2023年湖北省荊門市高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年湖北省荊門市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

本試卷滿分150分。共22道題。考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和考生號填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）

I.若集合N={x∣x2-4<0},8={x∣∕gx<0},則∕∩8=()

A.(-2,1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(0,2)

2.己知復(fù)數(shù)Z=總+5i,則IZI=()

A.√5B.5√2C.3√2D.2√5

11

3.已知函數(shù)/（x）=加（知+1）—2χ,若Q=/*。。％可），b=fdog56）,C=f（Iog64）,則0,

bic的大小關(guān)系正確的是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

4.已知4,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，B.AC±BCfAC=BC=X,則三棱

錐OTBC的體積為（）

A.近B.近C.亞D.??-

121244

5.我國數(shù)學(xué)家張益唐在“攣生素?cái)?shù)”研究方面取得突破，季生素?cái)?shù)也稱為攣生質(zhì)數(shù)，就是

指兩個(gè)相差2的素?cái)?shù)，例如5和7.在大于3且不超過20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同

的數(shù)，恰好是一組攣生素?cái)?shù)的概率為（）

A.?B.?C.?D.?

562875

6.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和

小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)夕滿足L=5+lgV.已

知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）

(10∕Y5^1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

第1頁共17頁

7.已知函數(shù)f(?),對任意實(shí)數(shù)機(jī)、〃都有f(ZH+〃)=f(/H)+f(/7)-35.已知/(1)=

31,則/(1)4/(2)4/(3)+…(∕2∈N*)的最大值等于()

A.133B.135C.136D.138

8.已知拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)為F,A(X0,M))是C上一點(diǎn)，若口用=星o,則XO等于()

4

A.1B.2C.4D.8

二、選擇題

2

(多選)9.圓C：X+(y-2)2=R2(R>0)上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直線了=炳χ-2的距

離為1,則R的一個(gè)取值不可能為()

A.1B.2C.3D.4

(多選)10.已知〃是兩條不同直線，CGβ,丫是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是

()

A.若〃?〃a,〃〃a,則加〃〃B.若α“γ,βZzγ,則α”β

C.若加〃CGm∕∕βf則(X”βD.若π±a,則機(jī)〃〃

(多選)11.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2X+?^∣L>則下列結(jié)論中正確的是()

A.y=∕(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(工，0)對稱

6

B.y=∕(x)的圖象關(guān)于直線X=會(huì)對稱

C./(x)在［0,工］上單調(diào)遞減

3

D./(x)在［工，O］上的最小值為O

6

(多選)12.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足=f(.2-χ'),當(dāng)x6[0,2]時(shí)，/(x)

—2-X,設(shè)函數(shù)g(x)=e卞Y(-2<X<6),則正確的是()

A.函數(shù)/(x)圖像關(guān)于直線x=2對稱

B.函數(shù)/(x)的周期為6

C.f(7)--1

D./(x)和g(x)的圖像所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于8

三、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)

13.已知集合N={-l,?∣?},B^{x?mx-1=0},若4CB=B,則所有實(shí)數(shù)加組成的集合

第2頁共17頁

是?

14.設(shè)曲線y=3χ->（x+l）在點(diǎn)（0,0）處的切線方程.

15.設(shè)XeR且Xr0,則（x+2）3-1）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

X

22

16.已知點(diǎn)〃為雙曲線C：^--?-=1（α>0,b>0）在第一象限上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為雙曲線

2,2?

ab

C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，4∣Λ∕O∣=4∣MF∣=7∣OF∣,則雙曲線C的離心率為.

四、解答題（共6小題，滿分70分）

17.（12分）等差數(shù)列｛斯｝中,?2=4,05+06=15.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)6"=2%2+〃-8,求61+62+63+…+6ιo的值.

18.（12分）在五邊形NEBS中，BCYCD,CD//AB,AB=ICD=IBC,AELBE,AE=

8E（如圖1）.將44δE沿48折起，使平面/8E，平面N8CZ）,線段/8的中點(diǎn)為。（如

圖2）.

