中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之考點(diǎn)題型全歸納與分層精練（全國通用）：勾股定理(解析版)

專題20勾股定理

【專題目錄】

技巧1:判定直角的四種方法

技巧2：巧用勾股定理解折疊問題

技巧3：巧用勾股定理求最短路徑的長

【題型】一、勾股定理理解三角形

【題型】二、勾股定理與網(wǎng)格問題

【題型】三、解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用

【題型】四、利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系

【題型】五、求梯子滑落高度

【題型】六、求旗桿高度

【題型】七、求螞蚊爬行距離

【題型】八、求大樹折斷前的高度

【題型】九、求臺階上的地毯長度

【題型】十、利用勾股定理選址使到兩地距離相等

【考綱要求】

1、了解直角三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)與判定.

2、掌握勾股定理與逆定理，并能用來解決有關(guān)問題.

【考點(diǎn)總結(jié)】一、直角三角形與勾股定理

①直角三角形的兩銳角互余；

直角三角形性質(zhì)②直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半；

③直角三角形中，斜邊上的中線長等于斜邊長的一半.

直直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么/+從=/

角勾股定理概念

變式：

1)a2=c2-b2

22

角2)b2=c-a

適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于

形

直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形。

與方法一：4"+S正方形.a/=S正方形ABCD，4xgab+S-a)2=c-2,化簡可證一

勾

:

股

理

AcB

方法二：

ba

K

ab

勾股定理的證明

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4XL由+02=2"+。2

2

大正方形面積為S=(a+b)2=a2+2ab+b2

所以/+/=c?

方法三：S梯形=g(a+辦(。+。)，s梯形=2sM+5MB￡=2?g〃b+gc2,化簡得證

a2+h2=c2

Aa

BhC

勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即

中，a,b,c為正整數(shù)時，稱a,b,c為一組勾股數(shù)

常見的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

擴(kuò)展：用含字母的代數(shù)式表示〃組勾股數(shù)：

勾股數(shù)

1）zi2-l,2n,n2+1（〃22,”為正整數(shù)）；

2）2n+l,2n2+2n,2n2+2n+1（〃為正整數(shù)）

3）m2-iv,2mn,nr+n2（.m>n,m,"為正整數(shù)）

注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)。

【技巧歸納】

技巧1:判定直角的四種方法

【類型】一、利用三邊的數(shù)量關(guān)系說明直角.

1.如圖，在△ABC中，。為BC邊上一點(diǎn)，且AB=10,BD=6,AD=S,AC=17,求C￡）的長.

【類型】二'利用轉(zhuǎn)化為三角形法構(gòu)造直角三角形

2.如圖，在四.邊形ABC。中，ZB=90°,AB=2,BC=小，CD=5,AO=4,求S四邊形A6CD?

【類型】三、利用倍長中線法構(gòu)造直角三角形

3.如圖，在△ABC中，。為邊BC的中點(diǎn)，AB=5,,AD=6,AC=13,求證：AB_LAD.

【類型】四、利用“三線合,一“法構(gòu)造直角三角形

4.如圖①，在△ABC中，CA=CB,NACB=90。，。為AB的中點(diǎn)，M,N分別為4C,BC上的點(diǎn)，且。M_L￡W.

(1)求證：CM+CN=y[2BDi

(2)如圖②，若M,N分別在AC,CB的延長線上，探究CM,CN,8。之間的數(shù)量關(guān)系.

參考答案

1.解：,：AD1+BD2=\OO=AB2,

...△A8Q為直角三角形，

且NAOB=90°.，ZADC=90°.

在RIA4CZ）中，

CD=^/AC2-AD2=A/172-82.=15.

2.解：連接AC在RsACB中，AB2+BC2^AC2,

；.4C=3,.-.AC2+AD2=CD2.

...△AC。為直角三角形，且NCAO=90。，

S網(wǎng)邊柩ABCO=臥2x-\y5+/x3x4=6+\[5.

3.證明：如圖，延長A￡＞至點(diǎn)E,使。E=A。，連接CE,BE.

?.,。為BC的中點(diǎn)，

：.CD=BD.

又,：AD=DE,NADC=NBDE,

：.4ADC9叢EDB,

：.BE=AC^]3.

在△ABE中，AE=2AD=\2,

：.AE2+AB2=122+52=\69.

又：8^2=132=169,

：.AE1+AB2=BE2,

...△ABE是直角三角形，一且NBAE=90。，

即AB1AD.

