2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第16講 三角形的概念及性質(zhì)（講義）（解析版）

第16講三角形的概念及性質(zhì)目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一三角形的相關(guān)概念題型01三角形的分類題型02三角形個數(shù)的規(guī)律探究問題題型03三角形的穩(wěn)定性考點二三角形的重要線段題型01畫三角形的高、中線、角平分線題型02已知三角形的高、中線、角平分線，判斷式子正誤題型03等面積法求三角形的高題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積題型05與垂心性質(zhì)有關(guān)的計算題型06根據(jù)三角形的中線求長度題型07根據(jù)三角形的中線求面積題型08判斷重心位置題型09與重心性質(zhì)有關(guān)的計算考點三三角形的性質(zhì)題型01應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長或取值范圍題型02應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡含有絕對值的式子題型03應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題題型04三角形內(nèi)角和定理的證明題型05應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度題型06三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用題型07三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用題型08三角形折疊中的角度問題題型09應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題題型10應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系題型11三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合題型12應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)求角度題型13三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合題型14三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合題型15應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題題型16三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測三角形的相關(guān)概念理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性.在初中幾何數(shù)學(xué)中，三角形的基礎(chǔ)知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ).所以，在中考中，與其它幾何圖形結(jié)合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.考生在復(fù)習(xí)該考點時，不僅要熟悉掌握其本身的性質(zhì)和應(yīng)用，還要注重轉(zhuǎn)化思想在題目中的應(yīng)用，同步聯(lián)想，其他幾何圖形在什么情況下會轉(zhuǎn)化成該考點的知識考察.三角形的重要線段三角形的性質(zhì)探索并證明三角形的內(nèi)角和定理.掌握它的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊.考點一三角形的相關(guān)概念三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號“Δ”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.三角形的分類：1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形2）三角形按角分類：三角形直角三角形三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.1.1.三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后邊的字母為三角形的三個頂點,字母的順序可以自由安排.即?ABC,?ACB等均為同一個三角形.2.等腰三角形中至少有兩邊相等,而等邊三角形中三邊都相等,所以等邊三角形是特殊的等腰三角形.3.四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.題型01三角形的分類【例1】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，一只手蓋住了一個三角形的部分圖形，則這個三角形不可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類判斷即可.【詳解】解：A、當(dāng)另外兩角為50°和100°時，該三角形為鈍角三角形，故此選項不符合題意；B、當(dāng)另外兩角為90°和60°時，該三角形為直角三角形，故此選項不符合題意；C、當(dāng)另外兩角為30°和120°時，該三角形為等腰三角形，故此選項不符合題意；D、等邊三角形的每一個內(nèi)角均為60°，由圖可知該三角形有一個內(nèi)角為30°，故不可能為等邊三角形，符合題意.故選：D．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類，會應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類求解是解答的關(guān)鍵.【變式1-1】（2020·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，一個三角形只剩下一個角，這個三角形為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能【答案】B【分析】三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．有一個角是直角的三角形是直角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；三個角都是銳角的三角形是銳角三角形．【詳解】從題中可知，只能看到一個角是鈍角．所以這個三角形為鈍角三角形．故選：B．【點睛】本題考查了三角形的分類的靈活應(yīng)用．【變式1-2】（2020·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫△ABC．要求：（1）在圖①中畫一個鈍角三角形，在圖②中畫一個直角三角形，在圖③中畫一個銳角三角形；（2）三個圖中所畫的三角形的面積均不相等；（3）點C在格點上．【答案】見詳解（答案不唯一）【分析】因為點C在格點上，故可將直尺的一角與線段AB點A重合，直尺邊長所在直線經(jīng)過3×3正方形網(wǎng)格左上角第一個格點，繼而以點A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)直尺，當(dāng)直尺邊長所在直線與正方形格點相交時，確定點C的可能位置，順次連接A、B、C三點，按照題目要求排除不符合條件的C點，作圖完畢后可根據(jù)三角形面積公式判斷其面積是否相等．【詳解】經(jīng)計算可得下圖中：圖①面積為12；圖②面積為1；圖③面積為3故本題答案如下：【點睛】本題考查三角形的分類及其作圖，難度較低，按照題目要求作圖即可．【變式1-3】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，按△ABC的形狀要求，分別找出格點C，且使BC=5，并且直接寫出對應(yīng)三角形的面積．【答案】見解析；S=10；S=252

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，角的分類去求解即可【詳解】解：鈍角三角形時，如圖，∵BC⊥BD，BC=5，∴△ABC是鈍角三角形，根據(jù)平行線間的距離處處相等，得BC邊上高為BD=4,∴S=1直角三角形時，如圖，取格點F使得BF=4，F(xiàn)C=3，根據(jù)勾股定理，得BC=32∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°，∴△AEB≌△BFC，∴∠EAB=∠FBC，∵∠EAB+∠EBA=90°，∴∠FBC+∠EBA=90°，∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理，得AB=32∴S=12BA×BC銳角三角形時，如圖，取格點M使得BM=3，CM=4，根據(jù)勾股定理，得BC=32根據(jù)直角三角形時的作圖，知道∠ABN=90°，∴∠ABC＜∠ABN，∴∠ABC＜90°∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠A=∠C＜90°，∴△ABC是銳角三角形，∴S=1【點睛】本題考查了網(wǎng)格上的作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)和判定，平行線間的距離處處相等，根據(jù)題意，運用所學(xué)構(gòu)造符合題意的格點線段是解題的關(guān)鍵．題型02三角形個數(shù)的規(guī)律探究問題【例2】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）若一個三角形的任意兩條邊都不相等，則稱之為“不規(guī)則三角形”．頂點在一個正方體頂點上的所有三角形中，這樣的“不規(guī)則三角形”的個數(shù)為（

）A．8 B．18 C．24 D．36【答案】C【分析】根據(jù)立方體的八個頂點之間線段長度僅有三種可能，分別得出所求的不規(guī)則三角形的個數(shù)．【詳解】解：如圖示：設(shè)立方體的邊長為a，則在立方體的八個頂點之間線段長度僅有三種可能：邊長為a，面對角線為2a，體對角線為3a．立方體有四條體對角線，先考慮其中的一條如AC1，第三個頂點可以是B、C、D、A1有6個不規(guī)則三角形．因此所求的不規(guī)則三角形的個數(shù)是6×4=24．故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形的性質(zhì)以及立體圖形的性質(zhì)，得出立方體的八個頂點之間線段長度僅有三種可能是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2020·江西南昌·模擬預(yù)測）由18根完全相同的火柴棒擺成的圖形如圖所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7個三角形．以下去掉3根的方法正確的是（

