人教版七年級數(shù)學(xué)上冊同步壓軸題專題08線段上動點(diǎn)問題的三種考法(學(xué)生版+解析)

專題08線段上動點(diǎn)問題的三種考法類型一、求值問題例.數(shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，A，B表示的數(shù)分別為m，n，點(diǎn)C在B的右側(cè)，．(1)如圖1，若多項(xiàng)式是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，請直接寫出m，n的值：(2)如圖2，在(1)的條件下，長度為1的線段(E在F的左側(cè))在A，B之間沿數(shù)軸水平滑動(不與A，B重合)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，在滑動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化，請判斷并說明理由；(3)若點(diǎn)D是的中點(diǎn)．①直接寫出點(diǎn)D表示的數(shù)____________(用含m，n的式子表示)；②若，試求線段的長．【變式訓(xùn)練1】如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有三條線段AB，AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“巧點(diǎn)”．(1)線段的中點(diǎn)__這條線段的“巧點(diǎn)”；(填“是”或“不是”)；(2)如圖2，已知AB＝15cm．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，點(diǎn)P，Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，運(yùn)動停止．設(shè)移動的時間為t(s)，當(dāng)t＝__s時，Q為A，P的“巧點(diǎn)”．【變式訓(xùn)練2】已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示(C在線段AM上，D在線段BM上)(1)若AB＝11cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了1s，求AC+MD的值．(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在(2)的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求的值．【變式訓(xùn)練3】如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動．在運(yùn)動過程中滿足，若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，且，則的值為_______．類型二、證明定值問題例.如圖，已知線段，，線段在直線上運(yùn)動(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，若．(1)求線段，的長；(2)若點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，，求線段的長；(3)當(dāng)運(yùn)動到某一時刻時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是線段的延長線上任意一點(diǎn)，下列兩個結(jié)論：①是定值，②是定值，請選擇你認(rèn)為正確的一個并加以說明．【變式訓(xùn)練1】已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運(yùn)動(A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè))，且m，n滿足|m－12|＋(n－4)2＝0.(1)m＝，n＝；(2)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，線段CD以2個單位長度/秒的速度向左運(yùn)動．①如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)，求線段MN的長；②P是直線AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，線段CD運(yùn)動的同時，點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個單位/秒的向右運(yùn)動，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇．試探索整個運(yùn)動過程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)，表示的有理數(shù)分別為，3，點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)，重合)，是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．(1)若點(diǎn)表示的有理數(shù)是0，那么的長為________；若點(diǎn)表示的有理數(shù)是6，那么的長為________；(2)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(不與點(diǎn)，重合)的過程中，的長是否發(fā)生改變？若不改變，請寫出求的長的過程；若改變，請說明理由．【變式訓(xùn)練3】(1)如圖1，在直線上，點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間，點(diǎn)為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，且使關(guān)于的方程無解.①求線段的長；②線段的長與點(diǎn)在線段上的位置有關(guān)嗎？請說明理由；(2)如圖2，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，試說明的值不變.類型三、數(shù)量關(guān)系例.數(shù)軸上兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是，線段在數(shù)軸上運(yùn)動，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)線段運(yùn)動到點(diǎn)均在之間時，若，則_________，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為________，________；(2)如圖2，當(dāng)線段運(yùn)動到點(diǎn)在之間時，畫出草圖并求與的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝AB．(1)請根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整．直接寫出＝_______；(2)設(shè)AB＝9cm，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動．①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動，求的值；②在點(diǎn)D，E沿直線AB向左運(yùn)動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C恰好為線段BD的三等分點(diǎn)時，求MN的長．【變式訓(xùn)練2】已知點(diǎn)C在線段AB上，AC＝2BC，點(diǎn)D、E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，(1)若AB＝18，DE＝8，線段DE在線段AB上移動，①如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時，求AD的長；②當(dāng)點(diǎn)C是線段DE的三等分點(diǎn)時，求AD的長；(2)若AB＝2DE，線段DE在直線上移動，且滿足關(guān)系式，則＝．