專(zhuān)題14 圓錐曲線(xiàn)（選填題8種考法）（解析版）

專(zhuān)題14圓錐曲線(xiàn)（選填題8種考法）考法一曲線(xiàn)的定義及應(yīng)用【例1-1】（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線(xiàn)的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，點(diǎn)在上，所以到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，又到直線(xiàn)的距離為，所以，故.故選：D.【例1-2】．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別是，，為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為6 B．的面積為C．的內(nèi)切圓的半徑為 D．的外接圓的直徑為【答案】D【解析】由題意知，，，，由橢圓的定義知，，，∴的周長(zhǎng)為，即A正確；將代入橢圓方程得，解得，∴的面積為，即B正確；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則，即，∴，即C正確；不妨取，則，，∴的面積為，即，∴，由正弦定理知，的外接圓的直徑，即D錯(cuò)誤，故選:D.

【變式】1．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【解析】由橢圓，得，，.

設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】方法一：因?yàn)?，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因?yàn)椋?，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.3．（2023·北京·101中學(xué)?？既＃┮阎謩e是雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)是．【答案】34【解析】因?yàn)椋?，故，則，又，故，則，，所以的周長(zhǎng)為.故答案為：34.4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，且，的面積為8，則到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為.【答案】2【解析】由題意及雙曲線(xiàn)的定義知，則，由余弦定理可得，所以，因?yàn)椋?，，因?yàn)榈拿娣e為8，所以，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)到該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離為，所以點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離為2.故答案為：2.考法二曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2-1】（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線(xiàn)分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)交于點(diǎn)A，若，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，則，則、，不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，因?yàn)榍?，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.【例2-2】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)殡x心率，解得，，分別為C的左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因?yàn)樗?，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.【例2-3】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．【答案】或或或．【解析】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為，（1）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線(xiàn)的交點(diǎn)為圓心）設(shè)（1）若圓過(guò)三點(diǎn)，圓心在直線(xiàn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過(guò)三點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為，線(xiàn)段中垂線(xiàn)方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【例2-4】（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，于.若，則拋物線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與軸交點(diǎn)為

拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)：又拋物線(xiàn)的定義可得，又，所以為等邊三角形，所以，所以在中，，則，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.故選：C.【變式】1．（2023·吉林白山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3，且的開(kāi)口朝左，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意可設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)榈慕裹c(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A2．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離為3，且雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，即拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，漸近線(xiàn)方程過(guò)，則，雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離是，則左頂點(diǎn)為，即.故雙曲線(xiàn)方程為.故選：B.3（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為，，延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P．若點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為，的周長(zhǎng)為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，得，，，則直線(xiàn)的方程為，所以點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離①．由的周長(zhǎng)為16，得，即a+c=8②，聯(lián)立①②，解得③．因?yàn)?，所以④．?lián)立②④，解得a=6，c=2，所以，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為是.故選：B．4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)M在直線(xiàn)上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．【答案】【解析】[方法一]：三點(diǎn)共圓∵點(diǎn)M在直線(xiàn)上，∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點(diǎn)的線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)y=3x-4與直線(xiàn)的交點(diǎn)(1,-1).,的方程為.故答案為：5．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為．【答案】【解析】令雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為，顯然雙曲線(xiàn)的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距，由雙曲線(xiàn)的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線(xiàn)的方程為.故答案為：考法三離心率【例3-1】（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，，在中，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，則，所以，故選：C.【例3-2】．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知為雙曲線(xiàn)：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線(xiàn)分別交的漸近線(xiàn)和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線(xiàn)：的漸近線(xiàn)方程為.設(shè)，聯(lián)立方程組，解得.因?yàn)椋?，即，可?又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以，將代入，可得，由，所以，所以，即，化簡(jiǎn)得，則，所以雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B.

