2020-2021學(xué)年北京西城區(qū)初三第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷及答案

2020-2021學(xué)年北京西城區(qū)初三第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷及答

案

一、選擇題(本題共24分，每小題3分)第1?8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一

個(gè).

1.在拋物線y=x，-4x-5上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(0,-4)B.(2,0)C.(1,0)D.(-1,0)

2.在半徑為6cm的圓中，60°的圓心角所對弧的弧長是()

A.itcmB.2cmC.3JicmD.6ucm

3.將拋物線y=x?先向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度，所得拋物線的解

析式為()

A.y=(x+3)?+5B.y=(x-3)*2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x-5)2+3

4.2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個(gè)國家曾發(fā)行過

紫禁城元素的郵品.圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和

大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出

相關(guān)的幾何圖形(圖2),我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素(忽略誤差)，圖2中的

四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形，點(diǎn)0是位似中心，點(diǎn)A'是線段0A的中點(diǎn),

那么以下結(jié)論正確的是()

圖1圖2

A.四邊形ABCD與四邊形A'B'CD'的相似比為1：1

B.四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的相似比為1：2

C.四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的周長比為3：1

D.四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的面積比為4：1

5.如圖，AB是。。的直徑，CD是弦，若NCDB=32°，則NABC等于()

D

6.若拋物線丫=a*2+6*+?%關(guān)0)經(jīng)過A(l,0),B(3,0)兩點(diǎn)，則拋物線的對稱軸為()

A.x=lB.x=2C.x=3D.x=4

7.近年來我國無人機(jī)產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展，無人機(jī)駕駛員已正式成為國家認(rèn)可的新職業(yè)，中國民

用航空局的現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從2017年底至2019年底，全國擁有民航局頒發(fā)的民用

無人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約2.44萬人增加到約6.72萬人.若設(shè)2017年底至2019年

底，全國擁有民用無人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長率為X,則可列出關(guān)于x的方程為

()

A.2.44(1+x)=6.72B.2.44(l+2x)=6.72

C.2.44(1+x)i72D.2.44(1-x)2=6.72

'x+4(x〈a)

8.現(xiàn)有函數(shù)y=[如果對于任意的實(shí)數(shù)n,都存在實(shí)數(shù)m,使得當(dāng)x=m時(shí)，

,x2-2x(x〉a)

y=n,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.-5WaW4B.-lWaW4C.-4WaWlD.-4WaW5

二、填空題(本題共24分，每小題3分)

9.若正六邊形的邊長為2,則它的半徑是.

10.若拋物線丫=@*2(aWO)經(jīng)過A(1,3),則該拋物線的解析式為.

11.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°，AC=6,AB=9,則sinB=.

12.若拋物線y=ax)+bx+c(a+0)的示意圖如圖所示，貝!]a0,b0,c0

(填”或

13.如圖，AB為。。的直徑，AB=10,CD是弦，ABLCD于點(diǎn)E,若CD=6,則EB=

14.如圖，PA,PB是。0的兩條切線，A,B為切點(diǎn)，若0A=2,NAPB=60°,則PB=

15.放縮尺是一種繪圖工具，它能把圖形放大或縮小.

制作：把鉆有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分別在點(diǎn)A,B,C,D處連接起來，使得直

尺可以繞著這些點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，0為固定點(diǎn)，OD=DA=CB,DC=AB=BE,在點(diǎn)A,E處分別裝上

畫筆.

畫圖：現(xiàn)有一圖形M,畫圖時(shí)固定點(diǎn)0,控制點(diǎn)A處的筆尖沿圖形M的輪廓線移動(dòng)，此時(shí)

點(diǎn)E處的畫筆便畫出了將圖形M放大后的圖形N.

原理：

若連接0A,0E,可證得以下結(jié)論：

①AODA和△OCE為等腰三角形，則ZDOA=』(180°-ZODA),ZCOE-A(180°-

22

Z)；

②四邊形ABCD為平行四邊形(理由是)；

③NDOA=NCOE,于是可得0,A,E三點(diǎn)在一條直線上;

④當(dāng)駁=3時(shí)，圖形N是以點(diǎn)0為位似中心，把圖形M放大為原來的.倍得到的.