課后作業(yè)1.已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)從左到右順次為A，B，C，其中b是最小的正整數(shù)，a在最大的負(fù)整數(shù)左側(cè)1個單位長度，BC=2AB．(1)填空：a=，b=，c=(2)點(diǎn)D從點(diǎn)A開始，點(diǎn)E從點(diǎn)B開始，點(diǎn)F從點(diǎn)C開始，分別以每秒1個單位長度、1個單位長度、4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左運(yùn)動，點(diǎn)F追上點(diǎn)D時停止動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．試問：①當(dāng)三點(diǎn)開始運(yùn)動以后，t為何值時，這三個點(diǎn)中恰好有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)？②F在追上E點(diǎn)前，是否存在常數(shù)k，使得的值與它們的運(yùn)動時間無關(guān)，為定值．若存在，請求出k和這個定值；若不存在，請說明理由．2．已知點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．若，，線段在線段上移動．(1)如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時，求的長；(2)點(diǎn)(異于，，點(diǎn))在線段上，，，求的長．3.已知線段AB，點(diǎn)C在直線AB上，D為線段BC的中點(diǎn)．(1)若，，求線段CD的長．(2)若點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，請寫出線段DE和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．4.已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示(C在線段AM上，D在線段BM上)(1)若AB＝11cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了1s，求AC+MD的值．(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在(2)的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求的值．5．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，是最大的負(fù)整數(shù)，且，滿足．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個單位長度的速度向左運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)后立刻返回到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后再返回到點(diǎn)并停止．(1)________，________，________．(2)點(diǎn)從點(diǎn)離開后，在點(diǎn)第二次到達(dá)點(diǎn)的過程中，經(jīng)過秒鐘，，求的值．(3)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)的同時，數(shù)軸上的動點(diǎn)，分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時出發(fā)，相向而行，速度分別為每秒4個單位長度和每秒5個單位長度，假設(shè)秒鐘時，、、三點(diǎn)中恰好有一個點(diǎn)是另外兩個點(diǎn)的中點(diǎn)，請直接寫出所有滿足條件的的值．6．七(1)班的學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)“線段中點(diǎn)”內(nèi)容時，得到一個很有意思的結(jié)論，請跟隨他們一起思考.(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1，線段，點(diǎn)在線段上，當(dāng)點(diǎn)是線段和線段的中點(diǎn)時，線段的長為_________；若點(diǎn)在線段的延長線上，其他條件不變(請在圖2中按題目要求將圖補(bǔ)充完整)，得到的線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為_________.(2)應(yīng)用：如圖3，現(xiàn)有長為40米的拔河比賽專用繩，其左右兩端各有一段(和)磨損了，磨損后的麻繩不再符合比賽要求.已知磨損的麻繩總長度不足20米.小明認(rèn)為只利用麻繩和一把剪刀(剪刀只用于剪斷麻繩)就可以得到一條長20米的拔河比賽專用繩.小明所在學(xué)習(xí)小組認(rèn)為此法可行，于是他們應(yīng)用“線段中點(diǎn)”的結(jié)論很快做出了符合要求的專用繩，請你嘗試著“復(fù)原”他們的做法：①在圖中標(biāo)出點(diǎn)、點(diǎn)的位置，并簡述畫圖方法；②請說明①題中所標(biāo)示點(diǎn)的理由.7．問題背景整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識的整體處理，整體思想在代數(shù)和幾何中都有很廣泛的應(yīng)用．(1)如圖1，A、B、O三點(diǎn)在同一直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，則∠DOE的度數(shù)為(直接寫出答案)．(2)當(dāng)x＝1時，代數(shù)式a+bx+2021的值為2020，當(dāng)x＝﹣1時，求代數(shù)式a+bx+2021的值．(3)①如圖2，點(diǎn)C是線段AB上一定點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)A、點(diǎn)E從點(diǎn)B同時出發(fā)分別沿直線AB向左、向右勻速運(yùn)動，若點(diǎn)E的運(yùn)動速度是點(diǎn)D運(yùn)動速度的3倍，且整個運(yùn)動過程中始終滿足CE＝3CD，求的值；②如圖3，在①的條件下，若點(diǎn)E沿直線AB向左運(yùn)動，其它條件均不變．在點(diǎn)D、E運(yùn)動過程中，點(diǎn)P、Q分別是AE、CE的中點(diǎn)，若運(yùn)動到某一時刻，恰好CE＝4PQ，求此時的值．8．已知：如圖1，點(diǎn)M是線段AB上一定點(diǎn)，AB＝12cm，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示(C在線段AM上，D在線段BM上)(1)若AM＝4cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了2s，此時AC＝，DM＝；(直接填空)(2)當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了2s，求AC+MD的值．(3)若點(diǎn)C、D運(yùn)動時，總有MD＝2AC，則AM＝(填空)(4)在(3)的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求的值．9．如圖，數(shù)軸正半軸上的，兩點(diǎn)分別表示有理數(shù)，，為原點(diǎn)，若，線段.(1)______，______；(2)若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度向軸正半軸運(yùn)動，求運(yùn)動時間為多少時；點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的3倍；(3)數(shù)軸上還有一點(diǎn)表示的數(shù)為32，若點(diǎn)和點(diǎn)同時從點(diǎn)和點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒2個單位長度和每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，再立刻以同樣的速度返回，運(yùn)動到終點(diǎn)，求點(diǎn)和點(diǎn)運(yùn)動多少秒時，、兩點(diǎn)之間的距離為4.10．