八年級初二數(shù)學(xué)勾股定理知識點-+典型題及解析

一、選擇題1．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C，D，E在同一條直線上，連接B，D和B，E．下列四個結(jié)論：①BD=CE，②BD⊥CE，③∠ACE+∠DBC=30°，④．其中，正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B離點C5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（）cm．A．25 B．20 C．24 D．103．“勾股圖”有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以“勾股圖”為背景的郵票（如圖1），歐幾里得在《幾何原本》中曾對該圖做了深入研究．如圖2，在中，，分別以的三條邊為邊向外作正方形，連結(jié)，，，分別與，相交于點，．若，則的值為（）A． B． C． D．4．圓柱形杯子的高為18cm，底面周長為24cm，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿2cm）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿4cm），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為（）A． B．28 C．20 D．5．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，則S2的值是(

)A．3 B． C．5 D．6．以線段、b、c的長為邊長能構(gòu)成直角三角形的是（）A．=3，b=4，c=6 B．=1，b=，c=C．=5，b=6，c=8 D．=，b=2，c=7．在中，，，，則（）A． B． C． D．8．以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是A． B．、、C．、、 D．、、9．在△ABC中，AB=10，BC=12，BC邊上的中線AD=8，則△ABC邊AB上的高為（）A．8 B．9.6 C．10 D．1210．在中，,則△ABC是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空題11．如圖，AB＝12，AB⊥BC于點B，AB⊥AD于點A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中點，則AE的長是_______．12．如圖，點E在邊DB上，點A在內(nèi)部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，給出下列結(jié)論，其中正確的是_____（填序號）①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．13．如圖，等腰梯形中，，，平分，，則等于_________.14．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°,以AC為斜邊向外作等腰直角三角形COA，已知BC=8,OB=10,則另一直角邊AB的長為__________.15．如圖，已知△DBC是等腰直角三角形，BE與CD交于點O，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF，若BC=8，OD=，則OF=______.16．如圖所示，“趙爽弦圖”是由8個全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為，已知,則的值是____.17．如圖，長方體紙箱的長、寬、高分別為50cm、30cm、60cm，一只螞蟻從點A處沿著紙箱的表面爬到點B處.螞蟻爬行的最短路程為_______cm.18．如圖的實線部分是由經(jīng)過兩次折疊得到的.首先將沿高折疊，使點落在斜邊上的點處，再沿折疊，使點落在的延長線上的點處.若圖中，，，則的長為______.19．在中，，其中一個銳角為，，點在直線上（不與，兩點重合），當(dāng)時，的長為__________．20．在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，點D在邊AB，且BD=，點P是△ABC邊上的一個動點，若AP=2PD時，則PD的長是____________．三、解答題21．定義：如圖1，平面上兩條直線AB、CD相交于點O，對于平面內(nèi)任意一點M，點M到直線AB、CD的距離分別為p、q，則稱有序?qū)崝?shù)對(p，q)是點M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點有1個，即點O．（1）“距離坐標(biāo)”為1，0的點有個；（2）如圖2，若點M在過點O且與直線AB垂直的直線l上時，點M的“距離坐標(biāo)”為p，q，且BOD150，請寫出p、q的關(guān)系式并證明；（3）如圖3，點M的“距離坐標(biāo)”為，且DOB30，求OM的長．22．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC邊上一動點，且不與點A點C重合，連接BD并延長，在BD延長線上取一點E，使AE＝AB，連接CE．（1）若∠AED＝20°，則∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，試探索∠AED與∠AEC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；（3）如圖2，過點A作AF⊥BE于點F，AF的延長線與EC的延長線交于點H，求證：EH2+CH2＝2AE2．23．如圖，在中，，，點是上一動點、連接，過點作，并且始終保持，連接，（1）求證：；（2）若平分交于，①探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②若，，求的長，24．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽曾用圖1證明了勾股定理，這個圖形被稱為“弦圖”.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(ICM2002)的會標(biāo)(圖2)，其圖案正是由“弦圖”演變而來.“弦圖”是由4個全等的直角三角形與一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形請你根據(jù)圖1解答下列問題:(1)敘述勾股定理(用文字及符號語言敘述);(2)證明勾股定理;(3)若大正方形的面積是,小正方形的面積是,求的值.25．