CB5

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P(4,3),。。經(jīng)過點(diǎn)P.點(diǎn)A,點(diǎn)B在y軸上，PA

=PB,延長PA,PB分別交。。于點(diǎn)C,點(diǎn)D,設(shè)直線CD與x軸正方向所夾的銳角為a.

(1)。。的半徑為；

(2)tana=.

三、解答題(本題共52分，第17、18、20?22題每小題5分，第19題6分，第23?25

題每小題5分)

17.計(jì)算：2sin60°-tan45°+cos230°.

18.已知關(guān)于x的方程x?+2x+k-4=0.

(1)如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍：

(2)若k=l,求該方程的根.

19.借助網(wǎng)格畫圖并說理：

如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，點(diǎn)A在BC邊的上方,

ADLBC于點(diǎn)D,BD=4,CD=2,AD=3.以BC為直徑作。0,射線DA交。0于點(diǎn)E,連接

BE,CE.

(1)補(bǔ)全圖形；

(2)填空：/BEC=°,理由是；

(3)判斷點(diǎn)A與。0的位置關(guān)系并說明理由;

(4)ZBACZBEC(填“>”，"=”或“V").

20.二次函數(shù)y=ax、bx+c(aWO)的圖象經(jīng)過(3,0)點(diǎn)，當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)的最小值為-

4.

(1)求該二次函數(shù)的解析式并畫出它的圖象；

(2)直線x=m與拋物線y=ax、bx+c(aWO)和直線y=x-3的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C,點(diǎn)D,

點(diǎn)C位于點(diǎn)D的上方，結(jié)合函數(shù)的圖象直接寫出m的取值范圍.

21.如圖，AB為。。的直徑，AC為弦，點(diǎn)D在。0外，ZBCD-ZA,0D交。0于點(diǎn)E.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若CD=4,AC=2.7,cos/BCD=」L,求DE的長.

20

22.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E在AB邊上，BE=1,F為BC邊的中點(diǎn).將正方形

截去一個(gè)角后得到一個(gè)五邊形AEFCD,點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P可與點(diǎn)E,點(diǎn)F重合),

作矩形PMDN,其中M,N兩點(diǎn)分別在CD,AD邊上.

設(shè)CM=x,矩形PMDN的面積為S.

(1)DM=(用含x的式子表示)，x的取值范圍是

(2)求S與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)要使矩形PMDN的面積最大，點(diǎn)P應(yīng)在何處？并求最大面積.

2

(1)直接寫出該拋物線的對稱軸，以及拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)已知該拋物線經(jīng)過A(3n+4,yjB(2n-1,y2)兩點(diǎn).

①若nV-5,判斷外與力的大小關(guān)系并說明理由；

②若A,B兩點(diǎn)在拋物線的對稱軸兩側(cè)，且yi>yz,直接寫出n的取值范圍.

24.在RtZXABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,BC=?.將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a

(0°<aW120°)得到△A'BC',點(diǎn)A,點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A',點(diǎn)C'.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C'恰好為線段AA'的中點(diǎn)時(shí)，a=°,AN=；

(2)當(dāng)線段AA'與線段CC'有交點(diǎn)時(shí)，記交點(diǎn)為點(diǎn)D.

①在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想線段A1)與A'D的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

②連接BD,請直接寫出BD的長的取值范圍.

25.對于平面內(nèi)的圖形G和圖形的，記平面內(nèi)一點(diǎn)P到圖形心上各點(diǎn)的最短距離為d,點(diǎn)P

到圖形G,上各點(diǎn)的最短距離為也,若&=&,就稱點(diǎn)P是圖形加和圖形的的一個(gè)“等距

點(diǎn)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(6,0),B(0,

(1)在R(3,0),S(2,0),T(1,A/3)三點(diǎn)中，點(diǎn)A和點(diǎn)B的等距點(diǎn)是；

(2)已知直線y=-2.

①若點(diǎn)A和直線y=-2的等距點(diǎn)在x軸上，則該等距點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②若直線y=a上存在點(diǎn)A和直線y=-2的等距點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)記直線AB為直線L,直線k：y=-返x,以原點(diǎn)0為圓心作半徑為r的。0.若

3

00上有m個(gè)直線L和直線k的等距點(diǎn)，以及n個(gè)直線L和y軸的等距點(diǎn)(mWO,nWO),

當(dāng)mWn時(shí)，求r的取值范圍.

