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關(guān)于高中數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)的運(yùn)算新人教A版必修第2頁,共39頁,2024年2月25日,星期天某中學(xué)為了爭(zhēng)創(chuàng)“全國(guó)千所示范高中”,投入了大量的資金.一方面是硬件設(shè)施的改善和校園環(huán)境的美化,另一方面是進(jìn)行師資培訓(xùn),進(jìn)一步提高教師素質(zhì).在2006年學(xué)校總投資是a萬元,并計(jì)劃在近幾年內(nèi),每年都比上一年增長(zhǎng)50%的勢(shì)頭投入資金.你能計(jì)算出經(jīng)過多少年該中學(xué)的資金總投入是2006年的6倍嗎?第3頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第4頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第5頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第6頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第7頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第8頁,共39頁,2024年2月25日,星期天1.log63+log62等于 (
)A.6
B.5C.1 D.log65解析:log63+log62=log6(3×2)=log66=1.答案:C第9頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第10頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第11頁,共39頁,2024年2月25日,星期天4.已知log23=a,log37=b,則log27=________.(用a,b表示)解析:log27=log23·log37=ab.答案:ab第12頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第13頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第14頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第15頁,共39頁,2024年2月25日,星期天溫馨提示:對(duì)數(shù)式的計(jì)算要注意公式的逆用,譬如在常用對(duì)數(shù)中,lg2=1-lg5,lg5=1-lg2的運(yùn)用.
第16頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第17頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第18頁,共39頁,2024年2月25日,星期天溫馨提示:解法一是先分括號(hào)內(nèi)換底,然后再將底統(tǒng)一;解法二是在解題方向還不清楚的情況下,一次性地統(tǒng)一為常用對(duì)數(shù)(當(dāng)然也可以換成其他非1的正數(shù)為底),然后再化簡(jiǎn).上述方法是不同底數(shù)對(duì)數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)和恒等證明的常用方法.
第19頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第20頁,共39頁,2024年2月25日,星期天思路分析:指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解決此類問題必須具備的基本手段.第21頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第22頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第23頁,共39頁,2024年2月25日,星期天類型四對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題【例4】一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年剩留的質(zhì)量約是原來的84%,估計(jì)約經(jīng)過多少年,該物質(zhì)的剩留量是原來的一半.(結(jié)果保留1個(gè)有效數(shù)字)思路分析:首先找到剩余量與年數(shù)的關(guān)系,再利用對(duì)數(shù)計(jì)算.第24頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第25頁,共39頁,2024年2月25日,星期天溫馨提示:對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題應(yīng)首先建立量的關(guān)系式,在計(jì)算時(shí),通過兩邊取對(duì)數(shù),利用對(duì)數(shù)計(jì)算.
第26頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第27頁,共39頁,2024年2月25日,星期天
計(jì)算:(1)log1627·log8132;(2)(log32+log92)(log43+log83).第28頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第29頁,共39頁,2024年2月25日,星期天根據(jù)建設(shè)有中國(guó)特色的社會(huì)主義的戰(zhàn)略方針,我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從2000年到2020年經(jīng)過20年將要翻兩番,問平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)為多少?(lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg1.072=0.0301)解:設(shè)2000年總產(chǎn)值為a,平均增長(zhǎng)率為x,由題意,得a(1+x)20=4a,即(1+x)20=4,將上式化為對(duì)數(shù)式得lg(1+x)20=lg4即20lg(1+x)=2lg2=0.6020.∴l(xiāng)g(1+x)=0.0301=lg1.072.∴1+x=1.072,即x=0.072.故平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)為7.2%.第30頁,共39頁,2024年2月25日,星期天1.對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的理解與運(yùn)用需注意的問題(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),都要注意只有當(dāng)式子中所有的對(duì)數(shù)符號(hào)都有意義時(shí),等式才成立.如log2[(-3)·(-5)]是存在的,但log2(-3)與log2(-5)均不存在,故不能寫成:log2[(-3)·(-5)]=log2(-3)+log2(-5).第31頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第32頁,共39頁,2024年2月25日,星期天(3)避免機(jī)械地從符號(hào)去記憶公式,注意用語言準(zhǔn)確敘述運(yùn)算性質(zhì),以防止出現(xiàn)上述錯(cuò)誤.(4)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,可以把乘、除、乘方、開方的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算,反之亦然,這種運(yùn)算的互化可簡(jiǎn)化計(jì)算方法,加快計(jì)算速度.第33頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第34頁,共39頁,2024年2月25日,星期天第35頁,共39頁,2024年2月25日,星期天對(duì)數(shù)簡(jiǎn)史對(duì)數(shù)是高中初等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,那么當(dāng)初是誰首創(chuàng)“對(duì)數(shù)”這種高級(jí)運(yùn)算的呢?在數(shù)學(xué)史上,一般認(rèn)為對(duì)數(shù)的發(fā)明者是16世紀(jì)末到17世紀(jì)初的蘇格蘭數(shù)學(xué)家——納皮爾男爵.在納皮爾所處的年代,哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行,這導(dǎo)致天文學(xué)成為當(dāng)時(shí)的熱門學(xué)科.可是由于當(dāng)時(shí)常量數(shù)學(xué)的局限性,天文學(xué)家們不得不花費(fèi)很大的精力去計(jì)算那些繁雜的“天文數(shù)字”,因此浪費(fèi)了若干年甚至畢生的寶貴時(shí)間,運(yùn)用對(duì)數(shù)使龐大的計(jì)算大為簡(jiǎn)化.第36頁,共39頁,2024年2月25日,星期天那么,當(dāng)時(shí)納皮爾所發(fā)明的對(duì)數(shù)運(yùn)算,是怎么一回事呢?在那個(gè)時(shí)代,計(jì)算多位數(shù)之間的乘積,還是十分復(fù)雜的運(yùn)算,因此納皮爾首先發(fā)明了一種計(jì)算特殊多位數(shù)之間乘積的方法.讓我們來看看下面這個(gè)例子:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、…第37頁,共39頁,2024年2月25日,星期天這兩行數(shù)字之間的關(guān)系是極為明確的:第一行表示2的指數(shù),第二行表示2的對(duì)應(yīng)冪.如果我們要計(jì)算第二行中兩個(gè)數(shù)的乘積,可以通過第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的相加求和來實(shí)現(xiàn).比如,計(jì)算64×256的值,就可以先查詢第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)字:64對(duì)應(yīng)6,256對(duì)應(yīng)8;然后再把第一行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字相加求和:6+8=14;第一行中的14對(duì)應(yīng)第二行中的16384
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