【變式】1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可作圖如下：

由圖可知：，由平分，則，所以，由，則解得，由是關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則共線(xiàn)，，，，所以，在中，，可得，解得，，在中，由余弦定理，可得，代入可得：，化簡(jiǎn)可得：，所以其離心率.故選：C.2．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知右焦點(diǎn)為的橢圓：上的三點(diǎn)，，滿(mǎn)足直線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若于點(diǎn)，且，則的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，，結(jié)合橢圓對(duì)稱(chēng)性得，由橢圓定義得，，則.因?yàn)?，，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，∴，故.故選：A

3．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，連接，，，如圖所示，

又因?yàn)椋?，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，由雙曲線(xiàn)的定義可得：，，又因?yàn)闉橹苯侨切危?，即，解得，所以，，又因?yàn)闉橹苯侨切危?，所以，即：，所以，?故選：D.4（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】方程表示橢圓，所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件，故選：B.考法四折線(xiàn)段距離最值【例4-1】．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知為橢圓：的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓：上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．5 B．6 C． D．【答案】D【解析】依題意，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為，，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)，且在之間時(shí)等號(hào)成立.而，所以，當(dāng)四點(diǎn)共線(xiàn)，且在之間，是的延長(zhǎng)線(xiàn)與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.故選：D

【例4-2】（2023秋·北京）已知，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的右支上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋砸蟮淖钚≈?，只需求的最小?如圖,連接交雙曲線(xiàn)的右支于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)處時(shí)，最小，最小值為.故的最小值為.

故選：C【例4-3】（2023·湖南）設(shè)點(diǎn)P是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．6 D．12【答案】B【解析】設(shè)，則點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)的上支，∴點(diǎn)P的軌跡方程為，依題意，雙曲線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，將圓的方程代入雙曲線(xiàn)方程得，即，判別式，解得，當(dāng)時(shí)，，且，∴等號(hào)能成立．∴．故選：B【變式】1．（2023秋·黑龍江大慶）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值為（

）A．12， B．，C．12，8 D．9，【答案】C【解析】令橢圓的左焦點(diǎn)為，有，由橢圓定義知，

顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，，直線(xiàn)交橢圓于，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，所以的最大值和最小值為12，8.故選：C2．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）已知雙曲線(xiàn)C：的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C的右支上，則（

）A．－8 B．8 C．10 D．－10【答案】A【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為，則，所以，因?yàn)殡p曲線(xiàn)C的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C的右支上，所以，故選：A3．（2023·廣西）已知，雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】由雙曲線(xiàn)，則，即，且，由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，若點(diǎn)A為拋物線(xiàn)任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為D，如圖，

則根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，求的最小值，即求的最小值，顯然當(dāng)D，B，A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入拋物線(xiàn)方程可知.故選：B.5．（2023春·河南周口）已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，若，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由拋物線(xiàn)可知其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為記拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3．故選：A．考法五直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系【例5-1】．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)l：與橢圓C：的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【解析】將直線(xiàn)l：變形為l：，由得，于是直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，而，于是點(diǎn)在橢圓C：內(nèi)部，因此直線(xiàn)l：與橢圓C：相交．故選：A．

【例5-2】（2023·上海）已知雙曲線(xiàn)，直線(xiàn)，若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)分別在兩支上，求的范圍．【答案】【解析】聯(lián)立雙曲線(xiàn)、直線(xiàn)方程，消去整理得，由題意，設(shè)方程的兩根為，則，解得．故答案為：

【變式】1．（2023·上海）已知雙曲線(xiàn)，直線(xiàn)，若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】或【解析】依題意，聯(lián)立方程，消去，得，設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支的兩個(gè)交點(diǎn)為，，

則，解得或，所以或.故答案為：或.2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．【答案】或【解析】由消去y，整理得，當(dāng)時(shí)，由得；又注意到直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，且漸近線(xiàn)的斜率為時(shí)，直線(xiàn)與漸近線(xiàn)平行時(shí)也成立．故答案為：或

