預(yù)習(xí)16講復(fù)數(shù)的幾何意義2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)提升課（人教A版2019）

2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)精品課（人教A版2019必修第二冊）預(yù)習(xí)16講復(fù)數(shù)的幾何意義（精講+精練）①復(fù)平面內(nèi)的點同復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系②復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系③復(fù)數(shù)的模及其幾何意義④共軛復(fù)數(shù)一、復(fù)平面的概念建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面①軸——實軸②軸——虛軸③實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)二、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)平面向量三、復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù))的模，記為或公式：，其中復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點到原點的距離；特別的，時，復(fù)數(shù)是一個實數(shù)，它的模就等于(的絕對值).四、共軛復(fù)數(shù)（1）定義一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).（2）表示方法表示方法：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.題型一：題型一：復(fù)平面內(nèi)的點同復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系策略方法利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系解題的步驟(1)首先確定復(fù)數(shù)的實部與虛部,從而確定復(fù)數(shù)對應(yīng)點的橫、縱坐標(biāo).(2)根據(jù)已知條件,建立實部與虛部滿足的關(guān)系,通過解方程(組)或不等式(組)求解.【題型精練】一、單選題1．復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)，則復(fù)平面內(nèi)的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得到復(fù)平面內(nèi)的點對應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】復(fù)平面內(nèi)的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：A2．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于軸對稱，且，則復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，對應(yīng)復(fù)平面的點是，關(guān)于軸對稱得到的點是，對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.故選：B3．已知復(fù)平面中，平行四邊形的頂點，，的坐標(biāo)分別為，，，則頂點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由為平行四邊形，可得，即可求出點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出答案.【詳解】∵四邊形為平行四邊形，∴．而，，∴，∴點的坐標(biāo)為，∴頂點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：B．4．已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義得出對應(yīng)點的坐標(biāo)，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】將整理化簡可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，由點位于第四象限可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A二、填空題5．已知復(fù)數(shù)z滿足實部為，虛部為，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是．【答案】【分析】由題可得，結(jié)合條件即得.【詳解】由題可得，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為：.6．i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，若，則．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，得到對應(yīng)點的坐標(biāo)，根據(jù)對稱性得到對應(yīng)點的坐標(biāo)，由此寫出.【詳解】因為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，對應(yīng)點的坐標(biāo)為,∴對應(yīng)點的坐標(biāo)為,故．故答案為：.三、解答題7．如圖，設(shè)每個小方格的邊長是1，指出點A，B，C，D，E所表示的復(fù)數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義分析求解.【詳解】由題意可知：，所以點A，B，C，D，E所表示的復(fù)數(shù)分別為.題型二：題型二：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系策略方法(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系,可知當(dāng)平面向量的起點為原點時,向量的終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點確定后,從原點引出的指向該點的有向線段,即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量.(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的題目時,一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)的關(guān)系為工具,實現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化.【題型精練】一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，為原點，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若點關(guān)于實軸的對稱點為，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由題中條件，先得出點，推出點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，故向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：D.2．在復(fù)平面內(nèi)，點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（為虛數(shù)單位），且向量，則點對應(yīng)復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由復(fù)數(shù)的幾何意義知，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算求得，即可求得答案.【詳解】設(shè)，由題意知，則由可得，則，即，則點對應(yīng)復(fù)數(shù)為，故選：A.二、填空題3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，其中是坐標(biāo)原點，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合向量的減法運算求解.【詳解】由題意可知：，可得，所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為：.4．在復(fù)平面內(nèi)，若，，點C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.【答案】【分析】設(shè)，由向量相等得出點的坐標(biāo)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】由題意，設(shè)，則由，則，解得，則點所以點C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為故答案為：三、解答題5．如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i．求：(1)對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(3)對應(yīng)的復(fù)數(shù)及的長度．【答案】(1)－3－2i(2)5－2i(3)【分析】（1）根據(jù)平面向量坐標(biāo)表示公式，結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面的特征進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平面向量減法的運算性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面的特征進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)平面加法的運算性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)、平面向量模的公式、復(fù)數(shù)在復(fù)平面的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因為，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為32i.