2用配方法求解一元二次方程

2024/3/272用配方法求解一元二次方程解一元二次方程內(nèi)容直接開(kāi)平方法利用平方根的意義直接求一元二次方程的根的方法,叫做直接開(kāi)平方法直接開(kāi)平方法的適用類(lèi)型(1)形如x2=n(n≥0)的方程的解是x=±,當(dāng)n=0時(shí),x1=x2=0.(2)形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,直接開(kāi)平方得到x+m=±

,則解為x=-m±

.(3)形如(ax+b)2=n(n≥0,a≠0)的方程,直接開(kāi)平方得到ax+b=±

,則解為x=

知識(shí)點(diǎn)一

用直接開(kāi)平方法求解一元二次方程例1用直接開(kāi)平方法解下列方程.(1)x2-81=0;(2)4x2-64=0;(3)(x-3)2=25;(4)(2y-3)2=16.分析用直接開(kāi)平方法解一元二次方程,先將方程化成x2=p(p≥0)或(mx

+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式,再根據(jù)平方根的意義求解.解析(1)移項(xiàng)得x2=81,∴x=±9,即x1=9,x2=-9.(2)移項(xiàng)得4x2=64,∴x2=16,∴x=±4,即x1=4,x2=-4.(3)x-3=±5,∴x1=8,x2=-2.(4)2y-3=±4,∴y1=

,y2=-

.方法總結(jié)(1)直接開(kāi)平方法是一元二次方程最基本的解法,它主要針

對(duì)形如x2=c(c≥0)或(x+b)2=c(c≥0)的一元二次方程,它的理論依據(jù)是平

方根的意義.(2)利用直接開(kāi)平方法解一元二次方程時(shí),要注意開(kāi)平方的

條件是被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù),否則無(wú)解.知識(shí)點(diǎn)二

用配方法求解一元二次方程配方法通過(guò)配成完全平方式來(lái)解一元二次方程的方法,叫做配方法步驟一移將常數(shù)項(xiàng)移到方程等號(hào)的右邊二除如果二次項(xiàng)系數(shù)不是1,將方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù),將其化為1三配方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,將方程左邊配成完全平方式四開(kāi)如果方程的右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù),就可以直接開(kāi)平方解方程;如果是一個(gè)負(fù)數(shù),則原方程無(wú)實(shí)數(shù)根說(shuō)明解方程時(shí),可根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的步驟,靈活處理(3)(x+2)2-2(x+2)=15.例2用配方法解下列方程:(1)x2-4x+2=0;(2)6x2-x-12=0;分析(1)(2)可直接根據(jù)配方法的步驟解方程;(3)可以將(x+2)看成一個(gè)

整體,按照配方法的步驟解方程.歸納總結(jié)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方是配方法的關(guān)鍵,

將二次項(xiàng)系數(shù)化為1是進(jìn)行這一關(guān)鍵步驟的重要前提.解析(1)配方,得x2-4x+(-2)2=-2+(-2)2,即(x-2)2=2,∴x-2=±

.∴x1=

+2,x2=-

+2.(2)二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2-

x-2=0.移項(xiàng),得x2-

x=2.配方,得x2-

x+

=2+

,即

=

,∴x-

=±

.∴x1=

,x2=-

.(3)配方,得(x+2)2-2(x+2)+1=16,即(x+2-1)2=16,得x+1=±4.∴x1=3,x2=-5.題型一

用直接開(kāi)平方法或配方法解一元二次方程例1解下列方程:(1)8(2-x)2-6=0;(2)9x2+6x+1=8;(3)3x2+2x-3=0.解析(1)原方程可變形為(2-x)2=

,直接開(kāi)平方,得2-x=±

,∴2-x=

或2-x=-

,∴x1=2-

,x2=2+

.(2)原方程可變形為(3x+1)2=8,直接開(kāi)平方,得3x+1=±2

,∴3x+1=2

或3x+1=-2

,∴x1=

,x2=

.(3)移項(xiàng),得3x2+2x=3,二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2+

x=1,配方,得x2+

x+

=1+

,即

=

,直接開(kāi)平方,得x+

=±

,∴x+

=

或x+

=-

,∴x1=

,x2=

.點(diǎn)撥

x1,x2表示方程的兩個(gè)實(shí)根,其下標(biāo)與根的大小無(wú)關(guān).注意當(dāng)方程配

成x2=a或(mx+n)2=p(m≠0)后,只有方程等號(hào)右邊的常數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí),方程

