（統(tǒng)考版）高考數(shù)學二輪專題復習 課時作業(yè)14 圓錐曲線中的證明、定點及定值問題 文（含解析）-人教版高三全冊數(shù)學試題

課時作業(yè)14圓錐曲線中的證明、定點及定值問題[A·基礎達標]1．設橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點．若橢圓E的離心率為eq\f(\r(2),2)，△ABF2的周長為4eq\r(6).(1)求橢圓E的方程；(2)設不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點C，D，設弦AB，CD的中點分別為M，N，證明：O，M，N三點共線．2．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,3)，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓C上一點，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝eq\f(8,3).(1)求橢圓C的標準方程；(2)設橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，過A1，A2分別作x軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y＝kx＋m與l1，l2分別交于M，N兩點，求證：∠MF1N為定值．

[B·素養(yǎng)提升]1．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點為M，上頂點為N，直線2x＋y－6eq\r(3)＝0與直線MN垂直，垂足為點B，且點N是線段MB的中點．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，點G在橢圓C上，且四邊形OEGF(O為坐標原點)為平行四邊形，求證：四邊形OEGF的面積S為定值．2．[2020·長沙市統(tǒng)一模擬考試]已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右頂點與拋物線C2：y2＝2px(p>0)的焦點重合，橢圓C1的離心率為eq\f(1,2)，過橢圓C1的右焦點F且垂直于x軸的直線截拋物線所得弦的長度為4eq\r(2).(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程．(2)過點A(－4,0)的直線l與橢圓C1交于M，N兩點，點M關于x軸的對稱點為E.當直線l繞點A旋轉時，直線EN是否經(jīng)過一定點？請判斷并證明你的結論．課時作業(yè)14圓錐曲線中的證明、定點及定值問題[A·基礎達標]1．解析：(1)由題意知，4a＝4eq\r(6)，a＝eq\r(6).又e＝eq\f(\r(2),2)，∴c＝eq\r(3)，b＝eq\r(3)，∴橢圓E的方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)當直線AB，CD的斜率不存在時，由橢圓的對稱性知，中點M，N在x軸上O，M，N三點共線；當直線AB，CD的斜率存在時，設其斜率為k，且設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),6)＋\f(y\o\al(2,1),3)＝1,\f(x\o\al(2,2),6)＋\f(y\o\al(2,2),3)＝1))，兩式相減，得eq\f(x\o\al(2,1),6)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,2),6)＋\f(y\o\al(2,2),3)))＝0，∴eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),6)＝－eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),3)，eq\f(x1－x2x1＋x2,6)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,3)，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq\f(3,6)，eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y0,x0)＝－eq\f(3,6)，即k·kOM＝－eq\f(1,2).∴kOM＝－eq\f(1,2k).同理可得kON＝－eq\f(1,2k)，∴kOM＝kON，∴O，M，N三點共線．2．解析：(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝eq\f(8,3)，得eq\f(b2,a)＝eq\f(8,3).又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8.故橢圓C的標準方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)由題意可知，l1的方程為x＝－3，l2的方程為x＝3.直線l分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，所以eq\o(F1M,\s\up11(→))＝(－2，－3k＋m)，eq\o(F1N,\s\up11(→))＝(4,3k＋m)，所以eq\o(F1M,\s\up11(→))·eq\o(F1N,\s\up11(→))＝－8＋m2－9k2.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋\f(y2,8)＝1,y＝kx＋m))，得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0，因為直線l與橢圓C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)·(9化簡得m2＝9k2＋8.所以eq\o(F1M,\s\up11(→))·eq\o(F1N,\s\up11(→))＝－8＋m2－9k2＝0，所以eq\o(F1M,\s\up11(→))⊥eq\o(F1N,\s\up11(→))，故∠MF1N為定值eq\f(π,2).[B·素養(yǎng)提升]1．解析：(1)由題意知M(－a,0)，N(0，b)，直線MN的斜率k＝eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2b.①因為點N是線段MB的中點，所以點B的坐標為(a,2b)．又點B在直線2x＋y－6eq\r(3)＝0上，所以2a＋2b＝6eq\r(3)，②聯(lián)立①②，解得a＝2eq\r(3)，b＝eq\r(3).所以橢圓C的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,3)＝1))消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.易知Δ>0，則x1＋x2＝－eq\f(8km,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4m2－12,1＋4k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq\f(2m,1＋4k2).因為四邊形OEGF為平行四邊形，所以eq\o(OG,\s\up11(→))＝eq\o(OE,\s\up11(→))＋eq\o(OF,\s\up11(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)，可得Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8km,1＋4k2)，\f(2m,1＋4k2))).將點G的坐標代入橢圓C的方程，得m2＝eq\f(3,4)(1＋4k2)．又點O到直線EF的距離d＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))，|EF|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，所以平行四邊形OEGF的面積S＝d×|EF|＝|m||x1－x2|＝|m|×eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4×eq\f(|m|\r(3－m2＋12k2),1＋4k2)＝4×eq\f(|m|\r(3m2),1＋4k2)＝eq\f(4\r(3)m2,1＋4k2)＝3eq\r(3).于是四邊形OEGF的面積S為定值，且定值為3eq\r(3).2．解析：(1)設橢圓C1的半焦距為c.依題意，可得a＝eq\f(p,2)，則C2：y2＝4ax，代入x＝c，得y2＝4ac，即y＝±2eq\r(ac)，所以4eq\r(ac)＝4eq\r(2)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac＝2,\f(c,a)＝\f(1,2),a2＝b2＋c2))，所以a＝2，b＝eq\r(3)，所以橢圓C1的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，拋物線C2的方程為y2＝8x.(2)依題意，當直線l的斜率不為0時，設其方程為x＝ty－4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty－4,3x2＋4y2＝12))，得(3t2＋4)y2－24ty＋36＝0.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則E(x1，－y1)．由Δ>0，得t<－2或t>2，且y1＋y2＝eq\f(24t,3t2＋4)，y1y2＝eq\f(36,3t2＋4).根據(jù)橢圓的對稱性可知，若直線EN過定點，此定點必在x軸上，設此定點為Q(m,0)．因為kNQ＝kEQ，所以eq\f(y2,x2－m)＝eq\f(－y1,x1－m)，(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，即(ty1－4－m)y2＋(ty2－4－m)y1＝0,2