圖1圖2

（1）求證：平面平面。OE；

（2）求平面EAB與平面ECD所成的銳二面角的大小.

19.（12分）Z?N8C的內(nèi)角4,8,C的對邊分別為“，b,c,已知α=4,Z?N8C的面積為2√^?

（1）若人吟，求a/BC的周長；

（2）求sin5?sinC的最大值.

20.（10分）某村盛產(chǎn)臍橙，為了更好銷售，現(xiàn)從臍橙樹上隨機(jī)摘下100個(gè)臍橙進(jìn)行測重，

其質(zhì)量分布在區(qū)間［200,500］（單位：克），統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖

所示.

（1）按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在［250,300）,［300,350）的臍橙中隨機(jī)抽取5個(gè)，再

第3頁共17頁

從這5個(gè)臍橙中隨機(jī)抽2個(gè)，求這2個(gè)臍橙質(zhì)量至少有一個(gè)小于300克的概率；

(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的臍

橙種植地上大約還有IOOOOO個(gè)臍橙待出售，某電商提出兩種收購方案：

A.所有臍橙均以7元/千克收購；

8.低于350克的臍橙以2元/個(gè)收購，其余的以3元/個(gè)收購.

請你通過計(jì)算為該村選擇收益較好的方案.

(參考數(shù)據(jù)：(225×0.05+275X0.16+325X0.24+375X0.3+425X0.2+475×0.05=354.5)

22

21.(12分)已知橢圓C：￥V=i(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為何，尸2,離心率為

azH

X尸是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且APFiB面積的最大值為√5?

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)斜率不為零的直線尸產(chǎn)2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為0,且PQ的垂直平分線交y軸

于點(diǎn)T(0,?),求直線尸0的斜率.

8

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=2r5+3(l+∕n)X2+*86∕MX(R∈R).

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(1)=5,函數(shù)g(χ)=a(lnx+l)上容?《法(1>+∞)上恒成立，求整

數(shù)。的最大值.

第4頁共17頁

2023年湖北省荊門市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

本試卷滿分150分。共22道題?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和考生號填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

參考答案與試題解析

一、選擇題(共8小題，每小題5分，滿分40分)

I.若集合/={x∣∕-4<0},B={x∣∕gx<O},貝∣J∕∩8=()

A.(-2,1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(0,2)

解：?'A^{X?X2-4<0}={x∣-2<x<2},

B={x?lgx<O}^{x∣0<x<1},

.?.∕∩8=(0,1).

故選：C.

2.已知復(fù)數(shù)Z=瑞+5i,貝煙=()

A.√5B.5√2C.3√2D.2√5

解：；z=乳+5i=叫+t)+5i=-1+7i,

L-I?

：.\z\=√(-l)2+72=5√2.

故選：B.

3.已知函數(shù)/(x)—In(σγ+l)-??,若a=f(logJ)'b=∕(log56),c—f(Iog64),則ɑ,

?,C的大小關(guān)系正確的是()

A.h>a>cB.a>h>cC,c>b>aD.c>a>h

1

解：因?yàn)?(x)=In(e"+l)—2%,

1Il

所以/(-X)=歷(e*+1)+/=歷(er÷l)-x÷2x=歷(，+1)-/=/(x)?

所以/(x)為偶函數(shù)，

因?yàn)榘甩?=?r-4=2-τ?,

第5頁共17頁

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

1

,r

因?yàn)镼=∕(Zθfl4?)=f(IOg45),b=f(IOg56),c=f(Iog64),且

因?yàn)楱Mg4÷?6>2√?4J^6,

故∕g4?∕g6V(奶產(chǎn)￥=名空V(竿)2=(∕g5)2,

1C1alg5lgβlg25-lg4?lgβ>、0八>

1哂5-log56=?-?="遍/

所以Iog45>logs6>1>logδ4,

則a>b>c.

故選:B.

