2022-2023學(xué)年甘肅省定西市臨洮縣高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬卷（含解析）

2022-2023學(xué)年甘肅省定西市臨洲縣高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬卷

（含解析）

一、單選題

2

1.已知Sina=則8s2α等于（）

A.-且B.正C.-

339

【正確答案】C

【分析】利用二倍角的余弦公式可求得CoS%的值.

【詳解】因?yàn)镾ina=K!∣cos2a=l-2sin2a=l-2×f-=L

3UJ9

故選：C.

2.如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是

A.該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體

B.該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)

C.該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形

D.該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，其余均為三角形

【正確答案】D

【分析】根據(jù)幾何體的直觀圖，得出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，由此判斷選項(xiàng)A、B、C正確，

選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

【詳解】根據(jù)幾何體的直觀圖，得

該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體，

且有棱MA、MB、MC,MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND,共12條；

頂點(diǎn)是M、A、B、C、D和N共6個(gè)；

且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、?NBC,面NCD和面NDA共個(gè),

且每個(gè)面都是三角形.

所以選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選D.

本題考查了利用空間幾何體的直觀圖判斷兒何體結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.

3.已知復(fù)數(shù)Z=3—4i,三為Z的共朝復(fù)數(shù)，則三=()

【正確答案】C

【分析】求出復(fù)數(shù)W,再利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算計(jì)算作答.

【詳解】因z=3-4i,則z=3+4i,

,,z3+4i(3+4i)2-7+24i724.

所cr以一=----=------——=-------=——+—1.

Z3-4i(3-4i)(3+4i)252525

故選：C

4.正方形(X4'3'C'的邊長(zhǎng)為ICm,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周

C.(2+3&卜mD.(2+2Kkm

【正確答案】A

【分析】由三視圖得原圖形的形狀，結(jié)構(gòu)，得邊長(zhǎng)后可得周長(zhǎng).

【詳解】作出原圖形如下圖所示:

由三視圖知原圖形是平行四邊形如圖，OA=O'A'=?cm,OBLOA,

OB=20'B'=2√2cm，AB=Jl2+(2可=3cm,

所以平行四邊形OWC的周長(zhǎng)是8cm.

故選：A.

5.已知M=l,W=2,且°與匕的夾角為2，則()

A.√7B.2√2C.√FθD.√19

【正確答案】A

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得Ia-GN的值.

【詳解】因?yàn)閃=I,W=2,且°與〃的夾角為,

由平面向量數(shù)量積的定義可得“?∕>=∣<∕∣?∣?∣cos?^=1×2×^=>∣3,

因此，|?-√3?∣=J(Λ-√3?)2=JaI+參一2忌Jb=√l+3×22-2√3×√3=√7.

故選：A.

6.函數(shù)/(x)=Ig(Sin2χ-cos2%)的定義域是

A.∣x∣2?^?-^-<x<2kπ+^,k∈ZjB.jx12kπ÷?<x<2kπ÷,k≡Z

C.∣x∣?^--^-<x<Λ^+?^Λ∈2,jD.{κ∣女萬(wàn)+；<x<ATT+,,kez}

【正確答案】D

【詳解】根據(jù)題意，由于sin?尤>cos2X<=>cos2x<0=2x∈QkTl+?,2kπ+?),

TT3TF

分析求解可知X得取值范圍是{xk%+f<%<kπ+=,k∈Z},故選D.

44

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的函數(shù)值域來(lái)得到變量的取值范圍，結(jié)合圖像來(lái)得到，屬

于基礎(chǔ)題.

7.設(shè)點(diǎn)P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，且2PA+2PB+PC=0，則S(WiP：?仙阮.=()

【正確答案】A

【分析】設(shè)AB的中點(diǎn)是點(diǎn)"由題得"=-嚴(yán)，所以點(diǎn)P是8上靠近點(diǎn)。的五等分

點(diǎn)，即得解?

