2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）第27講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系（講義）（原卷版）

第27講與圓有關(guān)的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系題型01判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系題型02根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑題型03判斷直線與圓的位置關(guān)系題型04根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求半徑題型05根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求點(diǎn)到直線的距離題型06求圓平移到與直線相切時(shí)圓心坐標(biāo)題型07求圓平移到與直線相切時(shí)運(yùn)動(dòng)距離題型08根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求交點(diǎn)個(gè)數(shù)題型09圓和圓的位置關(guān)系考點(diǎn)二切線的性質(zhì)與判定題型01判斷或補(bǔ)全使直線成為切線的條件題型02利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)題型03利用切線的性質(zhì)求角度題型04證明某條直線時(shí)圓的切線類型一由公共點(diǎn)：連半徑，證垂直類型二無(wú)公共點(diǎn)：作垂直，證半徑題型05利用切線的性質(zhì)定理證明題型06切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用題型07作圓的切線題型08應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求解題型09應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求證考點(diǎn)三三角形內(nèi)切圓與外接圓題型01判斷三角形外接圓圓心位置題型02求外心坐標(biāo)題型03已知外心的位置判斷三角形形狀題型04求特殊三角形外接圓的半徑題型05由三角形的內(nèi)切圓求長(zhǎng)度題型06由三角形的內(nèi)切圓求角度題型07由三角形的內(nèi)切圓求周長(zhǎng)、面積題型08求三角形的內(nèi)切圓半徑題型09直角三角形周長(zhǎng)、面積和內(nèi)切圓半徑的關(guān)系題型10圓外切四邊形模型題型11三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用題型12三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系探索并掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.能用尺規(guī)作圖:過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓.了解直線與圓的位置關(guān)系.本專題內(nèi)容也是各地中考數(shù)學(xué)中的必考考點(diǎn)之一，主要內(nèi)容包括點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會(huì)考查切線的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線段長(zhǎng)的問(wèn)題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)綜合，考查形式多樣，多以動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖的形式給出，難度較大.關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，力爭(zhēng)拿到全分．切線的性質(zhì)與判定掌握切線的概念.探索并證明切線長(zhǎng)定理.三角形內(nèi)切圓與外接圓了解三角形的內(nèi)心與外心.通過(guò)尺規(guī)作作三角形的外接圓、內(nèi)切圓.考點(diǎn)一點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系已知⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部d>r點(diǎn)P在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上d=r點(diǎn)P在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部d<r點(diǎn)P在圓內(nèi)【說(shuō)明】掌握已知點(diǎn)的位置，可以確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．2.直線和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)性質(zhì)及判定相離沒(méi)有公共點(diǎn)d>r直線l與⊙O相離相切有唯一公共點(diǎn)d=r直線l與⊙O相切相交有兩個(gè)公共點(diǎn)d<r直線l與⊙O相交【小技巧】判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．3.圓和圓之間的位置關(guān)系設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)性質(zhì)及判定外離無(wú)d>外切1個(gè)切點(diǎn)d=相交兩個(gè)交點(diǎn)R-內(nèi)切1個(gè)切點(diǎn)d=內(nèi)含無(wú)0≤兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.11.由于圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，當(dāng)題目中未給出具體圖形時(shí)，要結(jié)合題意畫(huà)出符合題意的圖形，并進(jìn)行分類討論，否則比較容易漏解．2.經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)作圓,圓心的位置具有任意性；經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)作圓,圓心的位置就有了規(guī)律性,即圓心位于兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.3.直線和圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)研究；也可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來(lái)研究，這兩個(gè)角度的論述其實(shí)是等價(jià)的.4.圓與圓之間的有些位置關(guān)系有兩種情況，做題時(shí)要分類討論，防止漏解：①兩圓沒(méi)有交點(diǎn)：外離或內(nèi)含；②兩圓有一個(gè)交點(diǎn)：外切或內(nèi)切；③兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)：兩圓心在公共弦同側(cè)或異側(cè)．題型01判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系【例1】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心在原點(diǎn)，半徑為5，則點(diǎn)P0,4與⊙OA．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法確定【變式1-1】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）A，B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，4），（﹣5，1），以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作⊙O，則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)A，點(diǎn)B都在⊙O上 B．點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O外C．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，點(diǎn)B在⊙O上 D．點(diǎn)A，點(diǎn)B都在⊙O外【變式1-2】（2022·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考一模）若⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為4cm，那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是：點(diǎn)A在⊙O．（填“上”、“內(nèi)”、“外”）題型02根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑【例2】（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在A．2 B．3 C．4 D．5【變式2-1】（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則PD的最小值為（A．45 B．1 C．75 D【變式2-2】（2022·山東棗莊·?？家荒＃c(diǎn)P是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是【變式2-3】（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知矩形ABCD的邊AB=6，BC=8，現(xiàn)以點(diǎn)A為圓心作圓，如果B、C、D至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，那么⊙A半徑r題型03判斷直線與圓的位置關(guān)系【例3】（2023·廣東廣州·華南師大附中?？家荒＃┤鐖D，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定【變式3-1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）如圖是“光盤(pán)行動(dòng)”的宣傳海報(bào)，圖中餐盤(pán)與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行【變式3-2】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=34．D、E分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，DE∥AC，且BD=2CD．如果A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【變式3-3】（2023·四川內(nèi)江·威遠(yuǎn)中學(xué)校?？家荒＃┮阎矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)P（x0,y0）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點(diǎn)P到直線Ax＋By＋C＝0的距離例如：求點(diǎn)P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因?yàn)橹本€y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點(diǎn)P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：d=根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)M（0，3）到直線y=（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線y=3x+9的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長(zhǎng)為題型04根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求半徑【例4】（2023·重慶開(kāi)州·統(tǒng)考一模）如圖，OA是⊙О的一條半徑，點(diǎn)P是OA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PB，點(diǎn)B為切點(diǎn)．若PA=1，PB=2，則半徑OA的長(zhǎng)為（

