數(shù)列分奇偶、公共項(xiàng)、重新排序、插入項(xiàng)等十一大題型匯總（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破（新高考通用）

重難點(diǎn)專題27數(shù)列分奇偶、公共項(xiàng)、重新排序、插入項(xiàng)等十一大題

型匯總

題型1數(shù)列分奇偶之隔項(xiàng)型........................................................1

題型2數(shù)列分奇偶之即+an+1=f(n)型.........................................10

題型3數(shù)列分奇偶之a(chǎn)ncm+1=/(n)型............................................19

題型4數(shù)列分奇偶之含有(-1)n.................................................................................................23

題型5數(shù)列分奇偶之含有｛a2n｝,｛a2n-1｝型........................................30

題型6數(shù)列分奇偶之分段數(shù)列型...................................................34

題型7數(shù)列公共項(xiàng)問題...........................................................42

題型8重新排序問題.............................................................51

題型9插入項(xiàng)問題...............................................................63

題型10與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合的數(shù)列問題................................................78

題型11新定義數(shù)列..............................................................91

題型1數(shù)列分奇偶之隔項(xiàng)型

【例題IX2023?湖南?鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考三模底數(shù)列｛即｝中，%=18g=24g+2-

an=-6.

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和為S“，求S“的最大值.

21-3%n為奇數(shù),

【答案】(1)廝=

30—3n,n為偶數(shù).

(2)96

【分析】(1)由已知條件即+2-即=-6可得，當(dāng)ri為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公

式為an=21-3n,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即數(shù)列｛即｝的偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為廝=30-3n；

(2)分別討論當(dāng)兀為奇數(shù)或偶數(shù)，得出數(shù)列｛七｝各項(xiàng)的值或大小，從而求得％的最大值.

【詳解】(1)當(dāng)幾為奇數(shù)時(shí)，即數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項(xiàng)是以18為首項(xiàng)，-6為公差的等差數(shù)列，

an=21—3n.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即數(shù)列5｝的偶數(shù)項(xiàng)是以24為首項(xiàng)，-6為公差的等差數(shù)列，an=30-3n.

(21-3n,n為奇數(shù)，

所以a九=〈?

(30-3n,n為偶數(shù).

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即=21-3n20,

即劭，都大于0,a;=0,。9＜0，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=30-3n20,

即。2,。4，。6，。8都大于0I。10=0)。12＜。＞

所以S"的最大值為由+a2+???+a8=96.

a=

【變式1-1]L(2023?天津統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛an｝中,%=1,a2=2,O-n+2~n

4(nGN*),數(shù)列｛%｝的前ri項(xiàng)和為%.

Q)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式：

(2)若垢=不三，求數(shù)列｛九｝的前n項(xiàng)和7；

32n,十3八n

⑶在(2)的條件下，設(shè)“，求證：6-需＜￡"向＜8-娼.

4°n°n+2//

「討一，八、囚_1,"為奇數(shù)

【答案】(l)an=＜

(2n-2,"為偶數(shù)

(2)7；=—

''n4n+4

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)條件可得數(shù)列｛即｝的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等差數(shù)列，分奇偶求數(shù)列｛時(shí)｝的

通項(xiàng)公式；

(2)先分組求和求得S2”，再利用裂項(xiàng)相消法求得Tn；

(3)先求出。的通項(xiàng)公式，。=前戶=箸,再根據(jù)0V喏Wj〈陪，得到

4DnDn+2444

春s匹〈券，令d*泰和〃=巖,利用錯(cuò)位相減法求得Q"和％，再通過匕瞰大小

可證明結(jié)論.

【詳解】(1)“1=1,。2=2,an+2-an=4(nGN*),

當(dāng)九=2k-l,keN*時(shí)，數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列，

貝！］@九=^2k-i=1+4(k—1)=4k—3=2(2/c—1)—1=2n—1；

當(dāng)九=2k,叱N*時(shí)，數(shù)列｛時(shí)｝的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，

貝=Q2k=2+4(k—l)=4/c-2=2-2fc—2=2n—2,

(2n-1,九為奇數(shù)

\

(2n-2,n為偶數(shù)

2n-l,rr為奇數(shù)

