2024年廣東省高考數(shù)學一輪復習第6章第1講：數(shù)列的概念（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學一輪復習第6章第1講：數(shù)列的概念

【考試要求】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）.2.了解數(shù)列是

自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

-落實主干知識

【知識梳理】

1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)

如果數(shù)列｛為｝的第〃項“”與它的序號〃之間的對應(yīng)關(guān)系可以用

通項公式

一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式

如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來

遞推公式

表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式

數(shù)列｛斯｝的把數(shù)列｛斯｝從第1項起到第〃項止的各項之和，稱為數(shù)列｛斯｝

前n項和的前〃項和，記作S”，即Sn=〃1+。2+…

2.數(shù)列的分類

分類標準類型滿足條件

有窮數(shù)列項數(shù)有限

項數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)無限

遞增數(shù)列

遞減數(shù)列

an+\<an其中“GN"

項與項間的

常數(shù)列

大小關(guān)系

從第二項起，有些項大于它的前一項，

擺動數(shù)列

有些項小于它的前一項的數(shù)列

3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列｛小｝是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集（1,2,…，〃｝）到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序

號〃,對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第〃項a“,記為斯=A"）.

【常用結(jié)論】

[Si,/?=1,

1.已知數(shù)列｛〃"｝的前〃項和S”則〃“=cc

-Sn—1，

第1頁共13頁

fa“三a”-”1，

2.在數(shù)列｛如｝中，若斯最大，則、（心2,〃GN*）；若如最小，則“（〃22,

3"1小+114"■、■斯+i

neN*）.

【思考辨析）

判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）數(shù)列的項與項數(shù)是同一個概念.（X）

（2）數(shù)列1,2,3與3,2』是兩個不同的數(shù)列.（V）

（3）任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.（X）

（4）若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點.（V）

【教材改編題】

1.（多選）已知數(shù)列｛“”｝的通項公式為a“=9+12〃，則在下列各數(shù)中，是｛斯｝的項的是（）

A.21B.33C.152D.153

答案ABD

解析由數(shù)列的通項公式得，“1=21,慮=33,02=153.

2.己知數(shù)列｛“"｝的前"項和為S"且S"="2+”，則“2的值是（）

A.2B.4C.5D.6

答案B

解析由題意，$2=22+2=6,51=1+1=2,所以“2=52—51=6—2=4.

3.在數(shù)歹U1,1,2,3,5,8,13,21,%,55,…中，x=.

答案34

解析通過觀察數(shù)列各項的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)從第三項起，每項都等于它前兩項之和，因此x=13

+21=34.

■探究核心題型

題型一由知與S”的關(guān)系求通項公式

例1（1）已知數(shù)列｛斯｝的前"項和為S,”0=2,S?+i=25n-l,則wo等于（）

A.128B.256C.512D.1024

答案B

解析,.?S“+i=2S“-1,.,.當時，Sn=2S?-i-l,兩式相減得④+i=2a“.當”=1時，a\

+。2=2。1-1,又刈=2,...歐=1"?數(shù)列｛詼｝從第二項開始為等比數(shù)列，公比為2.則00=42X28

=1X28=256.

（2）已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”，且滿足S”=2"+2—3,則斯=.

5.n=l,

答案

2n+l,心2

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解析根據(jù)題意，數(shù)列｛““｝滿足斗=2"+2—3,

當〃22時，有斯=S“一S1=(2"+2—3)—(2仆|—3)=2"+'

,.[5,〃=1,

當〃=1時，有ai=5i=8—3=5,不符合斯=2"I故.

\2n+1心2.

思維升華S,,與斯的關(guān)系問題的求解思路

(1)利用斯=S,-SLI(〃22)轉(zhuǎn)化為只含S”，Si的關(guān)系式，再求解.

(2)利用5“一5“-1=%("22)轉(zhuǎn)化為只含小，a,1的關(guān)系式，再求解.

跟蹤訓練1(1)已知正項數(shù)列｛如｝中，詬+詬+…+麗=瓜亭”，則數(shù)列｛小｝的通項公式

為()

A.Cln~~tlB.Qn=/

nr〃2

C.%=2D.Cln=~2

答案B

解析\'y[ci\+y[a2-\----卜^/^="亭

+y[a2H----卜\如7=^2(〃，2)，

兩式相減得的=中一迎產(chǎn)=〃(〃22),

，22),①

又當n=1時，，?=-2—=1，m=1,適合①式，

2

an=nf〃￡N".

(2)設(shè)，是數(shù)列｛斯｝的前〃項和，且m=—1,a〃+i=S〃S〃+i,則S“=.