3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程為.【答案】【解析】解法一：設(shè)切線(xiàn)方程為．由??，由，得，∴.故切線(xiàn)方程為，即.故答案為：.解法二：由得，∴.∴.∴切線(xiàn)方程為，即.故答案為：.4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線(xiàn)和橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求和的取值范圍．【答案】，【解析】令，則已知橢圓和直線(xiàn)變?yōu)橄鄳?yīng)的圓和直線(xiàn)，要使已知的直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，只要相應(yīng)的直線(xiàn)與圓相切．由直線(xiàn)和圓相切的充要條件可知，即，故得，即，解得．考法六弦長(zhǎng)【例6-1】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線(xiàn)的離心率為，C的一條漸近線(xiàn)與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，則解得，所以雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)不妨取，則圓心到漸近線(xiàn)的距離，所以弦長(zhǎng).故選：D【例6-2】．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以.故選：B【變式】1．（2023·北京大興·?？既＃┮阎獟佄锞€(xiàn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過(guò)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為【答案】6【解析】是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)，線(xiàn)段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,.，線(xiàn)段的長(zhǎng)為6.故答案為：6.2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）若直線(xiàn)與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則．【答案】【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，由勾股定理可得，因?yàn)?，解?故答案為：.3（2023·廣西欽州）已知橢圓與直線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．±1 B．±C． D．±【答案】A【解析】由，消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．設(shè)，則，．由題意，得，解得．故選:A考法七中點(diǎn)弦【例7-1】．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，直線(xiàn)的斜率為，設(shè)，則，且，由兩式相減得：，于是，解得，此時(shí)橢圓，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合要求，所以橢圓的離心率.故選：A【例7-2】．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，由已知有，，作差得，則，所以，解得，則的方程為.故選：D．【例7-3】．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知橢圓的上頂點(diǎn)為B，斜率為的直線(xiàn)l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，的中點(diǎn)為，因?yàn)槎荚跈E圓上，所以，作差可得，即，所以，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉椤鰾MN的重心，所以，所以，則，所以，整理得，即，所以，則，所以離心率.故選:A.【變式】1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，且與的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若是以為底邊的等腰三角形，則直線(xiàn)的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè),由均在上，為的中點(diǎn)，得，則，∴，∴，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，不妨設(shè)為銳角，∵是以為底邊的等腰三角形，∴直線(xiàn)的傾斜角為，則.∴，∴，解得，∴由對(duì)稱(chēng)性知直線(xiàn)的斜率為.故選：D2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的離心率為，直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，，則，兩式作差，并化簡(jiǎn)得，，所以，因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，即所以，即，由，得.故選：B.3．（2023·四川成都·校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)、，則，若直線(xiàn)軸，則線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，則直線(xiàn)的斜率存在，由已知，兩式作差可得，所以，直線(xiàn)的斜率為，因此，直線(xiàn)的方程為，即.故選：A.4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）如圖，已知過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的右支上一點(diǎn)滿(mǎn)足，若直線(xiàn)的斜率為-3，則雙曲線(xiàn)的離心率為.【答案】/【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，所以，所以直線(xiàn)的斜率為.設(shè)，則.由，得到.，所以，所以，則.故答案為：5．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若雙曲線(xiàn)上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】依題意，雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，，，，若點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則設(shè)直線(xiàn)的方程是，代入雙曲線(xiàn)方程化簡(jiǎn)得：，則，且，解得，且又，設(shè)的中點(diǎn)是，，所以，．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，所以，又所以，即，所以所以，整理得，所以或，實(shí)數(shù)的取值范圍為：故答案為：.考法八綜合運(yùn)用【例8-1】．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線(xiàn)，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【解析】A選項(xiàng)：直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)，所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線(xiàn)的方程為.B選項(xiàng)：設(shè)，由消去并化簡(jiǎn)得，解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線(xiàn)的距離分別為，因?yàn)?，即到直線(xiàn)的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線(xiàn)相切，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：直線(xiàn)，即，到直線(xiàn)的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

【例8-2】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別是雙曲線(xiàn)E：的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)E的右支上一點(diǎn)，若，雙曲線(xiàn)E的離心率為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)方程為C．點(diǎn)P到兩條漸近線(xiàn)的距離之積為D．若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)E的另一支交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為PM的中點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義得，，故，由，得，所以，所以雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線(xiàn)方程為，即，所以A正確，B不正確；設(shè)，則點(diǎn)P到兩條漸近線(xiàn)的距離之積為，所以C正確；設(shè)，，因?yàn)镻，M在雙曲線(xiàn)E上，所①，②，①－②并整理得，，即，所以，所以D正確．故選：ACD．【變式】1（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作圓O：的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為T(mén)．線(xiàn)段交C于點(diǎn)P，若的面積為，且，則C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】