(2)由(1)得an=

2n-2,n為偶數(shù)

aaa|-aaa

」.S2rl=+。2+。3+…+2n=(l+3-------2n-l)+(2+4+…+02n)=

(%+。271-1)九+(。2+。2枷_(l+4n-3)7l+(2+471-2)-_4rl2_幾

22-22-

1_1

,“b

n+5n2=田一總

S2n4n+4n

,-.Tn=b1+b2+...+Z,n=l(l-l+l-l+...+l--l7)=l(l--l7)=zAz

(3)證明：由(2)得的=缶-總，則”也=筆

(

5+1)271+2)2(n-1時(shí)等號(hào)成立),

.,.0<4n—1工cnV4?i-i

由不等式的性質(zhì)得^<歷<素,

令4=需，數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為叁，

■■Qn=dr+d2+---+dn=3x/+4x[+…+,

1<2n=3x：+4x京+…+箸②,

由得①—②得,

1o.1.1.1n+2o,X1一^T)n+2,n+41

2<2n=3+-+?+-+^--=3+F3-----=-

2

“n=8-巖,

由不等式的性質(zhì)得W：I向＜Qn,

故2—?dú)v＜8-胃

令e—總數(shù)列｛的｝的前幾項(xiàng)和為4,

■■Pn=el+e2+,"+en=2X翥+3X：+—+■③

/=2x：+3x*+…+祟④

由③一④得,

1D-911_L1^+1_,11一冊(cè))n+1n+31

-P=2d--1>加+…+--r---=92+――n~--z-=o3-------

2n2222n-12n1-12n22n-1

2

._/?n+3

-PDn=6-布，

71

歷,

Zk=l

故6-蹈<W-歷"-泰

【變式1-1】2.（2023?四川南充?四川省南充高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛即｝滿足：

=|，即+2-即W3“，a-a>91-3n,貝M2023=()

<5n+6n

,20233B.對(duì)"

A.--2+282

o202332023

c--

?8?2

【答案】c

71

【分析】由an+2-an<3n得到冊(cè)+6-a”W91?3,結(jié)合an+6-冊(cè)291?3”,得到即+6一

n

an=91-3,從而得到a』-即=3",再利用累加法得到。2升1=%+3+33++…+

32"-1,結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出。2023的值?

n

【詳解】?.?%=，an+2-an<3,

o

aan+2,l+4

1,,n+4--n+2—3,an+6—an+4W3,

an+6~~an=(an+6~an+4)+(an+4—an+2)+(an+2-an)-3"+。+3n+2+3”

3n(34+32+1)=91?3",

又與+6一即291?3",故與+6一冊(cè)=91?3”,

nn+2n+4

所以即+2-an=3,an+4-an+2=3,an+6-an+4=3,

3n

所以a3-?!=3,a5-a3=3,...,an+2-an=3,ar=

故a2n+l-al-a2n+l-a2n-l+a2n-l-a2n-3+",+-a3+a3-al=3+33+3S+

-+32n-1,

則=%+3+33+35+…+327*-1,

3S

所以。2023=-+3+3+3+-+32°21=3亞二僦匕=壯

NU/S881-98

故選：C.

【變式1-1]3.(2020?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知數(shù)列｛/｝中,a1=l,a2n=a2n^+

n1

(-l)(neN*),a2n=a2n_2+2"-+(-1)九(n22,且neN*),則｛a.｝的前20項(xiàng)的和

為

【答案】2】2-34

n

【解析】根據(jù)遞推公式a2n=a2n_1+(-l)(neN*)列舉出前20項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)關(guān)系,

兩端相加可得前20項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和相等，故問題轉(zhuǎn)化為只需求偶數(shù)項(xiàng)的和，

再由=a2n-2+2“T+(-19采用累加法可求出偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，從而可求出偶數(shù)項(xiàng)

的和，進(jìn)而求出數(shù)列｛斯｝的前20項(xiàng)的和.

【詳解】由題后、，得=%—1,CI4=。3+1，&6=a$-1,a2。=%9+1,

所以+a4+-+a20=a1+a3+-+a19,即S盾=S奇.

又a?=%-1=0,a?n=a2n-2+2n-1+(-l)n(n>2,且neN*),

1212

a4=a2+2+(-1)=2+(-1),

23

a6=a4+2+(-1),

34

a8=a6+2+(-1),

a2n=a2n-2+2n-1+(T)n,

將上式相加，得

a2n=2+2?+…+2n-1+(-1)2+(-1)3+…+(-l)n=+=2n-

3+(-1尸1

2'

所以s㈤=(2+22+23+…+29+210)-ix30=2(1~21())-15=211-17,

偶21-2

所以Szo=2(211—17)=212-34.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化的思想和

運(yùn)算能力，屬于難題.

