新人教版八年級數(shù)學(xué)上冊培優(yōu)資料(中考題型)

新人教版八年級數(shù)學(xué)上冊培優(yōu)資料〔中考題型〕第16講認(rèn)識(shí)三角形經(jīng)典·考題·賞析【例１】假設(shè)的三邊分別為4，x，9，那么x的取值范圍是______________，周長l的取值范圍是______________；當(dāng)周長為奇數(shù)時(shí)，x＝______________.【解法指導(dǎo)】運(yùn)用三角形三邊關(guān)系，即第三邊小于兩邊之和而大于兩邊之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周長為19時(shí)，x＝6，周長為21時(shí)，x＝8，周長為23時(shí)，x＝10，周長為25時(shí)，x＝12，【變式題組】01．假設(shè)△ABC的三邊分別為4，x，9，且9為最長邊，那么x的取值范圍是______________，周長l的取值范圍是______________.02．設(shè)△ABC三邊為a，b，c的長度均為正整數(shù)，且a＜b＜c，a+b+c＝13，那么以a，b，c為邊的三角形，共有______________個(gè).03．用9根同樣長的火柴棒在桌面上擺一個(gè)三角形〔不許折斷〕并全部用完，能擺出不同形狀的三角形個(gè)數(shù)是().A．1 B．2 C．3 D．4【例２】等腰三角形的一邊長為18cm，周長為58cm，試求三角形三邊的長.【解法指導(dǎo)】對等腰三角形，題目沒有交代底邊和腰，要給予討論.當(dāng)18cm為腰時(shí)，底邊為58－18×2＝22，那么三邊為18，18，22.當(dāng)18cm為底邊時(shí)，腰為＝20，那么三邊為20，20，18.此兩種情況都符合兩邊之和大于第三邊.解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.【變式題組】01．等腰三角形兩邊長分別為6cm，12cm，那么這個(gè)三角形的周長是()A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm02．三角形的兩邊長分別是4cm和9cm，那么以下長度的四條線段中能作為第三條邊的是()A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm03．等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)等腰三角形的周長分成12和10兩局部，那么此等腰三角形的腰長為______________.【例３】如圖AD是△ABC的中線，DE是△ADC的中線，EF是△DEC的中線，F(xiàn)G是△EFC的中線，假設(shè)S△GFC＝1cm2，那么S△ABC＝______________.【解法指導(dǎo)】中線將原三角形面積一分為二，由FG為△EFC的中線，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF為△DEC中線，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC＝16.【變式題組】01．如圖，點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn)，S△ABC＝4，那么S△EFC＝______________.02．如圖，點(diǎn)D是等腰△ABC底邊BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，假設(shè)一腰上的高為4cm，那么DE+DF＝______________.03．如圖，四邊形ABCD是矩形(AD＞AB)，點(diǎn)E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，那么DF與AB的數(shù)量關(guān)系是______________.【例４】，如圖，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.【解法指導(dǎo)】這是本章的一個(gè)根本圖形，其根本方法為構(gòu)造三角形或四邊形內(nèi)角和，結(jié)合八字形角的關(guān)系即，∠A+∠B＝∠C+∠D．故連結(jié)BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【變式題組】01．如圖，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.02．如圖，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.03．如圖，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.【例５】如圖，∠A＝70°，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB．那么∠BOC＝______________.【解法指導(dǎo)】這是本章另一個(gè)根本圖形，其結(jié)論為∠BOC＝∠A+90°.證法如下:∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝90°+∠A．所以∠BOC＝125°.【變式題組】01．如圖，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，那么∠BOC＝______________.°，點(diǎn)P、O分別是∠ABC、∠ACB的三等分線的交點(diǎn)，那么∠OPC＝______________.03．如圖，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分別平分∠ABO、∠ACO，那么∠A＝______________.【例６】如圖，∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，那么∠EAD＝______________.【解法指導(dǎo)】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－(180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°+∠B+∠C＝(∠C－∠B)，故∠EAD＝6°.【變式題組】01.〔改〕如圖，∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，那么∠BFE＝__________.(說明:原題題、圖不符.由得∠A＝98°,BD⊥AC，那么點(diǎn)D在CA的延長線上.)02．如圖，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分線交AD的延長線于點(diǎn)P，點(diǎn)F是BC上一動(dòng)點(diǎn)(F、D不重合)，過點(diǎn)F作EF⊥BC交于點(diǎn)E，以下結(jié)論:①∠P+∠DEF為定值，②∠P－∠DEF為定值中，有且只有一個(gè)答案正確，請你作出判斷，并說明理由.【例７】如圖，在平面內(nèi)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AB′C′，使CC′∥AB，假設(shè)∠BAC＝70°，那么旋轉(zhuǎn)角α＝______________.【解法指導(dǎo)】利用平移、旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀這條性質(zhì)來解題.∵CC′∥AB，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，又AC＝AC′，∴∠C′AC＝180°－2×70°＝40°【變式題組】01如圖，用等腰直角三角形板畫∠AOB＝45°，并將三角板沿OB方向平移到如下圖的虛線后繞點(diǎn)M逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)22°，那么三角板的斜邊與射線OA的直角α＝______________.02．如圖，在平面內(nèi)將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度得到△OA′B′，假設(shè)點(diǎn)A′在AB上時(shí)，那么旋轉(zhuǎn)角α＝______________.(∠AOB＝90°，∠B＝30°)3．如圖，△ABE和△ACD是△ABC沿著AB邊，AC邊翻折180°形成的，假設(shè)∠BAC＝130°，那么∠α＝______________.演練穩(wěn)固·反應(yīng)提高01．如圖，圖中三角形的個(gè)數(shù)為()A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)02．如果三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不確定03．有4條線段，長度分別是4cm，8cm，10cm，12cm，選其中三條組成三角形，可以組成三角形的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)04．以下語句中，正確的選項(xiàng)是()A．三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角B．三角形的一個(gè)外角等于這個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角的和 C．三角形的外角中，至少有兩個(gè)鈍角 D．三角形的外角中，至少有一個(gè)鈍角 05．假設(shè)一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，那么這個(gè)三角形是()A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定06．假設(shè)一個(gè)三角形的一個(gè)外角大于與它相鄰的內(nèi)角，那么這個(gè)三角形是()A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定07．如果等腰三角形的一邊長是5cm，另一邊長是9cm，那么這個(gè)三角形的周長是______________.08．三角形三條邊長是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且三角形的周長不大于18，那么這個(gè)三角形的三條邊長分別是______________.09．如圖，在△ABC中，∠A＝42°，∠B與∠C的三等分線，分別交于點(diǎn)D、E，那么∠BDC的度數(shù)是______________.10．