4.已知4B,C是半徑為1的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，S.AC1.BC,4C=8C=1,則三棱

錐O-/8C的體積為()

A.亞B.??C.亞D.近

121244

解：因?yàn)楱MCL8C,AC=BC=I,

所以底面Z8C為等腰直角三角形，

所以4/8C所在的截面圓的圓心Oi為斜邊AB的中點(diǎn)，

所以O(shè)Ou平面/8C,

在RtC中，^√AC2+BC2=√2'貝IJAOI平，

22

在Rt△/°O∣中，00I=7OA-AO1=-

故三棱錐。-ABC的體積為黑

v?l.SΔABC?0014-×V×1×1X“.

UOLtCt<L∕

故選：A.

5.我國數(shù)學(xué)家張益唐在“學(xué)生素?cái)?shù)”研究方面取得突破，攣生素?cái)?shù)也稱為攣生質(zhì)數(shù)，就是

第6頁共17頁

指兩個(gè)相差2的素?cái)?shù)，例如5和7.在大于3且不超過20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同

的數(shù)，恰好是一組李生素?cái)?shù)的概率為()

A.?B.?C.?D.?

562875

解：大于3且不超過20的素?cái)?shù)為5,7,11,13,17,19,共6個(gè)，

隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，分別為(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,

11),(7,13),(7,17),(7,19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,

19),(17,19),共15種，

其中恰好是一組攣生素?cái)?shù)的有(5,7),(11,13),(17,19)共3種，

故恰好是一組攣生素?cái)?shù)的概率為』

155

故選：D.

6.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和

小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)/滿足L=5+∕g匕已

知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為()

(105F.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

解：在Z,=5+∕g-中，L=4.9,所以4.9=5+∕g%即∕gk=-0.1,

解得K=IO0-'=--——=——--=——?——七0.8,

100?11VioL259

所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

故選：C

7.已知函數(shù)/(x),對任意實(shí)數(shù)加、〃都有/(w+")=f(m)+f(n)-35.已知/(1)=

31,則/(1)+f(2)4/(3)+-+/,<?)(∏∈N*)的最大值等于()

A.133B.135C.136D.138

解：因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)機(jī)、〃都有/(加+〃)=∕(m)?f(〃)-35,/(1)=31,

則/(〃+1)=f(")4/(1)-35=∕(")-4,

所以/("+1)-/(?)=-4,

故/(〃)｝是以31為首項(xiàng)，以-4為公差的等差數(shù)列，

2

所以/(1)4/(2)+f(3)+???+/■<?)=3]"+n(nl)X(_4)=-2n+33n,

第7頁共17頁

對稱軸為〃=毀，因?yàn)椤?N*,所以當(dāng)"=8時(shí)，/(1)+/(2)4/(3)+…取得最

4

大值為136.

故選：C.

8.己知拋物線C：/=X的焦點(diǎn)為尸,/Go,再)是C上一點(diǎn)，若μf∕q=芻°,則Xo等于()

4

A.1B.2C.4D.8

解：拋物線C：V=X的焦點(diǎn)為尸(工，0)

4

,：A(X0,?o)是C上一點(diǎn)，?AF?=^-XQ,

4

.51

Λ-iro=χo+-?

44

解得Xo=1.

故選:A.

二、選擇題

(多選)9.圓C：%2+(y-2)2=R2(R>0)上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直線了=炳χ-2的距

離為1,則R的一個(gè)取值不可能為()

A.1B.2C.3D.4

解：圓C：%2+(?-2)2=R2(R>0)的圓心C(0,2),半徑為A,

點(diǎn)C到直線y=Ex-2的距離為I中*0-2-2I=2,

√1÷(√3)2

2

：圓C：X+(y-2)2=R2<Λ>0)上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直線y=√^χ-2的距離為1，

Λ1<Λ<3.

故選：ACD.