2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)九年級(上)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1.在拋物線y=x?-4x-5上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(0,-4)B.(2,0)C.(1,0)D.(-1,0)

【分析】把各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入驗(yàn)證即可.

2

【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-5,因此(0,-4)不在拋物線y=x-4x-5,

當(dāng)x=2時(shí)，y=4-8-5=-9,因此(2,0)不在拋物線y=x2-4x-5±,

當(dāng)x=l時(shí)，y=l-4-5=-8,因此(1,0)不在拋物線y=x，-4x-5上，

當(dāng)x=-1時(shí)，y=l+4-5=0,因此(-1,0)在拋物線y=x2-4x-5上，

故選：D.

2.在半徑為6cm的圓中，60°的圓心角所對弧的弧長是()

A.ncmB.2ncmC.3ncmD.6ncm

【分析】弧長公式為迎K,把半徑和圓心角代入公式計(jì)算就可以求出弧長.

180

【解答】解：弧長為：6°兀(加).

180

故選：B.

3.將拋物線y=x?先向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度，所得拋物線的解

析式為()

A.y=(x+3)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x-5)2+3

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行求解.

【解答】解：將拋物線y=x?先向右平移3個(gè)單位長度，得：y=(x-3)2；

再向上平移5個(gè)單位長度，得：y=(x-3)、5,

故選：B.

4.2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個(gè)國家曾發(fā)行過

紫禁城元素的郵品.圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和

大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出

相關(guān)的幾何圖形(圖2),我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素(忽略誤差)，圖2中的

四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形，點(diǎn)0是位似中心，點(diǎn)A'是線段OA的中點(diǎn)，

那么以下結(jié)論正確的是（）

圖1圖2

A.四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的相似比為1：1

B.四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的相似比為1：2

C.四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的周長比為3：1

D.四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的面積比為4：1

【分析】先利用位似的性質(zhì)得到A'B'：AB=1：2,然后根據(jù)相似的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【解答】解：???四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形，點(diǎn)0是位似中心，點(diǎn)A'是

線段0A的中點(diǎn)，

.\0A,：OA=1：2,

.?.A'B'：AB=1：2,

四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的相似比為2：1,周長的比為2：1,面積比為4：1.

故選:D.

5.如圖，AB是。。的直徑，CD是弦，若/CDB=32°,則/ABC等于（）

【分析】先由圓周角定理可知/ACB=90°,再求出NADC=58°,然后由圓周角定理求

解即可.

【解答】解：：AB是。。的直徑，

.\ZADB=90o,

.".ZADC+ZCDB=90°,

.\ZADC=90°-/CDB=90°-32°=58°，

VZABC=ZADC,

AZABC=58°,

故選：C.

6.y=ax2+bx+c(a^O)A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，則拋物線的對稱軸為()

A.x=lB.x=2C.x=3D.x=4

【分析】由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性可求得答案.

【解答】解：?拋物線y=x、bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，

...拋物線對稱軸為直線x=上坦_=2,

2

故選：B.

7.近年來我國無人機(jī)產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展，無人機(jī)駕駛員已正式成為國家認(rèn)可的新職業(yè)，中國民

用航空局的現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從2017年底至2019年底，全國擁有民航局頒發(fā)的民用

無人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約2.44萬人增加到約6.72萬人.若設(shè)2017年底至2019年

底，全國擁有民用無人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長率為x,則可列出關(guān)于x的方程為

()

A.2.44(1+x)=6.72B.2.44(l+2x)=6.72

C.2.44(1+x)\6.72D.2.44(1-x)2=6.72

【分析】設(shè)年平均增長率為x,根據(jù)2017年及2019年的全國擁有民航局頒發(fā)的民用無人

機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：設(shè)2017年底至2019年底，全國擁有民用無人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增

長率為X,

則可列出關(guān)于x的方程為2.44(1+x)2=6.72,

故選：C.

x+4(a)

8.現(xiàn)有函數(shù)y=.如果對于任意的實(shí)數(shù)n,都存在實(shí)數(shù)m,使得當(dāng)x=m時(shí),

x?-2x(x》a)

y=n,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.-5<aW4B.-lWaW4C.-4WaWlD.-4WaW5

【分析】求得直線y=x+4與拋物線y=x、2x的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后觀察圖象即可求得a的

取值范圍.