如圖，光線l照射到平面鏡上，然后在平面鏡Ⅰ、Ⅱ之間來回反射，∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如圖，點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn)，且S△EFC＝1，那么S△ABC＝______________.12．如圖，:∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，那么∠DAC＝______________.13．如圖，點(diǎn)D、E是BC上的點(diǎn)，且BE＝AB，CD＝CA，∠DAE＝∠BAC，求∠BAC的度數(shù)第17講認(rèn)識(shí)多邊形經(jīng)典·考題·賞析【例１】如下圖是一個(gè)六邊形.(1)從頂點(diǎn)A出發(fā)畫這個(gè)多邊形的所有對角線，這樣的對角線有幾條？它們將六邊形分成幾個(gè)三角形？(2)畫出此六邊形的所有對角線，數(shù)一數(shù)共有幾條？【解法指導(dǎo)】此題主要考查多邊形對角線的定義，對于n邊形，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可引(n－3)條對角線，它們將這n邊形分成(n－2)個(gè)三角形，n邊形一共有條對角線，解:(1)從頂點(diǎn)A出發(fā)，共可畫三條對角線，如下圖，它們分別是AC、AD、AE.將六邊形分成四個(gè)三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；(2)六邊形共有9條對角線.【變式題組】01．以下圖形中，凸多邊形有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)02．過m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對角線，n邊形沒有對角線，k邊形對角線條數(shù)等于邊數(shù)，那么m＝______，n＝______，k＝________.03．多邊形的邊數(shù)恰好是從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線條數(shù)的2倍，那么此多邊形的邊數(shù)是.【例２】(1)八邊形的內(nèi)角和是多少度？(2)幾邊形的內(nèi)角和是八邊形內(nèi)角和的2倍？【解法指導(dǎo)】(1)多邊形的內(nèi)角和公式的推導(dǎo)：從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對角線，可以作(n－3)條對角線，并且將n邊形分成(n－2)個(gè)三角形，這(n－2)個(gè)三角形內(nèi)角和恰好是多邊形內(nèi)角和，等于(n－2)·1800；(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù).解：(1)八邊形的內(nèi)角和為(8－2)×1800＝10800；(2)設(shè)n邊形的內(nèi)角和是八邊形內(nèi)角和的2倍，那么有(n－2)×1800＝10800×2，解得n＝14.故十四邊形的內(nèi)角和是八邊形內(nèi)角和的2倍.【變式題組】01．n邊形的內(nèi)角和為21600，求n邊形的邊數(shù).02．如果一個(gè)正多邊的一個(gè)內(nèi)角是1080，那么這個(gè)多邊形是〔〕A．正方形B．正五邊形C．正六邊形D．正七邊形03．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為10800，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是〔〕A．8 B．7 C．6 D．504．如圖，∠1、∠2、∠3、∠4是五邊形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，那么∠AED的度數(shù)為〔〕A．1100 B．1080 C．1050 D．10005.當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1時(shí)，它的內(nèi)角和與外角和〔〕A．都不變 B．內(nèi)角和增加1800，外角和不變C．內(nèi)角和增加1800，外角和減少1800 D．都增加1800【例３】一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，每爬行5cm便左轉(zhuǎn)600，那么這只螞蟻需要爬行多少路程才能回到點(diǎn)A？解：螞蟻爬行的路程構(gòu)成一個(gè)正多邊形，其路程就是這個(gè)正多邊形的周長，根據(jù)可得這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角均為600，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為＝6.所以這只螞蟻需要爬行5×6＝30(cm)才能回到點(diǎn)A．【解法指導(dǎo)】多邊形的外角和為3600.(1)多邊形的外角和恒等于3600，它與邊數(shù)的多少無關(guān).(2)多邊形的外角和的推導(dǎo)方法：由于多邊形的每個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，所以n邊形內(nèi)角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－(n－2)·1800＝3600.(3)多邊的外角和為什么等于3600，還可以這樣理解：從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)點(diǎn)時(shí)的方向，在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和就是多邊形的外角和，由于走了一周，所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形的外角和等于3600.(4)多邊形的外角和為3600的作用：①各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②多邊形邊數(shù)，求各相等外角的度數(shù).【變式題組】01．〔無錫〕八邊形的內(nèi)角和為_____.度.02．〔永州〕如下圖，△ABC中，∠A＝400，剪去∠A后成四邊形，那么∠1+∠2＝_____03．〔資陽〕n(n為整數(shù)，且n≥3)邊形的內(nèi)角和比〔n+1〕邊形的內(nèi)角和少____度.04．〔株洲〕如下圖，小明在操場上從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)400，再沿直線前進(jìn)10米后，又向左轉(zhuǎn)400，……，照這樣下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了_____米.【例４】兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為18000，且兩多邊形的邊數(shù)之比為2:5，求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù).【解法指導(dǎo)】因?yàn)閮蓚€(gè)多邊形的邊數(shù)之比為2:5，可設(shè)兩個(gè)多邊形的邊數(shù)為2x和5x，利用多邊形的內(nèi)角可列出方程.解：設(shè)這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是2x和5x，那么由多邊形內(nèi)角和定理可得：(2x－2)·1800+(5x－2)·1800＝18000，解得x＝2，∴2x＝4，5x＝10，故這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別為4和10.【變式題組】01．一個(gè)多邊形除去一個(gè)角后，其余各內(nèi)角的和為22100，這個(gè)多邊形是___________02．假設(shè)一個(gè)多邊形的外角和是其內(nèi)角和的，那么此多邊形的邊數(shù)為_____03．每一個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形，它的一個(gè)外角等于一個(gè)內(nèi)角的，那么這個(gè)多邊形是〔〕A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形04．內(nèi)角和與其外角和相等的多邊形是___________【例５】某人到瓷磚商店去購置一種多邊形瓷磚，用來鋪設(shè)無縫地面，他購置的瓷磚不可以是〔〕A．正三角形 B．長方形 C．正八邊形 D．正六邊形【解法指導(dǎo)】根據(jù)平面鑲嵌的定義可知：在一個(gè)頂點(diǎn)處各多邊形的內(nèi)角和為3600，由于正三角形、長方形、正六邊形的內(nèi)角都是3600的約數(shù)，因此它們可以用來完成平面鑲嵌，而正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為1350，不是3600的約數(shù)，所以正八邊形不能把平面鑲嵌.解：選C．【變式題組】01．用一種如下形狀的地磚，不能把地面鋪成既無縫隙，又不重疊的是〔〕A．正三角形 B．正方形 C．長方形 D．正五邊形02．小明家裝修房屋，用同樣的正多邊形瓷磚鋪地，頂點(diǎn)連著頂點(diǎn)，要鋪滿地面而不重疊，瓷磚的形狀可能有〔〕A．正三角形、正方形、正六邊形 B．正三角形、正方形、正五邊形 C．正方形、正五邊形 D．正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形03．只用以下正多邊形?能作平面鑲嵌的是〔〕A．正五邊形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形04．〔晉江市〕如圖，將一張正方形紙片剪成四個(gè)小正方形，得到4個(gè)小正方形，稱為第一次操作；然后將其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得7個(gè)小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到10個(gè)小正方形，稱為第三次操作；……，根據(jù)以上操作，假設(shè)要得到2011個(gè)小正方形，那么需要操作的次數(shù)是〔〕A．669 B．670 C．671 D．672【例６】有一個(gè)十一邊形，它由假設(shè)干個(gè)邊長為1的等邊三角形和邊長為1的正方形無重疊、無間隙地拼成，求此十一邊形各內(nèi)角的大小，并畫出圖形.