【詳解】設(shè)AB的中點(diǎn)是點(diǎn)

,/PA+PB=2PD=--PC,

2

1

.,.PD=——PC,

4

點(diǎn)尸是CD上靠近點(diǎn)D的五等分點(diǎn)，

ΔABP的面積為ΔABC的面積的｝

故選：A

本題主要考查向量的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

8.如圖，某人在一條水平公路旁的山頂P處測(cè)得小車在A處的俯角為30,該小車在公路

上由東向西勻速行駛7.5分鐘后,到達(dá)B處,此時(shí)測(cè)得俯角為45.已知小車的速度是20km∕h,

且COSNAOB=-M,則此山的高Po=()

8

【正確答案】A

由題意作圖可得NAPO=60,NBPO=45,設(shè)PO=h,在RtAPoA,RLPOB中

求出AO=G/?,BO=h,在.4。B中，由余弦定理列方程即可求解.

P

【詳解】

B乙J-44

由題意可知：尸。/平面AOB,ZAPO=90-30=60,NBPO=90-45=45,

75

AB=20×—=2.5km,

60

A0?Q

設(shè)PO=h,在-POA中，tanZ.APO———,tan60=---,所以40=?∣3h，

POh

在.POB中,tanNBPO=段，tan45=半，所以Bo=/?,

POh

在.AOB中，由余弦定理可得：AB2=AO2÷BO2-2AO×BOcosZAOB,

J5fΓ?2,52=(√3ΛV+Λ2-2√3∕!×Λ×∣,即生外="，解得：仁1，

v'(8)44

所以山的高PO=1,

故選：A.

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)=SinX+cosx,則()

A./(x)的最大值為正

B./(x)的最小正周期為萬(wàn)

C./卜+￡|是偶函數(shù)

D.將y=∕(x)圖象上所有點(diǎn)向左平移1個(gè)單位，得至IJg(X)=SinX-c。SX的圖象

【正確答案】AC

【分析】先將原式整理，得到/(x)=√∑sin(x+?),進(jìn)而可得最大值，判定A正確；得出

最小正周期，判定B錯(cuò)；根據(jù)函數(shù)奇偶性，判定C正確；根據(jù)函數(shù)圖象平移原則，判定D

錯(cuò).

【詳解】/(x)=SinX+cosX=&sin(x+",

因?yàn)閤eR,所以x+(eR,因此Sin(X+()e[-1,1],則/(x)nuχ=0,故A正確;

最小正周期為T=2萬(wàn)，故B錯(cuò)；

∕fx+^=√2sinfΛ+y‰√2cosΛ,所以/(x+?)是偶函數(shù)，即C正確；

將，=/(x)圖象上所有點(diǎn)向左平移1個(gè)單位，得到

y=sin卜+?+8S卜+S=8sxτinx,

故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

本題主要考查求三角函數(shù)的最值，最小正周期，判定三角函數(shù)的奇偶性，求平移后的解析式,

屬于?？碱}型.

10.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中不氐璇的是()

A.α=(g'k)b=(%,8),若)〃:,則A=6

B.單位向量"(1,0),F=(O/)，則∣3i-4∕∣=5

C.若“?c=b?c且c≠0,則α=/,

D.若點(diǎn)G為，ABC的重心，則GA+G8+GC=0

【正確答案】AC

利用向量共線的坐標(biāo)表示即可判斷A,將忖-4/1=(3>4/丫展開(kāi)后結(jié)合N=1,∣7?∣=l,i?j=0

即可判斷B,向量數(shù)量積不滿足消去律，可判斷選項(xiàng)C,根據(jù)向量的線性運(yùn)算及三角形重心

的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D.

119

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閃//7,則5、8=42,解得：k=±6,故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：∣3Z-4∕∣2=(3/-4/)2=9Γ+16J2-24Z√=9+16-0=25,所以

∣3∕-V∣=5,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)向量的幾何意義可知若α?c=6?c且c≠0,貝L=心不一定成立，故選項(xiàng)C

不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：若點(diǎn)G為ΛBC的重心，取AB的中點(diǎn)O,則GA+GB+GC

=2GO+GC=0,故選項(xiàng)D正確，

故選：AC

11.如圖，四棱錐S-AB8的底面ABCZ）為正方形，SDL底面ABCO,則下列結(jié)論中正確

的有（）

A.AC_LSB

B.AB//平面SeD

C.與平面ABCr）所成角是NSw

D.AB與BC所成的角等于OC與SC所成的角

【正確答案】ABC

【分析】利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用線面平行的判定定理可判斷B選項(xiàng)；利