才有解;若方程等號(hào)右邊為負(fù)數(shù),則方程無(wú)實(shí)數(shù)解,配方法解一元二次方

程的口訣:左“未”右“已”先分離,“二系”化“1”是其次,“一系”折半再平方,兩邊同加沒(méi)問(wèn)題,左“分解”來(lái)右“合并”,直接開(kāi)方易得解.題型二

配方法的應(yīng)用例2用配方法證明代數(shù)式5x2-6x+2的值恒大于0.分析通過(guò)配方將原代數(shù)式化成一個(gè)完全平方式與一個(gè)常數(shù)的和的形

式,然后利用完全平方數(shù)是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可證明.證明5x2-6x+2=5

+2=5

-

+2=5

+

.∵

≥0,∴5

+

≥

>0.即代數(shù)式5x2-6x+2的值恒大于0.知識(shí)點(diǎn)一

用直接開(kāi)平方法求解一元二次方程1.(2018山西太原期中)一元二次方程x2-9=0的解是

()A.x=3

B.x=-3C.x1=3,x2=-3

D.x1=9,x2=-9答案

C移項(xiàng)得x2=9,直接開(kāi)平方得x1=3,x2=-3.2.用直接開(kāi)平方法解方程(5x+6)2=9,下列結(jié)論正確的是

()A.5x+6=3

B.5x+6=-3C.5x+6=9或5x+6=-9

D.5x+6=3或5x+6=-3答案

D(5x+6)2=9兩邊同時(shí)開(kāi)平方,得5x+6=

或5x+6=-

,即5x+6=3或5x+6=-3,故選D.3.解下列方程:(1)x2=169;(2)3x2-27=0;(3)

x2=3;(4)(2x-1)2=81.解析(1)開(kāi)平方,得x=±13.即x1=13,x2=-13.(2)移項(xiàng),得3x2=27.兩邊同時(shí)除以3,得x2=9.開(kāi)平方,得x=±3,即x1=3,x2=-3.(3)兩邊同時(shí)乘2,得x2=6.開(kāi)平方,得x=±

.即x1=

,x2=-

.(4)開(kāi)平方,得2x-1=±9,即2x-1=9或2x-1=-9,

∴x1=5,x2=-4.知識(shí)點(diǎn)二

用配方法求解一元二次方程4.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么x2-6x+q=2配方正

確的是

()A.(x-p)2=5

B.(x-p)2=9C.(x-p+2)2=9

D.(x-p+2)2=5答案

B∵x2-6x+q=0可配方為(x-p)2=7,即(x-p)2-7=0,則x2-6x+q=2可配

方為(x-p)2-7=2,即(x-p)2=9.故選B.5.填空:(1)x2+10x+

=(x+

)2;(2)x2+(

)x+36=[x+(

)]2;(3)x2-4x-5=(x-

)2-

.答案(1)25;5(2)±12;±6(3)2;96.用配方法解下列方程:(1)x2-4x-12=0;(2)3x2-6x+2=0.解析(1)移項(xiàng),得x2-4x=12.配方,得x2-4x+(-2)2=12+(-2)2,即(x-2)2=16.開(kāi)平方,得x-2=±4,即x-2=4或x-2=-4.所以x1=6,x2=-2.(2)兩邊同除以3,得x2-2x+

=0.移項(xiàng),得x2-2x=-

.配方,得x2-2x+(-1)2=-

+(-1)2,即(x-1)2=

.開(kāi)平方,得x-1=±

.所以x1=1+

,x2=1-

.1.一元二次方程x2-4=0的根為

()A.x=2

B.x=-2C.x1=2,x2=-2

D.x=4答案

C移項(xiàng),得x2=4;開(kāi)平方,得x=±2,即x1=2,x2=-2.2.下列配方有錯(cuò)誤的是

()A.x2-2x-1=0化為(x-1)2=2B.x2+6x+8=0化為(x+3)2=1C.2x2-7x-6=0化為

=

D.3x2-4x-2=0化為(3x-2)2=6答案

D3x2-4x-2=0,x2-

x=

,x2-

x+

=

+

,

=

,故選D.3.把方程x2+4x+1=0配方成(x+p)2+q=0的形式后,p2+q2的值是

()A.41

B.14

C.13

D.7答案

C∵x2+4x+1=0可以配方成(x+2)2-3=0的形式,∴p=2,q=-3.∴p2+

q2=22+(-3)2=13.4.x2-5x+

=(x-

)2.答案

;