已知數(shù)軸上三點(diǎn)M，O，N對應(yīng)的數(shù)分別為－3，0，1，點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x．(1)如果點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等，那么x的值是______；(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離之和是5？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．(3)如果點(diǎn)P以每分鐘3個單位長度的速度從點(diǎn)O向左運(yùn)動時，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別以每分鐘1個單位長度和每分鐘4個單位長度的速度也向左運(yùn)動，且三點(diǎn)同時出發(fā)，那么幾分鐘時點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等.(直接寫出答案)11．如圖，P是定長線段AB上一點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(C在線段AP上，D在線段BP上)(1)若C、D運(yùn)動到任一時刻時，總有PD＝2AC，請說明P點(diǎn)在線段AB上的位置：(2)在(1)的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．(3)在(1)的條件下，若C、D運(yùn)動5秒后，恰好有，此時C點(diǎn)停止運(yùn)動，D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(D點(diǎn)在線段PB上)，M、N分別是CD、PD的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①PM﹣PN的值不變；②的值不變，可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．專題08線段上動點(diǎn)問題的三種考法類型一、求值問題例.數(shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，A，B表示的數(shù)分別為m，n，點(diǎn)C在B的右側(cè)，．(1)如圖1，若多項(xiàng)式是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，請直接寫出m，n的值：(2)如圖2，在(1)的條件下，長度為1的線段(E在F的左側(cè))在A，B之間沿數(shù)軸水平滑動(不與A，B重合)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，在滑動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化，請判斷并說明理由；(3)若點(diǎn)D是的中點(diǎn)．①直接寫出點(diǎn)D表示的數(shù)____________(用含m，n的式子表示)；②若，試求線段的長．【答案】(1)，；(2)不變化，理由見解析；(3)①；②【解析】(1)解：由題可知，n-1=0，7+m=2，∴，故答案為：，(2)解：MN的長不發(fā)生變化，理由如下：由題意，得點(diǎn)C表示的數(shù)為3，設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為x，則點(diǎn)F表示的數(shù)為∴，，，，，，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)∴，，即(3)解：①∵A，B表示的數(shù)分別為m，n又點(diǎn)C在B的右側(cè)，∴AB=n-m∵，∴AC=n-m+2∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴AD=AC=(n-m+2)∴D表示的數(shù)為：m+(n-m+2)=②依題意，點(diǎn)C表示的數(shù)分別為∴，∴，∵，即當(dāng)時．，∵，∴不符合題意，舍去當(dāng)時．，綜上所述，線段的長為.【變式訓(xùn)練1】如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有三條線段AB，AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“巧點(diǎn)”．(1)線段的中點(diǎn)__這條線段的“巧點(diǎn)”；(填“是”或“不是”)；(2)如圖2，已知AB＝15cm．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，點(diǎn)P，Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，運(yùn)動停止．設(shè)移動的時間為t(s)，當(dāng)t＝__s時，Q為A，P的“巧點(diǎn)”．【答案】是7.5或【解析】(1)若線段中點(diǎn)為C點(diǎn)，AB＝2AC，所以中點(diǎn)是這條線段“巧點(diǎn)”(2)設(shè)A點(diǎn)為數(shù)軸原點(diǎn)，作數(shù)軸，設(shè)運(yùn)動時間為t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，①Q(mào)為AP中點(diǎn)，，∴t＝7.5；②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣(15﹣t)＝3t﹣15，∵AQ＝2PQ，∴15﹣t＝2(3t﹣15)，∴；③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2(15﹣t)，∴t＝97.5(舍去)．綜上所述：t＝7.5或．故答案為：(1)是；(2)7.5或．【變式訓(xùn)練2】已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示(C在線段AM上，D在線段BM上)(1)若AB＝11cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了1s，求AC+MD的值．(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在(2)的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)解：當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了1s時，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：設(shè)運(yùn)動時間為t，則CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM故答案為：．(3)解：由(2)可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB，①當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=．②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，∴=1,即=．綜上所述＝或【變式訓(xùn)練3】如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動．在運(yùn)動過程中滿足，若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，且，則的值為_______．【答案】1或【解析】設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，點(diǎn)M表示的數(shù)為m