如圖1,△ABC和△CDE均為等腰三角形，AC=BC,CD=CE,AC>CD,∠ACB=∠DCE=a，且點A、D、E在同一直線上，連結(jié)BE.(1)求證:AD=BE.(2)如圖2,若a=90°，CM⊥AE于E.若CM=7,BE=10,試求AB的長.(3)如圖3,若a=120°,CM⊥AE于E,BN⊥AE于N,BN=a,CM=b,直接寫出AE的值(用a,b的代數(shù)式表示).26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點是坐標(biāo)原點，，，均為等邊三角形，在軸正半軸上，點，點，點在內(nèi)部，點在的外部，，，與交于點，連接，，，.（1）求點的坐標(biāo)；（2）判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）直接寫出的周長.27．已知組正整數(shù)：第一組：3，4，5；第二組：8，6，10；第三組：15，8，17；第四組：24，10，26；第五組：35，12，37；第六組：48，14，50；…（1）是否存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且其中一個數(shù)為71？若存在，請寫出這組數(shù)；若不存在，請說明理由；（2）以任意一個大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長，是否一定可以畫出一個直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數(shù)？若可以，請說明理由；若不可以，請舉出反例．28．如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點，且滿足DE⊥EF，垂足為點E，連接DF．（1）求∠EDF=（填度數(shù)）；（2）延長DE交AB于點G，連接FG，如圖2，猜想AG，GF，F(xiàn)C三者的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）①若AB=6，G是AB的中點，求△BFG的面積；②設(shè)AG=a，CF=b，△BFG的面積記為S，試確定S與a，b的關(guān)系，并說明理由．29．（發(fā)現(xiàn)）小慧和小雯用一個平面去截正方體，得到一個三角形截面（截出的面），發(fā)現(xiàn)截面一定是銳角三角形．為什么呢？她們帶著這個疑問請教許老師．（體驗）（1）從特殊入手許老師用1個鉚釘把長度分別為4和3的兩根窄木棒的一端連在一起（如圖AB=4，AC=3）,保持AB不動，讓AC從重合位置開始繞點A轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動的過程，觀測BC的大小和ΔABC的形狀，并列出下表：BC的大小ΔABC的形狀1<BC<m…BC=m直角三角形m<BC<n…BC=n直角三角形n<BC<7…請仔細(xì)體會其中的道理，并填空：m=_____，n=_____；（2）猜想一般結(jié)論在ΔABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c（a≤b≤c），①若ΔABC為直角三角形，則a,b,c滿足a2②若ΔABC為銳角三角形，則a,b,c滿足____________；③若ΔABC為鈍角三角形，則a,b,c滿足_____________．（探索）在許老師的啟發(fā)下，小慧用小刀在一個長方體橡皮上切出一個三角形截面ABC（如圖1），設(shè)SA=x，SB=y，SC=z，請幫助小慧說明ΔABC為銳角三角形的道理．（應(yīng)用）在小慧的基礎(chǔ)上，小雯又切掉一塊“角B”，得到一個新的三角形截面DEF（如圖2），那么ΔDEF的形狀是（）A．一定是銳角三角形B．可能是銳角三角形或直角三角形，但不可能是鈍角三角形C．可能是銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形30．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是邊AB的高線，動點E從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AC運動；同時，動點F從點C出發(fā)，以相同的速度沿射線CB運動．設(shè)E的運動時間為t（s）（t＞0）．（1）AE＝（用含t的代數(shù)式表示），∠BCD的大小是度；（2）點E在邊AC上運動時，求證：△ADE≌△CDF；（3）點E在邊AC上運動時，求∠EDF的度數(shù)；（4）連結(jié)BE，當(dāng)CE＝AD時，直接寫出t的值和此時BE對應(yīng)的值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．B解析：B【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得出三角形ABD與三角形ACE全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BD=CE；②由三角形ABD與三角形ACE全等，得到一對角相等，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到BD垂直于CE；③由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代換得到∠ACE+∠DBC=45°；④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可作出判斷．【詳解】解：如圖，①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，故①正確；②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，∴∠BDC=90°，∴BD⊥CE，故②正確；③∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°，故③錯誤；④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE2=BD2+DE2，∵△ADE為等腰直角三角形，∴AE=AD，∴DE2=2AD2，∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，在Rt△BDC中，，而BC2=2AB2，∴BD2<2AB2，∴故④錯誤，綜上，正確的個數(shù)為2個．