【變式1-114.(2023秋?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知數(shù)列｛an｝滿足的=g=

1,a4+2=(1+sin?cin+2cos26N.

(1)求數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛C"｝滿足d=&,求證：q+C2+--?+cn<3.

a2n-i

2~,n=2k—l(/cGN*),

【答案】Q)an

n—l,n=2k(kGN*);

(2)證明見解析

【分析】(1)分別取〃為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)遞推式，即可得出數(shù)列｛6｝的

通項(xiàng)公式；

(2)*(1)知％=票，利用錯(cuò)位相減化簡(jiǎn)即可得出S=3-智，從而得證.

2Ufc1)TT2

【詳解】(1)當(dāng)兀-2k-l(/cGN*)時(shí)，azk+i=[1+sin~]a2fc-i+2cos^^n=

^a2k-l?

即%±1=2,所以數(shù)列｛的-1｝是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)歹h因此的心1=2上

a2k-l

2

當(dāng)n=2k(keN*)時(shí)，a2k+2=(i+sin等)a2k+2cos2=a2k+2,

所以數(shù)列Szk｝是首項(xiàng)為L(zhǎng)公差為2的等差數(shù)列，因此a2k=2k-1.

n+1,*、

1n-l,n=2k(k6N);

(2)證明：由(1)知，j=符，記S=J+C2+???+0.

則S=：+襄+…+^

*費(fèi)+套+…+祭+笫/，

①-硼SE+26+/..+3-繇=/2.監(jiān)一■

2

化簡(jiǎn)得s=3-筌.

故C[+。2+???+%<3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：隔項(xiàng)數(shù)列求通項(xiàng)，分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況是關(guān)鍵.考查了數(shù)列

遞推式，誘導(dǎo)公式及數(shù)列前n項(xiàng)和的錯(cuò)位相減法，屬于較難題.

【變式1-1]5.(2021秋?浙江杭州?高三學(xué)軍中學(xué)?？计谥?已知數(shù)列｛即｝的各項(xiàng)均為正

數(shù)，前加頁和為Sn,%=2,,a2=4，若對(duì)任意的正整數(shù)n，有即+2=償:藍(lán)I

⑴求的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足%=>求證：%+壇+…bn<

an-l3

【答案】⑴廝=2n,neN*；

(2)證明過程見解析.

【分析】(1)當(dāng)n=2k-1,n=2k,keN”時(shí)，分別求出通項(xiàng)公式，再綜合即可；

(2)利用放縮法進(jìn)行證明即可.

(1)

解：當(dāng)n=2k-l,keN-時(shí)，an+2=4anBPGt2k-i+2=4a21

a2k+l=4a2k-l

???奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列

fe-12k-l

；?a2k-i=Qix4"T=2X4=2

n

:.n=2k—1時(shí),an=2

當(dāng)ri=2k,keN*時(shí)，an+2=2szi+4即a2k+2=2s2k+4①

當(dāng)k=k+1時(shí),a2k+4=2s2k+2+4②

aa

②-①得a2k+4—a2k+2=2（S2k+2—S2k）=2（2k+l+2k+2）

化簡(jiǎn)得。2々+4=3a2k+2+^a2k+l

即a2k+4=3a2k+2+4*+i

等式兩邊同時(shí)除以小+2得

02（々+2）_3。2（火+1）￡

4k+2-4*4fc+1'4

等價(jià)于臀-1="（愛歲_1）

那UND

由題知。2=4,當(dāng)k=1時(shí)，號(hào)-1=?-1=：-1=。

4444

故賢-1=0即a2k=小=22〃

An=2k時(shí)，%=2n

n

綜上/dn=2,716N*

（2）

解：由（1）知，冊(cè)=2九

1

2n-1

2n-1

nnn

2-1=2x2t-1=2x2t-m3T=

當(dāng)n?3時(shí)，2-巖號(hào)

A271Tx（2-本）>2nT即2n-1>^x271-1,n>3

1,41

:.-----V-X-----

2n-l-72n-1n>3

艮++

5

+b<-

fcl23

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在利用放縮法證明數(shù)列不等式時(shí)，要注意放縮的方向，在放縮方向明確

之后，放大得太多，或者縮小得太多，可以適當(dāng)進(jìn)行調(diào)整，比如從第二項(xiàng)開始放縮或者第三

項(xiàng)開始放縮.