）A．43 B．32 C．85【變式4-1】（2023·上海浦東新·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，以點(diǎn)A4,3為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點(diǎn)O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（

A．0<R<5 B．3<R<4 C．【變式4-2】（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，sinA=513，以點(diǎn)C為圓心，R【變式4-3】（2020·河北石家莊·石家莊市第五十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．點(diǎn)O為邊AB上一點(diǎn)（不與A重合）⊙O是以點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的圓．當(dāng)⊙O與三角形邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3時(shí)，則OA的范圍（）A．0＜OA≤158或2.5≤OA＜5 B．0＜OA<158或C．OA＝2.5 D．OA＝2.5或15【變式4-4】（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6.點(diǎn)O為對(duì)角線AC上一點(diǎn)（不與A重合），⊙O是以點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的圓.當(dāng)⊙O與矩形各邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)時(shí)，半徑OA的范圍是【變式4-5】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，以C為圓心，r為半徑作圓．若該圓與線段【變式4-6】（2020·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，已知RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)，那么⊙A．0≤r≤125 B．125題型05根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求點(diǎn)到直線的距離【例5】（2021·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）如圖，⊙C的圓心C的坐標(biāo)為1,1，半徑為1，直線l的表達(dá)式為y=-2x+6，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，Q是A．355-1 B．655【變式5-1】（2020·福建福州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知⊙O的半徑為3，點(diǎn)O到直線m的距離為d，若直線m與⊙O公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)，則A．0 B．3 C．3.5 D．4題型06求圓平移到與直線相切時(shí)圓心坐標(biāo)【例6】（2023·山東日照·日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知⊙P的半徑為1，圓心P在拋物線y＝12x2﹣1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為【變式6-1】（2020·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考二模）如圖，半徑r=22的⊙M在x軸上平移，且圓心M在x軸上，當(dāng)⊙M與直線y=x+2A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）題型07求圓平移到與直線相切時(shí)運(yùn)動(dòng)距離【例7】（2020·四川涼山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直線l交⊙O于A、B兩點(diǎn)，且弦AB＝8cm，要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【變式7-1】（2022上·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的圓P的圓心P的坐標(biāo)為（-3，0），將圓P沿x軸的正方向平移，使得圓P與y軸相切，則平移的距離為（