則OC=t，BD=4t，即點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為-t，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為b-4t，

∴AC=-t-a，OD=b-4t，

由OD=4AC得，b-4t=4(-t-a)，即：b=-4a，

①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時，如圖1所示：

由AM-BM=OM得，m-a-(m-b)=m，即：m=b-a；

∴

②若點(diǎn)M在線段BO上時，如圖2所示：

由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=m，即：m=a+b；

∴

③若點(diǎn)M在線段OA上時，如圖3所示：

由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=-m，即：

∵此時m＜0，a＜0，∴此種情況不符合題意舍去；

④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時，如圖4所示：

由AM-BM=OM得，a-m-(b-m)=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，

因此，不符合題意舍去，

綜上所述，的值為1或．類型二、證明定值問題例.如圖，已知線段，，線段在直線上運(yùn)動(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，若．(1)求線段，的長；(2)若點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，，求線段的長；(3)當(dāng)運(yùn)動到某一時刻時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是線段的延長線上任意一點(diǎn)，下列兩個結(jié)論：①是定值，②是定值，請選擇你認(rèn)為正確的一個并加以說明．【答案】(1)，；(2)9；(3)②正確，，見解析【解析】(1)由，，，得，，所以，；(2)當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，，所以，，又因?yàn)?，所以，?dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，所以，，所以所以．綜上，線段的長為9；(3)②正確，且．理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)重合，所以，所以，所以，所以．