由圓的方程知，，又，在直角△中，，且.在△中，則，故.在△中，，由正弦定理，，則，∴由雙曲線(xiàn)定義，，又，，則，∴，即.∵為直角，易知為鈍角，由知，，在△中，由余弦定理，，∴，∴，整理得，∴.又，將代入，解得.∴雙曲線(xiàn)C的方程：.故選：A2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)作D的切線(xiàn)與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】[方法一]：幾何法，雙曲線(xiàn)定義的應(yīng)用情況一

M、N在雙曲線(xiàn)的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線(xiàn)切點(diǎn)為B，所以，因?yàn)?，所以在雙曲線(xiàn)的左支，，，，設(shè)，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線(xiàn)的兩支，因?yàn)椋栽陔p曲線(xiàn)的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，所以，即，所以雙曲線(xiàn)的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線(xiàn)，過(guò)且與圓相切的一條直線(xiàn)為，兩交點(diǎn)都在左支,，，則，特值雙曲線(xiàn)，過(guò)且與圓相切的一條直線(xiàn)為，兩交點(diǎn)在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線(xiàn)切點(diǎn)為，若分別在左右支，因?yàn)?，且，所以在雙曲線(xiàn)的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線(xiàn)的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.一、單選題1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因此，而，所以.故選：A2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】將直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．若直線(xiàn)的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.4．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知圓和點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，連接，則，可得，所以，即，可得，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.

5．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則，，兩式作差并化簡(jiǎn)整理得，因?yàn)榫€(xiàn)段AB的中點(diǎn)為，所以，，所以，由，得，又因?yàn)?，解得，，所以橢圓C的方程為．故選：A．6．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)截橢圓的弦長(zhǎng)為3，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，設(shè)橢圓的方程為，橢圓中，，當(dāng)時(shí)，，故又，所以，故橢圓方程為，故選：B7．（2023·重慶萬(wàn)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：的焦距為4，平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，且直線(xiàn)AB與AD的斜率之積為，則橢圓E的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性可得，則，所以?xún)墒较鄿p可得，因?yàn)橹本€(xiàn)AB與AD的斜率之積為，所以，即，所以，設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)闄E圓的焦距為4，所以，所以，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A.

8．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．7 C．15 D．31【答案】A【解析】方法一：聯(lián)立，解得或，,集合的真子集的個(gè)數(shù)為.方法二：在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)以及的圖象，由圖象可知兩圖形有2個(gè)交點(diǎn)，所以的元素個(gè)數(shù)為2，進(jìn)而真子集的個(gè)數(shù)為.

故選：A.9．（2023·四川瀘州·瀘縣五中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)作直線(xiàn)與圓切于點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)右支交于點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，則雙曲線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵為圓上的點(diǎn)，，，∴是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，且，又，，是圓的切線(xiàn)，，又，，，∴雙曲線(xiàn)方程為．

故選：D10．（2023·天津南開(kāi)·統(tǒng)考二模）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)和拋物線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，若到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為5，則雙曲線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以雙曲線(xiàn)的.又因?yàn)辄c(diǎn)為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)和拋物線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，若到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為5，所以，所以，代入拋物線(xiàn)方程即可得.因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程上，所以，又因?yàn)殡p曲線(xiàn)中，，所以，所以雙曲線(xiàn)的方程為：.故選：D11．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考三模）若雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的焦距，且過(guò)點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】因?yàn)楹陀邢嗤慕咕?，又雙曲線(xiàn)的焦距為，所以雙曲線(xiàn)的焦距，又過(guò)點(diǎn)，當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，若將點(diǎn)代入，得①，又②，聯(lián)立①②兩式得，，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)代入，得③，又④，聯(lián)立③④兩式得，，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，綜上所述，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：C.12．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【解析】法一：令，則，代入原式化簡(jiǎn)得，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時(shí)，取得最大值，法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線(xiàn)的距離，解得故選：C.13．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，由中線(xiàn)定理可知，，易知，解得：．故選：B．14．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線(xiàn)段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)上，則，兩式相減得，所以.對(duì)于選項(xiàng)A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則由雙曲線(xiàn)方程可得，則為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，所以直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；故選：D.15．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為．過(guò)作其中一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為．已知，直線(xiàn)的斜率為，則雙曲線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖，