）A．1 B．3或6 C．3 D．1或5【變式7-2】（2022上·福建南平·九年級(jí)順昌縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=30°，半徑為1cm的圓的圓心P在直線AB上，且與點(diǎn)O的距離為8cm，若點(diǎn)P以1cm/s的速度由A向B的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為【變式7-3】（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，若⊙M的半徑為1，圓心M在y在軸上，當(dāng)⊙M與直線l相切時(shí)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式7-4】（2018·吉林·統(tǒng)考一模）等腰Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．（1）若△ABC以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，⊙O不動(dòng)，則經(jīng)過(guò)多少時(shí)間△ABC的邊與圓第一次相切？（2）若兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動(dòng)，△ABC的速度為每秒2個(gè)單位，⊙O的速度為每秒1個(gè)單位，則經(jīng)過(guò)多少時(shí)間△ABC的邊與圓第一次相切？（3）若兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動(dòng)，△ABC的速度為每秒2個(gè)單位，⊙O的速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)△ABC的邊長(zhǎng)AB、BC都以每秒0.5個(gè)單位沿BA、BC方向增大．△ABC的邊與圓第一次相切時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)了多少距離？題型08根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求交點(diǎn)個(gè)數(shù)【例8】（2020·廣東·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，圓心O的坐標(biāo)為（-3，4），以半徑r在坐標(biāo)平面內(nèi)作圓，（1）當(dāng)r時(shí)，圓O與坐標(biāo)軸有1個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)r時(shí)，圓O與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)；（3）當(dāng)r時(shí)，圓O與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)；（4）當(dāng)r時(shí)，圓O與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)；題型09圓和圓的位置關(guān)系【例9】（2022·上海崇明·統(tǒng)考二模）Rt△ABC中，已知∠C=90°,BC=3,AC=4，以點(diǎn)A、B、C為圓心的圓分別記作圓A、圓A．圓A與圓C相交 B．圓B與圓C外切 C．圓A與圓B外切 D．圓A與圓B外離．【變式9-1】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cotA=65，那么以邊AC長(zhǎng)的A．外切 B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【變式9-2】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，在平面內(nèi)⊙O1，⊙O2，⊙O3兩兩外切，其中⊙O1的半徑為8，⊙O2，A．403 B．10 C．13 D．【變式9-3】（2021·上海松江·統(tǒng)考二模）已知⊙O的半徑OA長(zhǎng)為3，點(diǎn)B在線段OA上，且OB＝2，如果⊙B與⊙O有公共點(diǎn)，那么⊙B的半徑r的取值范圍是（）A．r≥1 B．r≤5 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5【變式9-4】（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)Ma,b，將點(diǎn)P向左a≥0或向右a<0平移ka個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下b≥0或向上b<0平移kb個(gè)單位長(zhǎng)度k>0，得到點(diǎn)P'，再將點(diǎn)P關(guān)于直線MP'對(duì)稱得到點(diǎn)Q，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的k倍“(1)已知點(diǎn)P3，0①若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，1)，畫(huà)出點(diǎn)P'，并直接寫(xiě)出點(diǎn)P的2倍“對(duì)應(yīng)點(diǎn)②若OM=1，直線y=x+b上存在點(diǎn)P的2倍“(2)半徑為3的⊙O上有不重合的兩點(diǎn)M，P，若半徑為1的⊙O上存在點(diǎn)P的k倍“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，直接寫(xiě)出考點(diǎn)二切線的性質(zhì)與判定1.切線的性質(zhì)與判定定義線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這條直線叫圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．性質(zhì)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．（實(shí)際上過(guò)切點(diǎn)的半徑也可理解為過(guò)切點(diǎn)的直徑或經(jīng)過(guò)切點(diǎn)與圓心的直線．）解題方法：當(dāng)題目已知一條直線切圓于某一點(diǎn)時(shí)，通常作的輔助線是連接切點(diǎn)與圓心（這是圓中作輔助線的一種方法）．根據(jù)切線的性質(zhì)可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關(guān)系進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算或證明．判定1）定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線是圓的切線.2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時(shí)，直線與圓相切.3)判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常見(jiàn)輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時(shí)，1）若已知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來(lái)，然后證明直線垂直于這條半徑，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”；3）若直線與圓的公共點(diǎn)沒(méi)有明確，可過(guò)圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡(jiǎn)稱“作垂直，證半徑”．2.切線長(zhǎng)定理定義在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用問(wèn)題解題方法：切線長(zhǎng)定理經(jīng)常用來(lái)證明線段相等，通常要連接圓心與切點(diǎn)構(gòu)造直角三角形來(lái)求解．題型01判斷或補(bǔ)全使直線成為切線的條件【例1】（2021·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)【變式1-1】（2021·廣東揭陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，下列說(shuō)法不正確的是（A．若DE=DO，則DE是⊙O的切線 B．若AB=AC，則DEC．若CD=DB，則DE是⊙O的切線 D．若DE是⊙O【變式1-2】（2019·新疆·?？贾锌寄M）已知⊙O的半徑為5，直線EF經(jīng)過(guò)⊙O上一點(diǎn)P（點(diǎn)E，F(xiàn)在點(diǎn)P的兩旁），下列條件能判定直線EF與⊙O相切的是（