【解答】解：令x+4=x?-2x,

整理得，X-3x-4=0,

解得xi=-1,xz=4,

由圖象可知，當(dāng)-lWaW4時(shí)，對于任意的實(shí)數(shù)n,都存在實(shí)數(shù)m,使得當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)

y=n,

9.若正六邊形的邊長為2,則它的半徑是2.

【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出NB0C的度數(shù)，判斷出ABOC

為等邊三角形即可求出答案.

【解答】解：如圖所示，連接OB、0C；

;此六邊形是正六邊形，

??.ZBOC=36QO=60°，

6

VOB=OC,

；.△!?)(：是等邊三角形，

.\0B=0C=BC=2.

B

10.若拋物線丫=@/(aWO)經(jīng)過A(1,3),則該拋物線的解析式為y=3x"

【分析】把把A(1,3)代入y=ax?(aWO)中，可得a=3,即可得出答案.

【解答】解：把A(1,3)代入y=ax?(aWO)中，

得3=aX/，

解得a=3,

所以該拋物線的解析式為y=3x2.

故答案為：y=3x2.

11.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,AB=9,則sinB=_Z_.

【分析】根據(jù)正弦的定義解答即可.

【解答】解：在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,AB=9,

則sinB=/=旦=2,

AB93

故答案為：1.

3

12.若拋物線y=ax：'+bx+c(a+0)的示意圖如圖所示，則a>0,b<0,c<0

(填”或

【分析】根據(jù)拋物線的開口方向得到a>0,利用對稱軸位置得到b<0,由拋物線與y軸

交于負(fù)半軸得到c<0.

【解答】解：???拋物線開口方向向上，

...a>0,

:對稱軸在y軸的右側(cè)，

Ab<0,

?.?拋物線與y軸交于負(fù)半軸，

.\c<0.

故答案為〉，<,<.

13.如圖，AB為。。的直徑，AB=10,CD是弦，ABLCD于點(diǎn)E,若CD=6,則EB=1

【分析】連接03根據(jù)垂徑定理得出CE=ED=1JCD=3,然后在RtaOEC中由勾股定理

求出0E的長度，即可得出結(jié)果.

【解答】解：連接0C,如圖所示：

:弦CDJ_AB于點(diǎn)E,CD=6,

.".CE=ED=ACD=3,

2

?.?在RtZXOEC中，Z0EC=90°,CE=3,0C=2AB=5,

2

0E=—4,

ABE=OB-OE=AAB-0E=5-4=1,

故答案為：1.

14.如圖，PA,PB是。0的兩條切線，A,B為切點(diǎn)，若0A=2,ZAPB=60°,則PB=2y.

【分析】由題意可得：ZAP0=ZBP0=AZAPB=30°,AO±AP,PA=PB,即可求PB的

2

長度.

【解答】解：：PA、PB是。0的兩條切線，ZAPB=60°,0A=0B=2,

...NBPO=1_NAPB=3O°,B01PB.

2

；.P0=2A0=4,

?**PB=^po2-OB2=V42-22=

故答案是：2\[^.

15.放縮尺是一種繪圖工具，它能把圖形放大或縮小.

制作：把鉆有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分別在點(diǎn)A,B,C,D處連接起來，使得直

尺可以繞著這些點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，0為固定點(diǎn)，OD=DA=CB,DC=AB=BE,在點(diǎn)A,E處分別裝上

畫筆.

畫圖：現(xiàn)有一圖形M,畫圖時(shí)固定點(diǎn)0,控制點(diǎn)A處的筆尖沿圖形M的輪廓線移動(dòng)，此時(shí)

點(diǎn)E處的畫筆便畫出了將圖形M放大后的圖形N.

原理：

若連接0A,0E,可證得以下結(jié)論：

①4ODA和AOCE為等腰三角形，則ND0A=」(180°-ZODA),ZC0E=A(180°-Z

22

OCE)；

②四邊形ABCD為平行四邊形(理由是兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)；

③NDOA=NCOE,于是可得0,A,E三點(diǎn)在一條直線上;

④當(dāng)匹_=3時(shí)，圖形N是以點(diǎn)0為位似中心，把圖形M放大為原來的—其.倍得到的.

