電路分析8-1教材

具有儲(chǔ)能元件的電路為動(dòng)態(tài)電路。動(dòng)態(tài)電路用微分方程來描述。第八章一階電路（FirstOrderCircuit)分析

由電源和電阻器構(gòu)成的電阻性網(wǎng)絡(luò)，是用代數(shù)方程來描述的，求解過程不涉及微分方程。動(dòng)態(tài)電路概述

過渡過程

自然界事物的運(yùn)動(dòng)，在一定條件下有相應(yīng)的穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)條件改變，就要變化到新的穩(wěn)定狀態(tài)，而且，這種變化往往不能躍變，需要一定的過程（或時(shí)間）。這個(gè)物理過程就稱為過渡過程（或暫態(tài)過程、瞬態(tài)過程、動(dòng)態(tài)過程）。S未動(dòng)作前（穩(wěn)態(tài)）S接通電源后很長(zhǎng)時(shí)間（新穩(wěn)態(tài)）i=0,uC=0i

=0,uC=US電路的過渡過程+–uCUSRCiSuCUSRCi+–初始狀態(tài)過渡狀態(tài)新穩(wěn)態(tài)t1USuCt0?

過渡過程（transientprocess）：電路由一個(gè)穩(wěn)態(tài)過渡到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)需要經(jīng)歷的過程。過渡過程產(chǎn)生的原因能量不能躍變1.電路內(nèi)部含有儲(chǔ)能元件L，

C。2.電路結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。開關(guān)閉合開關(guān)斷開參數(shù)變化換路+-uSR1R2R3S思考：有無過渡過程？

過渡過程的時(shí)間是極為短暫的，也常稱這一過程為瞬態(tài)過程。由于這短暫的過程對(duì)控制系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)、通訊系統(tǒng)關(guān)系重大，所以將是我們分析、討論的重點(diǎn)。

動(dòng)態(tài)電路分析：研究在過渡過程中，電路的電壓和電流隨時(shí)間變化的規(guī)律，并討論影響這種變化（過渡過程）快慢的電路參數(shù)。

分析動(dòng)態(tài)電路的方法很多。以時(shí)間t為變量的分析方法稱時(shí)域分析法；以ω為變量的稱頻域分析法；以S為變量的稱復(fù)頻域分析法；以Z為變量的稱離散域分析法等。本章介紹時(shí)域分析法。

為了便于討論，一般把由一階微分方程描述的電路稱為一階電路。在一階電路中，只含有一個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件。為了描述含有兩個(gè)或兩個(gè)以上動(dòng)態(tài)元件的電路，則分別需要二階微分方程或高階微分方程，相應(yīng)的電路分別稱為二階或高階電路。一、t=0+與t=0-的概念換路在t=0時(shí)刻進(jìn)行0-

t=0的前一瞬間0+

t=0的后一瞬間電路中起始條件的確定

初始條件（initialcondition）為t=0+時(shí)u，i及其各階導(dǎo)數(shù)的值。0-0+0tf(t)

換路定則：1.電容q

(0+)=q

(0-)uC

(0+)=uC

(0-)電荷守恒結(jié)論：換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。2.電感i(t)為有限值時(shí)當(dāng)u(t)為有限值時(shí)

L

(0+)=

L

(0-)iL(0+)=iL(0-)磁鏈?zhǔn)睾?/p>

結(jié)論：換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。

本書只限于討論線性、非時(shí)變的動(dòng)態(tài)電路，而本章主要討論由直流電源驅(qū)動(dòng)的含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的線性一階電路。其電路方程是線性常系數(shù)一階微分方程。圖8－1圖8－2

在動(dòng)態(tài)電路中，激勵(lì)除是獨(dú)立電源外，還可以是動(dòng)態(tài)元件上的初始儲(chǔ)能，即電容上的初始電壓uC(0+)，或電感上的初始電流iL(0+)

。外加輸入信號(hào)：獨(dú)立電源uS、iS

對(duì)線性電路而言，動(dòng)態(tài)電路的響應(yīng)為二者響應(yīng)之疊加。動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能：uC(0+)、iL(0+)

電路中的響應(yīng)是由激勵(lì)產(chǎn)生的，而激勵(lì)一般都是指外加的輸入信號(hào)，即獨(dú)立電源。激勵(lì)☆零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

