河北省承德市部分學校2022-2023學年高一年級下冊期末數(shù)學試題（解析版）

河北省承德市部分學校2022-2023學年高一下學期期末

數(shù)學試題

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題K答案』后，用鉛筆把答題卡上對應題目的K答案』標號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他工答案［標號.回答非選擇題時，將（答案H

寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4,本試卷主要考試內容：人教A版必修第一冊第五章至必修第二冊.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.為慶?！捌咭弧苯h節(jié)，某文化館舉辦“喜迎建黨節(jié)?奮進新征程“文化藝術展.文化館計劃

從18名女志愿者、12名男志愿者中選調10人加強文化藝術展講解工作，若按照性別進行

分層隨機抽樣，則應抽取的女志愿者人數(shù)為（）

A.7B.3C.6D.4

R答案HC

R解析』按照性別進行分層抽樣，

1Q

應抽取的女員工人數(shù)為：10x^7二=6.

18+12

故選：C

2.若復數(shù)］（5-。+加（，"￡1＜）為純虛數(shù)，則"2=（）

A.1B.-1C.5D.-5

K答案HB

K解析2因為i（5—i）+m=5i-i?+〃?=（帆+l）+5i,

復數(shù)為純虛數(shù)，所以加+1=0，即W=-L

故選：B.

TT

3._ABC的內角AB,C的對邊分別為α,b,c,且SinA=3sinB,b=l,C=7,則

的面積為（)

??r?r3√3n3√3

4242

R答案2A

K解析D由正弦定理得α=3b,

因為∕7=1,所以4=3,

1313

由三角形面積公式可得一αOsinC=-χ-=-.

2224

故選：A

4.設。為平行四邊形ABCr）的對角線的交點，則Q4+O8+2OC=（）

A.ACB.BDC.ADD.AB

K答案XD

K解析D由圖形可知。4+OC=0,故。4+08+20C=O8+0C=OB+AO=AB?

故選：D

5.中國是瓷器的故鄉(xiāng)，“瓷器”一詞最早見之于許慎的《說文解字》中.某瓷器如圖1所示，

該瓶器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個等高（高為6cm）的圓臺組合面成，

其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為20cm,底面直徑AB=IOCm,底面直徑

CD=2（）cm,EF=I6cm,若忽略該瓷器的厚度，則該瓷器的容積為（）

C.650%Cm3D.1300萬Cm,

睹案XB

工解析11因為圓柱的高為20Cm,底面直徑AB=IOcm,底面直徑CD=20cm,EF=16cm,

且兩圓臺的高都為6cm,

所以該瓷器的容積為

V=π×25×2()+∣×(25π+l(K)π+√25π×l()()π)×6+∣×(64π+100π+√64π×10()π)×6

11a

=500π+-xl75πx6+-x244τrx6=1338τtcm3,

33

故選：B

6.2O13~2O22年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資及名義增速如圖所示，則（）

2（H3?2O22年全國城鎮(zhèn)私皆中位就業(yè)人員年平均L費及名義審迷

年平均工資/元增速1%

7(×MM)∣-

MM×N)

50000

44MXM)

30000

2(X×M)Ul絕對值

IOOOO-一增速

O-

A.2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資未突破60000元

B.2013-2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速逐年遞減

C.2013-2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速的40%分位數(shù)為8.1%

D.2013-2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速65%分位數(shù)為8.8%

K答案》D

R解析》根據(jù)圖象可知2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資突破60000元，因此

選項A不正確；

因為2018年的全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速高于2017年，所以選項B

不正確；

2013-2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速從小到大排列為：

3.7,6.8,7.7,8.1,8.2,8.3,8.8,8.9,11.3,13.8,

因為40%xl0=4,65%xl0=6.5

所以2013~2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速的40%分位數(shù)為

8.1%+8.2%__

-------------------=8.15%,因此選項C不正確;

2

2013-2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速的65%分位數(shù)為8.8%,

因此選項D正確，

故選：D

7.在三棱錐P-ABC中，AB+2PC=9,E為線段的上更靠近P的三等分點，過E作平

行于AB,PC的平面，則該平面截三棱錐P-ABC所得截面的周長為()

A.5B.6C.8D.9

K答案XB

K解析2如圖所示，在三棱錐P-ABC中，

過E作分別作EF//AB,EHHPC,再分別過點F,H作HGHAB,FG//PC,

可得E,E,G,H四點共面，

因為AB(Z平面EFGH，EFU平面EFGH,

所以AB//平面EFG/7,

同理可證：PC//平面EFGH,

所以截面即為平行四邊形MG”，

又由E為線段ΛP上更靠近P的三等分點，且A3+2PC=9,

所以EF=LAB,EH=乙PC,

33

所以平行四邊形EFGH的周長為：2?(EF+EH)=^(AB+2PC)=6.

