高數(shù)下教案第11章

高數(shù)下教案第11章目錄contents章節(jié)引言微分學基本概念多元函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法微分學在經(jīng)濟學中應(yīng)用曲線積分與曲面積分微分方程初步章節(jié)小結(jié)與復習指導01章節(jié)引言教學內(nèi)容本章主要介紹多元函數(shù)微分學及其應(yīng)用，包括多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導數(shù)、全微分、多元函數(shù)的極值及其求法等內(nèi)容。教學目標通過本章學習，使學生掌握多元函數(shù)微分學的基本概念、基本理論和基本方法，能夠運用所學知識解決一些實際問題，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和綜合能力。教學內(nèi)容與目標多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導數(shù)、全微分等基本概念和基本理論；多元函數(shù)的極值及其求法；多元函數(shù)微分學在幾何、經(jīng)濟等領(lǐng)域的應(yīng)用。多元函數(shù)的極限和連續(xù)性的理解；偏導數(shù)和全微分的計算；多元函數(shù)極值的判定和求法；多元函數(shù)微分學在實際問題中的應(yīng)用。重點與難點難點重點采用啟發(fā)式、講解式、互動式等教學方法，通過課堂講解、提問、討論、案例分析等方式，引導學生理解和掌握多元函數(shù)微分學的知識和方法。教學方法利用多媒體課件、數(shù)學軟件等現(xiàn)代化教學手段，輔助教學，提高教學效果。同時，通過課后作業(yè)、習題課、輔導答疑等方式，鞏固和加深學生對所學知識的理解和掌握。教學手段教學方法與手段02微分學基本概念

微分定義及性質(zhì)微分定義微分是函數(shù)改變量的線性部分，即在一個數(shù)集中，當一個數(shù)靠近時，函數(shù)在這個數(shù)處的極限被稱為函數(shù)在該處的微分。微分的幾何意義微分的幾何意義是切線縱坐標的增量，這也意味著微分其實是一個線性函數(shù)?？晌⑴c連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在某點可微分，則函數(shù)在該點必連續(xù)；若二元函數(shù)在某點可微分，則該函數(shù)在該點對x和y的偏導數(shù)必存在。03隱函數(shù)及參數(shù)方程確定的函數(shù)的微分法對于隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)，可以通過求導法則和鏈式法則來求其微分。01基本初等函數(shù)的微分公式包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的基本微分公式。02微分運算法則包括和差積商的微分法則、復合函數(shù)的微分法則以及反函數(shù)的微分法則等。微分運算法則高階微分的定義01高階微分是函數(shù)對自變量進行多次微分后得到的結(jié)果。高階微分的計算02對于一元函數(shù)，可以通過連續(xù)求導來計算高階微分；對于多元函數(shù)，可以通過求偏導數(shù)和高階偏導數(shù)來計算高階微分。高階微分在函數(shù)性質(zhì)研究中的應(yīng)用03高階微分在研究函數(shù)的凹凸性、拐點以及泰勒公式等方面有重要應(yīng)用。高階微分概念微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用在數(shù)值計算中，可以利用微分來求解方程的近似解、計算函數(shù)的極值以及進行插值計算等。微分在誤差估計中的應(yīng)用在科學實驗和工程實踐中，可以利用微分來估計測量誤差對結(jié)果的影響程度。微分在近似計算中的意義當自變量發(fā)生微小變化時，可以利用微分來近似計算函數(shù)值的變化量。微分在近似計算中應(yīng)用03多元函數(shù)微分法多元函數(shù)定義設(shè)D為一個非空的n元有序數(shù)組的集合，f為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)∈D，通過對應(yīng)規(guī)則f，總有唯一確定的實數(shù)y與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。多元函數(shù)性質(zhì)多元函數(shù)具有一些基本性質(zhì)，如連續(xù)性、可導性等。這些性質(zhì)是研究多元函數(shù)的基礎(chǔ)。多元函數(shù)與一元函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別多元函數(shù)可以看作是一元函數(shù)的推廣，但它們在許多方面存在顯著的差異，如定義域、值域、極限、連續(xù)、可導等。多元函數(shù)概念及性質(zhì)偏導數(shù)的定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當y固定在y0而x在x0有增量Δx時，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，如果Δz與Δx之比當Δx→0時的極限存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處關(guān)于x的偏導數(shù)。