故選：B．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．A解析：A【分析】分三種情況討論：把左側(cè)面展開到水平面上，連結(jié)AB；把右側(cè)面展開到正面上，連結(jié)AB，；把向上的面展開到正面上，連結(jié)AB；然后利用勾股定理分別計算各情況下的AB，再進行大小比較．【詳解】把左側(cè)面展開到水平面上，連結(jié)AB，如圖1把右側(cè)面展開到正面上，連結(jié)AB，如圖2把向上的面展開到正面上，連結(jié)AB，如圖3∵∴∴需要爬行的最短距離為25cm故選：A．【點睛】本題考查了平面展開及其最短路徑問題：先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．3．D解析：D【分析】先用已知條件利用SAS的三角形全等的判定定理證出△EAB≌△CAM，之后利用全等三角形的性質(zhì)定理分別可得，，，然后設(shè)，繼而可分別求出，，所以；易證Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），從而得，然后代入所求數(shù)據(jù)即可得的值．【詳解】解：∵在△EAB和△CAM中，，∴△EAB≌△CAM（SAS），∴，∴,∴,,設(shè)，則，，，，∴；∵在Rt△ACB和Rt△DCG中，，Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），∴;∴．故選D．【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理等知識．4．C解析：C【解析】分析：將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求.詳解：如圖所示，將杯子側(cè)面展開,作A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′B,則A′B即為最短距離，A′B=(cm)故選C.點睛：本題考查了勾股定理、最短路徑等知識.將圓柱側(cè)面展開，化曲面為平面并作出A關(guān)于EF的對稱點A′是解題的關(guān)鍵.5．C解析：C【解析】將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個全等的三角形面積一個設(shè)為y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S2=x+4y=5，故答案為5．點睛：將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個全等的三角形面積一個設(shè)為y，用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=15求解是解決問題的關(guān)鍵．6．B解析：B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對四個選項進行逐一分析即可．【詳解】A、，C、，D、，故錯誤；B、，能構(gòu)成直角三角形，本選項正確.故選B．【點睛】本題考查了勾股定理的知識點，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握勾股定理的定理與運算.7．D解析：D【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【詳解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB=6，由勾股定理得，AC=，故選：D．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理依次計算各項后即可解答.【詳解】選項A，，不能構(gòu)成直角三角形；選項B，，不能構(gòu)成直角三角形；選項C，，能構(gòu)成直角三角形；選項D，，不能構(gòu)成直角三角形．故選C．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．9．B解析：B【分析】如圖，作與E,利用勾股定理的逆定理證明,再利用面積法求出EC即可.【詳解】如圖，作與E.是的中線,BC=12,BD=6,,故選B.【點睛】本題主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面積等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,學(xué)會面積法求三角形的高.10．D解析：D【分析】根據(jù)題意設(shè)出三邊分別為k、k、k，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形，又有BC、AC邊相等，所以三角形為等腰直角三角形．【詳解】設(shè)BC、AC、AB分別為k，k，k，∵k2+k2=（k）2，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，又BC=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．故選D．【點睛】本題主要考查了直角三角形的判定，利用設(shè)k法與勾股定理證明三角形是直角三角形是難點，也是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．5【詳解】解：如圖，延長AE交BC于點F，∵點E是CD的中點,∴DE=CE，,∵AB⊥BC，AB⊥AD,∴AD∥BC,∴∠ADE=∠BCE且DE=CE，∠AED=∠CEF,∴△AED≌△FEC（ASA）,∴AD=FC=5，AE=EF,∴BF=BC-FC=5,∴在Rt△ABF中，,故答案為：6.5．12．①③【分析】①由已知條件證明DAB≌EAC即可；②由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°；③由ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC=45°+45°=90°可判斷③；④由BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2可判斷④．