【解法指導(dǎo)】正三角形的每個(gè)內(nèi)角為600，正方形的每個(gè)內(nèi)角為900，它們無重疊、無間隙可拼成600、900、1200、1500四種角度，根據(jù)十一邊形內(nèi)角和即可判斷每種角的個(gè)數(shù).解：因?yàn)檎切魏驼叫蔚膬?nèi)角分別為600、900，由此可拼成600、900、1200、1500四種角度，十一邊形內(nèi)角和為(n－2)×1800＝(11－2)×1800＝16200.因?yàn)?200×11＜16200＜1500×11，所以這個(gè)十一邊形的內(nèi)角只有1200和1500兩種.設(shè)1200的角有m個(gè)，1500的角有n個(gè)，那么有1200m+1500n＝16200，即4m+5n＝54此方程有唯一正整數(shù)解，所以這個(gè)十一邊形內(nèi)角中有1個(gè)角為1200，10個(gè)角為1500，此十一邊形如下圖.【變式題組】01．如圖是某廣場地面的一局部，地面的中央是一塊正六邊形的地磚，周圍用正三角形和正方形的大理石磚鑲嵌，從里向外共鋪了12層〔不包括中央的正六邊形地磚〕，每一層的外邊界都圍成一個(gè)正多邊形，假設(shè)中央正六邊形的地磚邊長為0.5m，那么第12層的外邊界所圍成的多邊形的周長是___________.02．〔黃岡〕小明的書房地面為210cm×300cm的長方形，假設(shè)僅從方便平面鑲嵌的角度出發(fā)，最適宜選用的地磚規(guī)格為〔〕A．30cm×30cm的正方形， B．50cm×50cm的正方形， C．60cm×60cm的正方形， D．120cm×120cm的正方形，03．正m邊形、正n邊形及正p邊形各取一個(gè)內(nèi)角，其和為3600，求的值.演練穩(wěn)固·反應(yīng)提高01．在一個(gè)頂點(diǎn)處，假設(shè)正n邊形的幾個(gè)內(nèi)角的和為______，那么此正n邊形可鋪滿地面，沒有空隙.02．〔宜昌市〕如圖，用同樣規(guī)格的黑白兩種正方形瓷磚鋪設(shè)正方形地面，觀察圖形并猜測填空：當(dāng)黑色瓷磚為20塊時(shí)，白色瓷磚為______塊，當(dāng)白色瓷磚為n2〔n為正整數(shù)〕塊時(shí)，黑色瓷磚為______塊.03．〔嘉峪關(guān)〕用黑白兩種顏色的正六邊形地板磚按圖所示的規(guī)律拼成如下假設(shè)干地板圖案：那么第n個(gè)圖案中白色的地板磚有______塊.04．如下圖的圖案是由正六邊形密鋪而成，黑色正六邊形周圍的第一層有六個(gè)白色正六邊形，那么第n層有______個(gè)白色正六邊形.05．如果只用一種正多邊形作平面鑲嵌，而且在每一個(gè)正多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)周圍都有6個(gè)正多邊形，那么該正多邊形的邊數(shù)為〔〕A．3 B． 4 C．5 D．606．以下不能鑲嵌的正多邊組合是〔〕A．正三角形與正六邊形 B．正方形與正六邊形 C．正三角形與正方形 D．正五邊形與正十邊形07．用兩種以上的正多邊形鑲嵌必須具備的條件是〔〕A．邊長相同 B．在每一點(diǎn)的交接處各多邊形的內(nèi)角和為1800 C．邊長之間互為整數(shù)倍 D．在每一點(diǎn)的交接處各多邊形的內(nèi)角和為3600，且邊長相等08．〔荊門市〕用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起且相交于一點(diǎn)的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是8，那么第三塊木板的邊數(shù)是〔〕A．4 B．5 C．6 D．809．[自貢(課改)]張珊的父母打算購置形狀和大小都相同的正多邊形瓷磚來鋪衛(wèi)生間的地面，張珊特意提醒父母，為了保證鋪地面時(shí)既沒縫隙、又不重疊，所購瓷磚形狀不能是〔〕A．正三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．正八邊形10．我們常常見到如下圖那樣圖案的地板，它們分別是由正方形、等邊三角形的材料鋪成的，(1)為什么用這樣形狀的材料能鋪成平整、無空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四邊形或不等邊三角形鑲嵌成地板，請畫出圖形.11．某單位的地板由三種各角相等、各邊也相等的多邊形鋪成，假設(shè)它們的邊數(shù)為x、y、z，你能找出x、y、z之間有何種數(shù)量關(guān)系嗎？請說明理由.12．黑色正三角形與白色正六邊形的邊長相等，用它們鑲嵌圖案，方法如下：白色正六邊形分上下兩行，上面一行的正六邊形個(gè)數(shù)比下面一行少一個(gè)，正六邊形之間的空隙用黑色的正三角形嵌滿，按第1,2,3個(gè)圖案[如圖(1)、(2)、(3)]規(guī)律依次下去，那么第n個(gè)圖案中黑色正三角形和白色正六邊形的個(gè)數(shù)分別是〔〕A．n2+n+2，2n+1 B．2n+2，2n+1 C．4n，n2－n+3 D．4n，2n+1第01講全等三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)·方法·破譯1．能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同；2．全等三角形性質(zhì)：①全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；②全等三角形對應(yīng)高、角平分線、中線相等；③全等三角形對應(yīng)周長相等，面積相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，對于兩個(gè)直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，還有HL法；4．證明兩個(gè)三角形全等的關(guān)鍵，就是證明兩個(gè)三角形滿足判定方法中的三個(gè)條件，具體分析步驟是先找出兩個(gè)三角形中相等的邊或角，再根據(jù)選定的判定方法，確定還需要證明哪些相等的邊或角，再設(shè)法對它們進(jìn)行證明；5．．證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)條件，有時(shí)能直接進(jìn)行證明，有時(shí)要證的兩個(gè)三角形并不全等，這時(shí)需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、等倍延長線中線、截取等等.經(jīng)典·考題·賞析【例１】如圖，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么圖中有全等三角形〔〕BACDEFA．5對 BBACDEF【解法指導(dǎo)】從題設(shè)題設(shè)條件出發(fā)，首先找到比擬明顯的一對全等三角形，并由此推出結(jié)論作為下面有用的條件，從而推出第二對，第三對全等三角形.這種逐步推進(jìn)的方法常用到.解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90.∴∠DCB＝90.在△ABC和△DCB中∴△ABC≌∴△DCB〔SAS〕∴∠A＝∠D⑵在△ABE和△DCE中∴△ABE≌∴△DCE∴BE＝CE⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中∴Rt△EFB≌Rt△EFC〔HL〕應(yīng)選C.【變式題組】01．〔天津〕以下判斷中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．有一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等AFCEDB02．〔麗水〕命題：如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，那么AFCEDB03．(上海)線段AC與BD相交于點(diǎn)O,連接AB、DC，E為OB的中點(diǎn)，F(xiàn)為OC的中點(diǎn)，連接EF〔如下圖〕.⑴添加條件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求證：AB＝DC；ABCDOFE⑵分別將“∠A＝∠D”記為①，“∠OEF＝∠OFE”記為②，“AB＝DC”記為③，添加①、③，以②為結(jié)論構(gòu)成命題1；添加條件②、③，以①為結(jié)論構(gòu)成命題2.命題1是______命題，命題2是_______命題〔選擇“真ABCDOFE【例２】AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB.求證：AF＝DE.【解法指導(dǎo)】想證AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需證明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根據(jù)條件找出證明它們?nèi)鹊臈l件.ACEFBD證明：∵FB＝CE∴FB＋EF＝CE＋ACEFBD在△ABE和△DCF中, ∴△ABE≌△DCF〔SSS〕∴∠B＝∠C在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE∴AF＝DE【變式題組】01．如圖，AD、BE是銳角△ABC的高，相交于點(diǎn)O，假設(shè)BO＝AC，BC＝7，CD＝2，那么AO的長為〔〕A．2 B．3 C．4 D．5AAE第1題圖ABCDEBCDO第2題圖02.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是過A點(diǎn)的一條直線，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，那么BD＝__________.\03．〔北京〕：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，CE＝BC，過點(diǎn)E作AC的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)F.求證：AB＝FC.AAFECBD【例３】如圖①，△ABC≌△DEF，將△ABC和△DEF的頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)E重合，把△DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O.⑴當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點(diǎn)B〔E〕、C、D在同一直線上時(shí)，∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是________________;⑵當(dāng)△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時(shí)，⑴中的結(jié)論成立嗎？