（2）因為，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋2i)(2＋4i)＝52i.（3）因為，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(2＋4i)＝1＋6i.所以6．已知平行四邊形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0，，.（1）求表示的復(fù)數(shù)；（2）求表示的復(fù)數(shù)；（3）求點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)；（4）求對角線，的交點對應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）求得，由此求得對應(yīng)的復(fù)數(shù).（2）求得，由此求得對應(yīng)的復(fù)數(shù).（3）利用向量加法求得，由此求得對應(yīng)的復(fù)數(shù).（4）利用中點坐標(biāo)公式求得點坐標(biāo)，由此求得對應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】依題意，（1）由于，所以對應(yīng)復(fù)數(shù)為.（2）由于，所以對應(yīng)復(fù)數(shù)為.（3）由于，所以點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.（4）根據(jù)中點坐標(biāo)公式可知，即，對應(yīng)復(fù)數(shù)為.題型三：題型三：復(fù)數(shù)的模及其幾何意義策略方法(1)兩個復(fù)數(shù)不全為實數(shù)時不能比較大小,而任意兩個復(fù)數(shù)的模均可比較大小.(2)復(fù)數(shù)模的意義是表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離,這可以類比實數(shù)的絕對值,也可以類比以原點為起點的向量的模來加深理解.【題型精練】一、單選題1．已知，則（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長計算公式，可得答案.【詳解】因為，所以.故選：C.2．若，其中a，，是虛數(shù)單位，則（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件，求出，由復(fù)數(shù)模的公式計算.【詳解】若，即，得，解得，所以．故選：B3．復(fù)數(shù)滿足，且在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，則復(fù)平面內(nèi)點Z的軌跡是（

）.A．點 B．圓 C．線段 D．圓環(huán)【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的知識求得正確答案.【詳解】由于，故對應(yīng)點到原點的距離為，所以復(fù)平面內(nèi)點Z的軌跡是單位圓.故選：B4．若復(fù)數(shù)的模為5，虛部為，則復(fù)數(shù)（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)的虛部和模，可得求，寫出復(fù)數(shù)即可.【詳解】設(shè)，，∴，解得，∴.故選：C5．設(shè)，則滿足的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點構(gòu)成圖形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，，則，因為，所以，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點位于以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為到半徑為之間的圓環(huán)部分（包括圓上的點），所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點構(gòu)成圖形的面積.故選：C6．復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，由知，點的軌跡為以原點為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點到點的距離，如下圖，如圖，最小值為.故選：B二、填空題7．若（為虛數(shù)單位），則．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：8．寫出一個模為的非純虛數(shù)．【答案】（答案不唯一，只要滿足實部和虛部的平方和為的非純虛數(shù)即可）【分析】根據(jù)非純虛數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)模的運算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，由題意可知，，取，故答案為：9．已知純虛數(shù)滿足，則．【答案】2【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義得，解出值即可得到答案.【詳解】設(shè)，則，則，即舍去或，所以．故答案為：．10．已知復(fù)數(shù)z滿足，且，則．【答案】3【分析】由題意得，從而可求出【詳解】因為，，所以，得，因為，所以，故答案為：311．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則點的軌跡方程為.【答案】【分析】由題意，由根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算可得.【詳解】因為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以，由得，所以，即，所以點的軌跡方程為，故答案為：三、解答題12．分別求出復(fù)數(shù)，，，，4i，的模．【答案】5，，13，，4，6.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式即可求解.【詳解】解：，，，，，.13．設(shè)，，，求的最小值．【答案】【分析】結(jié)合已知條件表示出，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】，因為，所以由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，有最小值10，即的最小值為.14．設(shè)：，點對應(yīng)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)滿足下列條件的點的集合是什么圖形？(1)；(2)．【答案】(1)滿足條件點的集合是以原點為圓心，以2為半徑的圓(2)以原點為圓心，以2和3為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并包括圓環(huán)的邊界【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)模長的幾何意義求解即可.（2）根據(jù)復(fù)數(shù)模長的幾何意義求解即可.【詳解】（1）復(fù)數(shù)的模等于2，這表明，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量之的長度等于2，即點到原點的距離等于2，因此滿足條件點的集合是以原點為圓心，以2為半徑的圓．（2）不等式可以化為不等式組不等式的解集是圓和該圓內(nèi)部所有的點構(gòu)成的集合，不等式的解集是圓和該圓外部所有的點構(gòu)成的集合，這兩個集合的交集，即上述不等式組的解集，也就是滿足條件的點的集合．所求的集合是以原點為圓心，以2和3為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并包括圓環(huán)的邊界.題型四：題型四：向量共軛復(fù)數(shù)策略方法復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.【題型精練】一、單選題1．計算的共軛復(fù)數(shù)為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出原復(fù)數(shù)，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】，所以其共軛復(fù)數(shù)為，故選：D.2．設(shè)，，是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù)，則實數(shù)復(fù)數(shù)，的值為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念直接求解即可.【詳解】因為復(fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù)，所以，故選：B.3．在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義寫出復(fù)數(shù)；再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【詳解】因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是所以則故選：B二、填空題4．已知復(fù)數(shù)，則.【答案】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】由于復(fù)數(shù)，所以.故答案為：5．已知復(fù)數(shù)，則．【答案】【分析】分別求解，求和即可.【詳解】因為，所以，，所以.故答案為：三、解答題6．求下列復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案