【詳解】解：∵DAE＝BAC＝90°，∴DAB＝EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴AED=ADE=ABC=ACB=45°，∵在DAB和EAC中，，∴DAB≌EAC，∴BD＝CE，ABD＝ECA，故①正確；由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°故②錯誤；∵ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC=45°+45°=90°，∴CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正確；∴BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2．∴BE2＝2（AD2+AB2）－CD2，故④錯誤．故答案為：①③．【點睛】本題主要考查全等三角形判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)定理以及勾股定理公式是解題關(guān)鍵．13．3【分析】由，平分，易證得是等腰三角形，即可求得，又由四邊形是等腰梯形，易證得，然后由，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余，即可求得，則可求得的值，繼而求得的值.【詳解】解：∵，，∴，，∵平分，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵三角形內(nèi)角和為180°，∴，∴，∴，∴.故答案為：3．【點睛】本題主要考查對勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．14．12【分析】延長BA至E，使AE=BC，并連接OE.證?BCO?∠EAO，再證三角形BOE是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=，可得AB=BE-AE.【詳解】如圖，延長BA至E，使AE=BC，并連接OE.因為三角形COA是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因為∠ABC=90°，∠AOC=90°，所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180°所以∠BCO=∠OAE所以?BCO?∠EAO所以BO=EO,∠BOC=∠EOA所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE是等腰直角三角形所以BE=所以AB=BE-AE=20-8=12故答案為：12【點睛】考核知識點：全等三角形，勾股定理.構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵.15．【分析】過點F作FG⊥BE，連接OF、EF，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出DC的值，再用勾股定理求出的值，然后根據(jù)中位線定理得出FG的的值，最后再根據(jù)勾股定理得出OF的值即可.【詳解】過點F作FG⊥BE，連接OF、EF，如下圖所示：∵是等腰直角三角形，且，∴∵∴∴設(shè)∵∠BEC=90°則∴∴∵，F(xiàn)G⊥BE，∠BEC=90°∴∴∴∴【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形、中位線定理、勾股定理等，綜合度比較高，準(zhǔn)確作出輔助線是關(guān)鍵.16．.【分析】根據(jù)八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根據(jù)，，，，即可得出答案.【詳解】∵八個直三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形∴CG=NG，CF=DG=NF∴∴∴故故答案為.【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識點由勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì).17．100【解析】螞蟻有三種爬法，就是把正視和俯視（或正視和側(cè)視，或俯視和側(cè)視）二個面展平成一個長方形，然后求其對角線：第一種情況：如圖1，把我們所看到的前面和上面組成一個平面，則這個長方形的長和寬分別是90cm和50cm，則所走的最短線段AB==10cm；第二種情況：如圖2，把我們看到的左面與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是110cm和30cm，所以走的最短線段AB==10cm；第三種情況：如圖3，把我們所看到的前面和右面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是80cm和60cm，所以走的最短線段AB==100cm；三種情況比較而言，第三種情況最短．故答案為100cm．點睛：本題考查了立體圖形中的最短路線問題；通常應(yīng)把立體幾何中的最短路線問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的求兩點間距離的問題；注意長方體展開圖形應(yīng)分情況進行探討．18．3【分析】根據(jù)題意利用折疊后圖形全等，并利用等量替換和等腰三角形的性質(zhì)進行綜合分析求解.【詳解】解：由題意可知,∵，，∴，∵，∴(等量替換)，（三線合一），∴利用勾股定理假設(shè)的長為m，，則有，解得，所以的長為3.【點睛】本題考查幾何的翻折問題，熟練掌握并綜合利用等量替換和等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理分析是解題的關(guān)鍵.19．或或4【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分4種情況進行討論，利用含30°角直角三角形與勾股定理解答．【詳解】解：如圖1：當(dāng)∠C=60°時，∠ABC=30°，與∠ABP=30°矛盾；如圖2：當(dāng)∠C=60°時，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等邊三角形，∴；如圖3：當(dāng)∠ABC=60°時，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°-30°=30°，∴PC=PB，∵，∴，在Rt△APB中，根據(jù)勾股定理,即,即，解得，如圖4：當(dāng)∠ABC=60°時，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴在Rt△BCP中，根據(jù)勾股定理,即,解得PC=4（已舍去負(fù)值）．綜上所述，的長為或或4．故答案為：或或4．