5.若3

y2與-x4m-2y2是同類(lèi)項(xiàng),則m=

.答案2或

解析由題意得2m2-m=4m-2,移項(xiàng),合并同類(lèi)項(xiàng),得2m2-5m=-2,二次項(xiàng)系

數(shù)化為1,得m2-

m=-1,配方,得m2-

m+

=-1+

,

=

,∴m-

=±

,∴m1=2,m2=

.1.圖2-2-1是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算程序,則輸入x的值為

()輸入x→(x-1)2→×(-3)→輸出-27圖2-2-1A.3或-3

B.4或-2

C.1或3

D.27答案

B根據(jù)題意得(x-1)2×(-3)=-27,化簡(jiǎn)得(x-1)2=9,∴x-1=±3,解得x=4

或x=-2.故選B.2.若x2-4x+y2+6y+13=0,則yx=

.答案9解析由原式得x2-4x+4+y2+6y+9=0,即(x-2)2+(y+3)2=0,可得x-2=0,且y+3

=0,∴x=2,y=-3,∴yx=(-3)2=9.3.(2016湖北武漢江岸期中)小明設(shè)計(jì)了一個(gè)魔術(shù)盒,當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)

進(jìn)入其中時(shí),會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a2-2b+3.若將實(shí)數(shù)對(duì)(x,-2x)放入其中,

得到-1,則x=

.答案-2解析根據(jù)題意得x2-2·(-2x)+3=-1,整理得x2+4x+4=0,即(x+2)2=0,所以x1=

x2=-2.4.求2x2-7x+2的最小值.解析2x2-7x+2=2

+2=2

+2=2

+2=2

-2×

+2=2

-

.∵

≥0,∴

的最小值為0.∴2

-

的最小值為-

,即2x2-7x+2的最小值為-

.1.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左邊可以寫(xiě)成一個(gè)完全平方式,則m的值為

()A.-2

B.-2或6C.-2或-6

D.2或-6答案

B根據(jù)題意知,-(m-2)=±2×2×1,∴m-2=±4,即m-2=4或m-2=-4,得m=6或m=-2.故選B.2.(2016安徽合肥瑤海期末)如圖,矩形ABCD是由三個(gè)矩形拼接成的,如

果AB=8cm,陰影部分的面積是24cm2,另外兩個(gè)小矩形全等,那么小矩形

的長(zhǎng)為

cm.

答案6解析設(shè)小矩形的長(zhǎng)為xcm,則小矩形的寬為(8-x)cm,根據(jù)題意得x[x-(8-x)]=24.解得x=6或x=-2(舍去).故小矩形的長(zhǎng)為6cm.3.某養(yǎng)牛場(chǎng)的一邊靠墻,墻長(zhǎng)25m,另三邊用柵欄圍成,現(xiàn)有材料可制作

柵欄40m.(1)養(yǎng)牛場(chǎng)的面積能達(dá)到200m2嗎?若能,請(qǐng)求出養(yǎng)牛場(chǎng)的長(zhǎng)和寬,若不能,

請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)能?chē)擅娣e為250m2的養(yǎng)牛場(chǎng)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.解析設(shè)平行于墻的柵欄的長(zhǎng)為xm,則垂直于墻的柵欄的長(zhǎng)為

m.(1)能.理由:若養(yǎng)牛場(chǎng)的面積為200m2,則x·

=200,解得x1=x2=20,則

=10.∴養(yǎng)牛場(chǎng)的面積能達(dá)到200m2,此時(shí)養(yǎng)牛場(chǎng)的長(zhǎng)為20m,寬為10m.(2)不能.理由:若面積為250m2,則有x·

=250,整理得(x-20)2=-100,方程無(wú)解,∴不能?chē)擅娣e為250m2的養(yǎng)牛場(chǎng).一、選擇題1.(2017天津河北匯森中學(xué)模擬,8,★★☆)用配方法解下列方程,配方正

確的是

()A.2y2-4y-4=0可化為(y-1)2=4B.x2-2x-9=0可化為(x-1)2=8C.x2+8x-9可化為(x+4)2=16D.x2-4x=0可化為(x-2)2=4答案