請說明理由_____________.BB〔E〕OCF圖③FABCDEFAB(E)CDDA圖②圖①【解法指導(dǎo)】⑴∠AFD＝∠DCA⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF,∠ABC＝∠DEF,∠BAC＝∠EDF∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF,∴∠ABF＝∠DEC在△ABF和△DEC中, ∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC,∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA∴∠AFD＝∠DCA【變式題組】01．〔紹興〕如圖，D、E分別為△ABC的AC、BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處.假設(shè)∠CDE＝48°，那么∠APD等于〔〕A．42° B．48° C．52° D．58°02．如圖，Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90° C．AC＝DF D．EC＝CFEEFBABPDEC第1題圖ACDG第2題圖03．一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如以下圖形式，使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上.⑴求證：AB⊥ED；⑵假設(shè)PB＝BC，找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并證明.BBFACENMPDDACBFE【例４】〔第21屆江蘇競賽試題〕，如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB邊上的高，點(diǎn)P在BD的延長線，BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ＝AB.求證：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指導(dǎo)】證明線段或角相等，也就是證線段或角所在的兩三角形全等.經(jīng)觀察，證AP＝AQ,也就是證△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由條件BP＝AC，CQ＝AB，應(yīng)該證△APB≌△QAC，已具備兩組邊對應(yīng)相等，于是再證夾角∠1＝∠2即可.證AP⊥AQ，即證∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.221ABCPQEFD證明：⑴∵BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, ∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQ⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ,∴∠P＋∠PAD＝90°∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ【變式題組】ABCDFE01．如圖，AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，點(diǎn)F是CDABCDFE02．〔湖州市競賽試題〕如圖，在一個(gè)房間內(nèi)有一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為am，此時(shí)梯子的傾斜角為75°，如果梯子底端不動(dòng)，頂端靠在對面的墻上，此時(shí)梯子頂端距地面的垂直距離NB為bm，梯子傾斜角為45°，這間房子的寬度是〔〕A． B． C．bm D．a(chǎn)mAAECBA75°C45°BNM第2題圖第3題圖D03．如圖，五邊形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，那么五邊形ABCDE的面積為__________演練穩(wěn)固·反應(yīng)提高01．〔海南〕圖中的兩個(gè)三角形全等，那么∠α度數(shù)是〔〕A．72° B．60° C．58° D．50°第3題圖第3題圖第1題圖CAODBP第2題圖ACA/BB/aαcca50°b72°58°02．如圖，△ACB≌△A/C/B/，∠BCB/＝30°，那么∠ACA/的度數(shù)是〔〕A．20° B．30° C．35° D．40°03．〔牡丹江〕尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于C、D，再分別以點(diǎn)C、D為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP，由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是〔〕A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS04．〔江西〕如圖，AB＝AD，那么添加以下一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是〔〕A.CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC C.∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90°EE21NABDC第5題圖ABCDEABCD第4題圖第6題圖M05．有兩塊不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起，將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起，如圖，當(dāng)A、B、D不在一條直線上時(shí)，下面的結(jié)論不正確的選項(xiàng)是〔〕A.△ABE≌△CBDB.∠ABE＝∠CBDC.∠ABC＝∠EBD＝45°D.AC∥BE06．如圖，△ABC和共頂點(diǎn)A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.BC交AD于M，DE交AC于N，小華說：“一定有△ABC≌△AED.”小明說：“△ABM≌△AEN.”那么〔〕A.小華、小明都對B.小華、小明都不對C.小華對、小明不對D.小華不對、小明對07．如圖，AC＝EC,BC＝CD,AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度數(shù)是___________.08．如圖，△ABC≌△ADE，BC延長線交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，那么∠DFB的度數(shù)為_______.09．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,DE⊥AB于D,BC＝BD.AC＝3，那么AE＋DE＝______第10題圖第10題圖ABCDE第9題圖EABCDABCDEFOCAEBD第7題圖第8題圖10．如圖，BA⊥AC,CD∥AB.BC＝DE，且BC⊥DE，假設(shè)AB＝2,CD＝6，那么AE＝_____.11．如圖,AB＝CD,AB∥CD.BC＝12cm，同時(shí)有P、Q兩只螞蟻從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行時(shí)間t為多少時(shí)，△APB≌△QDC.DDAC.QP.BDBACEF12．如圖,△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BCDBACEF⑴求證：AE＝CD；⑵假設(shè)AC＝12cm,求BD的長. AEBFDC13．〔吉林〕如圖，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD等于AE，AB平分∠DAEAEBFDC14．如圖，將等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線l上，從另兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別作l的垂線，垂足分別為D、E.BDEBDEClA⑵假設(shè)DE＝a，求梯形DABE的面積.〔溫馨提示：補(bǔ)形法〕AEFBDC15．如圖，AC⊥BC,AD⊥BD,AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別是E、FAEFBDC16．我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會(huì)全等？⑴閱讀與證明：對于這兩個(gè)三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)?；對于這兩個(gè)三角形均為鈍角三角形，可證明它們?nèi)取沧C明略〕；對于這兩個(gè)三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下；△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求證：△ABC≌△A1B1C1.〔請你將以下證明過程補(bǔ)充完整〕AABCDA1B1C1D1⑵歸納與表達(dá)：由⑴可得一個(gè)正確結(jié)論，請你寫出這個(gè)結(jié)論.第02講角平分線的性質(zhì)與判定經(jīng)典·考題·賞析【例１】如圖，OD平分∠AOB，在OA、OB邊上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求證：PM＝PN【解法指導(dǎo)】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲證PM＝PN只需∠3＝∠4，證∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD與△OAD全等即可.證明：∵OD平分∠AOB∴∠1＝∠2在△OBD與△OAD中，∴△OBD≌△OAD∴∠3＝∠4∵PM⊥BD，PN⊥AD所以PM＝PN【變式題組】01．如圖，CP、BP分別平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求證：點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.02．如圖，BD平分∠ABC，AB＝BC，點(diǎn)P是BD延長線上的一點(diǎn)，PM⊥AD，PN⊥CD.