2023-2024學(xué)年新疆阿勒泰地區(qū)高二年級上冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年新疆阿勒泰地區(qū)高二上冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.已知一組數(shù)據(jù)為7,10,14,8,7,12,II,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12,9,

13,20,那么這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是()

A.8B.9C.10D.11

【正確答案】A

把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,可計算出這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第5項與第6項數(shù)據(jù)的

平均數(shù)，完成即可.

【詳解】解：數(shù)據(jù)從小到大排列是：

7,7,8,8,8,8,9,9,10,10,10,10,11,11,12,12,13,13,14,20,

共20個數(shù)據(jù)，20x25%=5,

所以這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第5項與第6項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即8,

故選：A.

本題主要考查百分位數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

2.空間直角坐標(biāo)系中，點網(wǎng)-1,2,-3)關(guān)于平面約2對稱的點［的坐標(biāo)為()

A.(-1,-2,-3)B.(1,2,-3)C.(1,-2,-3)D.(1,2,3)

【正確答案】B

【分析】點P與關(guān)于平面中z對稱的點6橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變.

【詳解】點P(T,2,-3)關(guān)于平面WZ對稱的點，橫坐標(biāo)變?yōu)辄cP橫坐標(biāo)的相反數(shù)，

即［(1,2,-3).

故選：B

3.雙曲線￡-±=1的漸近線方程為()

24

A.y=±2xB.y=±gx

C.y=±y∕2xD.y=±X

2

【正確答案】D

【分析】由標(biāo)準(zhǔn)方程及漸進(jìn)性的定義可得.

【詳解】雙曲線￡-￡=1的漸近線方程為y=±m(xù)x?

242

故選：D.

4.《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提至I]:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、

驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、

大寒、雨水的日影子長的和是40.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則冬至的日影子長為（）

A.6.5尺B.13.5尺C.14.5尺D.15.5尺

【正確答案】D

根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項.

【詳解】設(shè)冬至的日影長為4,雨水的日影長為4+%+%=40?5,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可

知3%=40.5=%=13.5,芒種的日影長為&=4.5,

（4+21=13.5

1..,＜，解得：α∣=15.5,d=7,

[a∣+1Id=4ZI.5

所以冬至的日影長為15.5尺.

故選：D

5.如果空間向量α,b不共線，S.a-yb=xa+3b,那么％）’的值分別是（）

A.X=-Ly=3B.X=T,y=-3

C.X=Ly=-3D.x=l,y=3

【正確答案】C

【分析】根據(jù)向量的相等,可得方程，即可求得答案.

【詳解】由題意可知空間向量α,6不共線，且α-yb=xα+36,EP（x-l）?-（y+3）?=O,

則x-l=0,Ty+3）=0,即x=l,y=-3,

故選：C.

6.已知直線x-2y+l=0與直線2x-陽-2帆=0平行，則它們之間的距離為（）

A.√5B.至C.—D.4

55

【正確答案】A

由直線平行可得〃?=4,再由平行線間的距離公式即可得解.

【詳解】因為直線x-2y+l=0與直線2工_加,_2，〃=0平行，

所以τ%=-2x2,所以機(jī)=4,

所以直線2工一加了一2m=0即為21一4y一8=0,Bpx-2y-4=0,

所以兩直線的距離為“:（"4）I=石

√1÷4

故選：A.

7.蒙自某石榴園種植軟籽石榴、水晶石榴，面積相等的兩塊果園（種植環(huán)境相同）連續(xù)5

次的產(chǎn)量如下：

軟籽石榴/kg260250210250280

水晶石榴∕kg220260230250290

則下列說法中不正確的是（）A.軟籽石榴產(chǎn)量的眾數(shù)為250

B.軟籽石榴產(chǎn)量的方差小于水晶石榴產(chǎn)量的方差

C.水晶石榴產(chǎn)量的極差為70

D.軟籽石榴產(chǎn)量的平均數(shù)大于水晶石榴產(chǎn)量的平均數(shù)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)逐個求解判斷即可