用線面角的定義可判斷C選項(xiàng)；利用線線角的定義可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅蜛BC。為正方形，則AC183,

因?yàn)镾O_L平面ABC。，ACU平面ABCD,所以，AClSD,

因?yàn)镾r）BD=D,SD、BDu平面SBD,所以，ACj_平面S3D,

因?yàn)镾Bu平面S8Z）,所以，ACLSB,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅蜛BC。為正方形，則48〃C￡）,

又因?yàn)锳Ba平面ScD,Cr）U平面Sc0,所以，AB〃平面SC。，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)镾DJ_平面43。。，所以，與平面ABCz）所成角是NSAr）,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)棣獴13C,SO_L平面ABC。，CDu平面ABCr）,

所以，SDlCD,所以，NSCo為銳角，

所以，AB與BC所成的角為直角，DC與SC所成的角為銳角，

故AB與BC所成的角不等于OC與SC所成的角，D錯(cuò).

故選：ABC.

12.如圖，AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的三條邊長(zhǎng)分別是a,b,c,NABC為鈍角，

BDLAB,cos2ZABC=~,c=2,〃=至,則下列結(jié)論正確的有（）

255

B

?.√5

A.sinAλ=——B.BD=2

5

4

C.5CD=3DAD.ACBO的面積為M

【正確答案】AC

由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可求COSNABC的值，利用余弦定理求得C的值，再計(jì)算

sinA,由同角的三角函數(shù)關(guān)系求出CoSA,根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系求出A￡),BD,CZ)的

值，再計(jì)算ΔBCD的面積從而得解.

77

【詳解】解：由cos2NABC=,得：2cos2ZABC-I=-一，

2525

又角/ABC為鈍角，

3

解得：cosZ.ABC=——,

643

由余弦定理/=a2+c2-2accosZABC,得：—=rz2+4-4t∕(-∣),

解得。=2,可知ΔABC為等腰三角形，即A=C,

所以cosNABC=—cos2A=-(1-2siι√A)=-|,

解得SinA=且，故A正確，

5

可得COSA=JI-S濟(jì)A=~~，

在∕?ΔA3。中，?=cosA,得Ao=√？,可得3。==。5-4=1，故B錯(cuò)誤，

ZiLx

rγ3√5

CD=h-AD=--^=-,可得￡￡=3_=3，可得58=3D4,故C正確，

55DAy/55

所以ΔβCD的面積為SASe=gαxCOSinC=；x2x半堂=?∣,故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

利用正弦、余弦定理解三角形，利用S4Ba,=JaxCOXSinC求三角形的面積.

三、填空題

13.如圖是表示一個(gè)正方體表面的一種平面展開(kāi)圖，圖中的四條線段A8、CD、1和GH在

原正方體中相互異面的有對(duì)

【分析】還原正方體，標(biāo)記出各點(diǎn)所處的位置，觀察圖象可得結(jié)果.

【詳解】如圖，將各點(diǎn)在原圖中標(biāo)記出來(lái)，觀察發(fā)現(xiàn)，在A8、CD、E尸和GH四條線中,

相互異面的只有3對(duì)：EF和GH、ABfUCD,Gb和AB.

故3.

14.如圖，在正方體ABeO—ABQQ中，M、N分別是C。、CG的中點(diǎn)，則異面直線AM

與DN所成角的大小是

【詳解】試題分析：分別以D4,OC,D。所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

DA=2,則A(2,0,2),M(0,1,0),Λ1Λ∕=(-2,1,—2),

N(0,2,1),QN=(0,2,1).?.cos〈AM,￡W〉=∣A%"N∣=(「，—邱』：』)=0

∣ΛlΛ∕∣∣D2V∣WDNl

TT

AMLDN,即異面直線AlM與DN所成角的大小是5

異面直線所成的角

15.化簡(jiǎn)(√5tanlO,-l卜Coslff

2sin20j

【正確答案】-I

【分析】利用切化弦結(jié)合輔助角公式可求得所求代數(shù)式的值.