求證：PM＝PN【例２】〔天津競賽題〕如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點(diǎn)E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120°，求∠B的度數(shù)【解法指導(dǎo)】由∠1＝∠2，CE⊥AB，聯(lián)想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝(AB＋AD)得DF＝EB，于是可證△CFD≌△CEB，那么∠B＝∠CDF＝60°.或者在AE上截取AM＝AD從而構(gòu)造全等三角形.解：過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，點(diǎn)C是AC上一點(diǎn)，∴CE＝CF在Rt△CFA和Rt△CEA中，∴Rt△ACF≌Rt△ACE∴AF＝AE又∵AE＝(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90°在△CEB和△CFD中，，∴△CEB≌△CFD∴∠B＝∠CDF又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°.【變式題組】01．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求02．(河北競賽)在四邊形ABCD中，AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，對角線AC平分∠BAD，問a與b的大小符合什么條件時(shí)，有∠B＋∠D＝180°，請畫圖并證明你的結(jié)論.【例３】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求證：CE＝BD【解法指導(dǎo)】由于BE平分∠ABC，因而可以考慮過點(diǎn)D作BC的垂線或延長CE從而構(gòu)造全等三角形.證明：延長CE交BA的延長線于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE＝EF，∴CE＝CF∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90°，∴∠1＝∠3在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF∴BD＝CF∴CE＝BD【變式題組】01．如圖，AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA，CD過點(diǎn)E，求證：AB＝AC＋BD.02．如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F.⑴請你判斷FE和FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；⑵求證：AE＋CD＝AC.演練穩(wěn)固·反應(yīng)提高01．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，假設(shè)CD＝n，AB＝m，那么△ABD的面積是〔〕A．mn B．mn C．mn D．2mn02．如圖，AB＝AC，BE＝CE，下面四個(gè)結(jié)論：=1\*GB3①BP＝CP；=2\*GB3②AD⊥BC；=3\*GB3③AE平分∠BAC；=4\*GB3④∠PBC＝∠PCB.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有〔〕個(gè)A． 1 B．2 C．3 D．403．如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是R、S.假設(shè)AQ＝PQ，PR＝PS，以下結(jié)論：=1\*GB3①AS＝AR；=2\*GB3②PQ∥AR；=3\*GB3③△BRP≌△CSP.其中正確的選項(xiàng)是〔〕A． =1\*GB3①=3\*GB3③ B．=2\*GB3②=3\*GB3③ C．=1\*GB3①=2\*GB3② D．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③04．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，那么以下四個(gè)結(jié)論中：=1\*GB3①AD上任意一點(diǎn)到B、C的距離相等；=2\*GB3②AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；=3\*GB3③AD⊥BC且BD＝CD；=4\*GB3④∠BDE＝∠CDF.其中正確的選項(xiàng)是〔〕A．=2\*GB3②=3\*GB3③ B．=2\*GB3②=4\*GB3④ C．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④ D．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④05．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交于E點(diǎn)，那么∠AEB的度數(shù)為〔〕A．50° B．45° C．40° D．35°06．如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，給出以下結(jié)論：=1\*GB3①AD＝AF；=2\*GB3②AB＋EC＝AC＋BE；=3\*GB3③BC＋CF＝AB＋AF；=4\*GB3④點(diǎn)P是△ABC三條角平分線的交點(diǎn).其中正確的序號是〔〕A．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④ B．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③ C．=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④ D．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④07．如圖，點(diǎn)P是△ABC兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，那么以下說法中不正確的選項(xiàng)是〔〕A．點(diǎn)P到△ABC三邊的距離相等 B．點(diǎn)P在∠ABC的平分線上C．∠P與∠B的關(guān)系是：∠P＋∠B＝90° D．∠P與∠B的關(guān)系是：∠B＝∠P08．如圖，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD與CD相交于D.給出以下結(jié)論：=1\*GB3①點(diǎn)D到AB、AC的距離相等；=2\*GB3②∠BAC＝2∠BDC；=3\*GB3③DA＝DC；=4\*GB3④DB平分∠ADC.其中正確的個(gè)數(shù)是〔〕A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)09．如圖，△ABC中，∠C＝90°AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，以下結(jié)論中：=1\*GB3①AD平分∠CDE；=2\*GB3②∠BAC＝∠BDE；=3\*GB3③DE平分∠ADB；=4\*GB3④AB＝AC＋BE.其中正確的個(gè)數(shù)有〔〕A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．4個(gè)10．如圖，BQ是∠ABC的內(nèi)角平分線，CQ是∠ACB的外角平分線，由Q出發(fā)，作點(diǎn)Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別為M、N、K，那么QM、QN、QK的關(guān)系是_________11．如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求證：BE＝CF12．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：AD⊥EF.第3講軸對稱及軸對稱變換經(jīng)典·考題·賞析【例１】〔蘭州〕如下圖，將一張正方形紙片對折兩次，然后在上面打3個(gè)洞，那么紙片展開后是〔〕【解法指導(dǎo)】對折問題即是軸對稱問題，折痕就是對稱軸.應(yīng)選D.【變式題組】01．將正方形紙片兩次對折，并剪出一個(gè)菱形小洞后鋪平，得到的圖形是〔〕02．〔荊州〕如圖，將矩形紙片ABCD沿虛線EF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)G上，點(diǎn)D落在點(diǎn)H上；然后再沿虛線GH折疊，使B落在點(diǎn)E上，點(diǎn)C落在點(diǎn)F上，疊完后，剪一個(gè)直徑在BC上的半圓，再展開，那么展開后的圖形為〔〕【例2】〔襄樊〕如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，將△ABC向右平移兩個(gè)單位長度得到△A’B’C’，那么與點(diǎn)B’關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是〔〕A．〔0，－1〕B．〔1，1〕C．〔2，－1〕D．〔1，－1〕【解法指導(dǎo)】在△ABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔－1，1〕，將△ABC向右平移兩個(gè)單位長度得到△A’B’C’，由點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律可得B’〔－1＋2，1〕，即B’〔1，1〕.由關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律可得點(diǎn)B’關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是〔1，－1〕，故應(yīng)選D.【變式題組】01．假設(shè)點(diǎn)P〔－2，3〕與點(diǎn)Q〔a，b〕關(guān)于x軸對稱，那么a、b的值分別是〔〕A．－2，3B．2，3C．－2，－3D．2，－302．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P〔－3，2〕，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，將點(diǎn)Q向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)R，那么點(diǎn)R的坐標(biāo)是___________.03．