幾個非局部非線性可積方程的解及其性質(zhì)

幾個非局部非線性可積方程的解及其性質(zhì)非局部微分方程通常是指一類同時含有對未知函數(shù)的積分和微分的方程。最近,Ablowitz和Musslimani提出了一個新的非線性Schr¨odinger方程:iq_t（x,t）=q_xx（x,t）±2q²（x,t）q^*（-x,t）。他們將這個方程稱為空間反演的非局部非線性Schr¨odinger方程。自該方程提出后,關(guān)于它的諸多研究工作陸續(xù)涌現(xiàn),包括該方程各種類型精確解的構(gòu)造與分析、該方程與Landau-Lifshitz型方程的規(guī)范等價。本論文中所研究的非局部非線性方程也是這種類型的微分方程。本論文研究了幾個非局部非線性可積方程的精確解及其性質(zhì)和幾個非局部非線性可積方程的Cauchy問題。主要內(nèi)容如下:第一章,簡要論述了一些研究可積系統(tǒng)的方法。逆散射變換方法是一個非常重要的方法。該方法是求解一類非線性可積偏微分方程Cauchy問題的一個里程碑式的工作。Darboux變換方法也是構(gòu)造非線性可積系統(tǒng)精確解的重要方法。概述了最近關(guān)于非局部非線性Schr¨odinger方程的一系列研究進展。論述了本文的主要結(jié)果和創(chuàng)新點。第二章,研究的是一個時空反演的非局部修正Korteweg-deVries方程的Darboux變換、精確解及其性質(zhì)。修正Korteweg-deVries方程可以從Euler方程導(dǎo)出,并且在流體力學(xué)、等離子物理以及其他物理領(lǐng)域中有諸多應(yīng)用。在過去的幾十年中,有許多關(guān)于修正Korteweg-deVries方程的研究工作,例如用Darboux變換、Hirota雙線性等方法給出了該方程的各種類型的精確解,包括N-孤子解、complexiton解、multiple-pole解,以及用逆散射方法研究該方程的Cauchy問題等等。受到Ablowitz和Musslimani關(guān)于非局部非線性Schr¨odinger方程工作的啟示,我們提出了一個時空反演的非局部修正Korteweg-deVries方程。該方程是Lax可積的。我們構(gòu)造了該方程的n次Darboux變換。我們通過Darboux變換得到了這個新方程的精確解,包括孤子解、complexiton解、扭結(jié)解、怪波解、孤子之間的相互作用、孤子與扭結(jié)的相互作用等等。通過分析,我們揭示了這些解具有不同于經(jīng)典修正Korteweg-deVries方程解的新性質(zhì)。第三章,研究的是時空反演非局部修正Korteweg-deVries方程的Cauchy問題。我們構(gòu)造了該方程的逆散射變換,在無反射勢條件下,給出了該方程Cauchy問題的精確解表達式。我們得到了1-孤子解、2-孤子解以及呼吸子解,并指出了這些解具有不同于經(jīng)典修正Korteweg-deVries方程解的性質(zhì)。我們詳細(xì)分析了非局部修正Korteweg-deVries方程逆散射問題與經(jīng)典修正Korteweg-deVries方程逆散射問題的不同之處。第四章,研究了非局部離散非線性Schr¨odinger方程的穩(wěn)態(tài)解與非局部非線性Schr¨odinger方程的Cauchy問題。逆散射方法在求解非線性可積方程Cauchy問題時,對于初值條件的要求相當(dāng)高。對于一般的初值條件,用逆散射方法也難以求解。我們研究了空間反演的非局部非線性Schr¨odinger方程一般初值條件的Cauchy問題。我們考慮了該方程的兩種離散格式:可積離散格式與不可積離散格式。基于離散Fourier變換與修正Neumann迭代,給出了不可積離散格式的穩(wěn)態(tài)解,并闡明所得到的穩(wěn)態(tài)解是線性不穩(wěn)定的。還分析了可積離散格式穩(wěn)態(tài)解的線性穩(wěn)定性,指出了這些穩(wěn)態(tài)解也是線性不穩(wěn)定的。這一結(jié)果與經(jīng)典離散非線性Schr¨odinger方程是不同的。我們應(yīng)用6階自適應(yīng)步長Runge-Kutta方法研究了非局部非線性Schr¨odinger方程的Cauchy問題,指出了數(shù)值解的爆破時間與初值條件中參數(shù)之間的關(guān)系。第五章,研究了一個時空反演的非局部耦合無色散方程的Darboux變換、精確解及其性質(zhì)。無色散方程有重要的物理應(yīng)用。關(guān)于耦合無色散方程也有許多研究工作,包括一些精確解的構(gòu)造與分析、規(guī)范等價的研究等等。我們推導(dǎo)出了時空反演的非局部耦合無色散方程,構(gòu)造了該方程的n次Darboux變換,給出了一些精確解的表達式。從零種子解出發(fā),通過1次和2次Darboux變換構(gòu)造了精確解,