D

A.2y2-4y-4=0可化為(y-1)2=3,故錯(cuò)誤;B.x2-2x-9=0可化為(x-1)2=10,故錯(cuò)誤;C.x2+8x-9=0可化為(x+4)2=25,故錯(cuò)誤;D.x2-4x=0可化為(x-2)2=4,故正確.故選D.二、填空題2.(2017浙江杭州江干一模,13,★★☆)用配方法解一元二次方程x2+6x=1

時(shí),應(yīng)該在等式兩邊都加上

.答案9解析用配方法解一元二次方程x2+6x=1時(shí),應(yīng)該在等式兩邊都加上32,

即9.三、解答題3.(2017甘肅蘭州西固桃園中學(xué),22,★★☆)用配方法解方程:(x+3)(x-1)=

12.(5分)解析將原方程整理,得x2+2x=15,兩邊都加上12,得x2+2x+12=15+12,即(x+1)2=16,開(kāi)平方,得x+1=±4,即x+1=4或x+1=-4,∴x1=3,x2=-5.4.(2017福建福州馬尾期末,23,★★★)利用完全平方公式,可以將多項(xiàng)式

ax2+bx+c(a≠0)變形為a(x+m)2+n的形式,我們把這樣的變形方法叫做多

項(xiàng)式的配方法.運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.例如:x2+11x+24=x2+11x+

-

+24=

-

=

=(x+8)(x+3).根據(jù)以上材料,解答下列問(wèn)題:(1)用配方法將多項(xiàng)式x2-3x-10化成(x+m)2+n的形式;(2)用配方法及平方差公式對(duì)多項(xiàng)式x2-3x-10進(jìn)行因式分解;(3)求證:無(wú)論x,y取何實(shí)數(shù),多項(xiàng)式x2+y2-2x-4y+16的值總為正數(shù).解析(1)x2-3x-10=x2-3x+

-

-10=

-

.(2)x2-3x-10=

-

=

-

=

=(x+2)(x-5).(3)證明:x2+y2-2x-4y+16=(x2-2x+1)+(y2-4y+4)+11=(x-1)2+(y-2)2+11≥11,故無(wú)論x,y取何實(shí)數(shù),多項(xiàng)式x2+y2-2x-4y+16的值總為正數(shù).1.(2017天津一零二中學(xué)模擬,3,★★☆)一元二次方程x2-16=0的根是

()A.x=2

B.x=4C.x1=2,x2=2

D.x1=4,x2=-4答案

D

x2-16=0,x2=16,∴x=±4,即x1=4,x2=-4,故選D.2.(2017山東泰安期中,7,★★☆)一元二次方程x2-6x-6=0配方后為

()A.(x-3)2=15

B.(x-3)2=3C.(x+3)2=15

D.(x+3)2=3答案

A第一步,移項(xiàng)得x2-6x=6;第二步,配方,方程兩邊都加上一次項(xiàng)

系數(shù)一半的平方得x2-6x+9=6+9;第三步,整理得(x-3)2=15.3.(2017重慶萬(wàn)盛期末,25,★★★)先仔細(xì)閱讀材料,再深度解決問(wèn)題:通過(guò)對(duì)實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí),我們知道x2≥0,根據(jù)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,可知完全平方式的值為非負(fù)數(shù),這一性質(zhì)在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,比如探求多項(xiàng)式2x2+8x-3的最小值時(shí),我們可以這樣處理:解:原式=2(x2+4x)-3=2(x2+2x·2+22-22)-3=2(x+2)2-11.∵2(x+2)2≥0,∴2(x+2)2-11≥-11,故當(dāng)x=-2時(shí),2x2+8x-3的值最小,為-11.請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路,解答下列問(wèn)題:(1)求多項(xiàng)式3x2-6x+2的最小值是多少,并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的x的值;(2)求多項(xiàng)式4-x2+2x的最大值;(3)求多項(xiàng)式x2+2x+y2-4y+9的最小值.解析(1)3x2-6x+2=3(x2-2x)+2=3(x2-2x+1-1)+2=3(x-1)2-1,∵無(wú)論x取什么數(shù),(x-1)2的值均為非負(fù)數(shù),∴(x-1)2的最小值為0,此時(shí)x=1,∴3(x-1)2-1的最小值為-1,則當(dāng)x=1時(shí),原多項(xiàng)式的最小值是-1.(2)同(1)得4-x2+2x=-(x-1)2+5,∵無(wú)論x取什么數(shù),都有(x-1)2的值為非負(fù)數(shù),∴(x-1)2的最小值為0,此時(shí)x=1,∴-(x-1)2+5的最大值為-0+5=5,則當(dāng)x=1時(shí),原多項(xiàng)式的最大值是5.(3)同(1)得x2+2x+y2-4y+9=(x+1)2+(y-2)2+4,當(dāng)(x+1)2=0,(y-2)2=0時(shí),多項(xiàng)式x2+2x+y2-4y+9的最小值為4.選擇題1.(2017浙江舟山中考,8,★☆☆)用配方法解方程x2+2x-1=0時(shí),配方結(jié)果