）A．OP＝5 B．OE＝OFC．O到直線EF的距離是4 D．OP⊥EF題型02利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)【例2】（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）如圖，已知△ABC，點(diǎn)D在邊AB上，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)C，若AC=4,

A．5 B．25 C．1155【變式2-1】（2023·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△OAB中，OA=OB=13，AB=24，以O(shè)為圓心，4為半徑作⊙O，P為線段AB上動(dòng)點(diǎn)(從A運(yùn)動(dòng)到B)，過(guò)P作⊙O的切線PC

A．3≤PC≤317 B．5≤PC≤13 C．4≤PC【變式2-2】（2022·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的直徑AB=2，直線l與⊙O相切于點(diǎn)B，將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得線段BC，E是l上一點(diǎn)，連接CE，則CE

A．1 B．1.2 C．1.4 D．1.6【變式2-3】（2023·陜西西安·西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CM，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥MC交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE

(1)求證：CD=(2)若AB=10，AC題型03利用切線的性質(zhì)求角度【例3】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考二模）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D都在⊙O上，DE與⊙O相切于點(diǎn)D，若∠BAC=α，

A．2α+β B．90°-α-β【變式3-1】（2023·四川瀘州·瀘縣五中校考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長(zhǎng)線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是(

)

A．25° B．35° C．40° D．50°【變式3-2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，AB、AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)A的切線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若∠BAD=35°，則∠【變式3-3】（2023·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠B=90°，⊙O過(guò)點(diǎn)A、C，與AB交于點(diǎn)D，與BC相切于點(diǎn)C，若∠題型04證明某條直線時(shí)圓的切線類型一由公共點(diǎn)：連半徑，證垂直【例4】（2023·廣東佛山·校考一模）如圖，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點(diǎn)C，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接BD(1)求證：直線DE是⊙O(2)求證：AB=(3)若ME=1，∠F=30°【變式4-1】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EC，AB交于點(diǎn)F，∠ECD＝∠BCF．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半徑．【變式4-2】（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O外一點(diǎn)，∠BCD=∠BAC，連接(1)求證：CD是⊙O(2)若CE=OA,【變式4-3】（2020·甘肅酒泉·統(tǒng)考二模）如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)C，AB交O于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，連接CD，（1）求證：DE是⊙O（2）若BD=4，CD=3，求【變式4-4】（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AC=BC，點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，連接CD與⊙O交于點(diǎn)E，在AD

(1)試判斷直線EF與⊙O(2)若tan∠DEF=12類型二無(wú)公共點(diǎn)：作垂直，證半徑【例5】（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑作（1）試判斷CD與⊙B（2）若AB=23，【變式5-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）如圖：在Rt△ABC中，∠B=90°，AO平分∠BAC，點(diǎn)E在AB上，OE=OC

(1)判斷AC與⊙O(2)若AB=6，EB=4，求【變式5-2】（2023·湖南衡陽(yáng)·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=6，∠ACB的平分線CO交AB

(1)請(qǐng)判斷AC與⊙O(2)求⊙O【變式5-3】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，直線y=-33x+233(1)判斷直線AB與⊙O(2)求陰影部分的面積．題型05利用切線的性質(zhì)定理證明【例6】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)A，交邊BC于點(diǎn)C，D，∠B=90°，連接OD，AD．

(1)若∠ACB=20°，求AD的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．(2)求證：AD平分∠BDO．【變式6-1】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F．(1)求證：CA＝CD；(2)若AB＝12，求線段BF的長(zhǎng)．【變式6-2】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知AB為⊙O的直徑，AB=6，C為⊙O(1)如圖①，若C為AB的中點(diǎn)，求∠CAB的大小和AC(2)如圖②，若AC=2,OD為⊙O的半徑，且OD⊥CB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，與【變式6-3】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線PO交⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于點(diǎn)C．(1)求證：∠ADE=∠PAE．(2)若∠ADE=30°，求證：AE=PE．(3)若PE=4，CD=6，求CE的長(zhǎng)．題型06切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用【例7】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)D，連接