(多選)10.已知N是兩條不同直線，ɑ,β,丫是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是

()

A.若加〃a,n∕∕a1則用〃〃B.若a〃y,β∕∕γ,則a〃p

C.若〃?〃a,〃?〃p,則a〃pD.若mJLa,w?a,則加〃〃

解：對于兒若加〃a,〃〃a,則加與〃可以平行，可以相交，也可以異面，選項(xiàng)力錯(cuò)

誤；

對于8,若?！é?β∕∕γ,則?！?,選項(xiàng)3正確；

對于C,若〃?〃a,機(jī)〃β,則a與β可以平行，也可以相交，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

第8頁共17頁

對于Q,若〃?_La,〃J_a,則加〃〃，選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

(多選)11.設(shè)函數(shù)f(χ)=sin(2x÷^>則下列結(jié)論中正確的是()

A.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(工，0)對稱

6

B.y=∕(x)的圖象關(guān)于直線X=工對稱

X12

C./(x)在［0,工］上單調(diào)遞減

3

D./Q)在［工，0］上的最小值為O

6

解：當(dāng)χj?,f(JL)=SinTT=O所以y=∕(χ)的圖象關(guān)于點(diǎn)(工，0)對稱，A

666

正確；

當(dāng)X=+寸，f(_2L)=sin^.=1)所以y=∕(χ)的圖象關(guān)于直線X=暇對稱，B正

確；

當(dāng)XC［0,時(shí)，U=2x號E［等，等］，f(u)=SinU在［等，等］匕

單調(diào)遞減，故C正確；

il?Lr兀CrH2兀廣「兀2兀rq/、力"「兀2??∏U

TXC0］時(shí)'u=2x+∈∏5~,9f(u)=sιnu在［丫，一^-］上

6323333

的最小值為與，d錯(cuò)誤.

故選：ABC.

(多選)12.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(2+x)=∕(2-χ),當(dāng)尤［0,2］時(shí)，/(x)

—2-X,設(shè)函數(shù)g(x)=—『2|(-2<X<6),則正確的是()

A.函數(shù)/(x)圖像關(guān)于直線x=2對稱

B.函數(shù)/(x)的周期為6

C./(7)=-1

D./(x)和g(x)的圖像所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于8

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于兒函數(shù)/(x)滿足(2+x)=/(2-χ),則/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，A

正確；

對于8,對于(2+x)=f(2-x),變形可得/(4+x)—f(-x),

第9頁共17頁

又由/(x)為偶函數(shù)，則有/(4+x)=∕(x),則函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù),

8錯(cuò)誤；

對于C,偶函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，則/(7)=/(-1)=/(1),

又由當(dāng)Xq0,2］時(shí)，/(x)=2-χ,則/(1)=1,故/(7)=1,C錯(cuò)誤；

χ2

對于。，函數(shù)g(x)=e'?'?(-2<x<6)的圖象也關(guān)于直線x=2對稱，

作出函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)g(x)=e^lx^21(-2<x<6)的圖象如圖所示，

可知兩個(gè)圖象有四個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線x=2對稱，

則/(x)與g(x)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8,。正確；

故選：AD.

三、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)

13.已知集合4={-1,-1},B={x?mχ-1=0},若Z∩B=B,則所有實(shí)數(shù)機(jī)組成的集合是

f-1,0,25.

解：?.Z={-1,?,B={x?mχ-l=0},ACB=B,

2

.?.8u∕,

.?,6=0,或8={-1}或8={工},

2

".m=0或m—-1或m—2,

,所有實(shí)數(shù)，”組成的集合是{-1，0,2}.

故答案為：{-1，0,2}.

14.設(shè)曲線y=3χ->(x+l)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程2χ-y=0.

解：y=3x-In(x+l)的導(dǎo)數(shù)為y'=3-——,

x+1

可得曲線y=3χ-∕α(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率為3-1=2,

則曲線y=3x->(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y-0=2(X-0),

第IO頁共17頁

即為y=2x,BP2x-y=0.

故答案為：2x-y=Q.