因?yàn)?，不妨設(shè)漸近線(xiàn)方程為，即，所以，所以.設(shè),則，所以，所以.因?yàn)?所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以雙曲線(xiàn)的方程為故選：D16．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是直線(xiàn)：和：的交點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)：，即，令，解得，可知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，同理可知：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)椋芍?，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，因?yàn)閳A的圓心，半徑，所以的最大值是.故選：B.17．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且與軸平行，直線(xiàn)與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選：B

18．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的重要原理，可以推導(dǎo)出圓錐曲線(xiàn)的一些光學(xué)性質(zhì)，如：點(diǎn)為橢圓（為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，則點(diǎn)處的切線(xiàn)平分外角.已知橢圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，是點(diǎn)處的切線(xiàn)，過(guò)左焦點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，則為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】A【解析】依題意可知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入得，整理得，由于直線(xiàn)和橢圓相切，則，整理得，所以直線(xiàn)的方程為，對(duì)于橢圓，，所以，所以直線(xiàn)的方程為，由解得，所以.故選：A

19．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：

設(shè)，因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?在中，，解得，即，所以，即.所以，.故選：B二、多選題20．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線(xiàn)的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線(xiàn)上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線(xiàn)可得，則，則直線(xiàn)的斜率為，A正確；對(duì)于B，由斜率為可得直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線(xiàn)得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由拋物線(xiàn)定義知：，C正確；對(duì)于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.21．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線(xiàn)為 B．直線(xiàn)AB與C相切C． D．【答案】BCD【解析】將點(diǎn)的代入拋物線(xiàn)方程得，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，故準(zhǔn)線(xiàn)方程為，A錯(cuò)誤；，所以直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過(guò)的直線(xiàn)為，若直線(xiàn)與軸重合，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因?yàn)?，，所以，而，故D正確.故選：BCD22．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知直線(xiàn)，圓的圓心坐標(biāo)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)B．C．直線(xiàn)被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D．當(dāng)時(shí)，圓上存在無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)【答案】ABD【解析】直線(xiàn)，恒過(guò)點(diǎn)，所以A正確；圓的圓心坐標(biāo)為，，，所以B正確；圓的圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為2．直線(xiàn)，恒過(guò)點(diǎn)，圓的圓心到定點(diǎn)的距離為：，直線(xiàn)被圓截得的最短弦長(zhǎng)為，所以C不正確；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)方程為：，經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以圓上存在無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以D正確．故選：ABD．23．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的上焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，并與另一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)，若，則的離心率可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí)，兩漸近線(xiàn)的斜率為，此時(shí)直線(xiàn)與另一漸近線(xiàn)平行，不滿(mǎn)足題意.當(dāng)時(shí)，如圖1所示，

.，又，解得，，，，即漸近線(xiàn)的斜率為，當(dāng)時(shí)，如圖2所示，設(shè)與軸交于點(diǎn)P，

，，又，解得，即漸近線(xiàn)的斜率為，綜上，雙曲線(xiàn)的離心率為或.故選：AC.24．（2023·遼寧錦州·?？家荒＃┰O(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，若直線(xiàn)與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則（

）A．的離心率的取值范圍為B．的離心率的取值范圍為C．直線(xiàn)斜率的取值范圍為D．直線(xiàn)斜率的取值范圍為【答案】AC【解析】為的中點(diǎn)，根據(jù)重心性質(zhì)可得，因?yàn)?，則，因?yàn)橹本€(xiàn)與的右支交于兩點(diǎn)，所以點(diǎn)在雙曲線(xiàn)右支內(nèi)部，故有，解得，當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，的中點(diǎn)在軸上，故三點(diǎn)不共線(xiàn)，不符合題意舍，設(shè)直線(xiàn)斜率為，設(shè)，所以，，因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)上，所以，兩式相減可得：，即，即有成立，即有，因?yàn)椴还簿€(xiàn)，即，即，即，所以的離心率的取值范圍為，因?yàn)?，因?yàn)?，即，所以，所?故選：AC25（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】如下圖所示，設(shè)切點(diǎn)為，，，對(duì)于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對(duì)于BCD，，又因?yàn)?，解得：，又因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯(cuò)誤；從而，故D正確.故選:ABD．

