第五章 彎曲內(nèi)力

Page1§5-2梁的約束與類(lèi)型第五章彎曲內(nèi)力§5-1

引言§5-3剪力與彎矩§5-4剪力、彎矩方程與剪力、彎矩圖§5-5剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系§5-6剛架與曲梁的內(nèi)力Page2§5-1引言上圖：水閘立柱下圖：跳板彎曲實(shí)例Page3彎曲變形特征：軸線變彎以彎曲為主要變形形式的桿——梁受力特征：力或力矩矢量垂直于軸線平面彎曲：Page4?

梁上的外力-橫向載荷?

梁上的計(jì)算簡(jiǎn)圖Page5§5-2梁的約束與類(lèi)型主要約束形式與反力

固定鉸支座：支反力FRx與FRy

可動(dòng)鉸支座：垂直于支承平面的支反力

FR

固定端：支反力

FRx,FRy與矩為

M

的支反力偶Page6?

靜定梁的形式：靜不定梁：僅靠平衡方程不能確定全部支反力的梁Fq(x)簡(jiǎn)支梁q(x)FFF外伸梁FF懸臂梁FPage7§5-3

剪力與彎矩拉壓桿橫截面上的內(nèi)力——軸力受扭軸橫截面上的內(nèi)力——扭矩受彎曲梁橫截面上的內(nèi)力——？?jī)?nèi)力分析應(yīng)力分析變形分析Page8Q

以簡(jiǎn)支梁為例，分析梁的內(nèi)力ABFFAyFFBymmFByFsM?FY=0

T

FS=FBy?MC=0T

M=FBy·lFS——剪力

M——彎矩FNFSMFS剪力，平行于橫截面的內(nèi)力合力M

彎矩，垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力偶矩FByFNFSM3FAyPage10剪力：使微段有沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為正彎矩：使微段彎曲呈凹形為正彎矩符號(hào)另一定義：使橫截面頂部受壓為正剪力與彎矩的符號(hào)規(guī)定

左順右逆為正；反之為負(fù)Page11§5-4

剪力、彎矩方程與剪力、彎矩圖剪力、彎矩方程：剪力、彎矩沿梁軸（x軸）變化的解析表達(dá)式。剪力、彎矩圖：表示剪力與彎矩沿梁軸變化的圖線。方法：利用截面法，根據(jù)平衡關(guān)系，分段建立剪力、彎矩方程（函數(shù)），然后畫(huà)其函數(shù)圖象。12解：1.確定支反力FAyFBy2.用截面法研究?jī)?nèi)力FAyFSEMEFAy13FByFByFAyFSEMEO分析右段得到：FSEMEO14FAyFBy

截面上的剪力等于截面任一側(cè)外力的代數(shù)和。FAyFSE2F15FAyFBy

截面上的彎矩等于截面任一側(cè)外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和。FAy2FMEPage16ABqFAyFByqFAyxFSM例：試建立圖示簡(jiǎn)支梁的剪力、彎矩方程，畫(huà)剪力、彎矩圖。解：1、求支反力，由梁的平衡：

FAy=FBy=ql/2xo2、建立坐標(biāo)軸Ox軸3、在截面x處截取左段為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件：FS=FAy-qx=q(l-2x)/2

0<x<lM=FAyx-(qx2/2)=qx(l-x)/20≤x

≤lPage17FS=q(l-2x)/2

0<x<l

M=qx(l-x)/20≤

x

≤lABqFAyFByxoFS:xFSql/2ql/2+_M:xMql2/8+4、根據(jù)剪力、彎矩方程畫(huà)剪力、彎矩圖注意事項(xiàng)：載荷、剪力、彎矩圖對(duì)齊標(biāo)注段值、極值、正負(fù)號(hào)按工程圖要求，請(qǐng)用工具作圖Page18例：建立剪力彎矩方程，并畫(huà)剪力彎矩圖1、求支反力：FAy=bF/(a+b)

FBy=aF/(a+b)2、建立坐標(biāo)：3、建立剪力、彎矩方程：(截面法)FAyFByxFAyxFSMFS=FAy(0<x<a)

