廣東省茂名市五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

—2024學(xué)年度茂名市五校聯(lián)盟高二聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2，選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）A.B.C.D.2.已知等比數(shù)列中，，等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前9項和（）A.9B.18C.36D.723.若函數(shù)在處的切線方程為，則不等式的解集為（）A.B.C.D.4.已知圓，直線.則直線被圓截得的弦長的最小值為（）A.B.C.D.5.如圖，二面角等于是棱上兩點，分別在半平面內(nèi)，，且，則（）A.B.C.D.46.雙曲線的左?右焦點分別為，點是雙曲線左支上一點，，直線交雙曲線的另一支于點，則雙曲線的離心率為（）A.2B.C.3D.97.已知是自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)，則（）A.B.C.D.8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點都在同一球面上.若該球的表面積為，且，則該正四棱錐體積的最大值是（）A.18B.C.D.27二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.正方體的棱長為分別為的中點，則（）A.直線與直線垂直B.直線與平面平行C.平面截正方體所得的截面面積為D.點和點到平面的距離不相等10.已知，則（）A.的值域為B.時，恒有極值點C.恒有零點D.對于恒成立11.如圖，已知直線與拋物線交于兩點，且交于點，則（）A.若點的坐標為，則B.直線恒過定點C.點的軌跡方程為D.的面積的最小值為三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，若方程有2個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是__________.13.下圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，圖形的作法是：從一正三角形開始，把每條邊三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.若第1個圖中的三角形的周長為1，則第個圖形的周長為若第1個圖中的三角形的面積為1，則第個圖形的面積為__________.14.已知是圓上的兩個不同的點，若，則的取值范圍為__________.四?解答題本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結(jié)果認知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求m的值并估計這m人年齡的第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國夢”宣傳使者.①若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲?乙兩人至少有一人被選上的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計這m人中35~45歲所有人的年齡的方差.16.（本小題滿分15分）已知數(shù)列滿足：.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的首項為1，其前項和滿足，證明：若.17.（本小題滿分15分）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為直角梯形，其中為的中點.（1）求直線與平面所成角的余弦值；（2）求點到平面的距離；（3）線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18.（本小題滿分17分）已知橢圓的左?右焦點分別為，該橢圓的離心率為，且橢圓上動點與點的最大距離為3.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，若直線與軸?橢圓順次交于（點在橢圓左頂點的左側(cè)），且，求面積的最大值.19.（本小題滿分17分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2023—2024學(xué)年度茂名市五校聯(lián)盟高二聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及解析一?選擇題1.C【考點】直線的傾斜角與斜率（容易題）【解析】由直線得，，得傾斜角為.故選C.2.B【考點】等差?等比數(shù)列的基本定義?公式與性質(zhì)（容易題）【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，，由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選B.3.C【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解對數(shù)函數(shù)不等式（容易題）【解析】由，得，由題意得，得，，解得.故選.4.D【考點】直線恒過定點，直線與圓相交的弦長（取材于課本P103改編，中檔題）【解析】直線.恒過定點，當(dāng)時，圓心到直線的距離最大為，此時，直線被圓截得的弦長最小，最小值為.故選D.5.A【考點】二面角的平面角定義，向量法求距離（課本P41習(xí)題改編，中檔題）【解析】由二面角的平面角的定義知，，由l，得，又，.故選A.6.B【考點】雙曲線的定義?離心率【解析】設(shè)，則，由雙曲線的定義得，故；由，故，在Rt中，，即①，在Rt中，，即，②，由②得，代入①得，故.故選B.7.A【考點】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。ㄝ^難題）【解析】設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減，，即，又，令，當(dāng)單調(diào)遞減；故，即，故，故.故選A.8.C【考點】空間幾何體的基本計算公式，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值（較難題）【解析】球的表面積為，所以球的半徑，設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，，所以正四棱錐的體積，當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為.