26．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若為直角三角形，則（

）A．B．雙曲線(xiàn)的離心率C．雙曲線(xiàn)的焦距為D．的面積為【答案】BD【解析】如圖所示：

若為直角三角形，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知：，且.設(shè)，則由雙曲線(xiàn)的定義得：，.所以在直角三角形中，由勾股定理得：.解得：，所以，所以的面積為：.故D正確；，所以，故C不正確；由可知，，，所以，故A不正確；，故B正確.故選：BD.三、填空題27．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)C：上，則A到C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.【答案】【解析】由題意可得：，則，拋物線(xiàn)的方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.故答案為：.28．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)與圓相切，交曲線(xiàn)于點(diǎn)，若，則的值為．【答案】【解析】易知圓和曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)切線(xiàn)方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當(dāng)時(shí)，同理可得．故答案為：．29．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為．【答案】/【解析】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因?yàn)?，所以，則，又，所以，則，又點(diǎn)在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.30．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線(xiàn)與交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿(mǎn)足“面積為”的m的一個(gè)值．【答案】（中任意一個(gè)皆可以）【解析】設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．31．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，交雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)于點(diǎn)且．若，則雙曲線(xiàn)的離心率是．【答案】【解析】過(guò)且斜率為的直線(xiàn)，漸近線(xiàn)，聯(lián)立，得，由，得而點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，于是，解得：，所以離心率.故答案為：．32．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線(xiàn)l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．【答案】【解析】[方法一]：弦中點(diǎn)問(wèn)題：點(diǎn)差法令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線(xiàn)，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線(xiàn)，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線(xiàn)，即；故答案為：[方法二]：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交的常規(guī)方法解：由題意知，點(diǎn)既為線(xiàn)段的中點(diǎn)又是線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)直線(xiàn)，，，則，，，因?yàn)?，所以?lián)立直線(xiàn)AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo),又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線(xiàn)，即33．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)，若直線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．【答案】【解析】關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線(xiàn)上，所以所在直線(xiàn)即為直線(xiàn)，所以直線(xiàn)為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線(xiàn)的距離，即，解得，即；故答案為：34．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記雙曲線(xiàn)的離心率為e，寫(xiě)出滿(mǎn)足條件“直線(xiàn)與C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值．【答案】2（滿(mǎn)足皆可）【解析】，所以C的漸近線(xiàn)方程為,結(jié)合漸近線(xiàn)的特點(diǎn)，只需，即，可滿(mǎn)足條件“直線(xiàn)與C無(wú)公共點(diǎn)”所以，又因?yàn)椋?，故答案為?（滿(mǎn)足皆可）35．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切，則．【答案】【解析】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線(xiàn)的距離，解得或（舍去）．故答案為：．36．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則．【答案】【解析】對(duì)于雙曲線(xiàn)，所以，即雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以，即，解得；故答案為：37．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線(xiàn)的方程．【答案】或或【解析】[方法一]：顯然直線(xiàn)的斜率不為0，不妨設(shè)直線(xiàn)方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線(xiàn)方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線(xiàn)符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的切線(xiàn)方程，又易知兩圓圓心所在直線(xiàn)OC的方程為，直線(xiàn)OC與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)為，則，解得，從而該切線(xiàn)的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線(xiàn)為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線(xiàn)為m時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線(xiàn)為n時(shí)，易知切線(xiàn)方程為，故答案為：或或.38．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若，則.【答案】2【解析】因橢圓方程為，則.因，則.又由橢圓定義，可得，則.故答案為：2

39．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）寫(xiě)出與圓和圓都相切的一條直線(xiàn)的方程.【答案】（或或，寫(xiě)出一個(gè)即可）【解析】由題意得，圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，因?yàn)?，可得，所以圓與圓相外切，將兩圓的方程相減，可得，此方程為圓與圓的公切線(xiàn)，又由圓與圓的半徑相等，故外公切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，因?yàn)椋詧AC與圓D的外公切線(xiàn)