較口案殺—-n

解析因為斯+i=S”+i—Snfa”+i=S〃S“+i,所以由兩式聯(lián)立得S〃+i—5〃=5：5]+1.因為S〃HO,

所以卷一甘一=1,即?一一!=—1.又B=-1,所以數(shù)列U是首項為-1,公差為一1的等

5?O/i4-1dn+1

差數(shù)列.所以9=-1+(〃-1)X(—1)=—",所以s“=一

題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

命題點1累加法

例2設(shè)㈤表示不超過x的最大整數(shù)，如[-3.14]=-4,[3.14]=3.已知數(shù)列滿足：a1=l,

斯+嚴如+〃+1(〃。*),貝舊+!+/+…+表]等于()

A.1B.2C.3D.4

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答案A

解析由?！?1=斯+〃+1,得?！ㄒ?="(〃22).又的=1,

所以?！?(?！币弧ā?+I--2)+…+(。2一=〃+(〃-1)+(〃-2)+…+2+1=

〃(/+1)

-2-(心2),

當n=\時，0=1滿足上式,

則匯記3=2

所嗎?+9…+六

=2X(/一尹1,爹1-1尹,…卜壺-壺）

=2X(1-忐)

_2023

=1012,

所以15+2+5+…+_’U1F20231

=1.

<22023JL1。12_

命題點2累乘法

〃-1

例3在數(shù)列｛〃“｝中，0=1,〃GN*),則數(shù)列｛斯｝的通項公式為

答案期=：

n-1

解析：an=—斯-1(〃22),

.n—2n—3_j_

??〃〃-12,。〃-2個〃〃-3,***,。21?

7?—1n~2Z

以上（〃一1）個式子相乘得，

12n—1a\1

23nnn

當〃=1時，ai=l,符合上式，；.期=1.

思維升華（1）形如a〃+i—的數(shù)列，利用累加法.

⑵形如"口=＜及）的數(shù)列，利用22）即可求數(shù)列｛〃“｝的通項公式.

ClnCl\。2（ln-\

跟蹤訓練2（1）在數(shù)列｛所｝中，ai=2,%+|=斯+111（1+力，則%等于（）

A.2+lnnB.2+（?-l）lnn

C.2+?lnnD.1+n+lnn

答案A

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解析因為a〃+i—%=ln一廠=lnS+l)—In〃，

所以。2—〃i=ln2—In1,

。3-〃2=ln3—In2,

〃4-〃3=ln4-In3,

an—an-\=\n〃一ln(〃-1)(〃22),

把以上各式相加得—ai=Inn—In1,

則為=2+加〃(〃22),且〃1=2也滿足此式，

因此an=2+Inn(n￡N*).

(2)已知數(shù)列防，中，…，巫，…是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，則唾2斯=________.

an-i

答案血嚴

解析由題意知，ai=l,—=lX2"-l=2n-|(n>2),

an-\

所以?！?色」義…X絲義〃]=2〃一"2"-2乂…義1=22(〃N2),當〃=1時，〃1=1適

合此式，

所以log.q""

題型三數(shù)列的性質(zhì)

命題點1數(shù)列的單調(diào)性

例4設(shè)數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S,,且W〃dN*,an+\>a?,S〃》S6.請寫出一個滿足條件的數(shù)列

｛斯｝的通項公式a?=.

答案/?—6,〃6N*(答案不唯一)

解析由V〃WN*,斯+>如可知數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，又S,2S6,故數(shù)列｛斯｝從第7項開始為

正.而aWO,因此不妨設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1,%=0,所以斯=〃-6,〃eN*(答案

不唯一).

命題點2數(shù)列的周期性

例5若數(shù)列｛?！埃凉M足ai=2,an+i—._"<則“2024的值為()

A.2B.-3C.D.；

答案D

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1-21+3

1+21-311

解析由題意知，4]=2,423,。3。5=2,

1-21+32'3'1

1+1——

213

1+21

=1—2=-'…，因此數(shù)列｛〃〃｝是周期為4的周期數(shù)列，所以。2024=々505X4+4=44=1.

命題點3數(shù)列的最值

例6已知數(shù)列｛”“｝的通項公式為斯=初與，其最大項和最小項的值分別為（）

A.1,—B.0,一4C.；,一；D.1,—Yj

答案A

解析因為"CN*,所以當時,a,,=M'二<0,且單調(diào)遞減；當〃24時,斯=3—0,

且單調(diào)遞減，所以最小項為。3=1==一最大項為。4=]J[<=1.

思維升華（1）解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法

用作差比較法，根據(jù)an+\-a?的符號判斷數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.

（2）解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

跟蹤訓練3（1）觀察數(shù)列1,In2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,則該數(shù)列的第11

項是（）

A.1111B.11C.In11D.sin11

答案C

解析由數(shù)列得出規(guī)律，按照1,In2,sin3,…，是按正整數(shù)的順序排列，且以3為循環(huán)，

由11+3=3余2,所以該數(shù)列的第11項為In11.