）A．DE,GH,MI B．GF,EF,MF C．GD,EI,MH D．AD,AG,GD【答案】C【分析】按照選項依次分析即可求解．【詳解】解：A．去掉DE,GH,MI，如圖：圖中共有6個三角形，該項不符合題意；B．去掉GF,EF,MF，如圖：圖中共有4個三角形，該項不符合題意；C．去掉GD,EI,MH，如圖：圖中共有7個三角形，該項符合題意；D．去掉AD,AG,GD，如圖：圖中共有9個三角形，該項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查三角形計數(shù)，掌握三角形的定義是解題的關(guān)鍵．.【變式2-2】閱讀下列材料并填空．平面上有n個點（n≥2）且任意三個點不在同一條直線上，過這些點作直線，一共能作出多少條不同的直線？（1）分析：當(dāng)僅有兩個點時，可連成1條直線；當(dāng)有3個點時，可連成3條直線；當(dāng)有4個點時，可連成6條直線；當(dāng)有5個點時，可連成10條直線……（2）歸納：考察點的個數(shù)和可連成直線的條數(shù)Sn發(fā)現(xiàn)：如下表點的個數(shù)可作出直線條數(shù)21=S33=S46=S510=S…………nS(3)推理：平面上有n個點，兩點確定一條直線．取第一個點A有n種取法，取第二個點B有（n－1）種取法，所以一共可連成n(n-1)條直線，但AB與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2；即S（4）結(jié)論：S試探究以下幾個問題：平面上有n個點（n≥3），任意三個點不在同一條直線上，過任意三個點作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：當(dāng)僅有3個點時，可作出個三角形；當(dāng)僅有4個點時，可作出個三角形；當(dāng)僅有5個點時，可作出個三角形；……（2）歸納：考察點的個數(shù)n和可作出的三角形的個數(shù)Sn，發(fā)現(xiàn)：（填下表）點的個數(shù)可連成三角形個數(shù)345……n(3)推理：

（4）結(jié)論：【答案】（1）1，4，10（2）點的個數(shù)可構(gòu)成三角形個數(shù)31=S44=S510=SnS（3）見解析（4）結(jié)論：Sn=n(n-1)(n-2)【分析】（1）根據(jù)給的點數(shù)一一查出三角形即可；（2）根據(jù)引例學(xué)習(xí)，仿照引例解法，先定點，再定形的方法，3個點先取第一個點，三點任意一個有3種，第二個點從剩下的兩點任取一個有2種，第三個點只有1種，三角形有3×2×1個，會出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA，都是同一種三角形，由此得出S3=3×2×1（3）平面上有n個點，過不在同一條直線上的三個點可以確定一個三角形，取第一個點有n種方法，取第二個點有（n-1）種取法，取第三個點（n-2）種取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）個三角形，但同一個三角形重復(fù)6次，再除以6即可；（4）根據(jù)（3）即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)僅有3個點時，三點分別為A、B、C、可作1個三角形△ABC；當(dāng)有4個點時，四點分別為A、B、C、D可作4個三角形△ABC，△ABD，△ACD，△BCD；當(dāng)有5個點時五點分別為A、B、C、D、E，可作10個三角形△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE；△BDE，△CDE．故答案為1,4,10．（2）填表如下：點的個數(shù)可構(gòu)成三角形個數(shù)31=S44=S510=SnS（3）推理：平面上有n個點，過不在同一條直線上的三個點可以確定一個三角形，取第一個點有n種方法，取第二個點有（n-1）種取法，取第三個點（n-2）種取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）個三角形，但同一個三角形重復(fù)6次，故應(yīng)除以6，即Sn=n(n-1)(n-2)（4）結(jié)論：Sn=n(n-1)(n-2)【點睛】本題考查圖形規(guī)律探索，閱讀理解，仔細(xì)閱讀，抓住點與線的規(guī)律，拓展點與三角形的規(guī)律，是學(xué)習(xí)的質(zhì)的飛躍，本題難度不大，是培養(yǎng)邏輯思維的好題．【變式2-3】（2022·吉林長春·?？寄M預(yù)測）一個圓周上有12個點：A1，A2，A3，…，A【答案】55【分析】利用遞推的方法，根據(jù)三角形的定義，結(jié)合圖表依次推出圓上有3個點，6個點，9個點和12個點連成三角形的種數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如果圓上只有3個點，那么只有一種連法；（2）如果圓上有6個點，除A1所在三角形的三頂點外，剩下的三個點一定只能在A（3）如果圓上有9個點，考慮A1①A1所在三角形的一個邊所對的弧上；②也可能三個點在一個邊所對應(yīng)的弧上，另三個點在另一邊所對的弧上；在表2中用“+”號表示它們分布在不同的邊所對的?。蝗绻乔樾微伲瑒t由（2），這六個點有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個點都只能有一種連法；共有12種連法．（4）最后考慮圓周上有12個點．同樣考慮A1①9個點都在同一段弧上；②有6個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上；③每三個點在A1共有12×3+3×6+1=55種．所以共有55種不同的連法．【點睛】本題主要考查了計數(shù)方法，利用遞推的方法，依次推出圓上有3個點，6個點，9個點和12個點連成三角形的種數(shù)，即采用了化難為易的方法解答，要注意各個三角形的邊都不相交這個要求．題型03三角形的穩(wěn)定性【例3】（2023·山西運城·統(tǒng)考二模）學(xué)校、工廠、企業(yè)等單位的大門都是收縮性大門，這種門的門體可以伸縮自由移動，以此來控制門的大?。@種方法應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是（