【變式1-1]6.(2022秋?江蘇鹽城?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知數(shù)列｛斯｝滿足的==|，

n

an+2=an+2x3(nGN*),且%=an+an+1(nGN*).則數(shù)列｛bn)的通項(xiàng)公式

為?若%Cn=奈、(neN*),則數(shù)列｛.｝的前n項(xiàng)和為

【答案】b=3n,n&N*----7^~-

4UK.nn,33n+1(2n+l)

【分析】(1)根據(jù)遞推關(guān)系求得%+i-%=an+1+an+2-(an+an+1)=an+2-an=2x

3n,利用累加法求得與的通項(xiàng)公式；

_______4n+4_______1

代入求得的心，化簡(jiǎn)％，得%=

(2)3n+1(2n-l)(2n+l)-3n(2n-l)3n+1(2n+l)

利用裂項(xiàng)相消法求得前n項(xiàng)和.

22=

【詳解】解：%==|,即+=an+2x3noi6N*),可得4=%+。3,an+2-an=

2x3n,

bn+1?n+1+a?+2-(?n+W+i)=n

又-bn=an+2-an=2x3,

(Z?2—(/?3—2)+…+(%—

則bn=瓦+九)+力bn_i)=3+2x3+2x32+…+2x

33=1+答=-

上式對(duì)九=1也成立，

n

所以bn=3,neN\

中「=4(n+l)(力GH但「=____4九+4________]_____________J_____

?nn-3(4n2-l)1N*)''J1^n-3n+1(2n-l)(2n+l)-3n(2n-l)3n+1(2n+l)'

則數(shù)列｛J｝的前n項(xiàng)和為a一短+康一羨+???+我土石-3?+羨+i）

_1_____1

-33n+1（2n+l）*

故答案為：b=3。，neN*

nO3<4/1十XJ

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求&通項(xiàng)時(shí)，累加法求和需要考慮71=1的情況；化簡(jiǎn)0成可以裂項(xiàng)

的形式。=—=再高-昂可，從而利用裂項(xiàng)相消法求和?

題型2數(shù)列分奇偶之際+an+1=f（九）型

【例題2K2023春?山東淄博?高三沂源縣第一中學(xué)?？计谥性轮獢?shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn,

且%=4,an+an+1=4n+2（neN*）,則使得Sn<2023成立的n的最大值為（）

A.32B.33C.44D.45

【答案】C

【分析】分奇偶項(xiàng)討論，根據(jù)題意利用并項(xiàng)求和求Sn,運(yùn)算求解即可.

【詳解】當(dāng)兀為偶數(shù)時(shí)，Sn=%+a?+…+ctn=(%+a2)+(a3+a4)+-■?+(an-i+?n)

(6+4n—2)x-

=64-14+…4-4n—2=---------=n(n+1),

令S”=n(n+1)<2023,且n為偶數(shù),

解得2WTiW44,故n的最大值為44；

a

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=a1+a2+■■-+an=%+(a2+a3)+(a4+as)+-??+(an-i+n)

(10+4n-2)x*-1—--1

=4+10+18+…+4n-2=4H------------=no+n+2,

2

令S”=n2+n+2<2023,且n為奇數(shù)，

解得1<n<43,Kn的最大值為43；

綜上所述：n的最大值為44.

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：并項(xiàng)求和適用的條件和注意事項(xiàng)：

1.適用條件:數(shù)列中出現(xiàn)(-1廠,sin；?+…an+k=f(n)等形式時(shí)，常用利用并項(xiàng)求和求治；

2.注意分類討論的應(yīng)用，比如奇偶項(xiàng)，同時(shí)還需注意起止項(xiàng)的處理.

【變式2-1]1.(2023春遼寧鞍山?高三鞍山一中校考期中)已知數(shù)列｛aj(nGN*)的前n

項(xiàng)和為Sn,若Sn+i+S”=3n2+6n+3,%=2.

(1)記％=冊(cè)+an+i判斷｛%｝是否為等差數(shù)列，若是，給出證明；若不是，請(qǐng)說明理由.

(2)記j=(-1尸+&0n+],&｝的前n項(xiàng)和為",求”.

【答案】Q)不是等差數(shù)列，證明詳見解析；

22

(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=^n4-jn-48,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=1n+3n+y.