【變式訓(xùn)練1】已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運(yùn)動(A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè))，且m，n滿足|m－12|＋(n－4)2＝0.(1)m＝，n＝；(2)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，線段CD以2個單位長度/秒的速度向左運(yùn)動．①如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)，求線段MN的長；②P是直線AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，線段CD運(yùn)動的同時，點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個單位/秒的向右運(yùn)動，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇．試探索整個運(yùn)動過程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【解析】(1)∵|m－12|＋(n－4)2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案為：12；4．(2)由題意，①∵AB=12，CD=4，∵M(jìn)是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)，∴AM=CM=AC，DN=BN=BD∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC+CD+BD+CD=(AC+CD+BD)+CD=(AB+CD)=8；②如圖，設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，依題意有：，解得：a=2，在整個運(yùn)動的過程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是線段BC的中點(diǎn)，∴CE=BE=BC=2+t；Ⅰ．如圖1，F(xiàn)，C相遇，即t=2時F，C重合，D，E重合，則FC=0，DE=0，∴FC-5DE=0；Ⅱ．如圖2，F(xiàn)，C相遇前，即t<2時FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t，∴FC-5DE=10-5t-5(2-t)=0；Ⅲ．如圖3，F(xiàn)，C相遇后，即t＞2時FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2，∴FC-5DE=5t-10-5(t-2)=0；綜合上述：在整個運(yùn)動的過程中，F(xiàn)C5DE的值為定值，且定值為0．【變式訓(xùn)練2】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)，表示的有理數(shù)分別為，3，點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)，重合)，是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．(1)若點(diǎn)表示的有理數(shù)是0，那么的長為________；若點(diǎn)表示的有理數(shù)是6，那么的長為________；(2)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(不與點(diǎn)，重合)的過程中，的長是否發(fā)生改變？若不改變，請寫出求的長的過程；若改變，請說明理由．【答案】(1)6；6；(2)不發(fā)生改變，MN為定值6，過程見解析【詳解】解：(1)若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0(如圖1)，則AP=6，BP=3．∵M(jìn)是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．∴MP=AP=4，NP=BP=2，∴MN=MP+NP=6；若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6(如圖2)，則AP=12，BP=3．∵M(jìn)是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．∴MP=AP=8，NP=BP=2，∴MN=MP-NP=6．故答案為：6；6．(2)MN的長不會發(fā)生改變，理由如下：設(shè)點(diǎn)P表示的有理數(shù)是a(a＞-6且a≠3)．當(dāng)-6＜a＜3時(如圖1)，AP=a+6，BP=3-a．∵M(jìn)是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．∴MP=AP=(a+6)，NP=BP=(3-a)，∴MN=MP+NP=6；當(dāng)a＞3時(如圖2)，AP=a+6，BP=a-3．∵M(jìn)是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．∴MP=AP=(a+6)，NP=BP=(a-3)，∴MN=MP-NP=6．綜上所述：點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(不與點(diǎn)A，B重合)的過程中，MN的長為定值6．【變式訓(xùn)練3】(1)如圖1，在直線上，點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間，點(diǎn)為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，且使關(guān)于的方程無解.①求線段的長；②線段的長與點(diǎn)在線段上的位置有關(guān)嗎？請說明理由；(2)如圖2，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，試說明的值不變.【答案】(1)①AB=4；②線段的長與點(diǎn)在線段上的位置無關(guān)，理由見解析；(2)見解析.【詳解】解：(1)①∵關(guān)于的方程無解．∴=0，解得：n=4．故AB=4．②線段的長與點(diǎn)在線段上的位置無關(guān)，理由如下：∵M(jìn)為線段PB的中點(diǎn)，∴PM=PB．同理：PN=AP．．∴MN=PN+PM=(PB+AP)=AB=×4=2．∴線段MN的長與點(diǎn)P在線段AB上的位置無關(guān)．(2)設(shè)AB=a，BP=b，則PA+PB=a+b+b=a+2b．∵C是AB的中點(diǎn)，，，所以的值不變.類型三、數(shù)量關(guān)系例.數(shù)軸上兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是，線段在數(shù)軸上運(yùn)動，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)線段運(yùn)動到點(diǎn)均在之間時，若，則_________，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為________，________；(2)如圖2，當(dāng)線段運(yùn)動到點(diǎn)在之間時，畫出草圖并求與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；2；2；(2)，畫圖見解析．【解析】(1)數(shù)軸上兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，對應(yīng)的數(shù)是2，故答案為：；2；2；(2)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，故答案為：(1)；2；2；(2)，畫圖見解析．