【詳解】由表格得：軟籽石榴產(chǎn)量的眾數(shù)為250,水晶石榴產(chǎn)量的極差為290-220=70

260+250+210+250+280

軟籽石榴產(chǎn)量的平均數(shù)等于=250

5

220+260+230+250+290

水晶石榴產(chǎn)量的平均數(shù)等于=250

5

軟籽石榴產(chǎn)量的方差：

(260-250)2+(250-250)2+(210-25O)2+(250-250)2+(280-250)2

5

水晶石榴產(chǎn)量的方差：

(220-250)2+(26O-250)2+(230-250)2+(250-250)2+(290-250)2

5

所以A,B,C正確，D錯誤

故選：D

8.已知圓V+y2=25,則過圓上一點4（3,4）的切線方程為（）

A.3x+4y-25=0B.3x+4y—25=0或χ=3C.3x-4y+7=0

D.4x-3y=0

【正確答案】A

【分析】利用切線與半徑垂直求出切線的斜率，再根據(jù)點斜式可求出切線方程.

4-04

【詳解】因為圓f+y2=25的圓心為。(0,0),所以自A=若=§,

3

所以切線的斜率α=-

4

所以所求切線的方程為＞-4=-](X-3),即3x+4y-25=0,

4

故選：A

9.如圖，在四面體。4BC中，。4=",OB=b，OC=c,CQ=2QB,P為線段的中

點，則PQ等于()

11,212,1

C.——。+―。+―cD.——a+—/?+—c

233233

【正確答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求解.

【詳解】由已知

212121

PQ=OC+CQ-OP=c+-CB--OA=c+-(OB-OC)--a=c+-φ-c)--a

Λa+lb+Lc

233

故選：D.

10.已知兩個等差數(shù)列｛“〃｝和｛加｝的前〃項和分別為4和蜃，且[?=",則詈的值為

紇"十34

()

A.2B.一

2

C.4D.5

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可將詈轉(zhuǎn)化為去，代入公式，即可得答案.

b5Bq

【詳解】；兩個等差數(shù)列｛刖｝和｛加｝的前“項和分別為A〃和B〃，且5=2芋，

〃+3

9

.\<2%_4+佝/⑼+%）UX9+3,（

■二五一4+4一翱+城一廠9÷3一?

故選：C.

11.已知孫〃是兩條不重合的直線，ɑ,〃是兩個不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若Znj_c,n//a,則機(jī)〃”

B.若τn∕∕α,allβ,則機(jī)///?

C.若m_La,∏Vβ,機(jī)_L〃,則aJ_尸

D.若a_L/?,mlIa,則

【正確答案】C

【分析】對于A項，過直線〃找一個平面與平α交，設(shè)交線為/,按照此途徑解決.

對于B項，討論直線機(jī)與平面廠的位置關(guān)系.

對于D項，設(shè)αβ=l,作直線加〃/,按照此途徑解決

對于C項，分"uα和當(dāng)”〃。時兩種情況證明.

【詳解】對于A項，過直線〃找一個平面與平a交，設(shè)交線為/,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理

可得，M〃，又因為Wl.e,所以m_L/,所以加_L〃，故A不正確.

對于B項，若m"a,a!Iβ,則〃zu/7或機(jī)///?,故B不正確.

對于D項，若C尸，設(shè)aβ=l,作直線m〃/,則加〃。，〃?〃/,故D不正確.

對于C項，因為“J_a并且〃z_L”,所以"〃a,或者〃ua；

當(dāng)“ua時，又因為〃_L￡,根據(jù)面面垂直得判定定理可得aLβ,

當(dāng)n∕∕a時，過〃作平面，ca=/,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得：〃〃/

又因為〃，萬,所以/，/，又因為∕ua,所以a_L/?,

綜上若〃，力，加，〃,則a，尸，所以C正確.

故選：C

12.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，連續(xù)比賽三局，各局比賽結(jié)果相互獨立.設(shè)甲在第一、第

二、第三局比賽中獲勝的概率分別為:，?,?,則甲恰好連勝兩局的概率為（）

433

【正確答案】B

【分析】甲恰好連勝兩局有兩種不同的情況，根據(jù)獨立事件概率乘法公式可計算每種情況的

概率，加和即為所求結(jié)果.

【詳解】甲恰好連勝兩局有：前兩局獲勝，第三局失利和第一局失利，后兩局獲勝兩種情況,

???甲恰好連勝兩局的概率P=:χ!χ（ι-]+（ι-J]χJχJ=V?

4313J?4J3336

故選：B.