〔荊州〕點(diǎn)P〔a＋1，2a－1〕關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第一象限，那么a的取值范圍為___________.【例3】如圖，將一個(gè)直角三角形紙片ABC〔∠ACB＝90°〕，沿線段CD折疊，使點(diǎn)B落在B1處，假設(shè)∠ACB1＝70°，那么∠ACD＝〔〕A．30°B．20°C．15°D．10°【解法指導(dǎo)】由折疊知∠BCD＝∠B1CD.設(shè)∠ACD＝x，那么∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝70°＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋〔70°＋x〕＝90°，故x＝10°.應(yīng)選D.【變式題組】01．〔東營〕如圖，把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)D’、C’的位置.假設(shè)∠EFB＝65°，那么∠AED’等于〔〕A．70°B．65°C．50°D．25°02．如圖，△ABC中，∠A＝30°，以BE為邊，將此三角形對折，其次，又以BA為邊，再一次對折，C點(diǎn)落在BE上，此時(shí)∠CDB＝82°，那么原三角形中∠B＝___________.03．〔江蘇〕⑴觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC〔AB＞AC〕沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片〔如圖①〕；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF〔如圖②〕.小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由.⑵實(shí)踐與運(yùn)用：將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE〔如圖③〕；再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D’處，折痕為EG〔如圖④〕；再展平紙片〔如圖⑤〕.求圖⑤中∠α的大小.【例4】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，E為垂足，EF交BC的延長線于點(diǎn)F，求證：∠B＝∠CAF．【解法指導(dǎo)】∵EF是AD的中垂線，那么可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．從而利用角平分線的定義與三角形的外角轉(zhuǎn)化即可．證明：∵EF是AD的中垂線，∴AE＝DE，∠AEF＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4【變式題組】01．如圖，點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，且BC＝BD＋AD，那么點(diǎn)D在__________的垂直平分線上．02．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，假設(shè)AB＝3cm，那么DC＝___________cm．03．如圖，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，那么∠EAG＝___________．04.△ABC中，AB＝AC，AB邊的垂直平分線交AC于F，假設(shè)AB＝12cm，△BCF的周長為20cm，那么△ABC的周長是___________cm．【例5】〔眉山〕如圖，在3×3的正方形格點(diǎn)圖中，有格點(diǎn)△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF關(guān)于某直線成軸對稱，請?jiān)谙旅娴膫溆脠D中畫出所有這樣的△DEF．【解法指導(dǎo)】在正方形格點(diǎn)圖中，如果條件中沒有給對稱軸，在找對稱軸時(shí)，通常找圖案居中的水平直線、居中的豎直直線或者斜線作為對稱軸．假設(shè)以圖案居中的水平直線為對稱軸，所作的△DEF如圖①②③所示；假設(shè)以圖案居中的豎直直線為對稱軸，所作的△DEF如圖④所示；假設(shè)以圖案居中的斜線為對稱軸，所作的△DEF如圖⑤⑥所示．【變式題組】01．〔泰州〕如圖，在2×2的正方形格點(diǎn)圖中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，請你找出格點(diǎn)圖中所有與△ABC成軸對稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，這樣的三角形共有___________個(gè)．02．〔紹興〕如圖甲，正方形被劃分成16個(gè)全等的三角形，將其中假設(shè)干個(gè)三角形涂黑，且滿足以下條件：⑴涂黑局部的面積是原正方形面積的一半；⑵涂黑局部成軸對稱圖形．如圖乙是一種涂法，請?jiān)趫D1－3中分別設(shè)計(jì)另外三種涂法．〔在所設(shè)計(jì)的圖案中，假設(shè)涂黑局部全等，那么認(rèn)為是同一種不同涂法，如圖乙與圖丙〕【例6】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，假設(shè)牧童從A處出發(fā)牽牛到河岸CD處飲水后回家，試問在何處飲水，所求路程最短？【解法指導(dǎo)】⑴所求問題可轉(zhuǎn)化為CD上取一點(diǎn)M，使其AM＋BM為最小；⑵此題利用軸對稱知識(shí)進(jìn)行解答．解:先作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A’，連接A’B交CD于點(diǎn)M，那么點(diǎn)M為所求，下面證明此時(shí)的AM＋BM最?。C明：在CD上任取與M不重合的點(diǎn)M’，∵AA’關(guān)于CD對稱，∴CD為線段AA’的中垂線，∴AM＝A’M，M’＝A’M’,在△A’M’B中，有A’B＜A’M’＋BM’，∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，即AM＋BM最?。咀兪筋}組】01．〔山西〕設(shè)直線l是一條河，P、Q兩地相距8千米，P、Q兩地到l地距離分別為2千米、5千米，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站向P、Q兩地供水．現(xiàn)在如下四種鋪設(shè)管道方案，圖中的實(shí)線表示輔設(shè)的管道，那么鋪設(shè)的管道最短的是〔〕02．假設(shè)點(diǎn)A、B是銳角∠MON內(nèi)兩點(diǎn)，請?jiān)贠M、ON上確定點(diǎn)C、點(diǎn)D，使四邊形ABCD周長最小，寫出你作圖的主要步驟并標(biāo)明你確定的點(diǎn)．演練穩(wěn)固·反應(yīng)提高01．〔黃岡〕如圖，△ABC與△A’B’C’關(guān)于直線l對稱，且∠A＝78°，∠C’＝48°，那么∠B的度數(shù)是〔〕．A．48°B．54°C．74°D．78°02．〔泰州〕如圖，把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是〔〕A．正三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形03．圖1是四邊形紙片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，假設(shè)將其右下角向內(nèi)折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如圖2所示，那么∠C＝〔〕A．80°B．85°C．95°D．110°04．如圖，陰影局部組成的圖案既是關(guān)于x軸成軸對稱的圖形又是關(guān)于y軸成軸對稱的圖形，假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔1，3〕，那么點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別是〔〕A．M〔1，－3〕，N〔－1，－3〕B．M〔－1，－3〕，N〔－1，3〕C．M〔－1，－3〕，N〔1，－3〕D．M〔－1，3〕，N〔1，－3〕05．點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的對稱點(diǎn)P’的坐標(biāo)是〔－3，5〕，那么點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是〔〕A．〔3，－5〕B．〔－5，3〕C．〔3，5〕D．〔5，3〕06．M〔1－a，2a＋2〕關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)在第二象限，那么a的取值范圍是〔〕A．－1＜a＜1B．－1≤a≤1C．a(chǎn)＞1D．a(chǎn)＞－107．〔杭州〕如圖，鏡子中號碼的實(shí)際號碼是___________．08．〔貴陽〕如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，那么圖中陰影局部的面積為___________cm2.09．點(diǎn)A〔2a＋3b，－2〕和B〔8，3a＋2b〕關(guān)于x軸對稱，那么a＋b＝___________.10．如圖，在△ABC中，OE、OF分別是AB、AC中垂線，且∠ABO＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度數(shù)．11．如圖，C、D、E、F是一個(gè)長方形臺(tái)球桌的4個(gè)頂點(diǎn)，A、B是桌面上的兩個(gè)球，怎樣擊打A球，才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球？請畫出A球經(jīng)過的路線，并寫出作法．12．如圖，P為∠ABC的平分線與AC的垂直平分線的交點(diǎn)，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延長線于N．求證：AN＝MC．13．〔荊州〕有如圖“”的8張紙條，用每4張拼成一個(gè)正方形圖案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形僅為2個(gè)，且使每個(gè)正方形圖案都是軸對稱圖形，在網(wǎng)格中畫出你拼成的圖．〔畫出的兩個(gè)圖案不能全等〕第4講等腰三角形考點(diǎn)·方法·破譯1．