故選C.二?多選題9.BC【考點】幾何法?向量法與坐標法在解決立體幾何的位置關(guān)系?求距離中的應(yīng)用（課本P48習(xí)題改編，中檔題）【解析】，而與顯然不垂直，與不垂直，錯；取中點，連接，由分別是中點，得，又是平行四邊形，，平面平面，而平面平面，又平面平面.B正確；由正方體性質(zhì)，連接，則截面即為四邊形，它是等腰梯形，，等腰梯形的高為，截面面積為，C正確；設(shè)，易知是的中點，兩點到平面的距離相等.不正確.故選.10.BCD【考點】導(dǎo)數(shù)法在研究函數(shù)中的應(yīng)用（最值?極點?函數(shù)的零點?恒成立等問題）（中檔偏難題）【解析】對于：令，則，當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減.的值域不為，故A不正確；對于：由選項可知，當(dāng)時，是的極值點，故B正確；對于C：0）有零點，即有根，當(dāng)時，-1與函數(shù)圖象恒有交點，當(dāng)時，由選項A知；且在上單增，在上單減，當(dāng)時，函數(shù)圖象在第四象限與有交點，當(dāng)時，函數(shù)圖象在第三象限與有交點，與函數(shù)圖象恒有交點，故C正確；對于D：若，則，（當(dāng)時，等號成立），當(dāng)，則，故D正確.故選BCD.11.ACD【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系綜合，直線過定點，動點的軌跡，最值問題（課本P146習(xí)題改編，中檔偏難題）【解析】對于，由，，聯(lián)立，消去，有，記，則，由，得，，故A正確；對于：可設(shè)，聯(lián)立，消去，有，則，由-1得，過定點，故B不正確；由在以為直徑的圓：上運動（原點除外），故C正確；此時：，過定點，故D正確.故選ACD.三?填空題或【考點】導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性?極值?方程的根的個數(shù)（P104習(xí)題改編，中檔題）【解析】由題意在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)從1的左側(cè)無限趨近于1時，；當(dāng)從1的右側(cè)無限趨近于1時，；當(dāng)時，，函數(shù)的大致圖象如圖所示，滿足題意的的取值范圍是或.故答案為或.13.；【考點】等比數(shù)列的應(yīng)用，遞推公式（P55習(xí)題改編，中檔題）【解析】記第個圖形為，三角形的邊長為，邊數(shù)為，周長為，面積為有條邊，邊長為有條邊，邊長為有條邊，邊長為，即，即.當(dāng)?shù)?個圖中的三角形的周長為1時，即，由圖形可知是在每條邊上生成一個小三角形，即，即，，利用累加法可得，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，當(dāng)?shù)?個圖中的三角形面積為1時，，即，此時有條邊，則.故答案為.14.【考點】動點的軌跡?活用點到直線距離公式?圓上的點到直線距離的最值問題（較難題）【解析】弦的中點的軌跡為以為圓心，半徑的圓，表示到直線的距離之和，即：等于的中點到直線的距離的2倍，，即..故答案為.三?解答題15.【考點】由頻率分布直方圖估計數(shù)據(jù)的數(shù)字特征?古典概型?從分層隨機抽樣的平均數(shù)與方差估計總體平均數(shù)與方差（容易題）解：（1）由題意，，所以.設(shè)第80百分位數(shù)為，因為，故第80百分位數(shù)位于第四組：內(nèi)，由，解得：，所以第80百分位數(shù)為37.5.（2）①由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，甲，第五組抽取2人，記為，乙，樣本空間為：{（A，B），（A，C），（A，甲），（A，乙），（A，D），（B，C），（B，甲），（B，乙），（B，D），（C，甲），（C，乙），（C，D），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共15個樣本點.）設(shè)事件“甲?乙兩人至少一人被選上”，則{（A，甲），（A，乙），（B，甲），（B，乙），（C，甲），（C，乙），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共有9個樣本點.所以.②設(shè)第四組?第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，方差分別為，則，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計這人中年齡在歲的所有人的年齡方差約為10.16.【考點】等差?等比數(shù)列的基本概念；累加法?法求數(shù)列的通項公式；錯位相減法求和?數(shù)列的單調(diào)性（中檔題）解：（1），.（2）證明：由，得，數(shù)列是以首項為1，公差為的等差數(shù)列，則，即.當(dāng)時，，也符合該式，.則，記，由，作差得，則.，數(shù)列在上單調(diào)遞增，，.即.17.【考點】向量法求線面角?二面角?點面距?探究性問題（中檔題）解：（1）在中，為的中點，.又側(cè)面底面，平面平面平面，平面.在中，.在直角梯形中，為的中點，.以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，.平面.為平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，則，與平面所成角的余弦值為.（2），設(shè)平面的法向量為，則，取.則點到平面的距離.（3）假設(shè)存在，且設(shè).，.設(shè)平面的法向量為，則，取，得，而平面的一個法向量為，二面角的余弦值為，.整理化簡，得.解得或（舍去），線段上存在滿足題意的點，且.18.【考點】橢圓的基本概念與性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系綜合問題，基本不等式求最值（中檔偏難題）解：（1）橢圓的離心率為，即.橢圓上動點與點的最大距離為3.，橢圓的標準方程為：.（2）設(shè)，由（1）知，，.，整理得.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，，，，，.直線的方程為.點到直線的距離...，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，直線存在.綜上，面積