15.設(shè)XeR且Xr0,則（x+2）?）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為」

X

解：因?yàn)椋▁+2）d~-l）5=χ?（—-?）5÷2?（JL-I）5,

XXX

且x≠0,所以X?（工-1）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)是X?c4?（1）.（-D4=5,

X5X

2?（工-1）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)是2?￠5.（-1）5=-2,

X5

所以（χ÷2）（工-1）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為：5-2=3.

X

故答案為：3.

16.已知點(diǎn)M為雙曲線C：?--?i?i（α>0,b>0）在第一象限上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為雙曲線

a2b,2?

。的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，4?MO?=4?MF?=1?OF?1則雙曲線。的離心率為4.

解：設(shè)M（X0,泗），由己知可得，4?MO?=4?MF?=7?OF]=7c,

則Xo=yo={IMoI2_2=C，即M（￡3冷C）,

22

把M代入雙曲線方程，可得-≤—一繪一=1，

4a216b2

即4b2c2-45a2c2=16α2?2,

2124224

又b=c-af代入上式可得4C-65ac+16tz=0,

即4e4-65/+16=0,解得e2=16或e2=—（舍），

???雙曲線。的離心率e=4

故答案為：4.

第11頁共17頁

四、解答題(共6小題，滿分70分)

17.(12分)等差數(shù)列｛念｝中，及=4,05+06=15.

(1)求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

a2

(2)???rt=2∏^+n-8,求加+歷+/+…+加0的值.

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛α,,｝的公差為止

?：〃5+〃6=15,。2+〃9=15,

又02=4,Λ479=11，

.?.d=ΔC^=lk±=ι,

9-27

.*.an-Λ2÷(〃-2)×1=〃+2；

a2

(2)由(1)可得：bn-2n^+n-8=2"+?-8,

，b?+h2+h3+…+?ιo=(2+22+23+…+2l0)+(1+2+3+…+10)-80=

ZClN2)一+Imo)-80=2II-2+55-80=2021.

1-22

18.(12分)在五邊形/E88中，BCLCD,CD//AB,AB=2CD=2BC,AELBE,AE=

8E(如圖1).將E沿/8折起，使平面，平面N8C。，線段Z8的中點(diǎn)為。(如

圖2).

圖1圖2

(1)求證：平面48E_L平面DoE；

(2)求平面EAB與平面ECD所成的銳二面角的大小.

(1)證明：AB=2CD,。是線段48的中點(diǎn)，則。8=8.

又CD"AB,則四邊形Obez)為平行四邊形，又BC工CD,則Z8J_0。，

EAE=BE,OB=OA,貝∣JE0_L/8.EOCDo=0,則/8_L平面EOO.

又ZBU平面ABE,故平面平面EOD.

(2)解：易知08,OD,OE兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B,OD,OE所在直線

第12頁共17頁

分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系OXyz,

△胡8為等腰直角三角形，且N8=28=28C,

則OZ=OB=OO=OE,取CD=BC=1,

則O(0,0,0),J(-I,0,0),B(I,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,

ODCD=(-1,0,0)，DE=(0,-1,1)，

設(shè)平面ECZ)的法向量為n=(X，丹z),

'n-CD=O,-x=∩一

則有取，z=l,得平面EcD的一個(gè)法向量n=(0,1,1),

.n?DE=0,-y+z=O,

因L平面/8E.則平面ZBE的一個(gè)法向量為而=(o,1,0),

設(shè)平面ECD與平面所成的銳二面角為8,則

一、I∣0×0+l×l+0×1|√2

cosθ=Icos(0D-QLF2+F――

故平面ECZ)與平面/8E所成的銳二面角為45°.

19.(12分)4/8C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為〃，b,c,已知α=4,ZSZBC的面積為蓊.

(1)若A4，求4/BC的周長;

(2)求sin8?sinC的最大值.

解：(1)因?yàn)镾BC=LbCSinA=^^~bc=2y,所以乩=8,

24

222

由余弦定理得COSA=短二4'所以('+c)2=°2+36C,

又?.Z=4,?c=8,

二(b+c)2=40,BP?+c=2√10.