故選：B.

8.如圖，在曲柄CS繞。點旋轉時，活塞A做直線往復運動，連桿A8=4cm,曲柄

CB=Icm,當曲柄CB從初始位置C綜按順時針方向旋轉60。時，活塞A從4到達A的

位置，則A)A=()

B

?11-√6111-回

A.-----------cmBo.-----------cm

22

9-√619-√H

Cr.----------cmDn.----------cm

22

R答案UC

K解析U連接BBo,因為N8C&)=60°,

所以BBOC為等邊三角形,故NBBOA=I20。，BBO=BC=ICm,

在；.45綜中，AB=4cm,由余弦定理得CoSI20。='OA+及/一^^

2J3()A?BoB

即竺:丁6二一；，解得穌A=T±畫cm，負值舍去，

2n0A22

故選：C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知。為坐標原點，點A(—1,1),B(l,3),AB的中點為C,貝IJ()

A.AB=(-2,-2)B.。的坐標為(0,2)

C.OAVABD.OA,OC的夾角為四

4

K答案HBCD

K解析』因為4(一因),5(1,3),0(0,0),

所以48=（2,2）,故A錯誤;

-1+11+3

,即（0,2）,故B正確;

而AB的中點。的坐標為2'F

而OA=(-W)，所以O4?A3=-lx2+lx2=(),

所以OAj.48，故C正確;

OA-OC-l×0+l×2√2

而OC=(0,2),貝IJCoSzAoC

∕(-l)2+l2×√02+22~2

HKλ

TTTT

所以NAoC=―,即。AOC的夾角為一，故D正確.

44

故選：BCD.

10.將一枚質地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點數(shù)，設事件A="點數(shù)為4”，事

件8=”點數(shù)為奇數(shù)“，事件C=''點數(shù)小于4"，事件O="點數(shù)大于3”，則（）

AA與B互斥B.A與C互斥

C.B與。對立D.C與。對立

K答案HABD

K解析W事件“點數(shù)為4”與“點數(shù)為奇數(shù)”不能同時發(fā)生，所以A與B互斥，A正確.

事件“點數(shù)為4”與“點數(shù)小于4”不能同時發(fā)生，所以A與C互斥，B正確.

事件”點數(shù)為奇數(shù)”的對立事件是“點數(shù)為偶數(shù)”，不是"點數(shù)大于3”，C錯誤.

事件“點數(shù)小于4”的對立事件是“點數(shù)不小于4”，即“點數(shù)大于3”，C與。對立，D正確.

故選：ABD.

11.將函數(shù)V=CO跣圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變，再把得到的圖象

4

向左平移?j∣個單位長度，得到函數(shù)/（x）的圖象，則（）

A?/（x）=cos（4x+?j∣?J

B./（X）的最小正周期為5

C./（X）的圖象關于直線尤=-吉對稱

D./（X）的圖象關于點恬,O卜寸稱

K答案』BC

K解析Ii因為函數(shù)y=COM圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的L,縱坐標不變，再把得

4

到的圖象向左平移專個單位長度，得到函數(shù)/(x)的圖象，

所以有/(x)=COS[4(%+]=COS(4x+],因此選項A不正確；

y<τr^τr?jr

因為彳=5,所以/(x)最小正周期為5,因此選項B正確；

因為若)=cos,4χ1+￡|=1,所以/(x)的圖象關于直線x=q對稱，因此選

項C正確；

因為/[三]=COS(4x展+；10,所以/(x)的圖象不關于點對稱，

因此選項D不正確，

故選：BC

12.甲工程師計劃將一塊邊長為6m的正方形ABCD鐵片加工成一個無蓋正四棱臺，其工程

平面設計圖如圖1所示，正方形EFGH和正方形ABCD的中心重合，

IJK,L,M,N,0,P分別是邊AB,BC,CD,DA上的三等分點，且EF//AB,IJ<EF<AB,

將圖中的四塊陰影部分裁下來，用余下的四個全等的等腰梯形和正方形EFG〃加工成一個

無蓋正四棱臺，如圖2所示，則()

圖1圖2

A.甲工程師可以加工出一個底面周長為8m的正四棱臺

B.甲工程師可以加工出一個底面面積為8nf的正四棱臺

C.甲工程師可以加工出一個高為1.5m的正四棱臺

D.甲工程師可以加工出一個側棱長為1.5m的正四棱臺

K答案XBCD

K解析』令正四棱臺的底面邊長EF=2αm,高為〃m,側棱長為∕m,等腰梯形EE〃的

高為4m,

則由題意可知，IJ=^AB=2m,2a+2hλ-AB,即Λ∣=3-α(m).