M=FAyx(0￡

x

￡

a)ABFabFS=FAy-F

(a<x<a+b)

M=FAyx-F(x-a)(a￡

x￡

a+b)FAyxFSMFPage19ABFabx1x2FS=FAy(0<x1<a)

M=FAyx1(0￡

x1

￡

a)

FS=-FBy(0<x2<b)

M=FByx2(0￡

x2

￡

b)

F

也可以建立局部坐標(biāo)：FAyx1FSMFByx2FSMPage20ABFabx1x2FS=FAy(0<x1<a)

M=FAyx1(0￡

x1

￡

a)

FS=-FBy(0<x2<b)

M=FByx2(0￡

x2

￡

b)

FS:xFSbF/(a+b)+_aF/(a+b)M:xM+abF/(a+b)$

在集中力作用處(包括支座)剪力有突變,突變量等于集中力之值。Page21

解：1、計(jì)算支座反力，作用于AC梁中點(diǎn)。例：建立剪力彎矩方程，并畫(huà)剪力彎矩圖AB段內(nèi)力BC段內(nèi)力Page22例：建立剪力彎矩方程，并畫(huà)剪力彎矩圖qqa2aaABCx可以不求支反力建立坐標(biāo)建立剪力彎矩方程：FS=-qx

(0￡

x

￡a)

M=-qx2/2(0￡

x<a)

FS=-qa

(a

￡

x<2a)

M=qa2-qa(x-a/2)(a<x<2a)

xAqFSMqqa2xABFSMPage23qqa2aaABCxFS=-qx

(0￡

x

￡a)

M=-qx2/2(0￡

x<a)

FS=-qa

(a

￡

x<2a)

M=qa2-qa(x-a/2)(a<x<2a)

FS:xFS_qaM:xM+qa2/2__qa2/2qa2/2$

在集中力偶作用處(包括支座)彎矩有突變Page24總結(jié)：Q

分析步驟：求支反力建立坐標(biāo)建立剪力彎矩方程畫(huà)剪力彎矩圖Q

當(dāng)需要分段列剪力彎矩方程時(shí)（集中力，集中力偶，分布載荷不作用在整個(gè)梁段），可以采用整體坐標(biāo)或局部坐標(biāo)。Q

剪力彎矩圖中要標(biāo)明符號(hào)以及特征點(diǎn)的大小。Q

剪力圖在有集中力作用處（包括支座處），發(fā)生突變。Q

彎矩圖在有集中力偶作用處（包括支座處），發(fā)生突變。Page25一、微積分關(guān)系的推導(dǎo)取梁一長(zhǎng)dx微段，研究它的平衡q向上為正

x向右為正注意：積分關(guān)系：§5-5

剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系Page26二、微積分關(guān)系的幾何意義（用于快速畫(huà)剪力彎矩圖）Q

剪力圖某點(diǎn)處的切線斜率=

該截面處載荷集度的大小Q

彎矩圖某點(diǎn)處的切線斜率=

該截面處剪力的大小Q

該截面處載荷集度的正負(fù)決定彎矩圖某點(diǎn)處的凹凸性分布載荷向上（q>0），拋物線呈凹形；分布載荷向下（q<0），拋物線呈凸形。Page27例：利用微積分關(guān)系畫(huà)剪力彎矩圖ABqa/2qa/2a/2aCD1、求支反力：FAy=5qa/8FDy=7qa/85qa/87qa/82、求出特征點(diǎn)的剪力彎矩值：03qa2/85qa2/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85qa/8FsD-C-B+B-A+CDBCAB2次凸曲線斜線斜線M圖斜線直線直線Fs圖q<0q=0q=0qFSABCD+-5qa/8qa/87qa/8MABCD+3qa2/85qa2/1649qa2/1283、確定各段的曲線形狀：4、畫(huà)剪力彎矩圖：Page28$