22

13.過橢圓點+方=1（〃＞人＞0）左焦點F作X軸的垂線，交橢圓于尸，。兩點，A是橢圓與

X軸正半軸的交點，且IPQl=IE4|,則該橢圓的離心率是（）

A.?B.正C.走D.立

2422

【正確答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的幾何特征得到IPQl=寧,∣FA∣=α+c,再由IPa=IR4|求解.

【詳解】由題意得：?PQ?=^-,?FA?=a+c,

因為IPa=IE4∣,

所以Z=α+c,即2從=∕+訛，

a

即2C2+ac-a2=0,

即2e2+e-l=0,

解得e=；,

故選：A

14.已知兩定點4一2,0）,8（1,0）,如果動點P滿足IM=2|陽，點Q是圓（x-2＞+（y-3）2=3

上的動點，則IPQ帕勺最大值為（）

A.5-6B.5+√3C.3+2√3D.3-2抬

【正確答案】B

【分析】先求出動點P軌跡方程（圓），再根據(jù)兩圓位置關(guān)系確定IPa的最大值取法，計算

即可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)尸(x,y),因為IM=2∣P8∣,所以J(χ+2)2+/=2J(x-1)2+4

.?.(x-2)2+√=4

因此IPa最大值為兩圓心距離加上兩圓半徑，即為J(2_2)2+3?+2+6=5+6

故選：B

本題考查動點軌跡方程、根據(jù)兩圓位置關(guān)系求最值，考查數(shù)形結(jié)合思想方法以及基本化簡能

力，屬中檔題.

二、填空題

15.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨

機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為.

【正確答案】I

6

【詳解】試題分析：根據(jù)題意，記白球為A,紅球為B,黃球為C,Cz,則

一次取出2只球，基本事件為A8、AG、AC2、BG、BC2'GC?共6種，

其中2只球的顏色不同的是A8、AG、AG、BG、BG共5種；

所以所求的概率是P==?

O

古典概型概率

16.已知拋物線Y=Zny的圖像過點(2,1),則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為.

【正確答案】2

【分析】由拋物線f=〃9的圖像過點(2,1)求出加，再由性質(zhì)求解.

【詳解】因為拋物線V=〃h的圖像過點(2,1),所以4="，則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距

離為2.

故2

17.直線”經(jīng)過點A(1,1),8(2*+1,加-2),且傾斜角為135。，則實數(shù)加為.

3

【正確答案】能=1或，"=

［分析］根據(jù)傾斜角和斜率的對應(yīng)關(guān)系求得正確答案.

/71-2-1

【詳解】依題意tan135。=

2∕√+l-l

所以=~~r=-1>2m2+fn—3=0>

2m-

3

解得初=1或機(jī)=-耳.

3

故，"=1或初=一二

2

18.正方體ABa)-ABCQ的棱長為1,E,F,G分別為BC,CC∣,網(wǎng)的中點，則下列結(jié)論

正確的是.

①直線QQ與直線AF垂直

②直線AG與平面AEF平行

9

③平面AEF截正方體所得的截面面積為U

O

④點A與點D到平面AEF的距離相等

【正確答案】②③④

【分析】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，建立以。為原點，以D4、DC、RD所在的直線為X軸、丁

軸、Z軸的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,利用向量法即可判斷①，根據(jù)線線平行即可判斷②，根

據(jù)梯形面積即可判斷③，根據(jù)中點關(guān)系即可判斷④.

【詳解】在棱長為1的正方體A88-A4G。中，建立以。為原點，以ZM、DC、Ro所

在的直線為X軸、y軸、Z軸的空間直角坐標(biāo)系。-刈z,如圖所示:

E、F、G分別為8C、CG、BBl的中點，則。（0,0,0）,D1（0,0,1）,A（l,0,0）,F^O,l,∣j,

對于①，DD1=（0,0,1）,4/=11,1,小，

.?.DDlAF=→0,故①錯誤；

對于②，連接AR,RF,

ADJ∕EF,.?.A,q,E,F四點共面,

由于A。"GF,AQ=GF,所以四邊形ARFG為平行四邊形，

故Λ1G∕∕RF,又AG色平面AM,OFU平面AM,

???AG〃平面AEP,故②正確;

對于③，連接AR,FDi,

ADi//EF,四邊形ADiFE為平面AM截正方體所得的截面，

22

AD1=√1+1=√2,EF=去,RF=AE=Q）+『=與,

.??四邊形WFE為等腰梯形，高為J（立］J立］=逑，

24

KJIJ4

則四邊形AQFE的面積為U夜+g∣x攣=￡,故③正確；

21ZJ4o

對于④，連接4。交AD于點。，故。是AQ的中點，且。是線段AQ與平面AQLE的交點,

因此點A和點。到平面AEF的距離相等，故④正確.

