導(dǎo)數(shù)大題證明不等式歸類（學(xué)生版）

11(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式fx>gx(或fx<gx)轉(zhuǎn)化為證明fx-gx>0(或fx-gx<0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)hx=fx-gx；(2)構(gòu)造新的函數(shù)hx；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究hx的單調(diào)性或最值；題. 1(陜西省澄城縣20121-2022學(xué)年高三試數(shù)學(xué)(理)試題)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性； 2已知函數(shù)f(x)=x2-2lnx.(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；22(湖南省三湘名校教育聯(lián)盟(湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)fx=ex+ax+b，曲線y=fx在點(diǎn)0,f0處的切線方程為y=a-b.12-3lnx.233(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn),f處的切線方程；xx>1.33 1(2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=x2-1-lnx.(1)求fx的最小值； (Ⅱ)證明：f(x)>ex-x.44然對(duì)數(shù)的底數(shù)，曲線y=fx在2,f2處切線的傾斜角的正切值為e2+2e.122(1)討論y=f(x)的單調(diào)性并求極值；2(x+1)>lnx?ln(x+2).3355 時(shí)，2n+1lnn+1<nlnn+n+1lnn+2. 662023·2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)f(x(=(1-ax(ln(x+1(-bx，其中a和b是實(shí)數(shù)，曲線y=f(x(恒與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn).(3(求證10000.4<e<1000.5.12(2023上·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中)(1)已知函數(shù)f(x(=xlnx，判斷函數(shù)g(x(=f(1+x(+f(1-x(的23(2017下·黑龍江大慶·高三大慶中學(xué)校已知函數(shù)f(x)=+lnx；377證明不等式f1+f2+?+fn<gngn=[gn-gn-1[+[gn-1-gn-2[+[gn-2-gn-3[+?+[g2-g1[+[g1-g0[n=gn-gn-1n∈N*，則只需證f1+f2+?+fn<b1+b2+?+bn即如果能夠證出fn<bn恒成立，則原不等式也就成立. 1(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·呼市二中?？家荒?已知函數(shù)fx=ln1+x-mx.(1)求函數(shù)fx的極值；(2)求證：++?+>ln2n∈N*. (1)討論函數(shù)fx的單調(diào)性；(2)證明:2lnn+1>+++?+(n∈N*).88n1(1)討論fx的單調(diào)性；+lnn+1>n.+++?+n+14+lnn+1>n.+++?+n+14*2(1)若不等式fx≥gx在區(qū)間0,+∞內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；2(2)求證：++...+<(n≥2,n∈N?,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))33(2)已知a=1，m≥，x>1，gx=lnx+mf(3)證明：ln5<++?+n∈N*.9922n=(n∈N*(， *)12*，x>-1且x≠0，函數(shù)f(x(=(1+x(p-px-1.>0；233(2)求證：1+1+?1+<e.ln(f(1(?f(2(???f(n((<lnt?ln(f(1((+ln(f(2((+ln(f(3((?+ln(f(2((<lnt <f(x(<x；*1+1+?1+<e. 2(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函3(1)求曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程；*?12(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知關(guān)于x的函數(shù)fx=ax-lnx-1+ln2.2(1)討論fx的單調(diào)性；*<n2-nln2.3(2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)fx=ex-ax2-x3 1已知函數(shù)f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R).(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；x>x2+x+2. 2(20122·浙江·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R).(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；x>x2+x+2.(2023(2023上·福建福州·高三校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.12(2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)fx=x-alnx-4,a∈R.2(1)討論函數(shù)fx的單調(diào)性；(2)當(dāng)a=1時(shí)，令Fx=x-2ex-fx，若x=x0為Fx的極大值點(diǎn)，證明：0<Fx0<1.3(2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí))已知函數(shù)fx=ax+xlnx,a∈R.(1)判斷fx的單調(diào)性;3(2)若a=1,0<x≤1,求證:ex+1-fx≤e,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).凸凹反轉(zhuǎn)首先是證明不等式的一種技巧，欲證明f(x)>0，若可將不等式左端f(x)拆成g(x)>h(x)，且gmin來(lái)完成證明. 1(2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學(xué)校?？?已知函數(shù)fx=+lnx,m∈(1)討論fx的單調(diào)性； 2已知函數(shù)f(x)=ex-x-m(m∈R).(2)當(dāng)m=-1時(shí)，證明：f(x)>1-.(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；(Ⅱ)若a<-1，證明：f(x)<-1.12已知f(x)=xlnx，g(x)=-x2+ax-323已知函數(shù)f(x)=ax2-xlnx.32.xex=elnx?ex=elnx+x3.==elnx-x4.x+lnx=lnex+lnx=ln(xex)5.x-lnx=lnex-lnx=ln-x16.=x-6.=x=x=elnx(核心公式)x=elnx?ex=elnx+x（3）==elnx-x（4）x+lnx=lnex+lnx=lnxex（5）x-lnx=lnex-lnx=ln（1）==（2）=-x-1lnx-1=-elnx-1?lnx-1（3）xlnx=elnx?lnx（4）==-(-x)e-xxx11一個(gè)核心：lnex=x=elnxxxxx 數(shù)的底數(shù).(2023·(2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)f(x)=ae3x-x，h(x)=3x2-xlnx，(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a≥1時(shí)，證明f(x)>h(x)恒成立.122 a. (1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；(2)已知m，n是正整數(shù)，且1<m<n，證明1+mn>1+nm.