3+16sin5sinC=3+16sia5sin----B=3+8>/3siii5cos5+8sin25

=7+4V3sin2S-4cos28=7+8sin25--,

k6)

因為所以28—]—2，?],

\3；6V66J

.(KW11

所以sin2B——G—,1,

\6Jk2_

所以〃++36c=7+8sinf25--1G(3,15].

21.某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計如圖所示，48為地面，CD,CE

27t7T

為路燈燈桿，CD上4B,4DCE=—，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角AMEN=-,

33

已知CO=4m,CE=2m.

(1)當(dāng)“，。重合時，求路燈在路面的照明寬度A/N；

(2)求此路燈在路面上的照明寬度A/N的最小值.

【正確答案】（1）亞；（2）U電

【分析】（1）先由余弦定理求出ME,再求出cosNCME,進(jìn)而求出sinBEMW,最后根

據(jù)正弦定理求出答案；

（2）先用等面積法求出MV,E/,EN間的關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用余弦定理結(jié)合基本不等式建立

A/N,EM,EN之間的不等式，兩者結(jié)合即可得到答案.

【詳解】（1）當(dāng)。重合時，

ADM

由余弦定理知，ME=y/CM2+CE2-2CM-CE-cosZMCE=2幣

所以cos/C腔=空+叱—空=些,

2CMME14

因為ACME+ZEMN所以sin4EMN=cosACME=-

214

因為cosNEMN>0,所以cosZEMN=Jl-sii?NEMN=4，

sinNENM=sinJ-/EMN=包c(diǎn)osZEMN+-sinNEMN=冬？，

I3)227

...在EMN中，由正弦定理可知，MN—=.EM—,解得MN=￡lm.

sinNMENsinZENM

2n7i

（2）易知E到地面的距離力=4+2sin

T~2

所以SF^=--MN-5=--EM-EN—>所以半MN=EM.EN

EMN222J3

又由余弦定理可知，

MN1=EM2+EN2-2EM-EN-->2EM-EN-EM-EN=EM-EN,

當(dāng)且僅當(dāng)EM=EN時“=”成立.

所以MN?2半MN,解得MN2?3m.

J3