(1)求證：CD是⊙O(2)若∠A=60°，AC=2【變式7-1】（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AC為⊙O的直徑，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PD經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)B且∠CBD=∠CAB，連接(1)PD是⊙O(2)A【變式7-2】（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖1，在四邊形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O（1）求證：直線CD與⊙O（2）如圖2，記（1）中的切點(diǎn)為E，P為優(yōu)弧AE上一點(diǎn)，AD=1，BC=2.求【變式7-3】（2022·河北石家莊·石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考二模）如圖，在?ABCD中，∠A=120°，AB=2BC=8，點(diǎn)M在BC邊所在的直線上，CM=8，PQ=6，以PQ為直徑的半圓O與探索：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，則BQ=______，線段CH的最小值為_(kāi)_____思考：若點(diǎn)H從Q開(kāi)始繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為15度/秒，同時(shí)半圓O從M點(diǎn)出發(fā)沿MB做平移運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒0≤t（1）如圖2，當(dāng)PQ與D點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求點(diǎn)O到CD的距離及扇形OHQ的面積；（2）當(dāng)圓O與CD相切于點(diǎn)K時(shí)，求∠HOQ直接判斷此時(shí)：弧HQ長(zhǎng)______弦KQ長(zhǎng)（填：＜、＞或＝）（3）當(dāng)弧HQ（包括端點(diǎn)）與?ABCD邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出：運(yùn)動(dòng)時(shí)間t題型07作圓的切線【例8】（2023·陜西西安·高新一中?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)．請(qǐng)利用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線

【變式8-1】（2023·江西新余·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中有一段圓弧AC，弧AC經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A、B、C，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求畫(huà)圖(保留作圖痕跡)．

(1)在圖1中，畫(huà)出弧AC所在圓的圓心O；(2)在圖2中，畫(huà)出弧AC所在的圓的一條切線，使這條切線經(jīng)過(guò)格點(diǎn)P．【變式8-2】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，李老師在黑板上布置了一道尺規(guī)作圖題如下：利用尺規(guī)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線．已知：如圖（1），PA為⊙O的切線，切點(diǎn)為A．求作：圓的另一條切線PB，切點(diǎn)為B．

下面是各個(gè)數(shù)學(xué)小組進(jìn)行的一系列探究，請(qǐng)你根據(jù)探究?jī)?nèi)容解決問(wèn)題．(1)進(jìn)步小組的作法：以點(diǎn)P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑作弧，交⊙O于點(diǎn)B（非點(diǎn)A），作直線PB，則直線PB即為所求作的切線．問(wèn)題：①請(qǐng)你在圖（2）中補(bǔ)全進(jìn)步小組的作圖痕跡．②進(jìn)步小組通過(guò)連接OB，OP，證明△OBP≌△OAP，他們證明兩個(gè)三角形全等的依據(jù)為_(kāi)_____（填“SAS”“SSS”或“(2)希望小組的作法：如圖（3），連接OP，作OP的垂直平分線m交OP于點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心，MO長(zhǎng)為半徑作圓，交⊙O于點(diǎn)B（非點(diǎn)A），作直線PB，則直線PB問(wèn)題：該組的小華根據(jù)作圖方案給出如下證明過(guò)程．證明：連接OB，由作圖知，OP是⊙M的※∴∠OBP=90°，（理由：即OB又OB是⊙O∴BP為⊙O在上述證明過(guò)程中，※處應(yīng)該填寫(xiě)______；◎處應(yīng)該填寫(xiě)______（填序號(hào)）①一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半②90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑③直徑所對(duì)的圓周角是直角④同弧所對(duì)的圓周角相等(3)拓展小組的作法：如圖（4），連接OP交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作OP的垂線n，以點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑作弧，交直線n于點(diǎn)D，連接OD交⊙O于點(diǎn)B，作直線BP，則直線題型08應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求解【例9】（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，若PA=3，則PB=（A．2 B．3 C．4 D．5【變式9-1】（2022·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）如圖，PM、PN是⊙O的切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上的點(diǎn)，若∠P＝44°，∠D＝98°，則∠MBA的度數(shù)為（）A．38° B．28° C．30° D．40°【變式9-2】（2022·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)．若∠APB=60°，則∠【變式9-3】（2022·廣東江門(mén)·統(tǒng)考一模）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，⊙O的切線EF分別交PA，PB于點(diǎn)E，F(xiàn)，切點(diǎn)C在弧AB上，若PA長(zhǎng)為8，則△PEF的周長(zhǎng)是．【變式9-4】（2022·甘肅白銀·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB=9，CD=15，則四邊形ABCD題型09應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求證【例10】（2022·山東棗莊·?？家荒＃┤鐖D，已知PA,PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，線段OP交⊙O于點(diǎn)M．給出下列四種說(shuō)法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四邊形OAPBA．1 B．2 C．3 D．4【變式10-1】（2022·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，CD,CB為⊙O的切線，D、B為切點(diǎn)，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，連接AD,BD．以下結(jié)論：①AD∥OC；②點(diǎn)E為△A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④【變式10-2】（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，AC是⊙