【分析】(1)取n=1時(shí)可求為，當(dāng)n>2時(shí)可根據(jù)s”與斯的關(guān)系求出即+與+1,再驗(yàn)證n=1

是否滿足即可判斷其是否為等差數(shù)列；(2)當(dāng)nN2時(shí)，由即+與+1=6n+3,得冊(cè)+2+

an+1=6n+9,兩式相減即可得即+2-即=6,進(jìn)而可以得出｛.｝從第2項(xiàng)起的奇數(shù)項(xiàng)和

偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，討論n為奇數(shù)時(shí)和為偶數(shù)時(shí)分別解決.

【詳解】(1)因?yàn)镾n+1+Sn=3n2+6n+3,

當(dāng)n-1時(shí)，S?+S[=2al+。2=3+6+3=12,又因?yàn)椋ァ?,所以&=%+a?=10

22

當(dāng)n>2時(shí)，因?yàn)镾n-Sn_i=an,由S^i+Sn=3n+6n+3,得即+i+Sn+Sn=3n+

2

6n+3①，所以即+2Sn_]=3(n—l)+6(n—1)+3②，

所以①-②得：

an+1+廝=6n+3,經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)n=1時(shí)不等于以,所以｛%｝不是等差數(shù)列?

(2)由a.+i+an=6n+3(n>2)，得斯+?+an+i=6n+9(n>2),兩式相減得：

an+2-an=6(n>2).

所以當(dāng)n>2時(shí)：

數(shù)列｛。2仆(keV)是首項(xiàng)為a?=8,公差為6的等差數(shù)列；

數(shù)列｛azk+J(k€N*)是首項(xiàng)為=7,公差為6的等差數(shù)列.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),不妨設(shè)n=2k(kGN,),則a2k=6k+2,

此時(shí)27k=Ci+c2+c3+-+Czk-i+c2k

a

=-a2a3+a3a4-a4a5+a5a6------Fa2k_xa2fc-^2k2k+i

=ala2_a2a3+(as—03)04+(a7-。5)。6+(a9~a7)a8"?+(a2k+l~a2k-l)a2k

=16—56+6Q4+6a6+6a8+…+6a2k

,、(fc-1)?(/c-2)-61

=-40+614(/c-l)+----------------

=3肥+5k-48

因?yàn)閹?2fc(fcEN*),所以此時(shí)7；=^n2+jn-48.

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)九=2k+l(k6N*),則g/c+i=6k+1,

此時(shí)72"+1=G++Q+…+c2k-l+c2k+c2k+l

=ara2-a2a3+a3a4-a4as+a5a6-----+a2k-a2k-a2ka2k+1+a2k+通2k+2

=+(a4一。2)。3+(a6-a4)a5+(a8-06)電…+(@2k+2-a2k)a2k+l

=16+6的+6%+6Q7+…+6。2k+1

fc?(fc-1)-6

=16+67k+—2—

=18/c2+24k+16.

因?yàn)閚-2k+l(/ceN*),所以此時(shí)7n=|n2+3n+y

2

綜上所述，當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)=/2+|n-48,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=|n+3n+*

【變式2-1]2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知｛an｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足的

0,。2=3,an+i-On=(an-i+2)(an_2+2)

⑴求a3；

(2)證明an=an_2+2,n=3,4,5,…;

⑶求｛an｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn.

【答案】(1)2;

⑵證明見解析；

f-n(n+l),n=2k(k=1,2,3,1?1)

2

⑶an=n+=1,2,3,…；Sn=｛i、.

l-n(n+1)-1,n=2/c—l(/c=1,2,3,1?■)

【分析】Q)代入n=3,可得-a4=10,求得；

(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；

(3)隔項(xiàng)差為定值，采用奇偶分析法求解.

【詳解】(1)當(dāng)n=3時(shí)，，4+2)(%+2)=10

因?yàn)椤?，。4均為非負(fù)整數(shù)，所以的可能的值為1,2,5,10.

若CI3-1,則&4=10,Cl5-|,與題設(shè)矛盾；若-5,則C14=2,。3=空，與題設(shè)矛盾；

若=10,則=1,。5=60,a6-q與題設(shè)矛盾.

所以=2.