［詳解］原式-KSinlO-CoSK)CoSlo_2sin(10-30)__2sin20__1

coslO2sin202sin202sin20

故答案為?-I

16.已知..ABC內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,線段BC上的點(diǎn)。滿足AD=CO,

12

tanβ=—,c=14,BD—13,則tanC=.

4

【正確答案】-

【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos8,SinB的值，由余弦定理求得的

值，進(jìn)而可求得“，c的值，在“4?C中，由余弦定理可得》，再由正弦定理可得SinC的值，

進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.

【詳解】在AABD中，ΛB=14,BD=13,

12512

因?yàn)閠an8=M>0,B為銳角，所以CosB=^sinB=E，

由余弦定理得AD2=A82+3O2-2AB?即cos3,

可得Ar)2=142+132-2乂14」3'得=225,可得AD=I5,

又由Ao=Co=28,C=AB=I4,

22

在iABC中,由余弦定理可得b=yja+c-2accosB=42C,

在JIBC中，由正弦定理可得一4=一一，可得SinC=三乎=2，

SinBSinCb√65

π

又c<b,可得NC<NB,所以Ce(O可得CoSC>0,

I-------------7?inΓ4

可得CoSC=JI-Sin2C=-τ=,tanC=--------=—

√65cosC7

故答案為54

四、解答題

17.如圖，四邊形OAOB是以向量OA=Q,。8=。為邊的平行四邊形，旦。。，AB相交于

C點(diǎn)，又BM=；BC,CN=gcD,試用“，b表示OM，ON，MN.

UUir1rCr2211

【正確答案】OM=-a+-b,ON=-a+-h,MN=-a——b.

663326

【分析】根據(jù)題意，由平面向量基本定理，分別表示出O",ON,即可表示出MN?

【詳解】因?yàn)?M=!BC,BC=CA,所以8M='BA=!(04-OB)=

366x76v

所以O(shè)M=OB+BM=6+4-句=均+%

6'J66

因?yàn)镃N=gc。，OC=CD,

????

所以O(shè)N=OC+07=500=§(。1+08)=§〃+不,

221511

所以MN=ON—OM=-ciH—b—Cl—b=—cι—b.

336626

18.如圖所示，尸為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M,N分別為AB,PC的中點(diǎn)，平面

PAD平面PBC=Z.

P

N

AZWB

⑴求證：BC〃/;

(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論.

【正確答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【詳解】試題分析：證明線線平行的方法；1,向量法，2.垂直于同一平面的兩條直線平行,

3平行于同一直線的兩條直線平行,4一個(gè)平面與另外兩個(gè)平行平交,那么兩條交線也平行.線

面平行，1平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行，2若

一條直線與一個(gè)平面同時(shí)平行于另一個(gè)平面且這條直線不屬于這個(gè)平面,則這條直線與這個(gè)

平面平行，3若一條直線與兩平行平面中的一個(gè)平行，則這條直線與另一個(gè)平面平行，4,

最好用的還是向量法.

試題解析：(1)證明因?yàn)锽C〃AD,ADU平面PAD,

BC?T≡PAD,所以BC〃平面PAD.

又平面PAD∩平面PBC=1,BCU平面PBC,所以BC〃1.

(2)解MN〃平面PAD.證明如下：

如圖所示，取PD中點(diǎn)E,連結(jié)AE,EN.

XVN為PC的中點(diǎn)，；.E嗚CD

又丫AM?；CD

：.AM['EN

即四邊形AMNE為平行四邊形.

ΛAE√MN,又MNc平面PAD,AEU平面PAD

".MN〃平面PAD.

線面平行的性質(zhì)定理及判斷定理

19.已矢口函I數(shù)/(X)=2sin(x+^?)sin(x+g)-?Λsin2χ+sinXCOSX.

(I)求/(X)的最小正周期;

(2)當(dāng)α∈當(dāng)汨時(shí),若/(α)=l,求α的值.

【正確答案】（1）乃；（2）￡或工.