A

點(diǎn)撥：本題運(yùn)用倍長中線法構(gòu)造全等三角形證明線段相等，再利用勾股定理的逆定理證明三角形.為直

角三角形，從而說明兩條線段垂直.

4.(1)證明:如圖①，,連接CD,二/MOC+NC￡W=9()。.

NACB=9()o,AC=CB,。為AB的中點(diǎn)，,CO_LAB,ZACD=ZBCD=45°?ZA=ZB=45°,：.ZCDN

+ZNDB=90°.：./MDC=NNDB.

VZBCD=ZB=45°,

:.CD=BD.在XCMD和4BND中,

■:NMDC=NNDB,NMCD=NNBD=45。,CD=BD,:.△CMD安4BND,

：.CM=BN.：.CM+CN=BN+CN=BC.

在Rt^CBO中，ZCDB=90°,CD=BD,:.BC=@BD.：.CM+CN=pBD.

(2)解：CN-CM=y[2BD,如圖②，連接CD,證法同(1).

技巧2：巧用勾股定理解折疊問題

【類型】一'巧用全等法求折疊中線段的長

1.如圖①是一直角三角形紙片，NA=30。，BC=4cm,將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C處，折痕為

BD,如圖②，再將圖②沿DE折疊，使點(diǎn)A落在。。的延長線上的點(diǎn)A，處，如圖③，則折痕DE的長為()

A.§cmB.2小cmC.2巾cmD.3cm

【類型】二、巧用對稱法求折疊中圖形的面積

2.如圖，將長方形ABC。沿直線8。折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，8G交A。于E,AD=8?43=4,求△BED

的面積.

C

【類型】三、巧用方程思想求折疊中線段的長

3.如圖，在邊長為6的正方形A8C。中，E是邊的中點(diǎn)，將△AOE沿AE對折至△AFE,延長EF交

8c.于點(diǎn)G,連接AG

(1)求證：AABG安△AFG；

⑵求BG的長.

【類型】四、巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系

4.如圖，將長方形ABC。沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AO于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接

CE.

⑴求證：AE=AF=CE=CF；

(2)設(shè)AE=a,ED=b,OC=c,請寫出一個a,b,c三者之間的數(shù)量關(guān)系式.

參考答案

1.A

2.解：由題意易知AD〃BC,；.N2=N3.

,/ABCD與△BCD關(guān)于直線BD對稱,/1=Z2.

.*./1=/3".E8=ED

設(shè)EB=x,則ED=x,AE=AD-ED=S~x.

在RtaABE中，AB2+AE2=BE2,

.,.42+(8—

:.DE=5.:&BED=3DE.AB=；X5*4=10.

解題策略：解決此題的關(guān)鍵是證得EO=E8,然后在RsABE中，由8尸=44+4￡2,利用勾股定理

列出方程即可求解.

3.(1)證明：在正方形ABCD中，AD=AB,ZD=ZB=90°.

?.?將△ADE沿AE對折至△AFE,

：.AD=AF,ND=NAFE=90°.

：.AB=AF,ZB=ZAFG=90°.

又」.FGRG,

ARtAA8GWRSAFG(HL).

(2)解：?.?△A8G絲△AFG,：.BG=FG.

設(shè)BG=FG=x,則GC=6—x,

為CO的中點(diǎn)，

:.CE=DE=EF=3,，EG.=3+x.

...在RtZkCEG中，32+(6—X)2=(3+X)2,解得X=2..?.BG=2.

4.(1)證明：由題.意知，AF^CF,AE=CE,NAFE=/CFE,又四邊形ABC。是長方形，故AO〃AC,

NAEF=NCFE.；.NAFE=NAEF.

：.AE=AF=EC=CF.

(2)解：由題意知，4E=EC=a,E,D=b,￡)C=c,由N/>=90。知，ED2+DC2^CE2,即〃+,2=〃.

技巧3:巧用勾股定理求最短路徑的長

【類型】一'構(gòu)造直角三角形法求平面中最短問題

1.如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人從A走到B,為了避免拐角C走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一

條“路”，他們僅僅少走了步路(假設(shè)2步為1根)，卻踩傷了花草.