【分析】①由等腰三角形的性質(zhì)可求解；

②由平行四邊形的判定可求解；

③由圖形可直接得到，

④通過證明△AODs/iEOC,可得見=3x+5x=3,即可求解.

OD5x5

【解答】解：①?二△ODA和AOCE為等腰三角形，

.,.ZI)OA=A(180°-NODA),ZCOE=A(1800-ZOCE)；

22

②?.?AD=BC,DC=AB,

四邊形ABC!)為平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形);

③連接0A,AE,

VZDOA=ZCOE,

...0,A,E三點(diǎn)在一條直線上；

④...匹=3,

BC5

設(shè)CD=AB=BE=3x,0D=AD=BC=5x,

,/四邊形ABCI）是平行四邊形，

；.AD〃BC,

.".△AOD^AEOC,

?PC=3x+5x-8

,,0D5xT

???圖形N是以點(diǎn)0為位似中心，把圖形M放大為原來的區(qū),

5

故答案為：OCE；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；1.

5

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P(4,3),。。經(jīng)過點(diǎn)P.點(diǎn)A,點(diǎn)B在y軸上，PA

=PB,延長PA,PB分別交。0于點(diǎn)C,點(diǎn)D,設(shè)直線CD與x軸正方向所夾的銳角為a.

(1)0()的半徑為5；

【分析】(1)結(jié)論0P,利用勾股定理求解即可.

(2)設(shè)CD交x軸于J,過點(diǎn)P作PTLAB交00于T,交0C于E,連接CT,DT,0T.求

出tan/POE,再證明/CJO=NPOE即可.

【解答】解：(1)連接0P.

VP(4,3),

，0P=疹幣=5，

故答案為：5.

(2)設(shè)CD交x軸于J,過點(diǎn)P作PTJ_AB交。0于T,交0C于E,連接CT,DT,0T.

VP(4,3),

.?.PE=4,0E=3,

在RtZ\OPE中，tan/POE=n=_l,

OE3

VOE±PT,OP=OT,

.\ZPOE=ZTOE,

ZPDT=AZPOT=ZPOE,

2

VPA=PB.PE1AB,

???NAPT=NDPT,

.?.TC=DT，

AZTDC=ZTCD,

???PT〃x軸，

.\ZCJO=ZCKP,

VZCKP=ZTCK+ZCTK,ZCTP=ZCDP,ZPDT=ZTDC+ZCDP,

AZTDP=ZCJO,

AZCJO=ZPOE,

tanZCJO=tanZPOE=A

三.解答題

17.計(jì)算：2sin60°-tan450+cos230°.

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案.

【解答】解：原式=2X喙-1+(孚)2

=F-10

=y一

18.已知關(guān)于x的方程d+2x+k-4=0.

(1)如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍;

(2)若k=l,求該方程的根.

【分析】(1)根據(jù)根的判別式△>(),即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得

出k的取值范圍；

(2)將k=l代入方程--3x+k-1=0,解方程即可求出方程的解.

【解答】解：(1)A=22-4X1X(k-4)=20-4k.

???方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

.,.△>0.

.\20-4k>0,

解得k<5；

(2)當(dāng)k=l時(shí)，原方程化為x?+2x-3=0,

(x-1)(x+3)=0,

x-1=0或x+3=0,

解得xi=l,x2=-3.

19.借助網(wǎng)格畫圖并說理：

如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，點(diǎn)A在BC邊的上方,

AD_LBC于點(diǎn)D,BD=4,CD=2,AD=3.以BC為直徑作射線DA交00于點(diǎn)E,連接

BE,CE.

(1)補(bǔ)全圖形；

(2)填空：ZBEC=90°,理由是直徑所對的圓周角是直角；

(3)判斷點(diǎn)A與(DO的位置關(guān)系并說明理由；

(4)ZBAC<ZBEC(填“>”，"=”或

(2)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角.

(3)求出0A的長與半徑半徑可得結(jié)論.

(4)利用圖像法解決問題即可.

【解答】解：(1)補(bǔ)全圖形見圖1.

(2)；BC是直徑，

.../BEC=90°(直徑所對的圓周角是直角).

故答案為：90,直徑所對的圓周角是直角.

(3)點(diǎn)A在。0外.

理由如下：連接OA.

VBD=4,CD=2,

；.BC=BD+CD=6,r=^=3.