）

A．三角形的穩(wěn)定形 B．四邊形的不穩(wěn)定性C．勾股定理 D．黃金分割【答案】B【分析】由題意可知收縮大門可以伸縮自由移動，這是根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性．【詳解】由題意可知收縮大門可以伸縮自由移動，這是根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性．故選：B【點睛】本題考查四邊形的不穩(wěn)定性，抓住題意的關(guān)鍵詞從而解決問題．【變式3-1】（2023·廣東佛山·校考一模）要使下面的木架不變形，至少需要再釘上幾根木條？（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，六邊形轉(zhuǎn)化成三角形即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可知，要使六邊形木架不變形，至少要再釘上3根木條．故答案選：C【點睛】本題主要考查的是三角形的穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．【變式3-2】（2022·河北保定·校考一模）能用三角形的穩(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)各圖所用到的直線、線段有關(guān)知識，即可一一判定【詳解】解：A、利用的是“兩點確定一條直線”，故該選項不符合題意；B、利用的是“兩點之間線段最短”，故該選項不符合題意；C、窗戶的支架是三角形，利用的是“三角形的穩(wěn)定性”，故該選項符合題意；D、利用的是“垂線段最短”，故該選項不符合題意；故選：C【點睛】本題考查了兩點確定一條直線、兩點之間線段最短、三角形的穩(wěn)定性、垂線段最短的應(yīng)用，結(jié)合題意和圖形準(zhǔn)確確定所用到的知識是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2021·浙江臺州·一模）如圖，升降平臺由三個邊長為1.2米的菱形和兩個腰長為1.2米的等腰三角形組成，其中平臺AM與底座A0N平行，長度均為2.4米，B，B0分別在AM和A0N上滑動，且始終保持點B0，C1，A1成一直線．(1)這種升降平臺的設(shè)計原理是利用了四邊形的____性；(2)為了安全，該平臺在作業(yè)時∠B1不得超過40°，求平臺高度(AA0)的最大值（sin20°≈0.34）．【答案】(1)不穩(wěn)定(2)平臺高度(AA0)的最大值為3.3米．【分析】（1）根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性即可解決問題．（2）當(dāng)∠B1=40°時，平臺AA0的高度最大，解直角三角形A1B0A0，可得A0A1的長，再由AA3=A3A2=A2A1=A1A0，即可解決問題．【詳解】（1）因為四邊形具有不穩(wěn)定性，點B，B0分別在AM和A0N上滑動，從而達(dá)到升降目的，因而這種設(shè)計利用了平行四邊形的不穩(wěn)定性；故答案為：不穩(wěn)定．（2）由圖可知，當(dāng)∠B1=40°時，平臺AA0的高度最大，∠A0B0A1=12∠B1A0A1=A1A2==A2A3==A3A4.∵B0A1=2A1C1=2×1.2=2.4（米），sin20°≈0.34，∴A0A1=2.4×sin20°×4＝3.264≈3.3(米)，∴平臺高度(AA0)的最大值為3.3米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練菱形的性質(zhì)．考點二三角形的重要線段重要線段概念圖形性質(zhì)三角形的高從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）．∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°三角形的中線在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADCC三角形的角平分線三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線．∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12三角形的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線∵DE是?ABC的中位線∴AD=DBAE=ECDE=12概念圖形性質(zhì)重心三角形三條中線交點1）重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2）重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3)重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。垂心三角形三條高交點1）銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外；

2）銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。3）三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6組四點共圓.4）銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短.11.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系．2.常見三角形的高：3.當(dāng)已知三角形兩邊的中點時，可考慮運用三角形中位線定理，得到相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.題型01畫三角形的高、中線、角平分線【例1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，邊AB上的高是（）A．AD B．GE C．EF D．CH【答案】D【分析】根據(jù)高線的定義：三角形的頂點到對邊的垂線段為三角形的高線，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵CH⊥AB，∴在△ABC中，邊AB上的高是CH．故選：D．【點睛】本題考查三角形的高線．熟練掌握三角形的高線的定義，是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在△ABC中，AB=AC，BC長度不確定，拫據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，用直尺不一定能直接畫出BC邊的高的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分別考慮選項中的作圖方法，然后結(jié)合三角形高的定義即可求解．【詳解】解：A中以AB邊為直徑作弧，沒有作線段AB中點的作圖痕跡，∴無法直接畫出BC邊上的高，符合題意；B中分別以點B、C為圓心，BC為半徑畫弧，交點為BC邊垂直平分線上的點，連接交點和點A延長到BC邊即為BC邊上的高，不符合題意；C中作的是∠A的角平分線，連接點A與交點并延長與BC相交，即為BC邊上的高，不符合題意；D中分別以AC、AB為半徑畫圖，所得圖形為菱形，連接點A及其相對的交點，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出BC邊上的高，不符合題意；故選A．【點睛】題目主要考查基本的作圖方法及三角形高的判定，熟練掌握各個作圖方法是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）嘉淇剪一個銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可．【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段AD是△ABC的高線，圖②中，線段AD是△ABC的角平分線，圖③中，線段AD是△ABC的中線，故選：B．【點睛】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）觀察下列尺規(guī)作圖痕跡，其中所作線段AD為△ABC的角平分線的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)基本作圖的方法對各選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：對于A選項，由作圖痕跡可知，AD為∠CAB的平分線，故A選項符合題意；對于B選項，由作圖痕跡可知，AD為△ABC中BC邊上的高線，故B選項不符合題意；對于C選項，由作圖痕跡可知，AD為△ABC的中線，故C選項不符合題意；對于D選項，由作圖痕跡可知，AD為△ABC中BC邊上的高線，故D選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查作圖—基本作圖：作三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握基本作圖的方法是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（∠A是鈍角），他打算用折疊的方法折出∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線，能折出的是（）

A．AB邊上的中線和高線 B．∠C的角平分線和AB邊上的高線C．∠C的角平分線和AB邊上的中線 D．∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可求解．【詳解】解：當(dāng)AC與BC重合時，折痕是∠C的角平分線；當(dāng)點A與點B重合時，折疊是AB的中垂線，故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）小熊和小貓把一個三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩個三角形．如圖，當(dāng)∠1=∠2時，折痕是三角形的（

）

A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角定義得到∠1=∠2=90°，再根據(jù)三角形的高線定義求解即可．【詳解】解：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠2，∴∠1=∠2=90°，又∵折痕經(jīng)過三角形的頂點，∴折痕是三角形的高線，故選：C．【點睛】本題考查折疊性質(zhì)、平角定義、三角形的高線，理解三角形的高線定義是解答的關(guān)鍵．【變式1-6】（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫格點．△ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中畫△ABC的中位線DE，使點D、E分別在邊AB、BC上；(2)在圖②中畫△ABC的高線BF．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格線的特點、矩形性質(zhì)，先找到AB,BC的中點，再連接即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格線的特點，利用全等三角形性質(zhì)構(gòu)造過點B的斜邊等于AC的直角三角形即可．【詳解】（1）解：如下圖所示：∴線段DE即為所求；（2）解：如下圖所示：∴線段BF即為所求．【點睛】本題考查作圖的應(yīng)用和設(shè)計，掌握網(wǎng)格線的特點和三角的的中位線、高線的定義是解題的關(guān)鍵．題型02已知三角形的高、中線、角平分線，判斷式子正誤【例2】（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┤鐖D，AD，AE，AF分別是△ABC的中線，角平分線，高．則下列各式中錯誤的是（

）

A．∠AFB=90° B．AE=CE C．BC=2CD D．∠BAE=【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線，高的定義逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：∵AD，AE，AF分別是△ABC的中線，角平分線，高，A、∠AFB=90°，故該選項正確，不符合題意；B、AE，C、BC=2CD，故該選項正確，不符合題意；D、∠BAE=1故選：B．【點睛】本題考查了三角形的中線，角平分線，高的定義，熟練掌握三角形的中線，角平分線，高的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2020上·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯誤的是（

）A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S【答案】C【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷．【詳解】解：∵AF是△ABC的中線，∴BF=CF，A說法正確，不符合題意；∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，B說法正確，不符合題意；∵AE是角平分線，∴∠BAE=∠CAE，C說法錯誤，符合題意；∵BF=CF，∴S△ABC=2S△ABF，D說法正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵．題型03等面積法求三角形的高【例3】如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13，則點C到直線AB的距離等于（