利用微分關(guān)系畫(huà)剪力彎矩圖的步驟：F

利用平衡方程，求出各支反力F

根據(jù)載荷和約束，確定各個(gè)特征點(diǎn)位置，一般特征點(diǎn)：支座內(nèi)側(cè)截面，集中載荷（集中力和集中力偶）兩側(cè)，分布載荷兩側(cè).F

將各個(gè)控制點(diǎn)的數(shù)值標(biāo)在坐標(biāo)系中M

切記：q向上為正；x向右為正。F應(yīng)用截面法確定各個(gè)控制點(diǎn)的剪力、彎矩值，F(xiàn)根據(jù)微分關(guān)系，確定各段曲線的形狀，Page29作業(yè)5-15-2c,e,f5-55-6Page30M

F向上,向上突變M

Me順時(shí)針,向上突變（喻打傘）Page311、截面法

——基本方法2、面積法

(積分法)：x左邊分布載荷的面積

+x左邊的集中載荷(包括支反力)=x左邊剪力圖的面積

+x左邊的集中力偶(包括支反力偶)=M順時(shí)針為正q、F向上為正F

求特征點(diǎn)剪力、彎矩值的方法：Page32qaqa2a/2--+qaABCqa5/4qa2qa2qa2ABC-?

利用微分關(guān)系快速畫(huà)剪力彎矩圖跟著箭頭走——先求支反力，從左往右去，剪力圖口訣根據(jù)剪力圖，兩點(diǎn)對(duì)一段；若遇到力偶，順上逆下走。彎矩圖口訣2qaaACBqa例：Page33例：利用微積分關(guān)系畫(huà)剪力彎矩圖ABqaaaaCDqa22/3qa1/3qa+2/3qaABCD1/3qa-2/3qa21/3qa2ABCD1/3qa2++-Page34ABa/2--+qaCqaAB5/4qa2qa2qa2C-例：利用微積分關(guān)系畫(huà)剪力彎矩圖qaqa22qaaACBqaPage35例：利用微積分關(guān)系畫(huà)剪力彎矩圖思考：如何計(jì)算支座反力？計(jì)算支座反力后，利用微積分關(guān)系畫(huà)圖時(shí)，是否還要考慮中間支座？載荷作用在梁間鉸上、鉸鏈左側(cè)梁端，鉸鏈右側(cè)梁端，剪力、彎矩圖有無(wú)區(qū)別？Page36§5-6

剛架與曲梁的內(nèi)力剛架：用剛性接頭連接的桿系結(jié)構(gòu)一、剛架剛性接頭的力學(xué)性質(zhì)：

約束－限制相連桿端截面間的相對(duì)線位移與角位移

受力－既可傳力，也可傳遞力偶矩

軸線位于同一平面，且各橫截面的縱向?qū)ΨQ軸位于該平面的剛架，稱為平面剛架Page37二、剛架的內(nèi)力及其符號(hào)剛架的內(nèi)力包括軸力、扭矩、剪力和彎矩，其中軸力、扭矩和剪力符號(hào)與前相同。彎矩圖不標(biāo)正負(fù)號(hào)，畫(huà)在受壓一側(cè)。注釋：剛架彎矩符號(hào)有時(shí)不易做出統(tǒng)一規(guī)定。無(wú)論是正彎矩，還是負(fù)彎矩按規(guī)定通常都畫(huà)在受壓一側(cè)，與坐標(biāo)方向無(wú)關(guān)。38Bqly

已知平面剛架上的均布載荷集度q,長(zhǎng)度l。B試：畫(huà)出剛架的內(nèi)力圖。ql解：1、確定約束力2、寫(xiě)出各段的內(nèi)力方程FN(y)FS(y)M(y)豎桿AB：A點(diǎn)向上為yY39橫桿CB：C點(diǎn)向左為xBqlyBFN(x)M(x)xFS(x)x40豎桿AB：Bqly3、根據(jù)各段的內(nèi)力方程畫(huà)內(nèi)力圖橫桿CB：MFNFSql＋－＋＋＋Page41三、曲梁未受力時(shí)，軸線即為曲線的桿件，