故②③④.

三、解答題

19.已知直線/過點A(-2,l).

⑴若直線/與直線2x+3y+5=0垂直，求直線/的方程：

(2)若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線/的方程.

【正確答案】(l)3x-2y+8=O

(2)》+2丫=0或》+丫+1=0

【分析】(1)由兩條直線垂直可設(shè)直線/的方程為3x-2y+m=0,將點A的坐標(biāo)代入計算即

可；

(2)當(dāng)直線/過原點時，根據(jù)直線的斜截式方程即可得出結(jié)果；當(dāng)直線/不過原點時可設(shè)直線/

的方程為x+y=”,將點4的坐標(biāo)代入計算即可.

【詳解】(1)設(shè)直線/的方程為3x-2)，+，W=0,則3x(-2)-2x1+加=0,解得帆=8,

所以直線/的方程為3x-2y+8=0.

(2)當(dāng)直線/過原點時，斜率為由點斜式求得直線/的方程是y=即x+2y=0.

當(dāng)直線/不過原點時，設(shè)直線/的方程為x+y=α,把點4-2,1)代入方程得q=T,

所以直線/的方程是χ+y+ι=o.

綜上，所求直線/的方程為x+2y=0或x+y+l=O.

20.記S“為等差數(shù)列｛q｝的前〃項和，己知4=636=5,.

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵求S“，并求5”的最大值.

【正確答案】⑴4=7-〃

11?

(2)5,,=--n2+—n,21

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式可求出公差d,從而利用等差數(shù)列的通項公式即

可求出答案；

(2)根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可直接求出答案.

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為d,由S<,=S?得6q+15d=7q+21d,

即q+6d=0,由“∣=6,得d=-1.

所以｛α,,｝的通項公式為4,=7-〃.

(2)由(1)得S"=""∣■!—----->d=—n'H-----n,

222

因為s,,=q〃-雪+嗎

2)8

所以當(dāng)〃=6或〃=7時，S,,取得最大值，最大值為21.

21.求下列各曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

⑴與橢圓片+￡=1有公共焦點，且離心率e=t的雙曲線的方程.

2593

（2）拋物線的焦點是雙曲線16/-9/=144的左頂點.求拋物線方程.

22

【正確答案】⑴土尸1

(2)/=-12x

【分析】（1）根據(jù)雙曲線的焦點坐標(biāo)與離心率求出”,6即可得解；

（2）由雙曲線左頂點知拋物線焦點即可得解.

【詳解】⑴橢圓言+工=1的焦點坐標(biāo)為（T,0）和（4,0）,設(shè)雙曲線方程

-?■-表■=l（0>0,b>0）,

C4

則c=4,e=*=—.

a3

a=3,b2=c2-a2=7,

??.所求雙曲線方程為

97

（2）依題可設(shè)：拋物線方程為y2=-2px（p>0）.

由雙曲線方程16/-9/=144,即土-21=1,

916

所以左頂點為（一3,0）,故p=6,

所以拋物線方程為V=-12x.

22.北京時間2022年6月5日，搭載神舟十四號載人飛船的長征二號F遙十四運載火箭，

在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，約577秒后，神舟十四號載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)

定軌道，順利將陳冬、劉洋、蔡旭哲3名航天員送入太空，順利進(jìn)入天和核心艙.為激發(fā)廣

大學(xué)生努力學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識的熱情，某校團(tuán)委舉行了一場名為''學(xué)習(xí)航天精神，致航空英

雄”的航天航空科普知識競賽，滿分100分，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這100名參

賽者的得分都在［40,90］之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名同學(xué)得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點值代表）；

（2）用分層抽樣的方法從得分在［60,70）,［70,80）,［80,90］這三組中選6名學(xué)生，再從這

6名學(xué)生中隨機(jī)選取2名作為代表參加團(tuán)委座談會,求這2名學(xué)生的得分不在同一組的概率.