）A．125 B．135 C．6013【答案】C【分析】根據(jù)等積法求出點C到直線AB的距離即可．【詳解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴S△ABC∴CD=AC×BC即點C到直線AB的距離為6013故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形面積計算，點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等積法求出CD=60【變式3-1】（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，在點A，B，C，D中選一個點；與點M，N為頂點構(gòu)成一個三角形，其面積等于△KMN的面積，這個點為（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】C【分析】與點M，N為頂點構(gòu)成一個三角形，其面積等于△KMN的面積，即尋找以MN為底邊，高為KN長的三角形．根據(jù)兩平行線間的距離處處相等，只需要找到過點K且與MN平行的直線即可．【詳解】解：由于平行線間的距離處處相等，所有在過點K且與MN平行的直線上的點與M、N組成的三角形都滿足其面積與△KMN的面積相等，有網(wǎng)格的特點可知只有過點K、C的直線與MN平行，故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形面積，熟知平行線間的距離處處相等是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·江蘇蘇州模擬）數(shù)學(xué)活動課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作S△ABC，小穎畫的三角形面積記作S△DEF，那么你認(rèn)為(

)A．S△ABC>S△DEF B．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEF D．不能確定【答案】C【分析】在兩個圖形中分別作BC、EF邊上的高，欲比較面積，由于底邊相等，所以只需比較兩條高即可．【詳解】解：如圖，過點A、D分別作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分別為G、H，在△ABG和△DHE中，AB=DE=5，∠B=50°，∠DEH=180°-130°=50°，∴∠B=∠DEH，∠AGB=∠DHE=90°，∴△AGB≌△DHE(AAS)，∴AG=DH．∵BC=4，EF=4，∴S△ABC=S△DEF．故選：C．【點睛】要題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等底等高兩三角形面積相等．證明△AGB≌△DHE是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？级＃┤鐖D，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AC邊上的高長度為（

）A．355 B．3510 C．【答案】A【分析】求出三角形ABC的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得AC邊上的高．【詳解】解：四邊形DEFA是正方形，面積是4；△ABF，△ACD的面積相等，且都是12△BCE的面積是：12則△ABC的面積是：4?1?1?1在直角△ADC中根據(jù)勾股定理得到：AC=2設(shè)AC邊上的高線長是x．則12解得：x=3故選A．【點睛】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用“割補(bǔ)法”求面積是解決本題的關(guān)鍵．題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積【例4】（2021·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則S△ABC的面積為（）A．52 B．3 C．72【答案】C【分析】利用割補(bǔ)法求△ABC面積等于大正方形面積-三個三角形面積即可．【詳解】解：在網(wǎng)格中添加字母如圖，S△AEB=12S△AFC=12S△BGC=12S正方形=EF?FC=9，∴S△ABC=S正方形-S△AEB-S△AFC-S△BGC=9-1-3-32故選擇C．【點睛】本題考查網(wǎng)格三角形面積，掌握用割補(bǔ)法求網(wǎng)格三角形面積的方法是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·北京·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D均在格點上，則SΔABCS

【答案】＜【分析】分別求出△ABC的面積和△ACD的面積，即可求解．【詳解】解：由題意，SΔSΔ∴SΔ故答案為：＜．【點睛】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格上的每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A(?1,3)，B(2,0)，C(?3,?1)．

(1)在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1（點A、B、C的對應(yīng)點分別為(2)求△ABC的面積．【答案】(1)見解析；(2)9．【分析】（1）分別找到點A、B、C的對應(yīng)點分別為A1、B1、（2）結(jié)合表格，利用割補(bǔ)法S△ABC【詳解】（1）解：作圖如下：

（2）由題意可知，小網(wǎng)格的邊長代表1個單位長度，如圖：S=4×5?=9

【點睛】本題考查了利用網(wǎng)格作對稱圖形及利用網(wǎng)格求面積；解題的關(guān)鍵是正確作圖．題型05與垂心性質(zhì)有關(guān)的計算【例5】（2022·安徽·校聯(lián)考三模）如圖，已知ΔABC中，∠ACB=45°，F(xiàn)是高BD和CE的交點，AD=3，CD=5，則線段BFA．1 B．2 C．22?3 【答案】B【分析】連接AF交BC于G點，可知F是三角形的垂心，可知AG也是一條高線，在結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】連接AF交BC于G點，如圖所示：∵CE、DB是△ABC的兩條高線，∴可知F是三角形的垂心，可知AG也是一條高線，即AG⊥BC，∴在Rt△AGC中，∠ACB=45°，∴AG=GC=22AC∵AC=AD+CD=3+5=8，∴AG=GC=42∵BD⊥AC，∠ACB=45°，∴在Rt△DCB中，∠CBD=45°，DC=DB=22BC∵DC=5，∴DB=5，BC=52∴BG=BC-CG=52∴在Rt△FGB中，∠CBD=45°，BG=2，∴BG=2=FG，∴BF=2BG=2，故選：B．【點睛】本題考查了三角形中三條高線交于一點、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)判斷F點為三角形垂心是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2021·山東威?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）【信息閱讀】垂心的定義：三角形的三條高（或高所在的直線）交于一點，該點叫三角形的垂心．【問題解決】如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H為△ABC的垂心，則∠BHC的度數(shù)為（