一般情況下，電路的響應(yīng)是由輸入激勵(lì)信號(hào)和內(nèi)部?jī)?chǔ)能元件初始儲(chǔ)能共同作用產(chǎn)生。零輸入響應(yīng)：僅由電路動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)。（輸入激勵(lì)為零）

動(dòng)態(tài)電路分析的基本方法是建立微分方程，然后用數(shù)學(xué)方法求解微分方程，得到電壓電流響應(yīng)的表達(dá)式。零狀態(tài)響應(yīng)：僅由輸入激勵(lì)引起的響應(yīng)。（初始儲(chǔ)能為零）電阻電路:電壓電流僅僅由獨(dú)立電源所產(chǎn)生動(dòng)態(tài)電路:完全響應(yīng)則由獨(dú)立電源和動(dòng)態(tài)元件的儲(chǔ)能共同產(chǎn)生常系數(shù)一階微分方程的求解：1）齊次方程的通解：初始條件：X(t0)=X0全解為：設(shè)齊次方程的通解為：代入齊次方程可得：特征方程——S=A稱為微分方程的特征根或固有頻率K為任意常數(shù)，由初始條件確定2）非齊次方程的特解:3）由初始條件確定通解中的常數(shù)K：則非齊次方程特解為：Xp(t)=Q

若輸入是直流電源，W(t)=Q為常數(shù)，已知量注：若特征根S=A＝0，則特解形式為：Xp(t)=Qt

將通解代入初始條件：x(t0)=X0，由此確定出常數(shù)K?！?－1零輸入響應(yīng)一、RC電路的零輸入響應(yīng)①t＜0—充電，假設(shè)在開關(guān)轉(zhuǎn)換以前，電容電壓已經(jīng)達(dá)到U0②t=0—換路③t≥0—放電

在時(shí)，電路中雖然沒有電源，但在電容初始儲(chǔ)能的作用下，仍可以有電流和電壓存在，構(gòu)成零輸入響應(yīng)。

電容電壓具有連續(xù)性，當(dāng)開關(guān)倒向2端的瞬間，電容電壓不能躍變，即

由KVL可得：電阻電壓與電容電壓相同，即

電阻的電流為在開關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間，電流由零躍變?yōu)椤?/p>

開關(guān)轉(zhuǎn)換后，電容通過電阻R放電，電壓逐漸下降，最后變?yōu)榱悖娏饕蚕鄳?yīng)地從逐漸下降，最后也為零。

在此過程中，在初始時(shí)刻電壓為的電容所存貯的能量逐漸被電阻所消耗，轉(zhuǎn)換為熱能。

該電流在電阻中引起的功率和能量為

電容中的能量為

電阻消耗能量，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，電阻消耗的能量需要電容來提供，這造成電容電壓的下降。一直到電容上電壓變?yōu)榱愫碗娙莘懦鋈看鎯?chǔ)的能量為止。這一過程變化的快慢取決于電阻消耗能量的速率。建立圖(b)所示電路的一階微分方程：①

列KVL和KCL方程KVLKCL(t≥0)②列元件VCR:③

化簡(jiǎn)得：

這是一個(gè)常系數(shù)線性一階齊次微分方程。

代入式(8－1)中，得到特征方程

其解為求解微分方程：解：（1）求初始條件，電容電壓在換路瞬間不能突變：（2）求解：①求特征方程： 設(shè)通解：p只決定電路本身的結(jié)構(gòu)，反應(yīng)電路本身固有的性質(zhì)，稱為電路的固有頻率。它決定了電路的響應(yīng)模式（衰減、發(fā)散、振蕩）。

根據(jù)初始條件②.設(shè)通解：③.定常數(shù)K：由初始條件確定所以RC電路的零輸入響應(yīng)：

各電壓電流的變化快慢取決于R和C的乘積。

，衰減越慢，衰減越快極限情況R→0，則→0R→∞，則→∞

時(shí)間常數(shù)

=RC：放電時(shí)間的長(zhǎng)短與C和R有關(guān)。RC具有時(shí)間量綱：歐·法=歐·庫(kù)/伏=歐·安·秒/伏=秒。

時(shí)間常數(shù)的大小決定與電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而和初始電壓的大小無關(guān)。