2fl—io

⑵已知數(shù)列｛如｝的通項小=；■-則數(shù)列｛“.｝前20項中的最大項與最小項分別為

Zn—21

答案3,-1

——1Q——01-I-?O7

解析??=-~==1+二、7，當〃》11時，丁、7>0,且單調(diào)遞減；當1W〃W1O

2/2—212/7—212n—212/7—21

2

時，五±7<°'且單調(diào)遞減.因此數(shù)列僅，，｝前20項中的最大項與最小項分別為第11項，第

10項.。]]=3,〃io=-1.

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課時精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

，7—1

1.已知小=不，那么數(shù)列｛斯｝是（）

A.遞減數(shù)列B.遞增數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動數(shù)列

答案B

解析如=1—鬲■,將飆看作關(guān)于〃的函數(shù)，〃GN*,易知數(shù)列｛?。沁f增數(shù)列.

2.已知數(shù)列｛如｝的前〃項和S“滿足SS=S.+i（〃CN*）,且m=2,那么S等于（）

A.128B.16C.32D.64

答案D

解析因為數(shù)列｛斯｝的前〃項和S”滿足SS=S“+i（"WN"）,ai=2,

所以S,+i=2S”即*=2,所以數(shù)列｛&｝是以2為公比，以2為首項的等比數(shù)列，所以S.

=2X2"r=2".所以當時，a,=S“一S"T=2"-2"-i=2"r.所以s=26=64.

3.已知數(shù)列｛斯｝滿足“1=1,a,—an+i^nana?+1（neN*）,則如等于（）

層一九標一〃+222

lA.cB.cC.7D.7Ic

2Zn—nn—〃十2

答案D

解析由題意，得」—-；=〃，則當〃22時，；一」一=〃一1,」一一」一=〃一2,…，；一

Cln+1du—16Z/j—1iZ/j—2。2

1—11,,n1—n、”21nr—n,層一〃+2

丁=1,所以;7—丁=1+2H---F（〃-1）=-（及22）,所以;+1=----5---，即an

Cl]ClnCt1乙Clii乙N

2?

=-2（〃）當/?=1時，〃1=1適合此式，所以d=~

zr一〃?十G222,n〃/一〃十2

4.設(shè)數(shù)列｛”“｝滿足：0=2,a“+i=l—記數(shù)列｛斯｝的前"項之積為P,”則P2024等于（）

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

解析0=2,斯+1=1—;，得。2=:，"3=—1,。4=2,。5=；，…，所以數(shù)列｛如｝是周期為3

Cln乙乙

的周期數(shù)列.且尸3=-1,2024=3X674+2,所以期024=（-1產(chǎn)4。。1。2=1.

5.大衍數(shù)列，來源于我國的《乾坤譜》，是世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題，主要用于解釋中國

傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.其前11項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,則大衍數(shù)列的第

41項為（）

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A.760B.800C.840D.924

答案C

解析由題意得，大衍數(shù)列的奇數(shù)項依次為了[2—]，尚32—一1，尚5^—一I，…，易知大衍數(shù)列的第41

412—1

項為=840.

6.(多選)已知數(shù)列⑷的通項公式為何=(〃+2)?凱則下列說法正確的是()

A.數(shù)列｛斯｝的最小項是

B.數(shù)列｛〃,?｝的最大項是04

C.數(shù)列｛如｝的最大項是。5

D.當〃25時，數(shù)列｛〃“｝遞減

答案BCD

[(〃+2).歙》(〃+1)皎「,

a會期7,

解析假設(shè)第〃項為｛〃“｝的最大項，貝卜即，所以

1,[(〃+2)俳?("+3)(1戶,

又"GN*,所以〃=4或"=5,故數(shù)列｛?。信c45均為最大項，且“4=45=外,

"24,

當〃》5時，數(shù)列｛斯｝遞減.

7.S”為數(shù)列｛〃“｝的前”項和，且log2(S“+l)="+】，則數(shù)列｛〃“｝的通項公式為.

答案T,[3,n〃—12,

解析由log2(S,+l)=〃+l,得S“+l=2"+i,當〃=1時，"i=S=3；當時，a"=S”―

3,n=\,

S,T=2",顯然當〃=1時，不滿足上式.所以數(shù)列｛“■｝的通項公式為小=

2",心2.

8.若數(shù)列｛m｝的前〃項和S“="2—10〃(〃eN*),則數(shù)列｛a,J的通項公式〃"=,數(shù)列

｛〃小｝中數(shù)值最小的項是第項.

答案2/1-113

解析,.?Sn=〃2-10〃，.?.當〃》2時，斯=S“一S,i=2〃-ll；

當〃=1時，見=亂=一9也適合上式..,.??=2n-ll(nSN*).

記角^二也尸躍?〃-11)=2"2—11〃，此函數(shù)圖象的對稱軸為直線但"GN*,

...當〃=3時，犬〃)取最小值數(shù)列｛〃斯｝中數(shù)值最小的項是第3項.