）A．120° B．115° C．102° D．108°【答案】C【分析】如圖，延長BH,CH,分別交AC,AB于K,M,證明∠AMC=∠AKB=90°,再利用三角形的內(nèi)角和定理求解∠A,再利用四邊形的內(nèi)角和定理可得答案.【詳解】解：如圖，延長BH,CH,分別交AC,AB于K,M,∵H為△ABC的垂心，∴BK⊥AC,CM⊥AB,∴∠AMC=∠AKB=90°,∵∠ABC=40°,∠ACB=62°,∴∠BAC=180°?40°?62°=78°,∴∠MHK=360°?∠AMC?∠AKB?∠A=102°，∴∠BHC=102°．故選：C.【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，垂心的定義，正確理解垂心的定義構(gòu)建需要的四邊形是解題的關(guān)鍵.【變式5-2】（2022·浙江紹興·統(tǒng)考一模）在學(xué)習(xí)三角形高線時，發(fā)現(xiàn)三角形三條高線交于一點，我們把這個交點叫做三角形的垂心．課后小明同學(xué)繼續(xù)探究，上網(wǎng)搜索得到了三角形重心的一條性質(zhì)，制作了如下表格進(jìn)行探究．三角形關(guān)型直角三角形銳角三角形鈍角三角形垂心的位置直角頂點①在三角形外部垂心的性質(zhì)三角形任意頂點到垂心的距離等于外心到對邊的距離的兩倍．圖形圖1圖2(1)表格中①處應(yīng)填：．(2)小明先選擇了直角三角形來探究重心的性質(zhì)，寫出了已知求證，請完成證明．已知：如圖1，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠B=Rt∠，H是△ABC的垂心，OE⊥BC，垂足為E．求證：AH=2OE．(3)如圖2，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，高線AF與高線CG交于點H，OE⊥BC于點E，為了證明AH=2OE．小明想把銳角三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，為此他過點B作了⊙O的直徑BD，請繼續(xù)小明的思路證明．【答案】(1)在三角形內(nèi)部(2)見解析(3)見解析【分析】（1）銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，所以銳角三角形三條高的交點一定在三角形內(nèi)部；（2）根據(jù)⊙O是Rt△ABC的外接圓點，可得O為AC中點，再根據(jù)OE⊥BC，由垂徑定理得到點E為BC中點，最后利用三角形的中位線定理即可得證；（3）本小題利用（2）的結(jié)論，把銳角三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，可得到DC=2OE，然后連接AD、CD，證明四邊形ADCH是平行四邊形，得到AH=DC即可得證．【詳解】（1）解：∵銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，∴銳角三角形三條高的交點一定在三角形內(nèi)部在三角形內(nèi)部，∴銳角三角形的垂心在三角形的內(nèi)部；（2）解：如圖1，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠B=Rt∠，∴點O為AC中點．∵OE⊥BC，∴E為BC中點．∴OE為△ABC的中位線，∴AB=2OE即AH=2OE；（3）證明：如圖2，連結(jié)AD、CD，∵BD是⊙O的直徑，∴DC⊥BC，由（2）可知DC=2OE，又∵AF⊥BC，∴AF∥同理CG∥∴四邊形ADCH是平行四邊形，∴AH=DC．∴AH=2OE．【點睛】本題考查的是三角形的垂心的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定、垂徑定理及三角形中位線定理．掌握三角形任意頂點到垂心的距離等于外心到對邊的距離的兩倍以及轉(zhuǎn)化的思想是解答的關(guān)鍵．【變式5-3】（2021·山西呂梁·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：我們知道三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．由于三角形的三條高（或高所在的直線）相交于一點，因此我們把三角形三條高的交點叫做三角形的垂心．下面我們以銳角三角形為例，證明三角形的三條高相交于一點．如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的高，且AD與BE相交于點P．連接CP并延長，交AB于點F．求證：CF⊥AB．證明：分別過點A，B，C作它們所對邊的平行線，三條平行線兩兩相交于點M，N，Q．分別連接PM，PN，PQ．∵M(jìn)N//BC，MQ//AB，NQ//AC，∴四邊形MABC，四邊形ANBC，四邊形ABQC都是平行四邊形．∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．∵AD⊥BC，∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．∴PM=PN．…學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）請將上面剩余的證明過程補(bǔ)充完整；（2）點P是△MNQ的．（填出字母代號即可）A．內(nèi)心

B．外心

C．垂心

D．重心（3）若∠CAB=40°，則∠MPN=°．【答案】（1）見解析；（2）B；（3）80°【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一以及中垂線的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形外心的定義，即可得到答案；（3）構(gòu)造△MNQ的外接圓，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，即可求解．【詳解】（1）∵BE⊥AC，∴∠EBQ=∠BEA=90°，即EB⊥NQ．∴PN=PQ．∴PM=PQ．∴PC⊥MQ，∴∠CFB=∠FCM=90°．∴CF⊥AB．（2）∵PM=PQ=PN，∴點P是△MNQ的外心，故選B．（3）∵四邊形ABQC都是平行四邊形，∴∠BQC=∠CAB=40°，∵點P是△MNQ的外心，∴∠MPN=2∠BQC=2×40°=80°，故答案是：80°．【點睛】本題主要考查三角形的垂心，外心，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，添加合適的輔助線構(gòu)造平行四邊形和三角形的外接圓，是解題的關(guān)鍵．題型06根據(jù)三角形的中線求長度【例6】（2023·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測）如圖，AD是△ABC的中線，AB=5，AC=4，△ACD的周長為10，則△ABD的周長為（）

A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】根據(jù)三角形的中線的概念得到BD=DC，再根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：∵△ACD的周長為10，∴AC+AD+CD=10，∵AC=4，∴AD+CD=6，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD.∴AD+BD=6∵AB=5，∴△ABD的周長=AB+AD+CD=11，故選：D．【點睛】本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．【變式6-1】（2023·青?！そy(tǒng)考一模）在△ABC中，D是BC邊的中點，若AB=9，AC=5，則△ABC的中線AD長的取值范圍是（

）A．5<AD<9 B．4<AD<9 C．2<AD<14 D．2<AD<7【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，延長AD至點E，使得AD=DE，連接EC，可證△ABD≌△ECD，可得CE=AB=9，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可求得AE的取值范圍，進(jìn)而可得AD的取值范圍．【詳解】解：如下圖，延長AD至點E，使得AD=DE，連接EC，∵AD是邊BC的中線，∴BD=CD，又∵∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD(SAS∴CE=AB=9，∵在△ACE中，CE?AC<AE<CE+AC，∴9?5<AE<9+5，即4<AE<14，∵AD=DE=1∴2<AD<7．故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的中線、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識，熟悉三角形的三邊關(guān)系，利用中線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D，若BF=3EF，則BDDC=（A．43 B．32 C．65【答案】B【分析】先利用三角形的中線的定義得到AEAC=12，過點E作EG∥DC交AD于G，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DC=2GE，由【詳解】解：如圖，∵BE是△ABC的中線，∴AEAC過點E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE=∠ADC，∠AEG=∠C，∴△AGE∽△ADC，∴EGDC∴DC=2GE．∵BF=3FE，∴EFBF∵GE∥BD，∴∠GEF=∠FBD，∠EGF=∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴GEDB∴DCDB∴BDDC故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，過點E作EG∥DC，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中線BD把△ABC的周長分成兩部分的比是8：7，求邊AB，AC的長．【答案】AB=6,AC=4或AB=【分析】根據(jù)題意，設(shè)設(shè)AB=3x，則AC=2x，分別表示出三邊，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得出AD=CD=1【詳解】解：如圖，∵AB：AC=3：2，設(shè)AB=3x，則AC=2x，∴BC=AC+1=2x+1，∵BD是△ABC的中線，則AD=CD=1依題意，BC+CDAB+AD=7∴2x+1+x3x+x=7解得：x=2或x=711，經(jīng)檢驗x=2或∴當(dāng)x=2時，AB=3x=6，AC=2x=4，BC=2x+1=5，當(dāng)x=711時，AB=2111，∴AB=6,AC=4或AB=21【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．題型07根據(jù)三角形的中線求面積【例7】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的面積為30，BD=2CD，E為AB的中點，則△ADE的面積等于（

）

A．15 B．12 C．10 D．9【答案】C【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)與面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC的面積為30，BD=2CD，∴S△ABD又E為AB的中點，∴S△ADE故選：C．【點睛】本題考查了三角形的中線，三角形的面積的計算，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·江蘇南京·南師附中新城初中?？寄M預(yù)測）如圖△ABC中，點D是BC邊的中點，E是AC邊上一點，且AE=2EC，連接AD、BE交于點F，若△BDF的面積是3，則△ABC的面積為．