2.小明聽說“武黃城際列車“已經(jīng)開通，便設(shè)計(jì)了如下問題：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運(yùn)站8,

現(xiàn)在可以在黃石A坐“武黃.城際列車”到武漢青山站C,再從青山站C坐市內(nèi)公共汽車到武昌.客運(yùn)站B.設(shè)

=80切!，BC=20km,/ABC=120。.請你幫助小明解決以下問題：

（1）求4,C之間的距離.（參考數(shù)據(jù)：舊之4.6）

（2）若客車的平均速度是60km/h,市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h,“武黃城際列車”的平均速度

為180km/h,為了在最短時間內(nèi)到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)選擇哪種乘車方案？請說明理由.（不計(jì)候車時間）

C

【類型】二、用平移法求平面中最短問題

3.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別是50cg30cm,\0cm,A和8是這個臺階的兩

個相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只壁虎，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，請你想一想，這只壁虎從A點(diǎn)出發(fā)，沿

著臺階面爬到B點(diǎn)，至少需爬（）

A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm

4.如圖，已知N8=NC=NO=NE=90。，且4?=CQ=3,BC=4,DE=EF=2,則AF的長是

【類型】三、用對稱法求平面中最短問題

5.如圖，正方形ABCZ）的邊長為8,點(diǎn)M在OC上且OM=2,N是AC上的一動點(diǎn)，求。N+MN的最小

值.

6.高速公路的同一側(cè)有A,8兩城鎮(zhèn)，如圖，它.們到高速公路所在直線MN的距離分別為A4=2h",BB'

=4h〃，4夕=8的?.要在高速公路上A，，笈之間建一個出口尸，使4,3兩城鎮(zhèn)到戶的距離之和最小.求這

個最短距離.

B

MAfB'N

【類型】四、用展開法求立體圖形中最短問題

題型1:圓柱中的最短問題

7.如圖，已知圓柱體底面圓的半徑好高為2,相，8分別是兩底面的直徑.若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā),

沿圓柱側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長度是(結(jié)果保留根號).

題型2:圓錐中的最短問題

8.己知：如圖，觀察圖形回答下面的問題:

(1)此圖形的名稱為

(2)請你與同伴一起做一個這樣的物體，并把它沿AS剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個

(3)如果點(diǎn)C是SA的中點(diǎn)，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC

爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？

(4)SA的長為10,側(cè)面展開圖的圓心角為90。，請你求出蝸牛爬行的最短路程.

s,

A,

題型3:正方體中的最短問題

9.如圖，一個正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬

到柜角Ci處.

(1)請你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；

(2)當(dāng)正方體木柜的棱長為4時，求螞蟻爬過的最短路徑的長.

題型4：長方體中的最短問題

10.如圖，長方體盒子的長、寬、高分別是12c/n,8cm,30cm,在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲

從E處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲爬行的最短路程.

A

C

B

參考答案

1.4

2.解：(1)如圖，過點(diǎn)C作的垂線，交A8的延長線于點(diǎn)E.

120°,二ZBCE=30°.

在RtaCBE中，BC=20km,

/.BE=10km.

由勾股定理可得CE=105km.

在RsACE中，AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+C￡2=8100+300=8400,

：.AC=20/21=20x4.6=92(km).

(2)選擇乘“武黃城際列車”.理由如下：乘客車所需時間為需=ge),乘“武黃城際列車'’所需時間約為需

+景舄㈤.圖擊,

.?.選擇乘“武黃城際列車

3.C點(diǎn)撥：將臺階面展開，連接A8,如圖，線段48即為壁虎所爬的最短路線.因?yàn)锽C=30x3+10x3

=120(cm),AC=50cm,在Rtz\A8C中，根據(jù)勾股定理，得AB2=AC2+BC2=16900,所以AB=130cm.

所以壁虎至少爬行130cm.

B

A1--------'C

4.10

5.解：如圖所示，

?.?正方形是軸對稱圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于直線AC為對稱軸的對稱點(diǎn),

連接8N,BD,則直線4c即為80的垂直平分線，.*.8N=ND

:.DN+MN=BN+MN.

連接8M交AC于點(diǎn)P,

:點(diǎn)N為AC上的動點(diǎn)，

/.由三角形兩邊之和大于第三邊，

知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動到點(diǎn)P時，

DN+MN=BP+PM=BM,DN+MN的最小值為BM的長度.

?.?四邊形A8CZ)為正方形，

ABC=CD=S,CM=8-2=6,

NBCM=90。，

BM=^/BC2+CM2=.8?+62=10.

即ON+MN的最小值為10.

AD

6.解：如圖，作點(diǎn)3關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)C,連接AC交仞V于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸即為所建的出口.此時A,

8兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最小，最短距離為AC的長.作9于點(diǎn)。，在RSAOC中，AD=AfBf

=8km,DC=6km.