(2)①當(dāng)n=3時(shí)，=%+2等式成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k(k>3)時(shí)等式成立，即以=ak_2+2,由題設(shè)以+1縱=(融_I+2)(ak,2+2)

又縱=Ofc-2+2片0,所以以+1=Ofc-i+2,即縱+1=a(k+i)-2+2,

所以當(dāng)n=k+l時(shí)，等式成立

根據(jù)①和②，可知結(jié)論對(duì)一切n>3正整數(shù)都成立.

(3)因?yàn)?M=0n_2+2,n=3,4,5,-??

當(dāng)n=2k—l(k=2,3,4,…)時(shí),a2k-1=a2k-3+2=a2(fc-i)-i+2,

即數(shù)列｛斯｝的奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為的=0,公差為2,

a2k,r=2(/c-1)=(2/c-1)-1,k=1,2,3,-

所以當(dāng)n=2k-l(/c=1,2,3,…)時(shí)，an=n-1,

當(dāng)n—2k(k=2,3,4,…)時(shí)，a2k—a2K-2+2=ci2(k-i)+2,a2=3

即數(shù)列｛七｝的偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為a?=3,公差為2,

???a2k=3+2(/c-1)=2fc+1,/c=1,2,3,

所以當(dāng)n=2k(k=1,2,3,???)時(shí)，斯="+1，

n

綜上戶胭,an=n+(-l),n=1,2,3,-??

當(dāng)n=2k(k=1,2,3,…)時(shí),

s2k=(?1+。3+…+(?2+a4+…a2k)=+"3+廣+1)=k(2k+1)=

2k(2k+l).

所以當(dāng)n=2k(k=1,2,3,…)時(shí)，Sn=-n(n+1)；

當(dāng)n=2fc-l(k=1,2,3,…)時(shí)，

S2k-1=(Q1+%+…。24一1)+(a2++…a2k-2)

l)(2k+1)=(2"-l)(2kT+】)_1；

所以幾=2k-l(fc=1,2,3,…)時(shí)/Sn=1n(n+1)-1.

(1,、

-n(n+l),n=2k(k=1,2,3,…)

綜上所述，Sn=12

-n(n4-1)—l,n=2fc—l(fc=1,2,3,…)

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟：

(1)驗(yàn)證n=劭時(shí)成立；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，證得n=k+1也成立；

(3)得到證明的結(jié)論.其中在n=k到n=k+1的推理中必須使用歸納假設(shè).

【變式2-1】3.(2022?全國?高三專題練習(xí)圮知在數(shù)列也“｝中小=3fln+1+an=3-2時(shí)】,

n&N*.

(1)求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和S”；

(2)若1<r<s且r,seN*,是否存在直線，，使得當(dāng)即,即，a$成等差數(shù)列時(shí)，點(diǎn)列(2「，2s)

在，上?若存在，求該直線的方程并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

n+1

【答案】Q)Sn=2"+(-l)

(2)存在,y=2x+6,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題干條件得到即+1-2"=-(即-2時(shí)】),從而得到｛即-2"T｝是以2為

首項(xiàng)、-1為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得到｛%｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到前n項(xiàng)和外；(2)根據(jù)題

干條件得到2吏一2ST=3+2x(-1)^-1-4X(一1)一】，分情況討論，最后只有若r為奇數(shù)、

s為偶數(shù),2r-2S-】=-3時(shí)成立，從而求出直線方程.

(1)

n

????n+i+an=3?2T,

nn-1

????n+i-2=~(an-2),

又%-2°=3-1=2,

數(shù)列｛an-2"-】｝是以2為首項(xiàng)、-1為公比的等比數(shù)列，

711

an-2-=2X(-I)”】,

n

???an=2t+-2,

當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，Sn=*=2幾-1；

1-Z

當(dāng)九為正奇數(shù)時(shí)，sn=三"+2=2"+1,

1-Z

nn+1

???Sn=2+(-l)；

⑵

結(jié)論：存在滿足條件的直線y=2x+6.