【答案】30【分析】連接CF，由點D是BC邊的中點，得S△ABD=S△ACD，由△BDF的面積是3，得S△CDF=3，令S△AEF=【詳解】解：連接CF，

∵點D是BC邊的中點，∴BD=CD，∴S△ABD∵△BDF的面積是3，∴S△CDF令S△AEF∵AE=2EC，∴S△ABE∴S△ABFS△ABF∴S1∴3S∴S2∴S1∴S△ABC故答案為：30．【點睛】本題主要考查三角形的面積，三角形中線等知識點，掌握等積變換是解答此題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·校考二模）探究應(yīng)用：(1)如圖①，在△ABC中，中線AD、BE交于點O．若△ABC的面積為6，求四邊形ODCE的面積．小明在求解時，利用“三角形的中線平分此三角形的面積”的結(jié)論，連接OC，設(shè)△ODC的面積為x，△OEC的面積為y，列出方程組2x+y=3，解得x=y=

，所以四邊形ODCE的面積為x+y＝(2)如圖②，在△ABC中，AD是中線，AE=EF=FC，AD與BE、BF分別交于點M、N．若四邊形NDCF的面積為14，求△ABC的面積．(3)在（2）的條件下，求△AME的面積．【答案】(1)x+2y=3，1，1，2(2)60(3)5【分析】（1）可得2x+y=3x+2y=3（2）連接CM，DF，設(shè)S△ABC=m，S△BMDS△CME=23S△AMC=13m?23a，S△BCE=23（3）由（2）得S△AME【詳解】（1）解：AD、BE是△ABC的中線，∴S△BCE∴2x+y=3解得：x=1y=1∴x+y=2．故答案：x+2y=3，1，1，2．（2）解：連接CM，DF，設(shè)S△ABC=m，∵AD是中線，∴S△CMD=S△ACD∴S△AMC∵AE=EF=FC，∴SS△CMES△BCE=2∴S==1S=2∴1整理得：a=1∴=1∴==14?1∴DN∵EF=FC，BD=CD，∴DF∥BE，∴△CDF∽△DFN∽∴SS∴S∴=14?1∴DNMN∴14?整理得：m2解得：m1=60，∴S（3）解：由（2）得S=====5．【點睛】本題考查了三角形面積的等積轉(zhuǎn)換，一元二次方程的應(yīng)用，中位線定理，三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的方法，判定方法及性質(zhì)，會根據(jù)題意設(shè)適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）已知四邊形ABCD中，AC，BD相交于點E，AB=CD，∠ABE=∠DCE．(1)如圖，求證：∠EBC=∠ECB；

(2)如圖2，延長BA，延長CD相交于點F，若點D是CF的中點．在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于△ADF面積的2倍．

【答案】(1)證明見解析(2)△AFC，△FDB，△ABC，△BDC【分析】（1）先根據(jù)AAS證明△ABE≌（2）根據(jù)“中線平分三角形面積”可得出答案．【詳解】（1）證明：在△ABE與△DCE中，∵∠AEB=∠DEC，∠ABE=∠DCE，AB=DC；∴△ABE≌∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB．（2）∵點D是CF的中點，∴AD是△FAC的中線，BD是△FBC的中線，∴S△ADF=由（1）可知△ABE≌∴S△AFC∴△AFC=△BAC=△BDC=△FDB=2△ADF∴△AFC，△FDB，△ABC，△BDC的面積都等于△ADF面積的2倍．【點睛】本題考查全等三角形的判斷和性質(zhì)，三角形的面積等，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握全等三角形的判斷和性質(zhì)．題型08判斷重心位置【例8】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，在4×4的正方形格紙中，△ABC的頂點均在格點上，BC邊與網(wǎng)格線交于點D，AC邊過格點E，連接AD，BE相交于點O，則點O為△ABC的（A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．以上結(jié)果均不對【答案】A【分析】根據(jù)三角形三條中線的交點是三角形的重心進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，點D、E是BC、AC的中點，∴AD、BE是△ABC的中線，∴點O是△ABC的重心，故選：A．【點睛】本題考查了三角形的重心，熟練掌握三角形重心的定義是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）已知△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，點A、B、C、P均在格點上，有下列結(jié)論：①點P在∠ACB的角平分線上；②直線BP可以把△ABC分成面積相等的兩部分；③點P是△ABC的外心；④點P是△ABC的重心．其中正確的有．（直接填寫序號）【答案】①②④【分析】①取BC、AC的中點E、F，連接PE、PF、PC，根據(jù)勾股定理解得AC、BC的長，再證明△PEC≌△PFC，由全等三角形對應(yīng)角相等解得∠PCE=∠PCF，據(jù)此解題即可；②根據(jù)中線的性質(zhì)，即可解題；③根據(jù)題意可得AP≠CP，從而得到點P不在AC的垂直平分線上，即可；④由三角形的重心定義結(jié)合中線的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：①取BC、AC的中點E、F，連接PE、PF、PC，則點A，P，E三點共線，點B，P，F(xiàn)三點共線，由圖可知，AC=4∴AC=BC，∵E、F分別是BC、AC的中點，∴FC=EC,又∵PE=PF，∴△PEC≌△PFCSSS∴∠PCE=∠PCF，∴PC平分∠ACB∴點P在∠ACB的角平分線上，故①正確；②∵F是AC的中點，點B，P，F(xiàn)三點共線，∴BF是△ABC的中線，即直線BP把△ABC分成面積相等的兩個部分，故②正確；③∵AP=2,PC=22∴AP≠CP，∴點P不在AC的垂直平分線上，∴點P不是△ABC三邊垂直平分線的交點，∴點P不是△ABC的外心，故③錯誤；④∵E、F分別是BC、AC的中點，∴AE、BF分別是△ABC的中線，∴點P是△ABC的重心，故④正確，故答案為：①②④．【點睛】本題考查網(wǎng)格與勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外心，重心等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．題型09與重心性質(zhì)有關(guān)的計算【例9】（2023·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)第二中學(xué)校考二模）等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，則重心G到底邊的距離是．【答案】43/【分析】根據(jù)題意作出高線，首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求得AD的長，再根據(jù)重心的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖所示，過點A作AD⊥BC于點D，

∵AB=AC=5，BC=6，∴BD=CD=1∴AD=∵AD為等腰三角形底邊上的中線，∴重心G一定在AD上，且重心G到底邊的距離為GD的長，根據(jù)重心的性質(zhì)可知，GD=1故答案為：43【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，重心的性質(zhì)，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點D，延長CG交AB于點E，P、Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長為6，則PQ的長為．【答案】1【分析】連接DE，延長EP交BC于F點，連接DF，由G是△ABC的重心，可證DE是△ABC的中位線，從而可求出DE的長．利用三角形重心的定義和性質(zhì)得到EP=2PF，DQ=2QF，再證明△FPQ∽△FED得到PQED【詳解】解：連接DE，延長EP交BC于F點，連接DF，如圖，