AAC=^/AD2+DC2=10km.

???這個最短品目離為10km.

B

A

D

仁…….工

MA'尸'、、B'N

'C

1.2y[2點(diǎn)撥:將圓柱體的側(cè)面沿AD剪開并鋪平得長方形A4TW,連接AC,如圖.線段AC就是小蟲爬

21

行的最短路線.根據(jù)題意得A8.X2噸=2.在RS48C中，由勾股定理，得叱=482+叱=22+22=8,

:.AC=m=2小.

D__0__i'

ARA'

8.解：(1)圓錐(2)扇形

(3)把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，AC為蝸牛爬行的最短路線.

(4)在RSASC中，由勾股定理，得472=1()2+52=]25,

，AC=Vi^=5小.

故.蝸牛爬行的最短.路程為5小.

9.解：(1)螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC1和4G.

⑵如圖，ACI=4CI=M(4+4)2+42=4小.所以螞蟻爬過的最短路徑的長是4小.

10.解.：分為三種情況:

(1)如圖①，連接EC,

在R/EBC中，EB=12+8=20(cm),8c=1x30=15(cm).

由勾股定理，得行=25(cm).

(2)如圖②，連接EC.

根據(jù)勾股定理同理可求C￡=A/673cm>25cm.

(3)如圖③，連接EC.

根據(jù)勾股定理同理可求CE=\l22+(30+8+15)2=山953(cm)>25cm.

綜上可知，小蟲爬行的最短路程是25cm.

【題型講解】

【題型】一、勾股定理理解三角形

例1、在中，NC=9O°,如果AC=8,BC=6,那么NA的正弦值為()

34八3八4

A.-B.—C.—D.一

5543

【答案】A

【分析】

利用勾股定理可求出AB的長，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可得答案.

【詳解】

VZC=90°,AC=8，BC=6.

.,.AB-7AC2+BC2=1°-

AB5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各三角函數(shù)的定義，屬于中考?？碱}型.

【題型】二、勾股定理與網(wǎng)格問題

例1、如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，若8。是AABC的高,

則BD的長為（）

C.—V13D.—V13

1313

【提示】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長，利用面積和差關(guān)系可求」.A6C的面積，由三角形的面積法求高即可.

【詳解】解：由勾股定理得：AC=LW=屈，

1,c1,C1cc=7

?SAABC=3X3--x1x2--x1x3---x2x3—>

2222

17

：.-ACBD^~,

22

二回BD=7，

13

故選：D.

【題型】三、解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用

例3、如圖，數(shù)學(xué)興趣小組成員想測量斜坡CO旁一棵樹AB的高度，他們先在點(diǎn)C處測得樹頂A的仰角

為60°,然后在坡頂D測得樹頂A的仰角為30。，己知斜坡CO的坡度（坡面的鉛直高度與水平寬度的比）

i=l:也,斜坡CZ）=10Gm，求樹A3的高度.（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,73*1.73）

CB

【答案】26m

【分析】

根據(jù)坡度求出N￡)CE=30°，繼而求得，NACD=90。，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NFDC=30。，繼而得NADC

=60°,在RtACO中，解直角二角形可得AC,在RtZ\ABC中，解直角三角形可得AB的值.

【詳解】

解：?.?斜坡CO的坡度i=l:百，

』立,

tanNOCE=i=l:

3

AZ￡>CE=30°.

---ZACB=60°.

，ZACD=180°-30°-60°=90°.

■:DF//BE,

：.NFDC=NDCE=30°,

：.ZADC=30°+30°=60°.

AC

在RtACD中，CD=10V3m，tan60°=—，

CD

AC=10gx6=30(m),

在RtzMBC中,

AB

Vsin60°

~AC

AB=30x?15x1.73=25.95?26(m).

答：大樹的高度約為26m.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形的運(yùn)用-仰角和俯角問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握坡度的定義，特殊的銳角三角函數(shù)

值.

【題型】四、利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系

例4、對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美"四邊形ABC。，對角線AC、BD

交于點(diǎn)0.若AD=2,3c=4,則AB2+C/52=

B

【答案】20

【提示】由垂美四邊形的定義可得AC_LBD,再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB4CD2,從而求解.

【詳解】：四邊形ABCD是垂美四邊形，

AACIBD,

，NAOD=NAOB=/BOC=NCOD=9()°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

.*.AD2+BC2=AB2+CD2,

VAD=2,BC=4,

AB2+CD2=AD2+BC2=22+42=20,

故答案為：20.