等腰三角形及其性質(zhì)有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是軸對稱圖形，因此它的性質(zhì)有：⑴等腰三角形的兩個(gè)底角相等〔即等邊對等角〕；⑵等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合〔即等腰三角形三線合一〕2．等腰三角形的判定證明一個(gè)三角形是等腰三角形的根本方法是：⑴從定義入手，證明一個(gè)三角形有兩條邊相等；⑵從角入手，證明一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，依據(jù)是等腰三角形判定定理；等角對等邊．3．構(gòu)造等腰三角形的常用方法⑴角平分線＋平行線＝等腰三角形⑵角平分線＋垂線〔或高〕＝等腰三角形⑶線段中垂線構(gòu)造等腰三角形⑷將2倍角轉(zhuǎn)化為相等角構(gòu)造等腰三角形經(jīng)典·考題·賞析等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為400，那么這個(gè)等腰三角形的底角為________________.【解法指導(dǎo)】假設(shè)問題中涉及到三角形的高，那么要分別考慮三角形的高是在三角形的外，三角形內(nèi)的情況．解：如圖1，當(dāng)一腰上的高在三角形內(nèi)時(shí)，∠ACD＝400，∴∠A＝500∴∠B＝∠ACB＝如圖2，當(dāng)一腰上的高在三角形外時(shí)，∠ACD＝400，∠DAC＝500∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B∴∠B＝∠ACB＝250，故填650或250.【變式題組】01．〔呼和浩特〕在等腰⊿ABC中，AB＝AC，一邊上的中線BD將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩個(gè)局部，那么這個(gè)等腰三角形的底邊長為〔〕A.7B.11C.7或11D．7或1002.〔黃岡〕在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為500，那么∠B＝___________度．03.〔襄樊〕在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，那么當(dāng)t＝_________秒時(shí)，過D、P兩點(diǎn)的直線將⊿ABC的周長分成兩個(gè)局部，使其中一局部是另一局部的2倍．【例２】如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度數(shù)．【解法指導(dǎo)】圖中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性質(zhì)，用方程的思想求角的度數(shù)．解：設(shè)∠A＝x,

∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x，∵在△ABC中,∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，∴∠A＝36°．【變式題組】01．如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度數(shù)．02．如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的大?。纠场孔鴺?biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A〔2，－2〕，B是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)．假設(shè)⊿AOB是等腰三角形，那么這樣的點(diǎn)B一共有〔〕個(gè)A．4B．5C．6D．8【解法指導(dǎo)】⊿AOB是等腰三角形，但不能確定哪條邊是等腰三角形的底，因而要分三種情況進(jìn)行說明①AO＝OB,②OA＝AB,③BA＝BO,又∵B是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)．要考慮x軸與y軸兩種情況．解：①如圖1，當(dāng)OA是底邊時(shí)，B在OA的中垂線上，又B在坐標(biāo)軸上，因而B是OA中垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；②如圖2，當(dāng)OA為腰時(shí)，假設(shè)O為頂點(diǎn)，那么B在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上，又B在坐標(biāo)軸上，因而B是圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；③如圖3，當(dāng)OA為腰時(shí)，假設(shè)A為頂點(diǎn)，那么B在以A為圓心，OA為半徑的圓上，又B在坐標(biāo)軸上，因而B是圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).應(yīng)選D.【變式題組】01．(海南競賽試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，A〔3，－3〕，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，那么使⊿AOP為等腰三角形的點(diǎn)P共有〔〕A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)02．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是〔0，〕，點(diǎn)C在坐標(biāo)平面內(nèi)．假設(shè)以A、B、C為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形，且底角為30度，那么滿足條件的點(diǎn)C有_________個(gè)．ABABCDPE第2題圖第4題圖第3題圖第2題圖第4題圖第3題圖03.〔南昌〕如圖，長方形紙片ABCD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上一點(diǎn)，∠BEG＞600，現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊，使點(diǎn)B落在紙片中的點(diǎn)H處，連接AH，那么與∠BEG相等的角的個(gè)數(shù)為〔〕A．4B．3C．2D．1ACBMDE(例4題圖)04．〔濟(jì)南〕如下圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，點(diǎn)E是折線段A－D－C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合〕，點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對稱點(diǎn)．在點(diǎn)EACBMDE(例4題圖)A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)【例４】〔棗莊〕兩個(gè)全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如下圖放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說明理由．【解法指導(dǎo)】判斷⊿MEC為等腰直角三角形，M為直角頂點(diǎn)，即想證∠EMC＝900，而⊿ABD為等腰三角形，M是BD的中點(diǎn)，假設(shè)連接AM那么有∠AMD＝900,因而只需證∠DME＝∠AMC,利用全等三角形即可．解：的形狀是等腰直角三角形，理由如下：連接，由題意得：．．又，．．．．又，．．所以的形狀是等腰直角三角形．【變式題組】01．如圖，在等腰直角三角形ABC中，P是斜邊BC的中點(diǎn),以P為直角頂點(diǎn)的兩邊分別與邊AB、AC交于點(diǎn)E、F，當(dāng)∠EPF繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合)，⊿PEF也始終是等腰三角形，請你說明理由．02．如圖，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長線于點(diǎn)F，連接CF交AD于G．⑴求證：AD⊥CF;⑵連接AF，試判斷⊿ACF的形狀，并說明理由．03．如圖，⊿ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO為中線．現(xiàn)將一直角三角板頂點(diǎn)放在點(diǎn)O上并繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，假設(shè)三角板的兩直角邊分別交AC、CB的延長線于點(diǎn)G、H．⑴試寫出圖中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的線段；⑵請選一組你寫出的相等線段給予證明．【例５】我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．⑴請寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；⑵如圖，在中，點(diǎn)分別在上，設(shè)相交于點(diǎn)，假設(shè)，．請你寫出圖中一個(gè)與相等的角，并猜測圖中哪個(gè)四邊形是等對邊四邊形；⑶在中，如果是不等于的銳角，點(diǎn)分別在上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論．【解法指導(dǎo)】證明兩條線段相等時(shí)，假設(shè)兩條線段在同一三角形中，可證明它們所對的角相等．假設(shè)兩條線段在不同的三角形中，那么證它們所在的兩個(gè)三角形全等，假設(shè)三角形不全等，即可通過構(gòu)造全等三角形或等腰三角形解決問題．解：⑴如：平行四邊形、等腰梯形等⑵答：與∠A相等的角是∠BOD〔或∠COE〕，四邊形DBCE是等對邊四邊形；圖1⑶答：此時(shí)存在等對邊四邊形，是四邊形DBCE．圖1證法一：如圖1，作CG⊥BE于G點(diǎn)，作BF⊥CD交CD延長線于F點(diǎn)．∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC為公共邊，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG，∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∴∠BDF＝∠BEC，可證△BDF≌△CEG，∴BD＝CE∴四邊形DBCE是等邊四邊形．