(1)求證：∠(2)連接PO交⊙O于點(diǎn)D，若AC=6，cos∠【變式10-3】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，點(diǎn)E是以AB為直徑的⊙O外一點(diǎn)，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，EB是⊙O的切線，EC⊥OC，連接AC

(1)求證：點(diǎn)E是BF的中點(diǎn)；(2)若EC=OC，⊙O的半徑為3【變式10-4】（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，點(diǎn)C是射線BC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD切⊙O于點(diǎn)D，連接AD．(1)求證：BC＝CD；(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的長(zhǎng)．考點(diǎn)三三角形內(nèi)切圓與外接圓1.三角形內(nèi)切圓與外接圓三角形外接圓經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.2.三角形內(nèi)心與外心圓心的名稱圓心的確定方法圖形圓心的性質(zhì)外心三角形三邊中垂線的交點(diǎn)1)OA=OB=OC2)外心不一定在三角形的內(nèi)部．內(nèi)心三角形三條角平分線的交點(diǎn)1)到三邊的距離相等；

2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；

3)內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部．3.常見(jiàn)結(jié)論1）三角形內(nèi)切圓半徑公式：r=2SC，其中S2）特殊的直角三角形內(nèi)切圓半徑公式：r=a+b-c2或r=aba+b+c，其中a【解題思路】解三角形的內(nèi)切圓問(wèn)題，通常分別連接．內(nèi)切圓的圓心與切點(diǎn)、圓心與三角形的頂點(diǎn)來(lái)構(gòu)造直角三角形，以便利用直角三角形的知識(shí)進(jìn)行求解．1.1.一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓,而一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形.2.三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn),因此,鏡角三角形、直角三角形、銳角三角形的內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部.3.三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn),因此,鏡角三角形、直角三角形、銳角三角形的內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部.題型01判斷三角形外接圓圓心位置【例1】（2023·河北邢臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在格點(diǎn)上．下列三角形中，外心不是點(diǎn)O的是（

）A．△ABC B．△ABD C．△ABE【變式1-1】（2021·河北·模擬預(yù)測(cè)）10個(gè)大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內(nèi)，A、B、C、D、E、O均是正六邊形的頂點(diǎn)．則點(diǎn)O是下列哪個(gè)三角形的外心（

）．A．△AED B．△ABD C．△BCD【變式1-2】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C均為格點(diǎn)，只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中找一格點(diǎn)M，按下列要求作圖：（1）在圖①中，連結(jié)MA、MB，使MA=（2）在圖②中，連結(jié)MA、MB、MC，使MA=（3）在圖③中，連結(jié)MA、MC，使∠AMC題型02求外心坐標(biāo)【例2】（2020·廣西南寧·南寧三中校考三模）過(guò)三點(diǎn)A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圓的圓心坐標(biāo)為（）A．（4，176） B．（4，3） C．（5，176） D．（5，【變式2-1】（2020·北京西城·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圓，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【變式2-2】（2021·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為．【變式2-3】（2022·河北邯鄲·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x軸，M為Rt△ABC的外心．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，1），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）題型03已知外心的位置判斷三角形形狀【例3】（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，O是△ABC的外心，則∠1+A．60° B．75° C．90°【變式3-1】（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠D=70°，則A．70° B．110° C．70°或110° D．不能確定【變式3-2】（2023·湖北宜昌·?？家荒＃┤鐖D，在正六邊形ABCDEF中，連接BF，BE，則關(guān)于△ABF外心的位置，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在△ABF內(nèi) B．在△BFE內(nèi)C．在線段BF上 D．在線段BE上【變式3-3】（2020·上?！ば？既＃┤切蔚耐庑那『迷谒囊粭l邊上，則這個(gè)三角形一定是．題型04求特殊三角形外接圓的半徑【例4】（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（