(1)求gx的單調(diào)區(qū)間；12(2021·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)fx=lnx-.2(1)求證：函數(shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞增；3(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)fx=lnx-.3(1)若函數(shù)fx在0,+∞上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍； 1(2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)fx=ex-ax2+e2x有兩個(gè)極值點(diǎn)a≤-，x2x1<x2.+x2<2ln2a. 2(2023·山西·?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)fx=lnx-ax+1,a∈R.(1)若fx≤0，求a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的方程fx2=eax-ex2有兩個(gè)不(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若x1≠x212(2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)fx=lnx+,a∈R．若函數(shù)fx有兩個(gè)不相2等的零點(diǎn)x1,x2.+x2>4a.處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的類似于x1x2<afx1=fx2的問(wèn)題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定fx的單調(diào)性，得到x1,x2的范圍；②構(gòu)造函數(shù)Fx=fx-f，求導(dǎo)可得Fx恒正或恒負(fù)；③得到fx1與f的大小關(guān)系后，將fx1置換為fx2； x1 x1 1(2023上·河南·高三南陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R). 2(2023上·陜西漢中·高三西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考)已知函數(shù)fx=，gx=lnx-x.(1)求函數(shù)gx的極值；(2)若hx=fx-gx，求函數(shù)hx的最小值；1x2<1.1 2e2-a+1xa∈R.2(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù). (1)討論fx的單調(diào)性； 2(2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)fx=lnx-ax2.(1)討論函數(shù)fx的單調(diào)性：(2)若x1,x2是方程fx=0的兩不等實(shí)根，求證：x+x>2e；(2023·山西(2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)fx=-ax.1(1)若fx≤-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若fx有2個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x1<x2)，求證：2x+3x> 2(1)若fx≤1，求a的取值范圍；2，使得fx1=fx2，則x+x>2.3.三角函數(shù)與函數(shù)的重要放縮公式：x≥sin 1(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)fx=ex-x-1. 2(2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)fx=x3-ax+1.(2022·(2022·新疆·統(tǒng)考三模)已知函數(shù)f(x)=sinx-axcosx，a∈R122 1已知函數(shù)fx=lnx+x2-axa∈R.(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間； 2(2)設(shè)fx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且x1<x2，若0< 23-4,求證：fx1-fx23-4ln2. 2已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-x.(2)設(shè)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若x1，x2是函數(shù)f′(x)的兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求證：f(x1)+f(x2)<x1+x2-5已知函數(shù)f已知函數(shù)fx=x--alnx(a∈R)，1(1)求曲線y=fx在點(diǎn)（e,-處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積.(2)fx是fx的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)gx=x2?fx-ax+2lnx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且0<x1<x2<e，求證：gx1+<gx2+e2-4.2已知函數(shù)fx=x2+lnx+mx，(m∈R).2(1)若fx存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；2為fx的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：-f>.(1)ex≥x+1；(2)ex≥ex；(3)1-≤lnx≤x-1；(4)lnx≤. x2-x1<2a+1+e-2.求證：|a-b|<nlnt+nn. 2已知函數(shù)f(x)=4ex-1+ax2，曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=bx+1.(2)x>0且x≠1時(shí)，證明：曲線y=f(x)的圖象恒在切線y=bx+1的上方；x-1-x3-3x-2lnx≥0.已知函數(shù)f(已知函數(shù)f(x)=4ex-1+ax2，曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=bx+1.(2)x>0且x≠1時(shí)，證明：曲線y=f(3)證明不等式：4xex-1-x3-3x-2lnx≥0.12(2013·新課標(biāo)II卷)已知函數(shù)fx=ex-lnx+m①2(1)設(shè)x=0是fx的極值點(diǎn)，求m并討論fx的單調(diào)性；(2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明：fx>012021·福建莆田·統(tǒng)考二模)設(shè)函數(shù)f(x)=2ex+acosx,a∈12(2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=sinx+x2.2(1)求曲線g=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程，(2)證明：f(x)>-.3(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)fx=x2-ax+alnxa∈R,a≠0,fx是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù).3(1)討論fx的單調(diào)性；(3)利用(2)中的不等式證明：++...+>lnn+1n∈N*.44(2)求證：+++?+<nn+5，n∈N?.5(2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)fx=l51+<en∈N*.660是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，若-7(天津市紅橋區(qū)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題)已知fx=xlnx，gx=-x2+ax-3.(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；78-2022學(xué)年高函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，且能用一個(gè)式子表示的.如函數(shù)fx=xx8x>0，我們可以作變形：fx=xx=elnxx=ex?lnx=ett=xlnx，所以fx可看作是由函數(shù)ft=et和gx=xlnx復(fù)合而成的，即fx=xxx>0為初等函數(shù)，根據(jù)以