2

VAD±BC,

AZODA=90°,

在RtZ\AOD中，AD=3,OD=BD-OB=1,

OA=7OD2+AD2=V12+32=VlO-

vVIo>3,

.\0A>r,

.?.點(diǎn)A在。0外.

(4)觀察圖像可知：ZBAC<ZBEC.

故答案為：<.

20.二次函數(shù)y=ax、bx+c(aWO)的圖象經(jīng)過(3,0)點(diǎn)，當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)的最小值為-

4.

(1)求該二次函數(shù)的解析式并畫出它的圖象；

(2)直線x=m與拋物線y=ax2+bx+c(aWO)和直線y=x-3的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C,點(diǎn)D,

點(diǎn)C位于點(diǎn)D的上方，結(jié)合函數(shù)的圖象直接寫出m的取值范圍.

【分析】(1)設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-1)2-4(aWO),再把(3,0)代入求出a得到拋物線

解析式，然后利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)圖象；

(2)先畫出直線y=x-3,則可得到直線y=x-3與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),(3,

0),然后寫出拋物線在直線y=x-3上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.

【解答】解：(1)?.,當(dāng)x=l時(shí),二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aWO)的最小值為-4,

二二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為(1,-4),

二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=a(x-1)2-4(ar。)，

?.?二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(3,0)點(diǎn)，

，a(3-1)2-4=0.

解得a—l.

...該二次函數(shù)的解析式為y=(x-1)2-4；

如圖，

(2)由圖象可得mVO或m>3.

21.如圖，AB為。0的直徑，AC為弦，點(diǎn)D在。0外，ZBCD=ZA,0D交。。于點(diǎn)E.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若CD=4,AC=2.7,cosNBCD=2,求DE的長.

20

c

I、/ED

B

【分析】(1)連接OC.由圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)證得N0CD=90°.則可得出結(jié)

論；

(2)由銳角三角函數(shù)求出AB的長，得出0C=3,由勾股定理求出0D=5,則可得出答案.

TAB為。。的直徑，AC為弦，

AZACB=90°,Z0CB+ZAC0=90°.

V0A=0C,

.\ZAC0=ZA.

VZBCD=ZA,

???NAC0=NBCD.

.\Z0CB+ZBCD=90o.

AZ0CD=90°.

???CD_LOC.

TOC為。。的半徑，

???CD是。0的切線；

(2)解：VZBCD=ZA,cos/BCD=a,

20

.".cosA=cosZBCD=-^-.

20

在RtZ\ABC中，ZACB=90°，AC=2.7,COSA=A.

20

.?.AB=/-="^=6.

cosA9

20

，0C=0E=_^=3.

2

在RtZXOCD中，/0CD=90°,0C=3,CD=4,

OD-7OC2CD2=732+42=5-

，DE=OD-0E=5-3=2.

22.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E在AB邊上，BE=1,F為BC邊的中點(diǎn).將正方形

截去一個(gè)角后得到一個(gè)五邊形AEFCD,點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P可與點(diǎn)E,點(diǎn)F重合),

作矩形PMDN,其中M,N兩點(diǎn)分別在CD,AD邊上.

設(shè)CM=x,矩形PMDN的面積為S.

(1)DM=4-x(用含x的式子表示)，x的取值范圍是OWxWl；

(2)求S與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)要使矩形PMDN的面積最大，點(diǎn)P應(yīng)在何處？并求最大面積.

【分析】(1)DM=DC-CM,正方形ABCD的邊長為4,CM=x,結(jié)合題意可知點(diǎn)M可與點(diǎn)C、

D重合，從而求得x的取值范圍；

(2)如圖，延長MP交AB于G,證明△EGPs^EBF,求解PG=2-2X,從而可得DN=PM

=2+2x,再根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式；

(3)由S=-2x、6x+8可得該拋物線開口向下，對稱軸是直線x=3,從而得到當(dāng)xVg

22

時(shí)，y隨x的增大而增大；再結(jié)合x的取值范圍為OWxWl求得答案.