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝AB．(1)請根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整．直接寫出＝_______；(2)設(shè)AB＝9cm，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動．①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動，求的值；②在點(diǎn)D，E沿直線AB向左運(yùn)動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C恰好為線段BD的三等分點(diǎn)時，求MN的長．【答案】(1)，(2)3，(3)12cm或24cm．【詳解】解：(1)圖形補(bǔ)充完整如圖，∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案為：；(2)①AB＝9cm，由(1)得，(cm)，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，cm，cm，，②當(dāng)時，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，cm，運(yùn)動時間為：18÷3=6(秒)，則cm，cm，cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．∴cm，cm，cm，當(dāng)時，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，運(yùn)動時間為：36÷3=12(秒)，則cm，cm，cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．∴cm，cm，cm，綜上，MN的長是12cm或24cm．【變式訓(xùn)練2】已知點(diǎn)C在線段AB上，AC＝2BC，點(diǎn)D、E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，(1)若AB＝18，DE＝8，線段DE在線段AB上移動，①如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時，求AD的長；②當(dāng)點(diǎn)C是線段DE的三等分點(diǎn)時，求AD的長；(2)若AB＝2DE，線段DE在直線上移動，且滿足關(guān)系式，則＝．【答案】(1)①AD＝7；②AD＝或；(2)或【詳解】解：(1)∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E為BC中點(diǎn)，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵點(diǎn)C是線段DE的三等分點(diǎn)，DE＝8，∴CE＝DE＝或CE＝DE＝，∴CD＝或CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=；(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC之間時，如圖，設(shè)BC＝x，則AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，∴；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，如圖，設(shè)BC＝x，則DE＝1.5x，設(shè)CE＝y(tǒng)，∴DC＝EC+DE＝y(tǒng)+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y(tǒng)+1.5x﹣2x＝y(tǒng)﹣0.5x，∵，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，∴CD＝y(tǒng)+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y(tǒng)+1.5x+x＝6.5x，∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上及點(diǎn)E在點(diǎn)B右側(cè)時，無解，綜上所述的值為或．故答案為：或．課后作業(yè)1.已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)從左到右順次為A，B，C，其中b是最小的正整數(shù)，a在最大的負(fù)整數(shù)左側(cè)1個單位長度，BC=2AB．(1)填空：a=，b=，c=(2)點(diǎn)D從點(diǎn)A開始，點(diǎn)E從點(diǎn)B開始，點(diǎn)F從點(diǎn)C開始，分別以每秒1個單位長度、1個單位長度、4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左運(yùn)動，點(diǎn)F追上點(diǎn)D時停止動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．試問：①當(dāng)三點(diǎn)開始運(yùn)動以后，t為何值時，這三個點(diǎn)中恰好有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)？②F在追上E點(diǎn)前，是否存在常數(shù)k，使得的值與它們的運(yùn)動時間無關(guān)，為定值．若存在，請求出k和這個定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)-2，1，7；(2)①t=1或t=；②k=-1【解析】(1)∵最小正數(shù)為1．最大的負(fù)整數(shù)為小-1，a在最大的負(fù)整數(shù)左側(cè)1個單位長度∴點(diǎn)A表示的數(shù)a為-1-1=-2，點(diǎn)B表示的數(shù)b為1，∴AB=1-(-2)=3∵，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為c=1+6=7，故答案為：-2，1，7；(2)①依題意，點(diǎn)F的運(yùn)動距離為4t，點(diǎn)D、E運(yùn)動的距離為t,∴點(diǎn)D、E、F分別表示的數(shù)為-2-t，1-t，7-4t,當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)D時，必將超過點(diǎn)B，∴存在兩種情況，即DE=EF和DF=EF，如圖，當(dāng)DE=EF，即E為DF的中點(diǎn)時，，解得，t=1，如圖，當(dāng)EF=DF，即F為DE中點(diǎn)時，，解得t=，綜上所述，當(dāng)ｔ=１秒和ｔ＝時，滿足題意．②存在，理由：點(diǎn)D、E、F分別表示的數(shù)為-2-t，1-t，7-4t,如圖，F(xiàn)在追上E點(diǎn)前，，，，當(dāng)與t無關(guān)時，需滿足3+3k=0，即k=-1時，滿足條件．故答案為：(1)-2，1，7；(2)①t=1或t=；②k=-12．已知點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．若，，線段在線段上移動．(1)如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時，求的長；(2)點(diǎn)(異于，，點(diǎn))在線段上，，，求的長．【答案】(1)7；(2)3或5【解析】(1)，，，，如圖1，為中點(diǎn)，，，∴，∴，(2)Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，如圖2，或∵，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，故圖2(b)這種情況求不出；Ⅱ、如圖3，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，或，，∴，∴，．