Z?∕8C的周長為4+2√10；

第13頁共17頁

（2）由正弦定理得：a=b=c,

sinAsinBsinC

SinB?sinC=區(qū)旦旦A,

2

a

又SAdBC=?^?bcsinA?=2√*^,α=4,

Λsitιg?sinC-s^r^.≤^^2Zl-,當(dāng)SirL4=1,即4=2M等號成立，此時(shí)b2+c2-a2-?6,

4F42

bc-4-χ［3,

BPb=2??［3>c=2或6=2,c=2-?［^,

故/=2LH寸，sin8?sinC取得最大值1

24

20.（10分）某村盛產(chǎn)臍橙，為了更好銷售，現(xiàn)從臍橙樹上隨機(jī)摘下100個(gè)臍橙進(jìn)行測重，

其質(zhì)量分布在區(qū)間［200,500］（單位：克），統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖

所示.

（1）按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在［250,300）,［300,350）的臍橙中隨機(jī)抽取5個(gè)，再

從這5個(gè)臍橙中隨機(jī)抽2個(gè)，求這2個(gè)臍橙質(zhì)量至少有一個(gè)小于300克的概率；

（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的臍

橙種植地上大約還有IOOOoO個(gè)臍橙待出售，某電商提出兩種收購方案：

A.所有臍橙均以7元/千克收購；

8.低于350克的臍橙以2元/個(gè)收購，其余的以3元/個(gè)收購.

請你通過計(jì)算為該村選擇收益較好的方案.

（參考數(shù)據(jù)：（225X0.05+275×0.16+325×0.24+375X0.3+425X0.2+475X0.05=354.5）

解：⑴由分層抽樣可得，臍橙質(zhì)量在［250,300）和［300,350）的比例為由3,

第14頁共17頁

所以應(yīng)該分別在[250,300)和[300,350)的臍橙中各取2個(gè)和3個(gè)，

CICI+￠2

2個(gè)臍橙質(zhì)量至少有一個(gè)小于300克的概率為P=232.=工；

C210

(2)方案B好，理由如下：

由頻率分布直方圖可知,臍橙質(zhì)量落在區(qū)間[200,250),[250,300),[300,350),[350,

400),[400,450),[450,500)的頻率依次為0.05,0.16,0.24,0.3,0.2,0.05,

且各段臍橙的個(gè)數(shù)依次為5000,16000,24000,30000,20000,5000個(gè)，

若按方案/收購，因?yàn)閱蝹€(gè)臍橙的質(zhì)量平均為225X0.05+275X0.16+325X0.24+375X

0.3+425×0.2+475X0.05=354.5克，

所以總收益為354.5X100000÷1000×7=248150元；

若按方案B收購，總收益為(5000+16000+24000)X2+55000X3=255000元，

因?yàn)榉桨?的收益比方案4的收益高，故該村選擇方案8出售.

22

21.(12分)已知橢圓C：=4X-=ι(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F”尸2,離心率為

abz

XP是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△尸尸1尸2面積的最大值為

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)斜率不為零的直線產(chǎn)入與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為。，且的垂直平分線交了軸

于點(diǎn)T(0,求直線尸。的斜率.

8

解：(1)因?yàn)闄E圓離心率為工，當(dāng)尸為C的短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積有最大值愿，

2

??

7"Σ

a=2

22

2-J2.2，所以]bS，故橢圓C的方程為:

所以a-b+Jc?-+J=I

43

y×2c×b=√3,c=l

(2)設(shè)直線尸。的方程為y=Z(X-1),

22

當(dāng)AWO時(shí)，y—k(X-I)代入?-+∑-=1,

’43

得：(3+4?2)%2-8島+4嚴(yán)-12=0,

設(shè)尸(x∣,yι),Q(X2,力)，線段的中點(diǎn)為N(X0,yo),

第15頁共17頁

+x

XO=-l.-？-=—1KL-,yo=，[+，2=](XO-I)=一秘一