【解答】解：(1)?.?正方形ABCD的邊長為4,CM=x,BE=1,

；.DM=DC-CM=4-x,其中OWxWL

故答案是：4-x,04xWl；

(2)如圖，延長MP交AB于G,

?.?正方形ABCD的邊長為4,F為BC邊的中點(diǎn)，四邊形PMDN是矩形，CM=x,BE=1,

BF=FC=%C=2,BG=MC=x,GM=BC=4,

2

.,.△EGP^AEBF,EG=1-x,

-EG_=PG即E-x=GG

?,麗W丁V

；.PG=2-2x,

；.DN=PM=GM-PG=4-(2-2x)=2+2x,

AS=DM*DN=(4-x)(2x+2)=-2x?+6x+8,其中OWxWl.

(3)由(2)知,S=-2x、6x+8,

Va=-2<0,

此拋物線開口向下，對稱軸為x=--L=3,即￡駕，

2a22

.?.當(dāng)x<3時(shí)，y隨x的增大而增大.

2

Vx的取值范圍為OWxWl,

.?.當(dāng)x=l時(shí)，矩形PMDN的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，此時(shí)最大面積為12.

2

(1)直接寫出該拋物線的對稱軸，以及拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)已知該拋物線經(jīng)過A(3n+4,y)B(2n-1,y2)兩點(diǎn).

①若n<-5,判斷力與yz的大小關(guān)系并說明理由；

②若A,B兩點(diǎn)在拋物線的對稱軸兩側(cè)，且打>丫2,直接寫出n的取值范圍.

【分析】(1)由對稱軸公式即可求得拋物線的對稱軸，令x=O,求得函數(shù)值，即可求得

拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)①由n<-5,可得點(diǎn)A,點(diǎn)B在對稱軸直線x=l的左側(cè)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解；

(3)分兩種情況討論，列出不等式組可求解.

【解答】解：(1),.?y=2>x'+x,

2

...對稱軸為直線X=——、-=-1,

2X2

令x=0,貝Iy=0,

，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

(2)XA-XB=(3n+4)-(2n-l)=n+5,x?-l=(3n+4)-l=3n+3=3(n+1),xB-1

=(2n-1)-l=2n-2=2(n-1).

①當(dāng)n<-5時(shí)，XA-l<0,XB-l<0,xA-xB<0.

AA,B兩點(diǎn)都在拋物線的對稱軸x=l的左側(cè)，且XAVXB,

?.,拋物線y=lx2+x開口向下，

2

...在拋物線的對稱軸x=l的左側(cè)，y隨x的增大而增大.

?*.yi<y2；

②若點(diǎn)A在對稱軸直線x=l的左側(cè)，點(diǎn)B在對稱軸直線x=l的右側(cè)時(shí)，

’3n+4〈l

由題意可得?2n-l>l,

1~(3n+4)〉(2n-l)~1

.?.不等式組無解，

若點(diǎn)B在對稱軸直線x=l的左側(cè)，點(diǎn)A在對稱軸直線x=l的右側(cè)時(shí)，

'3n+4>l

由題意可得：，2n-l<l,

1-(2nT)<3n+4-l

-A<n<l,

5

綜上所述：-L<n<L

5

24.在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,BC=“.將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a

(0°<aW120°)得到AA'BC，點(diǎn)A,點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A',點(diǎn)C'.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C'恰好為線段AA'的中點(diǎn)時(shí)，a=60°,AA'=2；

(2)當(dāng)線段AA'與線段CC'有交點(diǎn)時(shí)，記交點(diǎn)為點(diǎn)D.

①在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想線段AD與A'D的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

②連接BD,請直接寫出BD的長的取值范圍.

【分析】（1）證明AABA'是等邊三角形即可解決問題.

（2）①根據(jù)要求畫出圖形.結(jié)論：AD=A'D.如圖2,過點(diǎn)A作A'C'的平行線，交CC'

于點(diǎn)E,記N1=B.證明AADE也△△'□（：'（AAS）,可得結(jié)論.

②如圖1中，當(dāng)a=60°時(shí)，BI）的值最大，當(dāng)a=120°時(shí)，BI）的值最小，分別求出最

大值，最小值即可.

【解答】解：(1)；NC=90°,BC=e，ZABC=30°,

.*.AC=BC?tan300=1,

；.AB=2AC=2,

：BA=BA',ACZ=A'C',

.\ZABC,=NA'BC'=30",

...△ABA'是等邊三角形，

a=60°,AA'=AB=2.

故答案為：60,2.

(2)①補(bǔ)全圖形如圖所示：結(jié)論