理由如下：

假設(shè)的，ar/as成等差數(shù)列,則20r=ax+as,

2[2r-1+X2]=3+2s-1+(-I)STX2,

整理得：2r-2ST=3+2x(-I)ST-4x(-17-1,

依題意，1<r<s且r,s&N*,下面對(duì)r、s進(jìn)行討論：

①若r、s均為偶數(shù)，貝1|2,一2ST=3-2+4=5>0,

解得：s<r+l,與l<r<s且r,sGN*矛盾，舍去；

②若r為奇數(shù)、s為偶數(shù),則2r-2ST=3-2-4=-3<0,

解得：s>r+1；

③若r為偶數(shù)、s為奇數(shù)，則2r-2ST=3+2+4=9>0,

解得：s<r+1,與1<r<s且r,sGN*矛盾,舍去；

④若r、s均為奇數(shù),則2『-2ST=3+2-4=1>0,

解得：s<r+l,與l<r<s且r,sGN*矛盾,舍去；

綜上①②③④，只有當(dāng)r為奇數(shù)、s為偶數(shù)時(shí)，的,冊(cè)，as成等差數(shù)列，

因?yàn)橐?ST=-3,所以2s=2（2『+3）,即滿足條件點(diǎn)列（2『，2，）落在直線y=2x+6在

/±.

【變式2-1]4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知又是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，的=1,

①VneN*,即+an+1=4n；②數(shù)列用為等差數(shù)列，且閨的前3項(xiàng)和為6從以上兩個(gè)條件

中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處,并求解：

⑴求a”；

（2）設(shè)b=產(chǎn)個(gè),求數(shù)列｛%｝的前71項(xiàng)和Tn.

（an'an+l）

【答案】（D條件選擇見解析，an=2n-1

（j\T__2?i5+l）

一（271+1）2

【分析】（1）選①，分析可知數(shù)列｛a2k-J、GN*）均為公差為4的等差數(shù)列，求出a?

的值，可求得。2八1、a2AGN*）的表達(dá)式，可得出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

選②，求得郛值，可得出數(shù)列甥的公差，即可求得右,再由an=h六:2可求

得數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)求得以=|[靡于--],利用裂項(xiàng)相消法可求得

(1)

解：選條件①：VnG/V*,an+an+1=4n,^an+1+an+2=4(n+1),

所以，an+2-an=4(n+1)-4n=4,

即數(shù)列｛azk-J、S2k｝(kGN*)均為公差為4的等差數(shù)列，

于是。2上-1=a1+4(k-1)=4k—3-2(_2k—1)—1,

又a1+a2=4,a2=3,a2k=a2+4(fc-1)=4/c-1=2-(2fc)—1,所以an=2n—1；

選條件②：因?yàn)閿?shù)列圖為等差數(shù)列，且閨的前3項(xiàng)和為6,

得++3+3=3x3=6,所以/=2,

所以｛學(xué)｝的公差為力=§一.=2-1=1,

得到手=1+(n-1)=n,則%=n2,

22

當(dāng)n>2,an=Sn-Sn-i=n-(n-I)=2n-1.

又的=1滿足an=2n-1,所以，對(duì)任意的71GN*,an=2n-1.

(2)

解：因?yàn)?=M=所點(diǎn)…尸一小]，

所以7；=瓦+尻+…+%=(片一表+專―++…+而匕一最」

=1[1J=2n(n+l)

2L(2n+l)2J(271+1)2，

【變式2-1]5.(2023秋?廣東珠海?高三珠海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知數(shù)列｛即｝滿

n

足的=l,an+an+1=A-2(^nGN)(A是常數(shù)).

⑴若4=0,證明｛an｝是等比數(shù)列；

(2)若4H0,且｛即｝是等比數(shù)列，求%的值以及數(shù)列｛(-1)"1。92a3n.l｝的前幾項(xiàng)和外.

【答案】（1）證明見解析

(2)A=|,Sn=(6n-l)x(-l)n+l

4

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義證得結(jié)論成立.

(2)利用分組求和法以及對(duì)71進(jìn)行分類討論來求得Sn.

【詳解】(1)依題意，%=1,即+an+i=2,2”(neN*),

當(dāng)4=0時(shí)，an+an+i=0,an+1=-an,

所以數(shù)列｛時(shí)｝是首項(xiàng)的=1,公比為-1的等比數(shù)列.

n

(2)依題意iai=l,an+an+1=A.2(neN*),A0,且｛a“｝是等比數(shù)列，

則@1+口2=1+。2=入,2,。2=2/1—1,

。2+。3=24—1+Q3=入,22,Q3=24+1,

所以(24-1)2=1X3+1),而％K0,故解得4=|,

則％=1,=2,=4,所以等比數(shù)列｛時(shí)｝的公比q=2,

n13n2

則即=2-,a3n_1=2-,

n32n

所以(—l)n|og2a3n-i=(-l)log22?-=(-l)(3n-2),

所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

Sn=(-1)+(4)+(-7)+(10)+(-13)+(17)+…+[―(3n—5)]+(3n—2)

n36n

=o3x-=-n=—,

224

當(dāng)幾為奇數(shù)時(shí)，

S"=Sn+1-an+1=|(n+1)-(3n+1)=,

綜上所述，S’二(6叱1)1-1)"+1.