對于A,當正四棱臺的底面周長為8m時，EF=2m,不滿足〃<律，A錯；

對于B,當正四棱臺的底面面積為8n√時，EF=20m，滿足〃<EF<AB,B對；

對于C,當正四棱臺的高為1.5m時，則Zz=1.5m,

記正四棱臺的上下底面的中心分別為O∣,O?,取〃,FG的中點Q,R,連接

OiO2,OlQ,O2R,QR,過點。作QS_L于點S,

則QS=1.5,QR=3—a,RS=a-?,

.,2323

所以1.52+(α-1)-=(3-a),解得a=」，則E/=」m,

v7v7168

滿足〃<E戶<ΛB,C對；

對于D,當正四棱臺的側棱長為1.5m時，則∕=1.5m,

過點J作JTJ_FG于點T,則〃=L5,JT=3-a,FT=a—1,

所以lS=(a-l)2+(3-即8/一32a+31=0，

解得a=*Yl,則EF=四2πι,滿足∕J<E戶<AB,D對.

42

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.復數(shù)白圓的虛部為___________,共輾復數(shù)為____________.

y∣3-l

K答案D①./②.避→L

222

1i+i

『解析Y1一"(-^)(^)-√3+i-3i+√3√31

［解析』及TQr詢司一=E一亍

所以復數(shù)■的虛部為-,，復數(shù)4包的共軌復數(shù)為苴+^i,

√3-i2G—i22

故R答案Il為：—；《3+?j

222

14.一個袋子中有.2個紅球，2個白球，若從中隨機一次性取出2個球，則取出的2個球都

是白球的概率為.

K答案H-

6

K解析H2個紅球記為A8,2個白球記為他，

從中隨機一次性取出2個球有AB,AmAb,Ba,Bb,必共6種取法，

則取出2個球都是白球的有必，1種取法，

所以取出的2個球都是白球的概率為P=!,

1

6-

15.若α為第三象限角，且tan(1-α)=§tan(α+兀)，則tana的值為.

K答案》?

2

/兀、2./?一31一tana2

R解析U由tan∣-—a=-tan(α+π),可得--------=-tan0,

U√3l+tana3

整理得2tan?a+5tanC-3=O，解得tana=1或tana=—3，

2

因為a為第三象限角，可得tana>0,所以tana='.

2

故K答案》為：?.

16.若長方體的3條面對角線的長度分別為2、叢、√5.則該長方體外接球的表面積為

R答案》6π

K解析》設該長方體的長、寬、高分別為x、)'、z,該長方體外接球的半徑為/?,

χ2+y2=4

則<y2+z?=3,

z2+x2=5

上述三個等式相加可得2（√+√+Z2）=12,

所以，R=JZ逵運=逅，

22

因此，該長方體外接球的表面積為4π7J2=4πχ（乎=6π.

故K答案』為：6π.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量。=（1,加）,。=（3,—2）.

（1）若〃〃。，求加;

（2）若α在b上的投影向量為上6,求m?

13

解：（1）allb，

/.1×(-2)—3m=0,

解得加=一2

3

?,2

故根=—.

3

（2）因為@/=3-2加,|/?|=拒，

又α在匕上的投影向量為

a?bb3-2m.1.

----------=--------b=-b

?b??b?1313

U…3-2m1

所以工

13

解得m-1.

故m=L

18.如圖，在三棱錐?！狝5C中，JEr分別為ACBC的中點.

D

(2)若ABC,一AC。均為正三角形，AB=2a,BO=3夜，求直線60與平面ABC所

成角的大小.

(1)證明：因為瓦尸分別為AC,BC的中點，

所以防//A3,而瓦平面曲?ABU平面曲.

所以EE〃平面A3。；

(2)解：連接。E,8E,

因為A6C,-ACO均為正三角形，AB=2√3.瓦尸分別為AC,8C的中點.