∵，故圖3(b)這種情況求不出；綜上所述：的長為3或5．3.已知線段AB，點(diǎn)C在直線AB上，D為線段BC的中點(diǎn)．(1)若，，求線段CD的長．(2)若點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，請寫出線段DE和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)或5(2)，理由見解析【解析】(1)解：如圖1，當(dāng)C在點(diǎn)A右側(cè)時，∵，，∴，∵D是線段BC的中點(diǎn)，：∴；如圖2，當(dāng)C在點(diǎn)A左側(cè)時，∵，，∴，∵D是線段BC的中點(diǎn)，∴；綜上所述，或5；(2)解：．理由是：如圖3，當(dāng)C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間時，∵E是AC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，∴，，∴；如圖4，當(dāng)C在點(diǎn)A左側(cè)時，同理可得：；如圖5，當(dāng)C在點(diǎn)B右側(cè)時，同理可得：．4.已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示(C在線段AM上，D在線段BM上)(1)若AB＝11cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了1s，求AC+MD的值．(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在(2)的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)解：當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了1s時，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：設(shè)運(yùn)動時間為t，則CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM，故答案為：．(3)解：由(2)可得：∵BM＝AB﹣AM，∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB，①當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=．②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，，∴=1,即=．綜上所述＝或5．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，是最大的負(fù)整數(shù)，且，滿足．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個單位長度的速度向左運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)后立刻返回到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后再返回到點(diǎn)并停止．(1)________，________，________．(2)點(diǎn)從點(diǎn)離開后，在點(diǎn)第二次到達(dá)點(diǎn)的過程中，經(jīng)過秒鐘，，求的值．(3)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)的同時，數(shù)軸上的動點(diǎn)，分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時出發(fā)，相向而行，速度分別為每秒4個單位長度和每秒5個單位長度，假設(shè)秒鐘時，、、三點(diǎn)中恰好有一個點(diǎn)是另外兩個點(diǎn)的中點(diǎn)，請直接寫出所有滿足條件的的值．【答案】(1)，，；(2)或或或；(3)，1，，8，12【詳解】解：(1)∵是最大的負(fù)整數(shù)，且，滿足，∴b=-1，a+3=0，c-9=0，∴a=-3，c=9．故答案為：-3；-1；9．(2)由題意知，此過程中，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時．∴PA+PB=AB=b-a=-1-(-3)=2．∴．又∵BC=c-b=9-(-1)=10．∴PB=PC-BC=11-10=1．當(dāng)從到時，如圖所示：∵PB=1，可以列方程為：3x=1，解得：x=1；當(dāng)從到時，分兩種情況討論：①當(dāng)P在線段AB之間時，如圖所示：可以列方程為：3x=3,解得：x=1，②當(dāng)P在線段BC之間時，如圖所示：∵PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10，∵PB+PC=10∴PA=13-10=3，∴PB=PA-AB=3-2=1，可列方程為：3x=5，解得：．當(dāng)從到時，如圖所示：可列方程為：3x=23，解得：．綜上所述，或或或．(3)當(dāng)點(diǎn)從為PN中點(diǎn)時，當(dāng)0<t<時，點(diǎn)P向A運(yùn)動，．此時，P=-1-3t，M=-3+4t，N=9-5t．(-1-3t)+(9-5t)=2(-3+4t)，解得t=(舍去)．當(dāng)≤t≤時，點(diǎn)P從A返回向B運(yùn)動．此時，P=-3+3(t-)=3t-5．3t-5+9-5t=2(-3+4t)，解得t=1．當(dāng)P為MN中點(diǎn)時，t>．(9-5t)+(-3+4t)=2(3t-5)，解得t=．當(dāng)點(diǎn)N為PM中點(diǎn)時，t>．(-3+4t)+(3t-5)=2(9-5t),解得t=．綜上所述，t的值為1，或．6．七(1)班的學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)“線段中點(diǎn)”內(nèi)容時，得到一個很有意思的結(jié)論，請跟隨他們一起思考.(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1，線段，點(diǎn)在線段上，當(dāng)點(diǎn)是線段和線段的中點(diǎn)時，線段的長為_________；若點(diǎn)在線段的延長線上，其他條件不變(請在圖2中按題目要求將圖補(bǔ)充完整)，得到的線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為_________.(2)應(yīng)用：如圖3，現(xiàn)有長為40米的拔河比賽專用繩，其左右兩端各有一段(和)磨損了，磨損后的麻繩不再符合比賽要求.已知磨損的麻繩總長度不足20米.小明認(rèn)為只利用麻繩和一把剪刀(剪刀只用于剪斷麻繩)就可以得到一條長20米的拔河比賽專用繩.小明所在學(xué)習(xí)小組認(rèn)為此法可行，于是他們應(yīng)用“線段中點(diǎn)”的結(jié)論很快做出了符合要求的專用繩，請你嘗試著“復(fù)原”他們的做法：①在圖中標(biāo)出點(diǎn)、點(diǎn)的位置，并簡述畫圖方法；②請說明①題中所標(biāo)示點(diǎn)的理由.【答案】(1)6；補(bǔ)圖見解析，(2)①見解析(答案不唯一)②見解析.【詳解】解：(1)點(diǎn)在線段上時，因?yàn)辄c(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，所以CE=AC，因?yàn)辄c(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，所以CF=BC，所以EF=CE+CF=AC+BC=AB，又AB=12，所以EF=6．