圖2證法二：如圖2，以C為頂點(diǎn)作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F點(diǎn)．圖2∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC為公共邊，∴△BDC≌△CFB，∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，∴∠ADC＝∠CFE，∵∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE，∠FEC＝∠A＋∠ABE，∴∠ADC＝∠FEC，∴∠FEC＝∠CFE，∴CF＝CE，∴BD＝CE，∴四邊形DBCE是等邊四邊形．【變式題組】01．如圖，在ABC中，∠B＝2∠C，AD為∠BAC的平分線．求證：AC＝AB＋BD.02．(天津初賽試題)如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝1050，∠ABC＝∠ADC＝450，假設(shè)AB＝2，求CD的長．03．如圖，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F(xiàn)在AC延長線上，BD＝CF．求證DE＝EF.【變式題組】01．(重慶)一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4，那么這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為〔〕A．200B．1200C．200或1200D．360002．〔云南〕等腰三角形的兩邊分別為6和3，那么此等腰三角形周長為〔〕A．9B．15C．15D．12或1503.〔云南〕如圖，等腰ABC的周長為21，底邊BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么BEC的周長為〔〕A．13B．14C．15D．1604．如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，假設(shè)∠A＝180，那么∠GEF的度數(shù)是〔〕A．800B．900C．1000D．108005．如圖，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，那么以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是〔〕A．∠ACD＝∠BB.CH＝CE＝EFC.CH＝HDD.AC＝AF06．如圖，ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,那么以下結(jié)論：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＝CF.其中正確的有〔〕A．①②③B．①②③④C．①②D．①07.〔武漢〕如圖，O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，OA＝OB＝OC,∠ABC＝∠ADC＝700,那么∠DAO＋∠DCO的大小是〔〕A．700B．1100C．1400D．150008．〔濱州〕等腰ABC的周長為10，假設(shè)設(shè)腰長為x，那么x的取值范圍是____________.09．如下圖，在ABC中，AB＝AC，∠A＝360，BC＝2，BD是ABC的角平分線，那么AD＝___________.10．(威海)如圖，AB＝AC，BD＝BC,假設(shè)∠A＝400，那么∠ABD的度數(shù)是_________.11．(烏魯木齊)在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上畫出圖6，并寫下了四個(gè)等式：①，②，③，④．要求同學(xué)從這四個(gè)等式中選出兩個(gè)作為條件，推出是等腰三角形．請你試著完成王老師提出的要求，并說明理由．〔寫出一種即可〕：BEDABEDAC證明：12．〔泰安〕兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)．⑴請找出圖2中的全等三角形，并給予證明〔說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母〕；⑵證明：．圖1圖1圖2DCEAB13.〔包頭〕如圖，中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)．⑴如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；②假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？⑵假設(shè)點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇？AAQCDBP14.〔臨沂〕如圖1，中，，，把一塊含角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在的中點(diǎn)上〔直角三角板的短直角邊為，長直角邊為〕，將直角三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．⑴在圖1中，交于，交于．①證明；②在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板與的重疊局部為四邊形，請說明四邊形的面積是否發(fā)生變化？假設(shè)發(fā)生變化，請說明是如何變化的？假設(shè)不發(fā)生變化，求出其面積；⑵繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長交于，延長交于，是否仍然成立？假設(shè)成立，請給出證明；假設(shè)不成立，請說明理由；圖1圖2圖3⑶繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長交于，延長交于，是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明．圖1圖2圖3第五講等邊三角形經(jīng)典考題賞析【例1】如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，A、C、B三點(diǎn)在一條直線上．AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N．(1)求證：△ACE≌△DCB;(2)求∠AFD的度數(shù)；(3)判斷△CMN的形狀【解法指導(dǎo)】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用全等三角形中邊角的關(guān)系可解決問題．解：(1)∵等邊三角形DAC與等邊三角形EBC∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°∴∠ACE＝∠DCB∴在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB(2)∵∠ACE≌∠DCB,∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DFA＝＝∠2＋∠ACD∴∠AFD＝∠ACD＝60°(3)在△ACM和△DCN中,∴△ACM≌△DCN∴CM＝CN又∵∠DCN＝60°∴△CMN是等邊三角形．【變式題組】01．(天津)如圖，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，那么∠BAC的大小等于__________度02．(荊州)如圖，D是等邊△ABC的邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE，找出圖中的一組全等三角形，并說明理由．03．如圖，在正△ABC中，D,E分別是BC、AC上的一點(diǎn)，且AE＝CD．AD與BE相交于點(diǎn)P，且BQ⊥AD于Q．求證BP＝2PQ04．(黃岡)如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q是BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連接PQ交AC于D，求DE的長．【例2】P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度數(shù)【解法指導(dǎo)】由于∠PAB＝∠PAC,因而PA平分∠BAC,根據(jù)角平分線的特點(diǎn)可構(gòu)造全等三角形，其方法一：在AB邊上截??；方法二：延長AC邊，又由于∠BPA＝150°是特殊角，考慮∠BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延長AC到D，使AD＝AB，連接PD、BD,∵∠PBA＝8°∠PAB＝22°∴∠BPA＝150°，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP∴∠APB＝∠APD＝150°，BP＝DP,∠PBA＝∠APD＝8°∴∠BPD＝60°,∴△BPD是正三角形∵∠PBC＝30°∴∠PBC＝∠DBC在△PBC和△DBC中，∴△PBC≌△DBC,∴PC＝CD∴∠CPD＝∠CDP＝8°∴∠APC＝∠APD一∠CPD＝150°一8°＝142°【變式題組】01．如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，E為ABC外部一點(diǎn)，滿足DA＝DB，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度數(shù)．02．如圖．D是△ABC外一點(diǎn)．AB＝AC＝BD＋CD，∠ABD＝60°求∠ACD的度數(shù)．【例3】如圖(1)，△ABC等邊三角形，△BDC是頂角120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作60°的角，它的兩邊分別與AB、AC交于點(diǎn)M和N，連接MN．(1)探究：MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明;(2)假設(shè)點(diǎn)M、N分別在射線AB、CA上，其他條件不變，再探究線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖(2)中畫出相應(yīng)的圖形．并就結(jié)論說明理由【解法指導(dǎo)】對于(1)，這時(shí)在△DMB中，有∠DBM＝∠DBC＋∠CBA＝30°＋60°＝90°為了把BM，MN，NC集中到一個(gè)三角形中去，將△DMB繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DGC．如圖(3)．從而有MB＝GC．而此時(shí)恰又有△MND≌△GN