由于電容在放電過程中釋放的能量全部轉(zhuǎn)換為電阻消耗的能量。電阻消耗能量的速率直接影響電容電壓衰減的快慢，我們可以從能量消耗的角度來說明放電過程的快慢。

在電容電壓初始值U0不變的條件下，增加電容C，就增加電容的初始儲(chǔ)能，使放電過程的時(shí)間加長(zhǎng)；

在電容電壓初始值U0不變的條件下，若增加電阻R，電阻電流減小，電阻消耗能量減少，使放電過程的時(shí)間加長(zhǎng)。如何理解？，衰減越慢，衰減越快圖8－4RC電路零輸入響應(yīng)的波形曲線

理論上，僅當(dāng)t→∞時(shí)，uc(t)→０，工程上一般認(rèn)為3~5τ暫態(tài)過程（放電過程）基本結(jié)束，電路又處于穩(wěn)態(tài)。t0

2

3

4

5

uc(t)U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00

電阻在電容放電過程中消耗的全部能量為

結(jié)論：電容在放電過程中釋放的能量全部轉(zhuǎn)換為電阻消耗的能量（熱能）。例8-1電路如圖8－5(a)所示，已知電容電壓uC(0-)=6V。

t=0閉合開關(guān)，求t>0的電容電壓和電容電流。圖8－5例8－1

解：在開關(guān)閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到

將連接于電容兩端的電阻單口網(wǎng)絡(luò)等效于一個(gè)電阻，其電阻值為

得到圖(b)所示電路，其時(shí)間常數(shù)為

根據(jù)式8－5得到

電阻中的電流iR(t)可以用與iC(t)同樣數(shù)值的電流源代替電容，用電阻并聯(lián)的分流公式求得iR(t)①t＜0—儲(chǔ)存一定的磁場(chǎng)能量，電感L由電流源I0供電，電感電流原來等于電流I0，電感中儲(chǔ)存一定的磁場(chǎng)能量。②t=0—換路③t≥0—釋放磁場(chǎng)能，衰減到零二、RL電路的零輸入響應(yīng)

在開關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間，由于電感電流不能躍變，即iL(0+)=iL(0-)=I0

，這個(gè)電感電流通過電阻R時(shí)引起能量的消耗，這就造成電感電流的不斷減少，直到電流變?yōu)榱銥橹?。RL電路是電感中的初始儲(chǔ)能逐漸釋放出來消耗在電阻中的過程。電感中存貯的磁場(chǎng)能量逐漸被電阻消耗，轉(zhuǎn)換為熱能。與能量變化過程相應(yīng)的是各電壓電流從初始值，逐漸減小到零的過程。

列出KCL方程

代入電感VCR方程

得到以下微分方程

這個(gè)微分方程與式(8－1)相似，其通解為

代入初始條件iL(0+)=I0求得

最后得到電感電流和電感電壓的表達(dá)式為RL電路零輸入響應(yīng)也是按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于常數(shù)

。由于

=L/R具有時(shí)間的量綱，稱為RL電路的時(shí)間常數(shù)。亨/歐＝韋/（歐·安）＝（伏·秒）/（歐·安）＝秒。圖8-7時(shí)間常數(shù)L/R，表征電路固有性質(zhì)，反映過渡過程長(zhǎng)短。iL(t)uL(t)t0I0-RI0(b)t=時(shí)，iL()/I0=e-1=36.8%t=2時(shí)，iL(2)/I0=e-2=13.5%t=3時(shí)，iL(3)/I0=e-3=5%……t=5時(shí)，iL(5)/I0=e-5=0.7%一般認(rèn)為經(jīng)過3-5時(shí)間后瞬態(tài)過程已經(jīng)結(jié)束。

時(shí)間常數(shù)

越小，電壓、電流衰減越快；反之則越慢。

因此，對(duì)RL電路（

=L/R)而言，L越小，R越大，電流和電壓衰減越快。對(duì)于同樣的初始電流I0，L越小就意味著電感的儲(chǔ)能越小，因而供應(yīng)電阻消耗的時(shí)間就越短。對(duì)于同樣的初始電流I0

，R越大，電阻的功率也就越大，因而貯能也就越快地被電阻消耗掉。極限情況：R→0，則→∞R→∞，則→0此時(shí)uL(0)→∞（瞬間高壓）例8-2電路如圖8－8(a)所示，開關(guān)S1連接至1端已經(jīng)很久，