）A．32 B．32 C．3 D【變式4-1】（2021·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，在ΔABC中，∠BAC=60°其周長(zhǎng)為20，⊙I是ΔABC的內(nèi)切圓，其半徑為3，則ΔBIC的外接圓半徑為（A．7 B．73 C．722【變式4-2】（2020·福建福州·統(tǒng)考一模）已知：在△ABC中，AB=AC(1)找到△ABC的外心，畫(huà)出△(2)若△ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離為8，BC=12，請(qǐng)求出題型05由三角形的內(nèi)切圓求長(zhǎng)度【例5】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，過(guò)△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點(diǎn)E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長(zhǎng)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式5-1】（2022·廣西河池·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AB=14，A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【變式5-2】（2022·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)I為的△ABC內(nèi)心，連接AI并延長(zhǎng)交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)，連接CD，EI，IC，當(dāng)AI=2CD，IC=6，IDA．5 B．4.5 C．4 D．3.5【變式5-3】（2023·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則

A．2 B．3 C．4 D．無(wú)法判斷題型06由三角形的內(nèi)切圓求角度【例6】（2020·浙江麗水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，D，P是DF上一點(diǎn)，則∠EPF的度數(shù)是（

）A．65° B．60° C．58° D．50°【變式6-1】（2018·湖南邵陽(yáng)·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠AIC=124°，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，則∠CDE的度數(shù)為（）A．56° B．62° C．68° D．78°【變式6-2】（2023·湖南婁底·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓圓O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若∠DEF=53°A．36° B．53° C．74° D．128°【變式6-3】（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∠C=40°題型07由三角形的內(nèi)切圓求周長(zhǎng)、面積【例7】（2023·陜西西安·高新一中校考一模）如圖，在一張Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，⊙O是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著⊙O的切線DE

A．19 B．17 C．22 D．20【變式7-1】（2019·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是20，點(diǎn)O為三角形內(nèi)心，連接OB、OC，OD⊥BC于點(diǎn)D，且ODA．20 B．25 C．30 D．35【變式7-2】（2023·江蘇宿遷·沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，其中AB=6，BC=9，AC=11，若MN與⊙O相切與G點(diǎn)，與AC

【變式7-3】（2022·湖北武漢·武漢第三寄宿中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．(1)求∠EOD的度數(shù)；(2)若r＝2，求陰影部分的面積．題型08求三角形的內(nèi)切圓半徑【例8】【（2023·廣西梧州·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若△ABC的周長(zhǎng)為18，面積為9

A．1 B．2 C．1.5 D．2【變式8-1】（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖所示，⊙O是等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，若AB=4，則⊙O

A．32 B．1 C．233【變式8-2】（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是邊長(zhǎng)為12的正三角形ABC的內(nèi)切圓，⊙O1與邊AB、AC均相切，且與⊙O外切，則⊙

【變式8-3】（2023·甘肅隴南·校考一模）如圖，⊙O與∠A=90°的Rt△ABC的三邊AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)DA．5 B．4 C．3 D．2題型09直角三角形周長(zhǎng)、面積和內(nèi)切圓半徑的關(guān)系【例9】（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．30﹣4π B．303-4π C．60﹣16π【變式9-1】（2022上·河北邯鄲·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓．若∠AOB=70°，則∠

A．110° B．125° C．140° D．145°【變式9-2】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》卷九中記載：“今有勾三步，股四步，問(wèn)勾中容圓徑幾何？”其大意是：“今有直角三角形勾（短直角邊）長(zhǎng)為3步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為4步，問(wèn)該直角三角形能容納的圓（內(nèi)切圓）的半徑是多少步？”如圖是示意圖，根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的半徑為．題型10圓外切四邊形模型【例10】（2021上·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，若∠BOC＝118°，則∠AOD＝．【變式10-1】（2015·河南·模擬預(yù)測(cè)）閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC=a,AC