412

【分析】（1）先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，得到7（x）=2sin（2x+?）,即可求出最小正周期;

（2）先由αe[O,m,得到1≤2α+[≤?,再由sin[2a+g]=；,即可確定結(jié)果.

J????Z

【詳解】√3]

(1)/(x)=2COSX?sin?+——COSX-?/?sin2X+—sin2x

22

=LSin2x+6cos2x-?∣3sin2x+'sin2x

22

=sin2x+?∕3cos2x=2sin（2x+鼻）

所以最小正周期為九

TTTT7ττ

（3）因?yàn)镺≤α≤τr,所以；≤2a+—≤—,

333

又因?yàn)?9）=1,即Sin（2a+?）=g,

所以2α+g=■或號(hào)，則ɑ=三或粵.

366412

本題主要考查求三角函數(shù)的最小正周期，以及由三角函數(shù)值求角的問(wèn)題，熟記三角函數(shù)的圖

像和性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

20.設(shè)復(fù)數(shù)z=α+"i(其中b∈R),z∣=z+Ai,z2=z?ki(其中左∈R)?

(I)設(shè)a=6=g,若㈤=憶|,求出實(shí)數(shù)上的值；

（2）若復(fù)數(shù)Z滿足條件：存在實(shí)數(shù)般使得Zl與％是某個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)

根，求符合條件的復(fù)數(shù)Z的模的取值范圍.

【正確答案】（1）-1;（2）（0,1）.

【分析】（I）用上表示出復(fù)數(shù)z∣,Z2,再根據(jù)給定條件列式計(jì)算即可;

（2）利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根的關(guān)系列式分類討論即可求解.

【詳解】⑴Z=1+4，z1=→li+fci=→[→Λ,

因㈤=%|,則拈）、（；+公2=松）2+（*,gpψ2+（→?）2=（^）2+（^）2,解得

k=—1f

所以實(shí)數(shù)%的值為-1;

(2)z∣=a+(b+k)?,z2=bk+aki,

a=hk

因馬與z?是某個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根,則z,Z互為共攏復(fù)數(shù),即

12b+k=-ak'

若b=0時(shí)，則有。=Z=0,此時(shí)z∣,z?為零,不合題意，

若"0時(shí),則&=4,b+^-=-a~,整理得/=一。2一ɑ，由〃>0,得力e(T,0)

Dbb

而以「="+6=-α,K∣JO<∣Z∣2<1,0<∣z|<1,

所以復(fù)數(shù)Z的模的取值范圍是（0,1）.

21.如圖，四棱錐P-ΛBCD中，E4，平面ABC￡>,底面ABa）是邊長(zhǎng)為1的正方形,

PA=AD,E為24的中點(diǎn)，尸為尸D的中點(diǎn).

⑴求證：AF，平面PC）C；

（2）求異面直線8E與PZ）所成角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵巫

10

【分析】（1）證明出8_L平面PAO,可得出AF_LCD,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)

可得出A尸1PD,再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）取AD的中點(diǎn)G,連接EG、BG,分析可知異面直線BE與尸￡>所成角為/3EG或其

補(bǔ)角，計(jì)算出“8EG三邊邊長(zhǎng)，即可求得/3EG的余弦值，即為所求.

【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCo為正方形，則SLAD,

因?yàn)镽4_L平面45CO,CDU平面ABC。，所以，CDVPA,

因?yàn)锳4cAO=A,PA,Ar）U平面PA。，所以，C￡>_L平面PA。，

因?yàn)锳尸U平面皿）,所以，AFLCD,

因?yàn)楱M?=4),F為尸￡>的中點(diǎn)，所以，AF±PD,

因?yàn)镃f)Pr>=。，CD、PDU平面PC。，所以，AFJ_平面Paλ

(2)解：取Ao的中點(diǎn)G,連接EG、BG,

BC

因?yàn)镋、G分別為R4、A。的中點(diǎn)，所以，EG//PD且EG=gpD,

所以，異面直線BE與PD所成角為/BEG或其補(bǔ)角，

因?yàn)镽A=AO=I,四邊形ABCO是邊長(zhǎng)為1的正方形，且R4L平面ABC。，

且45U平面A8C