所以DELAC,8ELAC,DE=BE=JAB?—(gAC)=J12-3=3,

而8O=3√∑,因為BD?=BE2+DE?，

所以BEJ.DE,因為ACnBE=E,AC,BEu平面ABC,

所以DEl平面ABC,因此ZDBE是直線3。與平面ABC所成角，

19.北京時間2023年5月11日5時16分，天舟六號貨運飛船與空間站組合體完成交會對

接.天舟六號貨運飛船是中國空間站運送補給物資的飛船，物資裝載能力可達7.4噸.某校開

展了航空航天數(shù)字科技體驗活動課，并邀請八名參加了該體驗活動課的學生進行打分，得到

的數(shù)據(jù)如下表所示：

(I)分別求〃，4,b的值，并在圖中畫出頻率分布直方圖；

(2)若學生打分分數(shù)不低于80的人數(shù)至少要占60%,并且學生打分分數(shù)的平均數(shù)超過80,

則該課堂可以評為“優(yōu)秀課堂”，估計該航空航天數(shù)字科技體驗活動課能否評為“優(yōu)秀課堂”,

并說明理由.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)

解：(1)由0.05+α+0.20+0.30+0.35=l,解得α=0.10.

〃=2=100/=100x0.30=30.

0.05

而每組的頻率/組距分別為0?005,0.010,0.02(),0.030,0.035,

所以頻率分布直方圖如下所示:

頻率

W

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

Ov5060708090100分數(shù)

（2）該航空航天數(shù)字科技體驗活動課能評為“優(yōu)秀課堂”，理由如下:

因為學生打分分數(shù)不低于80的頻率為0.30+0.35=0.65>60%,

所以滿足學生打分分數(shù)不低于80的人數(shù)至少要占60%.

又學生打分分數(shù)的平均數(shù)為

55x0.05+65x0.10+75x0.20+85x0.30+95x0.35=83>80,

所以該航空航天數(shù)字科技體驗活動課能評為“優(yōu)秀課堂

20.的內角A,8,C的對邊分別為α,"c,且加in?-+csin之3.

222

(1)證明：b+c=2a.

(2)求A的最大值.

CD1

(1)證明：因為加in?—+csi∏2-=一α,

222

所以8一一廠+c-4+c--"=α,

2a

2

所以"C=J2aC

=QH----=2。，

2a2a

即Z?+c=2。,

（2）解：由（1）得。=空

b+c

b2+c2-

所以由余弦定理得b2+c2-a2~τΓ

cosA=-----------

2bc2hc

22b~+2bc+c~

b1-+c------------3b1+3c1-Ibc

4

Sbc

2bc

bc

當且僅當一=—,即8=C時取等號,

ch

即cosA^-,

2

因為A∈(0,π),

TTπ

所以O<A≤w,所以A的最大值為；.

33

21.如圖，在正四棱柱ABe。一人耳GA中，E是AA的中點.

(1)證明：平面ACGA，平面30。耳.

(2)若A4∣=2AB=4,求點B到平面CEDl的距離.

(1)證明：因為正四棱柱ABC。-ABcA中，可得四邊形ABC。為正方形，可得

AC-LBD,

由AA，平面ABC。，Bz)U平面ABCr),所以AA，80,

因為A∕?AC=A且A4l,ACu平面ACGA,所以Bz)工平面ACGA，

又因為BDU平面BDDM,所以平面ACGA，平面.

(2)解：如圖所示，分別延長。E，OA,交于點M,連接CM,交AB于點F,

因為E為AA∣的中點，且平面ABB1A//平面CDDiCl,

且平面ABgAMCq=EF,且平面CDQGMCD?=CD?,所以EF∕∕CD∣,

可得尸的中點AB，且A。=A",Mb=CF,

所以點B到CEDl的距離等于點B到MEF的距離，

因為正四棱柱ABa)—AIBe。中，AA=2AB=4,

可得MF=√5,ME=2√2,EF=√5,

取ME的中點N,連接尸N,可得FNj.ME,且FN=5

所以SMEF=—×2λ∕2×>∕3=Vδ,且SMBF=-×BF,×MA=-×?×2=?,

222

設點8到平面MEF的距離為/?,

由%-M￡F=VE-MBF，可得gxCx〃=x1xAE=2X1X2=2,解得∕z=在，

33333

即B到平面CEA的距離包.

3

21

22.甲、乙兩位同學切磋棋藝，已知甲先手時，甲獲勝的概率為：，平局的概率為二，乙先