當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，如圖2，此時，EF=EC-FC═AC-BC=AB.答案為：6；EF=AB.(2)①圖3如圖，在上取一點(diǎn)，使，為的中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合.(答案不唯一)②因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)椋?因?yàn)槊?，所以?因?yàn)槊?，米，所以?因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)重合，米，所以米，所以點(diǎn)落在線段上.所以滿足條件.7．問題背景整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識的整體處理，整體思想在代數(shù)和幾何中都有很廣泛的應(yīng)用．(1)如圖1，A、B、O三點(diǎn)在同一直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，則∠DOE的度數(shù)為(直接寫出答案)．(2)當(dāng)x＝1時，代數(shù)式a+bx+2021的值為2020，當(dāng)x＝﹣1時，求代數(shù)式a+bx+2021的值．(3)①如圖2，點(diǎn)C是線段AB上一定點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)A、點(diǎn)E從點(diǎn)B同時出發(fā)分別沿直線AB向左、向右勻速運(yùn)動，若點(diǎn)E的運(yùn)動速度是點(diǎn)D運(yùn)動速度的3倍，且整個運(yùn)動過程中始終滿足CE＝3CD，求的值；②如圖3，在①的條件下，若點(diǎn)E沿直線AB向左運(yùn)動，其它條件均不變．在點(diǎn)D、E運(yùn)動過程中，點(diǎn)P、Q分別是AE、CE的中點(diǎn)，若運(yùn)動到某一時刻，恰好CE＝4PQ，求此時的值．【答案】(1)90°；(2)2022；(3)①；②或【解析】(1)解：如圖1，∵射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOC=∠AOC，∠COE=∠BOC，∵∠DOE=∠DOC+∠COE，∴∠DOE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠DOE=×180°=90°，故答案為：90°．(2)∵當(dāng)x＝1時，代數(shù)式a+bx+2021的值為2020，∴a+b+2021=2020，∴a+b=-1，∴-a-b=1，當(dāng)x＝﹣1時，a+bx+2021=-a-b+2021=1+2021=2022．(3)①如圖2，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的路程為x，則點(diǎn)E運(yùn)動的路程為3x，∴CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，∵CE＝3CD，∴BC+3x=3CA+3x，∴CB=3AC，∴AB=CB+AC=4AC，∴=．②根據(jù)①，設(shè)AC=m，則CB=3m，AB=4m，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的路程為AD=x，則點(diǎn)E運(yùn)動的路程為EB=3x，當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)的右側(cè)時，如圖3，∴CE＝BC-BE=3m-3x，CD=CA+AD=m+x，∵點(diǎn)P、Q分別是AE、CE的中點(diǎn)，∴PE=，QE=，∴PQ=PE-QE=-=，∵CE＝4PQ，∴3m-3x=4×，解得x=，故AD=，∴=．當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)的左側(cè)，且在點(diǎn)A的右側(cè)時，如圖4，∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，∵點(diǎn)P、Q分別是AE、CE的中點(diǎn)，∴PE=，QE=，∴PQ=PE+QE=+=，∵CE＝4PQ，∴3x-3m=4×，解得x=，故AD=，∴=．當(dāng)點(diǎn)E在A點(diǎn)的左側(cè)時，如圖5，∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，∵點(diǎn)P、Q分別是AE、CE的中點(diǎn)，∴PE=，QE=，∴PQ=PE+QE=+=，∵CE＝4PQ，∴3x-3m=4×，解得x=，故AD=，∴=．綜上所述，的值為或．8．已知：如圖1，點(diǎn)M是線段AB上一定點(diǎn)，AB＝12cm，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示(C在線段AM上，D在線段BM上)(1)若AM＝4cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了2s，此時AC＝，DM＝；(直接填空)(2)當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了2s，求AC+MD的值．(3)若點(diǎn)C、D運(yùn)動時，總有MD＝2AC，則AM＝(填空)(4)在(3)的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)2，4；(2)6cm；(3)4；(4)或1．【詳解】(1)根據(jù)題意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案為：2cm，4cm；(2)當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了2s時，CM＝2cm，BD＝4cm∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6cm；(3)根據(jù)C、D的運(yùn)動速度知：BD＝2MC，∵M(jìn)D＝2AC，∴BD+MD＝2(MC+AC)，即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝AB＝4，故答案為：4；(4)①當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時，如圖1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝4∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4，∴；②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上時，如圖2，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB＝12，∴；綜上所述或1故答案為或1．9．如圖，數(shù)軸正半軸上的，兩點(diǎn)分別表示有理數(shù)，，為原點(diǎn)，若，線段.(1)______，______；(2)若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度向軸正半軸運(yùn)動，求運(yùn)動時間為多少時；點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的3倍；(3)數(shù)軸上還有一點(diǎn)表示的數(shù)為32，若點(diǎn)和點(diǎn)同時從點(diǎn)和點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒2個單位長度和每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，再立刻以同樣