【正確答案】（1）64.5

【分析】（1）首先根據(jù)頻率和為1，求再根據(jù)平均數(shù)公式，即可求解；

（2）首先確定各組抽取的人數(shù)，再通過列舉的方法求古典概型的概率.

【詳解】（1）根據(jù)題意知（α+0.035+0.030+0.020+0.010）χl0=1,解得α=0.005,

所以這100名同學(xué)得分的平均數(shù)是

45×0.∞5×10+55×0.035×10+65x0.030x10+75x0.020x10+85x0.010x10=64.5^：平均

數(shù)是64.5.

（2）由條件知從［60,70）抽取3名，從［70,80）中抽取2名，從［80,90］抽取1名，分別記為

4,，a`,b`,b?,cf

因此樣本空間可記為

。=｛（4，%）（4，回,（4|，4）（4也），（。1?，（4，。3），（%，4b3也卜3，。），（。3,4），（。3也），3，。），（4也），佃，。），（仇，。）

用A表示“這2名同學(xué)的得分不在同一組”，則

A={(α∣,R),(α∣也),(4,c),(外,偽),(《也)，(生，c)，(G，4)，(生也)，&，c),S∣，c),也，c)}

A包含樣本點的個數(shù)為11，

所以P(A)=V

答：這2名同學(xué)的成績分別在［60,70),［80,90］各一名的概率是］

23.已知圓C經(jīng)過點A(-2,0),β(6,0),且圓心C在直線＞=一X上.

(1)求圓C的一般方程；

(2)若圓O:χ2+y2=4和圓c相交于點Λ7,N,求線段MN的長.

【正確答案】(I)X2+V-4x+4y-12=0

(2)2√2

【分析1(1)由圓C經(jīng)過點A(-2,0),3(6,0)得圓心C在直線χ=2上，又圓心在直線V=T

上，聯(lián)立求得圓心坐標(biāo)，利用兩點間距離公式求得半徑，從而求得結(jié)果；

(2)將兩圓方程相減求得相交弦方程，求得原點。到直線MN的距離結(jié)合勾股定理求得弦

長.

【詳解】(1)由圓C經(jīng)過點A(—2,0),B(6,0)得圓心C在直線χ=2上，

又???圓心C在直線＞=一X上，.?.圓心C的坐標(biāo)為(2,-2)

設(shè)圓C的半徑為r,則r=∣C4∣=，［(-2)-2于+(0+2)2=2后,

故圓C的方程為(x-2Y+(y+2)2=20.

化成一般方程為f+y2-4x+4y-12=0.

O

(2)圓O與圓C的方程聯(lián)立，得到方程組=IS八，兩式作差，

x2+∕-4x+4y-12=0

得x—y+2=0,即為直線MN的方程.

∣2∣2

原點O到直線MN的距離"="+(_］)2=W=Sr

又圓。的半徑為2,；?由勾股定理得釁I=/不后

故IMNl=20.

24.如圖，正三棱柱ABC-ABG中，。是BC的中點，AB=BBl=2.

⑴證明：AiB,平面ACQ；

（2）求平面CAC1與平面ACtD夾角的余弦值.

【正確答案】（1）證明過程見解析;

Q）叵.

5

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；

（2）根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）連接AC交AG于E,連接即，因為正三棱柱ABC-AAG的側(cè)面是平行四

邊形，所以E是AC的中點，而。是BC的中點，

所以EZ）〃區(qū)明而Er）U平面ACQ,ABcX平面AC0.

所以AB,，平面ACQ；

（2）因為。是BC的中點，三角形A3C是正三角形，

所以AOl5C,設(shè)F是4G的中點，顯然Z）FI平面A8∣G,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

ZXO,O,O),C(O,-1,0),A(√3,0,0),Cl(0,-l,2),

設(shè)平面CAe與平面ACQ的法向量分別為〃?=,%zj,〃=(x2,y2,z2),

AC,=(-√3,-l,2),AC=(-√3,-1,0),DA=(√3,O,θ),

!Ti?AC,—0-y∕3x.-V)÷2Z[=0/1—?

則有,nJ」,=>∕n=(l,-√3,0,

7

w?AC=0[-√3x1-y1=0'

n?AC=0[-?∣3X-v?+2z,=0/、

1'n'J7>22n〃=o,_