4

【變式2-1]6.(2023秋?廣東廣州?高三廣州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))在數(shù)列｛即｝中，

已知即+i+即=3?2n,%=1.

⑴求證：｛%-2與是等比數(shù)列.

(2)求數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和端.

【答案】⑴證明詳見解析

(2)Sn=2n+】+總二

【分析】(1)通過湊配法證得｛斯-2。｝是等比數(shù)列.

(2)利用分組求和法求得立.

nn+1nn+1n

【詳解】(1)由an+i+an=3-2,得an+i-2+an=3-2-2=2,

即G+i—2"i=-(an-2"),

所以｛6-2"｝是首項(xiàng)為a】-21=-1,公比為-1的等比數(shù)列.

n

(2)由(1)得an—2"=(-1)x(一1尸t=(一1尸,0n=2"+(-l).

所以Sn=2+22+…+2"+(-1)1+(-1)2+???+(-l)n

=2(1-2力+-[1-(-1)與_271+1_2+=2n+1+(T)“一5

1-21-(-1)-2—2

題型3數(shù)列分奇偶之冊(cè)即+1=f(n)型

【例題3】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為%，的=2,a-0,

anan+l=4S".

Q)求時(shí)；

n

(2)設(shè)%=(-1)"-(3-1),數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為7n,若vkeN*,都有「2k_i<入<72k成

立，求實(shí)數(shù)屁勺范圍.

【答案]⑴/=2n,neN*

(2)2G(—2,6)

【分析】(1)由冊(cè)％1+1=4Sn,可得即_網(wǎng)=4Sn_i(n>2),兩式相減并化簡(jiǎn)后可得冊(cè)+1-

an-i=4(n>2),后分奇偶情況可得an；

(2)方法1,由題bn=(-3)"-(-1)?,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得6修Bk-i表達(dá)式；

方法2，注意到與卜1+Bk=2-32~i,可得7^,72-1表達(dá)式?后注意到Tzk,bk-1的單調(diào)性，

利用A<A<0可得答案.

【詳解】(1)-41%1+1=4s九/***Qn_j￡Zn=4Sn-i("N2).

4

????n(?n+i-?n-i)=?n5?2),、:an0,/.an+1-an^=4(n>2).

又%=2,=4Si,g=4,.?.數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別是以2,4為首項(xiàng)，4

為公差的等差數(shù)列.

當(dāng)九=2k—1時(shí),a2fe_1=4k—2=2(2k—1)；當(dāng)九=2/c時(shí)zQ2k=4k=2?2k.

綜上,an=2n,neN*

nn

(2)方;S-：vbn=(-l)(3-1)=(一3嚴(yán)一(一1)篦=(-3嚴(yán)+(-1)九+1,

.干_(一3)|1-(-3尸|1-(一1尸_3(-3—一31-(-1尸_3(—3—一2(-1)—1

**n-—1-(-3)-+1-(-1)-4―2-—4,

二%==((I-

n

方法二：???bn=(-l)(3?-1),

21

?Ft+b2k=_(32kT—1)+(32女,1)=2-B^,

???72k=2?31+2?33+2?35+…+2?32k-1=,

2kk

??,T2k-1=T2k~b2k=~(3-l)=i(l-9),

.■.n=2k,k€N*時(shí)，7；=T2k=與?為遞增數(shù)列，

n=2k-l,k&N*時(shí)，Tn=Rk-i=；(1-*)為遞減數(shù)列，

若VkeN*,都有T^k-l<4<72k成立，只需使a>(72k-i)max=Ti，則4>一2且

(RQmin=T2,則，<6.

AG(-2,6)

【變式3-1]1.(2022秋?湖南衡陽?高三衡陽市一中校考階段練習(xí))已知數(shù)列｛斯｝滿足

anan+l=2"1,且由1.

(1)求數(shù)列｛時(shí)｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)匕=F，Sn=￡陶打，求證：1Wsn<6.

n-i

2丁,n為奇數(shù)

【答案】⑴斯=n-2

2丁,n為偶數(shù)

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意