偏導數(shù)的計算方法偏導數(shù)可以通過求極限的方法來計算，也可以通過求導公式直接計算。對于復雜的多元函數(shù)，可能需要使用鏈式法則、隱函數(shù)求導等方法來計算偏導數(shù)。偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)表示了多元函數(shù)在某一點處沿某一方向的變化率，是研究多元函數(shù)變化特性的重要工具。偏導數(shù)計算方法要點三全微分的定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，對于這鄰域內(nèi)的點P'(x+Δx,y+Δy)，如果函數(shù)f在點P的全增量Δz可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B僅與點P有關(guān)，ρ=√[(Δx)2+(Δy)2]，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點P可微分，并將AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f(x,y)在點P的全微分。0102全微分的計算方法全微分可以通過偏導數(shù)來計算，具體公式為dz=f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy。其中f'x(x,y)和f'y(x,y)分別表示函數(shù)z=f(x,y)關(guān)于x和y的偏導數(shù)。全微分的幾何意義全微分表示了多元函數(shù)在某一點處沿任意方向的變化量，是研究多元函數(shù)變化特性的重要工具。03全微分概念及計算方法多元函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某鄰域U(P0)內(nèi)有定義，對于U(P0)內(nèi)異于P0的任意一點P(x,y)，如果f(x,y)<f(x0,y0)，則稱f(x0,y0)是函數(shù)z=f(x,y)在U(P0)內(nèi)的極大值；如果f(x,y)>f(x0,y0)，則稱f(x0,y0)是函數(shù)z=f(x,y)在U(P0)內(nèi)的極小值。多元函數(shù)極值的必要條件若函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)存在極值，且f(x,y)在點(x0,y0)可微，則f'x(x0,y0)=0，f'y(x0,y0)=0。這兩個方程稱為函數(shù)z=f(x,y)的極值條件。多元函數(shù)最值問題在實際問題中，經(jīng)常需要求解多元函數(shù)在給定條件下的最大值或最小值。這類問題可以通過拉格朗日乘數(shù)法等方法來求解。多元函數(shù)極值與最值問題04隱函數(shù)微分法隱函數(shù)是由一個或多個方程所確定的函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)形式不直接給出，而是通過方程間接表達。隱函數(shù)定義隱函數(shù)存在的條件包括方程在某一區(qū)域內(nèi)連續(xù)、可微，且滿足隱函數(shù)存在定理的相關(guān)條件。隱函數(shù)存在條件隱函數(shù)與顯函數(shù)的主要區(qū)別在于函數(shù)形式的表達，顯函數(shù)可以直接表示出自變量與因變量之間的關(guān)系，而隱函數(shù)則需要通過方程來間接表達。隱函數(shù)與顯函數(shù)的區(qū)別隱函數(shù)概念及存在條件直接求導法對于某些簡單的隱函數(shù)，可以直接對方程兩邊求導，得到隱函數(shù)的導數(shù)。鏈式法則對于較為復雜的隱函數(shù)，需要利用鏈式法則對復合函數(shù)進行求導。多元函數(shù)隱函數(shù)求導對于多元函數(shù)的隱函數(shù)求導，需要利用偏導數(shù)、全微分等知識進行求解。隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)組是指由多個方程所確定的多個函數(shù)關(guān)系，需要通過聯(lián)立方程求解。隱函數(shù)組概念隱函數(shù)組求導法則實際應(yīng)用舉例對于隱函數(shù)組的求導，需要利用雅可比矩陣、克萊姆法則等工具進行求解。隱函數(shù)組在實際應(yīng)用中廣泛存在，如經(jīng)濟學中的聯(lián)立方程模型、物理學中的多體問題等。030201隱函數(shù)組求導方法曲線切線問題切線與法線關(guān)系曲線凹凸性與拐點實際應(yīng)用舉例幾何應(yīng)用與曲線切線問題隱函數(shù)在幾何上可以用來描述曲線，通過求導可以得到曲線上某一點的切線斜率。通過二階導數(shù)可以判斷曲線的凹凸性，并確定曲線的拐點位置。切線與法線在幾何上相互垂直，通過切線斜率可以求得法線斜率。幾何應(yīng)用與曲線切線問題在實際生活中有廣泛應(yīng)用，如工程設(shè)計、經(jīng)濟學中的邊際分析等。05微分學在經(jīng)濟學中應(yīng)用研究經(jīng)濟變量變動所引起的其他經(jīng)濟變量的額外變動，如邊際成本、邊際收益等。邊際分析分析一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量變動的反應(yīng)程度，如價格彈性、需求彈性等。彈性分析邊際分析提供變動的瞬時速率，而彈性分析則衡量長期內(nèi)一個變量對另一個變量變動的敏感程度。邊際與彈性的關(guān)系邊際分析與彈性分析概念消費者在購買一定數(shù)量的某種商品時愿意支付的最高價格與這些商品的實際市場價格之間的差額。