【點睛】本題考查含30°角直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理．理解直角三角形30°角所對邊是斜邊的一半，并能通過勾股定理去求另外一個直角邊是解決此題的關(guān)鍵．20．3或或【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC，勾股定理求出AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式計算即可．【詳解】解：如圖∵∠B=90°，∠A=30°，∴BC=AC=×8=4，由勾股定理得，AB=當(dāng)點P在AC上時，∠A=30°，AP=2PD，∴∠ADP=90°，則AD2+PD2=AP2，即（3）2=（2PD）2-PD2，解得，PD=3，當(dāng)點P在AB上時，AP=2PD，AD=3，∴PD=，當(dāng)點P在BC上時，AP=2PD，設(shè)PD=x，則AP=2x，由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3，解得，x=故答案為：3或或.【點睛】本題考查的是勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．三、解答題21．(1)2；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)“距離坐標(biāo)”的定義結(jié)合圖形判斷即可；（2）過M作MN⊥CD于N，根據(jù)已知得出，，求出∠MON＝60°，根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出即可解決問題；（3）分別作點關(guān)于、的對稱點、，連接、、，連接、分別交、于點、點，首先證明，求出，，然后過作，交延長線于，根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理求出EF即可．【詳解】解：（1）由題意可知，在直線CD上，且在點O的兩側(cè)各有一個，共2個，故答案為：2；（2）過作于，∵直線于，，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）分別作點關(guān)于、的對稱點、，連接、、，連接、分別交、于點、點．∴，，∴，，，∴，∴△OEF是等邊三角形，∴，∵，，∴，，∵，∴，過作，交延長線于，∴，在中，，則，在中，，，∴，∴．【點睛】本題考查了軸對稱的應(yīng)用，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及等邊三角形的判定和性質(zhì)等，正確理解題目中的新定義是解答本題的關(guān)鍵．22．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由見解析；（3）見解析【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得結(jié)論；（3）如圖，過點C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得EH＝EF，CH＝CG，由“AAS”可證△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案為：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如圖，過點C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH＝EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH＝CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH＝AF，∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，∴（AF）2+（EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AE2．【點睛】本題是綜合了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定的動點問題，三個問題由易到難，在熟練掌握各個相關(guān)知識的基礎(chǔ)上找到問題之間的內(nèi)部聯(lián)系，層層推進去解答是關(guān)鍵.23．（1）見詳解（2）①結(jié)論：，證明見詳解②【分析】（1）根據(jù)，只要證明即可解決問題；（2）①結(jié)論：．連接，進一步證明，，再利用勾股定理即可得證；②過點作于點，在中求出、即可求解．【詳解】解：（1）∵∴∵∴∴∴在和中∴≌（2）①結(jié)論：證明：連接，如圖：∵≌∴，∴∴∴∵平分∴∴在和中∴≌∴∴即②過點作于點，如圖：∵由①可知∴∴∵，∴∴∴在中，故答案是：（1）見詳解（2）①結(jié)論：，證明見詳解②【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)．綜合性較強，屬中檔題，學(xué)會靈活應(yīng)用相關(guān)知識點進行推理證明．24．（1）見解析；（2）證明見解析；（3）25.【分析】（1）直接敘述勾股定理的內(nèi)容，并用字母表明三邊關(guān)系；（2）利用大正方形面積、小正方形面積和4個直角三角形的面積和之間的關(guān)系列式整理即可證明；（3）將原式利用完全平方公式展開，由勾股定理的內(nèi)容可得出為大正方形面積和4個直角三角形的面積和，根據(jù)已知條件即可求得.【詳解】解：（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．在直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，a2+b2=c2．（2）∵S大正方形=c2，S小正方形=(b-a)2，4SRt△=4×ab=2ab，∴c2=2ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2，即a2+b2=c2．（3）∵4SRt△=S大正方形-S小正方形=13-1=12,∴2ab=12.∴(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+12=25.【點睛】本題考查勾股定理的內(nèi)容及勾股定理的幾何驗證，利用等面積法證明勾股定理及運用勾股定理是解答此題的關(guān)鍵.25．