∵G是△ABC的重心，∴D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=1∵P點是△BCE的重心，∴F點為BC的中點，EP=2PF，∵Q點是△BCD的重心，∴點Q在中線DF上，DQ=2QF，∵∠PFQ=∠EFD，F(xiàn)QFE∴△FPQ∽△FED，∴PQED∴PQ=1故答案為：1．【點睛】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)．三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：【變式9-2】（2021·河北邢臺·二模）如圖，△ABC中，點D、E分別為AB、AC的中點，連接DE，線段BE、CD相交于點O，若OD=2，則OC=．

【答案】4【分析】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1．根據(jù)重心定義得到點O為△ABC的重心，再根據(jù)重心的性質(zhì)得OCOD=2，所以【詳解】解：∵點D、E分別為AB、AC的中點，∴點O為△ABC的重心，∴OCOD而OD=2，∴OC=2OD=4．故答案為4【變式9-3】（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點B?2，3，點C在x軸負(fù)半軸，OB=BC，點M為△OBC的重心，若將△OBC繞著點O

【答案】?1,?2【分析】由重心的性質(zhì)可得點M的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證全等即可求得旋轉(zhuǎn)后三角形的重心的坐標(biāo)．【詳解】解：∵OB=BC，點M為△OBC的重心∴BM⊥CO,MH=∵點B∴點M

∵將△OBC繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°過點M″作M″∵∠MO∴∠MOH=∠∵∠MHO=∠∴△MHO≌△∴OE=OH=2,∴點M故答案為：?1,?2【點睛】本題考查了重心的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等．熟記相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論是解題關(guān)鍵．考點三三角形的性質(zhì)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關(guān)系定理及推論的應(yīng)用：1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：1)在三角形中,已知兩個內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數(shù),可以求出另一個銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．題型01應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長或取值范圍【例1】（2021·福建寧德·統(tǒng)考一模）下列三條線段中，能組成三角形的是（

）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，2，4 D．2，2，5【答案】A【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析．【詳解】解：A、2+3>4，能構(gòu)成三角形；B、2+3=5，不能夠組成三角形；C、2+2=4，不能構(gòu)成三角形；D、2+2<5，不能構(gòu)成三角形．故選：A．【點睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知三角形的三邊長分別為3，4，x，且x為整數(shù)，則x的最大值為（

）A．8 B．7 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和”，求得第三邊的取值范圍；再根據(jù)第三邊是整數(shù)，從而求得第三邊長的最大值．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：4-3＜x＜4+3，即1＜x＜7，∵x為整數(shù)，∴x的最大值為6．故選：D．【點睛】此題考查了三角形的三邊關(guān)系．注意第三邊是整數(shù)的已知條件．【變式1-2】（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）2,5,m是某三角形三邊的長，則(m?3)2+(m?7)2等于（A．2m?10 B．10?2m C．10 D．4【答案】D【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出m的取值范圍，再把二次根式進(jìn)行化解，得出結(jié)論．【詳解】解：∵2,5,m是三角形的三邊，∴5?2<m<5+2，解得：3<m<7，∴(m?3)故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡，解題的關(guān)鍵是：先根據(jù)題意求出m的范圍，再對二次根式化簡．【變式1-3】（2018·甘肅武威·中考真題）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a，b滿足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c為奇數(shù)，則c=．【答案】7【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出c的取值范圍，再根據(jù)c是奇數(shù)求出c的值．【詳解】∵a，b滿足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，∴a﹣7=0，b﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴6<c<8，又∵c為奇數(shù)，∴c=7，故答案為：7．【點睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，解題的關(guān)鍵是明確題意，明確三角形三邊的關(guān)系．【變式1-4】．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）一個三角形的兩邊長分別是1和4，若第三邊的長為偶數(shù)，則第三邊的長是．【答案】4【分析】利用三角形三邊關(guān)系定理，先確定第三邊的范圍，再根據(jù)第三邊是偶數(shù)這一條件，求得第三邊的值．【詳解】解：設(shè)第三邊為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，4﹣1＜a＜4＋1，即3＜a＜5，又∵第三邊的長是偶數(shù)，∴a為4．故答案為：4．【點睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，掌握第三邊滿足：大于已知兩邊的差，且小于已知兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2021上·四川內(nèi)江·九年級四川省隆昌市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三角形兩邊的長分別為2和5，第三邊的長是方程x2?8x+15=0的根，則該三角形的周長為【答案】12【分析】解方程得第三邊邊長可能的值，代入三角形三邊關(guān)系驗證，進(jìn)而求出周長即可．【詳解】∵第三邊的長是方程x2?8x+15=0的根，解得當(dāng)x=3時，由于2＋3=5，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)x=5時，由于2＋5>5，能構(gòu)成三角形；故該三角形三邊長分別為2,5,5，則周長為2＋5＋5=12．故答案為12．【點睛】本題考查了解一元二次方程，三角形三邊關(guān)系，利用三角形三邊關(guān)系驗證三邊長是否能構(gòu)成三角形是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-6】（2021·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：m3?2m2m【答案】m?3m?2；【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，利用三角形三邊的關(guān)系，求得m的值，代入計算即可求出值．【詳解】解：m====m?3∵m是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三邊長，∴3-2＜m＜3+2，即1＜m＜5，∵m為整數(shù)，∴m=2、3、4，又∵m≠0、2、3∴m=4，∴原式=4?34?2【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值以及三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運算順序和運算法則．題型02應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡含有絕對值的式子【例2】（2019下·山東濰坊·九年級校聯(lián)考期中）如果一個三角形的三邊長分別是2，3，m，則化簡m2?10m+25?【答案】?3m【分析】由于三角形的三邊長分別為2，3，m，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，2+3＞m，即m＜5，3-2＜m，所以m＞1，根據(jù)m的取值范圍，再對代數(shù)式進(jìn)行化簡【詳解】∵邊長分別是2，3，m，∴2+3＞m，即m＜5，3-2＜m，即m＞1，∴m-5<0，1-m<0，∴m=(m?5)=5-m+2-2m-7=-3m.故答案為-3m.【點睛】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)及絕對值的意義，由三角形三條邊的關(guān)系求出m的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵.【變式2-1】（2021·湖南·長沙市長郡雙語實驗中學(xué)?？家荒＃┤鬭，b，c是△ABC的三邊的長，則化簡|a?b?c|+|b?c?a|+|a+b?c|=．【答案】a+b+c【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，判斷絕對值內(nèi)的代數(shù)式的符號，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【詳解】∵a，b，c是ΔABC的三邊，∴a<b+c，b<c+a，c<a+b，∴a?b?c<0，b?c?a<0，a+b?c>0，∴a?b?c=b+c?a+c+a?b+a+b?c=a+b+c．故答案為：a+b+c．【點睛】題目主要考查的是三角形的三邊關(guān)系及去絕地值，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型03應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題【例3】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在學(xué)習(xí)了勾股定理后，數(shù)學(xué)興趣小組在李老師的引導(dǎo)下，利用正方形網(wǎng)格和勾股定理，運用構(gòu)圖法進(jìn)行了探究活動：如圖，在5×5正方形的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點A、B、C均在格點上，已知△ABC的三邊長分別為25、22、2，李老師在圖中已經(jīng)畫出了其中一邊AB．請你補(bǔ)全△ABC，并根據(jù)圖形比較25