正確的是

()A.(x+2)2=2

B.(x+1)2=2C.(x+2)2=3

D.(x+1)2=3

答案

B根據(jù)完全平方公式可配方,x2+2x+1-2=0,整理得(x+1)2=2.2.(2017臺(tái)灣中考,12,★★☆)一元二次方程式x2-8x=48可表示成(x-a)2=48

+b的形式,其中a、b為整數(shù),則a+b之值為

()A.20

B.12

C.-12

D.-20答案

A

x2-8x=48,x2-8x+16=48+16,(x-4)2=48+16,∴a=4,b=16,∴a+b=20.故選A.3.(2014山東棗莊中考,10,★★☆)x1,x2是一元二次方程3(x-1)2=15的兩個(gè)

解,且x1<x2,下列說(shuō)法正確的是

()A.x1小于-1,x2大于3

B.x1小于-2,x2大于3C.x1,x2在-1和3之間

D.x1,x2都小于3答案

A∵x1,x2是一元二次方程3(x-1)2=15的兩個(gè)解,∴(x-1)2=5,∴x-1=

±

,又x1<x2,∴x2=1+

>3,x1=1-

<-1,故選A.1.(2016貴州六盤(pán)水中考,6,★☆☆)用配方法解一元二次方程x2+4x-3=0

時(shí),原方程可變形為

()A.(x+2)2=1

B.(x+2)2=7

C.(x+2)2=13

D.(x+2)2=19答案

B

x2+4x=3,x2+4x+4=7,(x+2)2=7.故選B.2.解方程:(1)(2016安徽中考,16,★★☆)x2-2x=4;(8分)(2)(2016山東淄博中考,19,★☆☆)x2+4x-1=0.(5分)解析(1)方程兩邊都加上1,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5,所以x-1=±

,所以原方程的解是x1=1+

,x2=1-

.(2)∵x2+4x-1=0,∴x2+4x=1,∴x2+4x+4=1+4,∴(x+2)2=5,∴x+2=±

,∴x1=-2+

,x2=-2-

.1.李志新用下面的方法求出方程2

-3=0的解,請(qǐng)你依照他的方法求出下面另外兩個(gè)方程的解,并把你的解答過(guò)程填寫(xiě)在下面的表格中.方程2

-3=0x+2

-3=0x+

-4=0用換元法得新方程令

=t,則2t-3=0

新方程的解t=

檢驗(yàn)t=

>0

求原方程的解

=

,所以x=

解析

方程2

-3=0x+2

-3=0x+

-4=0用換元法得新方程令

=t,則2t-3=0令

=t≥0,則t2+2t-3=0令

=t≥0,則t2+t-2=0新方程的解t=

t1=1,t2=-3t1=1,t2=-2檢驗(yàn)t=

>0t1=1>0,t2=-3<0(舍去)t1=1>0,t2=-2<0(舍去)求原方程的解

=

,所以x=

=1,所以x=1

=1,所以x-2=1,即x=32.(1)用配方法解一元二次方程x2+2x-24=0(x>0).配方的過(guò)程可以用拼圖

表示.把方程x2+2x-24=0變形為x2+2x=24,即x(x+2)=24.配方的過(guò)程,可以

看成是將一個(gè)長(zhǎng)為x+2,寬為x,面積為24的矩形割補(bǔ)成一個(gè)正方形.請(qǐng)?jiān)?/p>

圖2-2-2①中的“?”處補(bǔ)全“拼成一個(gè)正方形”過(guò)程的圖;(2)現(xiàn)有長(zhǎng)為x+b,寬為x,面積為c的矩形(x>0,b>0,c>0,b、c為常數(shù)),如圖2-

2-2②,你能利用四個(gè)這樣相同的矩形構(gòu)造1個(gè)圖形,并利用你的拼圖描

述方程x2+bx=c的求解過(guò)程嗎?請(qǐng)畫(huà)圖并說(shuō)明.

圖2-2-2解析(1)

(2)畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為x+b,寬為x的