（1）見解析；（2）26；（3）+b【分析】（1）由∠ACB=∠DCE可得出∠ACD=∠BCE，再利用SAS判定△ACD≌△BCE，即可得到AD=BE；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得CM=DE，同（1）可證△ACD≌△BCE，得到AD=BE，然后可求AE的長，再判斷∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB的長；（3）由等腰三角形的性質(zhì)易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根據(jù)30度所對的直角邊是斜邊的一半可求出DE=2CM，然后利用三角形外角性質(zhì)推出∠BEN=60°，在Rt△BEN中即可求出BE，由于BE=AD，所以利用AE=AD+DE即可得出答案.【詳解】證明：（1）∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE（2）∵∠DCE=90°，CD=CE，∴△DCE為等腰直角三角形，∵CM⊥DE，∴CM平分DE，即M為DE的中點∴CM=DE，∴DE=2CM=14，∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE∴AE=AD+DE=24如圖，設(shè)AE，BC交于點H，在△ACH和△BEH中，∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH，而∠CAH=∠EBH，∴∠BEH=∠ACH=90°，∴△ABE為直角三角形由勾股定理得（3）由（1）（2）可得△ACD≌△BCE，∴∠DAC=∠EBC，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM，∴CD=CE=2CM，DM=EM=CM∴DE=2CM=2b∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°，∴∠NBE=30°，∴BE=2EN，BN=EN∵BN=a∴BE=2EN==AD∴AE=AD+DE=【點睛】本題考查全等三角形的旋轉(zhuǎn)模型，掌握此模型的特點得到全等三角形是關(guān)鍵，其中還需要用到等腰三角形三線合一與30度所對的直角邊的性質(zhì)，熟練掌握這些基本知識點是關(guān)鍵.26．（1），；（2）；（3）.【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出，，由勾股定理得出，即可得出點的坐標(biāo)；（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出，，，證出，由證明，即可得出；（3）證出，求出，由全等三角形的性質(zhì)得出，證出，由等邊三角形的性質(zhì)得，即可得出答案．【詳解】解：（1）是等邊三角形，點，點，，，，點的坐標(biāo)為，；（2）；理由如下：，均為等邊三角形，，，，，在和中，，，；（3），，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，為等邊三角形，為斜邊的中點，，的周長．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．27．（1）不存在，見解析；（2）以任意一個大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長，一定可以畫出一個直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數(shù)，見解析.【分析】（1）根據(jù)題意可知，這n組正整數(shù)符合規(guī)律m2-1，2m，m2+1（m≥2，且m為整數(shù)）．分三種情況：m2-1=71；2m=71；m2+1=71；進行討論即可求解；（2）由于（m2-1）

2+（2m）

2=m4+2m2+1=（m2+1）

2，根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解．【詳解】（1）不存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且其中一個數(shù)為71．理由如下：根據(jù)題意可知，這組正整數(shù)符合規(guī)律，，（，且為整數(shù)）．若，則，此時不符合題意；若，則，此時不符合題意；若，則，此時不符合題意，所以不存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且其中一個數(shù)為71．（2）以任意一個大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長，一定可以畫出一個直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數(shù)．理由如下：對于一組數(shù)：，，（，且為整數(shù)）．因為所以若一個三角形三邊長分別為，，（，且為整數(shù)），則該三角形為直角三角形．因為當(dāng)，且為整數(shù)時，表示任意一個大于2的偶數(shù)，，均為正整數(shù)，所以以任意一個大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長，一定可以畫出一個直角三角形，使得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數(shù)．【點睛】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．注意分類思想的應(yīng)用28．(1)45°；(2)GF=AG+CF，證明見解析；(3)①6；②，理由見解析.【解析】【分析】（1）如圖1中，連接BE．利用全等三角形的性質(zhì)證明EB=ED，再利用等角對等邊證明EB=EF即可解決問題．（2）猜想：GF=AG+CF．如圖2中，將△CDF繞點D旋轉(zhuǎn)90°，得△ADH，證明△GDH≌△GDF（SAS）即可解決問題．（3）①設(shè)CF=x，則AH=x，BF=6-x，GF=3+x，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可．②設(shè)正方形邊長為x，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)系式，利用整體代入的思想解決問題即可．【詳解】解：（1）如圖1中，連接BE．∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠ECD=∠ECB=45°，∵EC=EC，∴△ECB≌△ECD（SAS），∴E