消費者剩余生產(chǎn)者在提供一定數(shù)量的某種商品時實際接受的價格與他們愿意接受的最低價格之間的差額。生產(chǎn)者剩余通過需求曲線和供給曲線，可以計算出消費者剩余和生產(chǎn)者剩余的面積。計算方法消費者剩余與生產(chǎn)者剩余計算原理價格歧視的原理在于廠商試圖將消費者剩余轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)者剩余，從而提高利潤。價格歧視指廠商在同一時間對同一商品的不同購買者索取不同的價格，或者對購買者購買的不同數(shù)量索取不同的價格。實例分析如航空公司對不同時間購買機票的乘客索取不同的價格，電影院對不同年齡段的觀眾索取不同的票價等。價格歧視原理及實例分析通過降低市場進入壁壘、加強反壟斷執(zhí)法等措施，鼓勵市場競爭，提高市場效率。鼓勵競爭在必要時，政府可以對某些商品的價格進行管制，以保護消費者利益和社會公平。價格管制政府可以通過稅收和補貼政策來影響商品的價格和產(chǎn)量，從而實現(xiàn)特定的社會和經(jīng)濟目標。稅收與補貼加強市場信息公開和透明度，有助于消費者做出更明智的購買決策，同時也有利于生產(chǎn)者更好地了解市場需求和競爭狀況。信息公開與透明微觀經(jīng)濟政策建議06曲線積分與曲面積分123對弧長的曲線積分和對坐標的曲線積分，分別描述了曲線上的標量場和向量場的積分特性。曲線積分的定義包括線性性質(zhì)、積分路徑可加性、積分估值定理等，這些性質(zhì)在曲線積分的計算和應(yīng)用中起著重要作用。曲線積分的性質(zhì)通過參數(shù)化曲線，可以將曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分進行計算。曲線積分與定積分的關(guān)系曲線積分概念及性質(zhì)根據(jù)曲線積分的定義，直接對弧長或坐標進行積分計算。直接法對于平面閉區(qū)域上的曲線積分，可以利用格林公式將其轉(zhuǎn)化為二重積分進行計算。格林公式對于空間閉曲線上的曲線積分，可以利用斯托克斯公式將其轉(zhuǎn)化為曲面積分進行計算。斯托克斯公式曲線積分計算方法曲面積分的性質(zhì)包括線性性質(zhì)、積分曲面可加性、積分估值定理等，這些性質(zhì)在曲面積分的計算和應(yīng)用中起著重要作用。曲面積分與二重積分的關(guān)系通過投影法或參數(shù)化法，可以將曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分進行計算。曲面積分的定義對面積的曲面積分和對坐標的曲面積分，分別描述了曲面上的標量場和向量場的積分特性。曲面積分概念及性質(zhì)高斯公式對于空間閉區(qū)域上的曲面積分，可以利用高斯公式將其轉(zhuǎn)化為三重積分進行計算。曲面上的曲線積分與曲面積分的關(guān)系在某些情況下，可以通過曲面上的曲線積分來計算曲面積分，或者反過來通過曲面積分來計算曲面上的曲線積分。直接法根據(jù)曲面積分的定義，直接對面積或坐標進行積分計算。曲面積分計算方法07微分方程初步含有未知函數(shù)及其導數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。微分方程定義微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階。微分方程階數(shù)根據(jù)微分方程的形式和解的性質(zhì)，可以將其分為線性微分方程、非線性微分方程、齊次微分方程、非齊次微分方程等。微分方程分類微分方程概念及分類一階微分方程解法可分離變量微分方程通過變量分離法求解，將方程轉(zhuǎn)化為積分形式進行求解。一階線性微分方程利用常數(shù)變易法或積分因子法求解，得到通解和特解。恰當微分方程通過尋找原函數(shù)或積分因子，將方程轉(zhuǎn)化為全微分方程進行求解。二階常系數(shù)齊次線性微分方程根據(jù)特征方程求解，得到通解形式。二階常系數(shù)非齊次線性微分方程利用待定系數(shù)法或常數(shù)變易法求解特解，結(jié)合齊次方程的通解得到全解。二階變系數(shù)線性微分方程通過變量替換、降階等方法進行求解。二階線性微分方程解法030201微分方程在物理和工程中的應(yīng)用力學問題流體力學問題電路問題熱傳導問題利用微分方程描述物體的運動規(guī)律，如牛頓第二定律、振動方程等。通過微分方程描述電路中電壓、電流等物理量的變化規(guī)律，如RC電路、LC電路等。利用微分方程描述熱量在物體內(nèi)部的傳導過程，得到溫度分布規(guī)律。通過微分方程描述流體的運動狀態(tài)和壓強分布等規(guī)律，如伯努利方程、納維-斯托克斯方程等。08章節(jié)小結(jié)與復習指導

章節(jié)知識點總結(jié)本章節(jié)主要介紹了多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導數(shù)、全微分、多元函數(shù)微分學的應(yīng)用等基本概念和性質(zhì)；講解了多元函數(shù)極值的存在條件、求法及其在幾何、物理等方面的應(yīng)用；介紹了二重積分的概念、性質(zhì)、計算方法和應(yīng)用。通過具體例題，詳細解析了多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導數(shù)、全微分的求解方法和步驟；深入剖析了多元函數(shù)極值的求解過程，包括必要條件、充分條件和求解方法；通過實際問題的應(yīng)用，展示了二重積分在面積、體積、質(zhì)量等方面的計算方法。典型例題解析01