9.在①〃a“+i—(”+1)斯="("+1)；②S.=2”2-1這兩個條件中任選一個補充在下面的橫線上,

并解答.

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若數(shù)列僅“｝的前〃項和為S”G=1,且數(shù)列｛如｝滿足

⑴求。2，?3；

(2)求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

解(1)選擇①：42-20=1X2,則42=4.

2a3-342=2X3,則內(nèi)=9.

選擇②：“2=$2-51=2X2?-1—I=6.

“3=$3—S2=2X32—1—2X22+1=10.

(2)選擇①：由M"+l—(〃+1)4"=〃(〃+1),

dnaii14〃I?！耙?〃2

所以'卜…+三一+〃i=n-1+1=n,

nnn~1n~1n~2

2

所以an=n.

==2—2—

選擇②：當〃22時，anSn—Sn-]2n—1—[2(n1)l]=4zz—2；

當〃=1時，m=Si=l,不符合上式，

fl,H=1,

故｛斯｝的通項公式為小=[「

1477—2,2,〃￡N*.

10.(2023?長沙模擬)已知數(shù)列｛金｝滿足口=今夫'=昌"，〃CN*,S"為該數(shù)列的前”項

和.

(1)求證：數(shù)列｛2｝為遞增數(shù)列;

(2)求證：S?<1.

證明(1)因為。=；,二^7二

所以c〃W0,

兩邊分別取倒數(shù)可得1一」一=

整理可得」一_；=(：_I1〉。，

c〃+lCn)

所以數(shù)列｛4為遞增數(shù)列.

。、心d若44曰°,+1—1+1%―1+11?1

⑵由1—1可付1—1，即〔一C〃十

Gi+j—1Ctl—\C〃+1—1c〃-1Cn+\—lCn-l

第9頁共13頁

所以S”=Cl+<?2+…+金

11.11,,11

=——十——十???十一

C2~1Cj-1C3—1C2-LCn+1-1Cn~1

Cw+|-1Cl-1Cw+1-1

又12；=2,所以c〃+1仁(0,

CnC\\L)

所以一y<T，即SSL

Cn+｝—\

口綜合提升練

11.在數(shù)列｛斯｝中,L=1,。=(〃,?！?，b=(an+\,〃+1),且。_Lb,則々loo等于()

A.-^B.一■^C.100D.-100

答案D

解析因為a=(n,。〃)"=(如+|,〃+1),且a±b,所以〃4〃+i+(〃+l)m=0,所以號」=一

所以曰=—*詈…，署=一端?以上各式左右分別相乘，得詈=—100,因為0=1,

a\1。22的9vyCl\

所以4100=-100.

12.(2022.全國乙卷)嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆

環(huán)繞太陽飛行的人造行星.為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛4,｝：

61=1+~,歷=1+―、，人3=1+---Lj—，…，依此類推，其中a*WN*(Z=l,2,…).則

()

A.b\<b^B.b3Vb8

C.b6<b2D.b4Vb7

答案D

解析方法一當〃取奇數(shù)時，

由已知"=1bi=1+----—,

(Z1,1

因為京〉------j—,所以從＞匕3,

a\+r

勾+一

。3

同理可得加＞/?5,/?5＞岳，…，于是可得加＞歷＞%5＞歷＞…，故A不正確;

第10頁共13頁

當〃取偶數(shù)時，由已知歷=1+——j-.

G1+一

?2

%4=1+-------------

?1+------7—

?2+j~

^+~

?4

因為:〉----\,所以b2Vb4,

?2.1

+j-

出+一

04

同理可得b4Vb6,b6Vb8,…,于是可得厲＜84Vb6＜1＜…,故C不正確;

因為~，-,所以歷＞傷,

ai+—

?2

同理可得同〉力4，同＞〃6，bi＞bz，

又仇〉加，所以仇＞加，故B不正確；故選D.

方法二(特殊值法)

不妨取匿=1(&=1,2,…)，則。i=l+；=2,

1113

*2=1+---7=1+17=1+3=5,

.II0122

1+7

仇=1+—\-=1+T~=1

十\

1+1

142

所以兒=1+萬=1+7=7.

。3>3

,,,1313

a=1+五=1+0=于

..1,+1-=.1,+8-=2-1

,.,1,,1334

岳=1+蘇=1+五=亓

.,,1,,2155

逐一判斷選項可知選D.

13.已知數(shù)列｛?。?，前〃項和為S”，且￡=『?,“則①的最大值為

JCln~1

答案3

第11頁共13頁

._〃+2.、.幾+2〃+1一”、]a〃+1

==n=

解析?Sn-O—%,??當時，Cln~Sn-Sn-\-o~斯——o—斯T,可化為=71

333