【答案】2【分析】根據(jù)勾股定理畫出BC、AC，再運用三角形三邊關(guān)系比較25與2【詳解】解：△ABC如圖所示，

可知AB=22+42∵BC+AC>AB，∴22【點睛】本題考查了勾股定理得實際應(yīng)用和三角形三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識點是關(guān)鍵．【變式3-1】在△ABC中，AB>AC，AD是△ABC的角平分線，請比較AB?AC與BD?DC的大小，并說明理由．【答案】AB?AC>BD?DC，證明見解析【分析】首先在AB上取點E，使AE=AC，連接DE，易證得△AED≌△ACD，即可得DE=CD，然后由三角形三邊關(guān)系，即可求得答案．【詳解】解：AB?AC>BD?DC．理由：在AB上取點E，使AE=AC，連接DE，∴AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△ADE和△ADC中，AE=AC∠EAD=∠CAD∴△AED≌△ACDSAS∴DE=CD，∵AB?AC=AB?AE=BE，BD?DE<BE，∴AB?AC>BD?DC．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式3-2】（2023下·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考期末）下面是小明和小亮比較2+3與

A．小明對，小亮錯 B．小明錯，小亮對C．兩人都錯 D．兩人都對【答案】D【分析】根據(jù)兩個正數(shù)比較大小，平方數(shù)越大，則這個正數(shù)就越大，則小明的思路進(jìn)行判斷，再根據(jù)勾股定理和三角形的三邊關(guān)系對小亮的思路進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵2>0∴2+∵2+∴5+26∴2+∴小明的思路正確；∵兩個直角邊分別為2,∴由勾股定理得：斜邊長為22∵三角形任意兩邊之和大于第三邊，∴2+∴小亮的思路也正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的大小比較，熟練掌握實數(shù)大小比較的方法是解題關(guān)鍵．題型04三角形內(nèi)角和定理的證明【例4】（2023·陜西西安·西安市航天中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）某班學(xué)生對三角形內(nèi)角和為180°展開證明討論，以下四個學(xué)生的作法中，不能證明△ABC的內(nèi)角和為180°的是（

）A．過點A作AD∥BC B．延長BC到點D，過點C作CEC．過點A作AD⊥BC于點D D．過BC上一點D作DE∥AC，DF∥AB【答案】C【分析】本題運用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題．【詳解】解：A、由AD∥BC，則∠CAD=∠C，∠BAD+∠B=180°．由∠DAC+∠BAC+∠B=180°，得B、由CE∥AB，則∠A=∠ACE，∠B=∠DCE．由∠ACE+∠ECD+∠ACB=180°，得C、由AD⊥BC于D，則∠ADC=∠ADB=90°，無法證得三角形內(nèi)角和是180°，故不符合題意．D、由DE∥AC，得∠FDE=∠BED，∠A=∠BED，則∠FDE=∠A．由DF∥AB，得∠FDC=∠B，∠C=∠BDE，由∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，得故選：C．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°，已知：如圖，ΔABC求證：∠A+∠B+∠C=方法一證明：如圖，過點A作DE//BC.

方法二證明：如圖，過點C作CD//AB.

【答案】答案見解析【分析】方法一：依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，從而可求證三角形的內(nèi)角和為180°．方法二：由平行線的性質(zhì)得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，從而可求證三角形的內(nèi)角和為180°．【詳解】證明：方法一：過點A作DE//BC，

則∠B=∠BAD，∠C=∠EAC．(兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵點D，A，E在同一條直線上，∴∠DAB+∠BAC+∠C=180°．（平角的定義）∴∠B+∠BAC+∠C=180°．即三角形的內(nèi)角和為180°．方法二：如圖，過點C作CD//AB.

∵CD//AB，∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，∴∠B+∠ACB+∠A=180°．即三角形的內(nèi)角和為180°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型05應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度【例5】（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A'B'C，連接AAA．70° B．65° C．60° D．55°【答案】B【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=A'C，∠ACA'=90°，從而得到△ACA【詳解】解：∵將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A'∴AC=A'C∴△ACA∴∠CAA∵∠AA∴∠B∵∠CB∴∠CB故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·河北唐山·?？家荒＃┰凇鰽BC中，已知∠A=∠B=2∠C，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出三個內(nèi)角的度數(shù)即可判斷．【詳解】解：設(shè)∠C=α，∵∠A=∠B=2∠C，∴∠A=∠B=2α，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2α+2α+α=180°，∴α=36°，∴∠A=∠B=2×36°=72°，∴△ABC是等腰三角形．故選：A．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的判定定理，運用了方程的思想．熟知三角形的內(nèi)角和是180°是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，若cosA?32+(1?tanB)【答案】105°/105度【分析】根據(jù)非負(fù)性，求出cosA,tanB，進(jìn)而求出∠A,∠B【詳解】解：∵cosA?32∴cosA?∴cosA=∴∠A=30°,∠B=45°，∴∠C=180°?∠A?∠B=105°；故答案為：105°．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的非負(fù)性以及三角形的內(nèi)角和．熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．題型06三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用【例6】（2023·山西太原·山西實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）綠色出行，健康出行，你我同行．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖2是其示意圖，其中AB，CD都與地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM與CB平行，則∠MAC的度數(shù)為（

）圖1

圖2A．70° B．68° C．60° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC=∠BCD=68°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ACB=180°?68°?52°=60°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即得答案．【詳解】解：∵AB，CD都與地面平行，∠BCD=68°，∴AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=68°，∵∠BAC=52°，∴∠ACB=180°?68°?52°=60°，∵AM∥CB，∴∠MAC=∠ACB=60°；故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·河南周口·淮陽第一高級中學(xué)?？既＃┪锢韺W(xué)光的反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；入射角等于反射角．這就是光的反射定律．如圖，兩平面鏡AB與BC的夾角為α，一條光線經(jīng)過兩次反射后，∠AEF=∠GEB，∠BGE=∠CGH，仍可以使入射光線EF與反射光線GH平行但方向相反，則α的度數(shù)為（

）

A．60° B．80° C．90° D．100°【答案】C【分析】分別過點E、G作ED⊥AB，DG⊥BC，垂線相交于點D，由入射角等于反射角，可得∠GED=12∠GEF，∠EGD=12∠EGH，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠GEF+∠EGH=180°，即∠EGD+∠GE