【題型】五、求梯子滑落高度

例5、如圖所示，一架梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，此時梯子下端B與墻角C的距離為1.5米,

當(dāng)梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為0.9米.則梯子頂端A沿墻下移了米.

【提示】分別在兩個直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求得AC和CE的長即得.

【詳解】解：由題意得：A8=2.5米，BC=1.5米

，在Rt/SACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-I.52=4,

，AC=2米，

?；BD=0.9米，

.?.CD=2.4米.

,/ED=AB

：.在Rt^ECD中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49,

二EC=0.7米，

AE=AC-EC=2-0.7=1.3米.

故答案為：1.3.

【題型】六、求旗桿高度

例6、如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗

桿8團(tuán)處，此時繩子末端距離地面2小，則繩子的長度為一m.

【答案】17

【提示】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)繩子的長度為xm,可得AC=AD=xm,AB=(x-2)m,BC=8m,在

RtAABC中利用勾股定理可求出x.

【詳解】設(shè)繩子長度為x加，則==AB=(x-2)m,BC=Sm,

在R/ABC中，AB2+BC2=AC2^即(X-2)2+82=/，

解得：x=17,

繩子的長度為17加.

【題型】七、求螞蚊爬行距離

例7、如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路程是（)

A.13米B.12米C.5米D.米

【答案】A

【提示】根據(jù)題意，畫出圖形，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解即可.

【詳解】如圖所示，過D點(diǎn)作DE_LAB,垂足為E,

VAB=13,CD=8,

又：BE=CD,DE=BC,

二AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5,

二在RSADE中,DE=BC=12,

.*AD2=AE2+DE2=52+122=169,

???AD=13（負(fù)值舍去），

故小鳥飛行的最短路程為13m,

故選A.

【題型】八、求大樹折斷前的高度

例8、“折竹抵地”問題源自《九章算術(shù)》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？意

思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)（如圖），則折

斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）（）

A.3B.5C.4.2D.4

【答案】C

【提示】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得包折斷處離地面的長度即可.

【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度0A是x尺，根據(jù)題意可得:

解得:x=4.2,

答：折斷處離地面的高度0A是4.2尺.

故選C.

【題型】九、求臺階上的地毯長度

例9、一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為2()、3、2,A和3是這個臺階兩個相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)

有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到8點(diǎn)最短路程為()

A.7481B.25C.30D.35

【答案】B

【提示】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答.

【詳解】如圖所示，

???三級臺階平面展開圖為長方形，長為20,寬為(2+3)x3,

...螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長A3.

由勾股定理得：AB2=202+[(2+3)x3]2=252.

解得：AB=25.

故選:B.

【題型】十、利用勾股定理選址使到兩地距離相等

例10、如圖，高速公路上有A、3兩點(diǎn)相距25km,C、。為兩村莊，已知D4=10km,C8=15km,

于A，于8,現(xiàn)要在AB上建一個服務(wù)站E，使得。、。兩村莊到E站的距離相等,

則AE的長是()km.

AER

/飛

10kmJ、、15km

A.5B.10C.15D.25

【答案】C

【提示】根據(jù)題意設(shè)出AE的長為無，再由勾股定理列出方程求解即可.

【詳解】

解：設(shè)AE=x，則BE=25-x,

由勾股定理得：

在RtAADE中，

DE2=AD2+AE2=102+x2，

在RtABCE中，

CE2=BC2+BE2=152+(25-%)2,

由題意可知：DE=CE,

所以：102+X2=152+(25-X)\

解得：X=15/377.

所以，E應(yīng)建在距4點(diǎn)15版處.

故選：C.

勾股定理（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

1.如圖，矩形ABC。的對角線AC的垂直平分線分別交A￡＞、47、8c于點(diǎn)E、0、F,若A8=12,BC=\6,

則EF的長為（）

A.8B.15C.16D.24

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AO=CO,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/E48/FC0,根據(jù)AS4推

出AAEO四△CFO,由全等得至iJOE=OR推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)EFLAC即可推出四邊形是菱

形，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AF=CF,根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】連接4F,CE,

尸是4c的垂直平分線,

：.AO=CO,NAOE=NW=90°,

?.?四邊形A8C。是矩形,

：.AD//BC,

：.ZEAO=ZFCO,

在△4￡：0和4CFO中,

ZEAO=ZFCO

■AO=CO

ZAOE=COF

：,/\AEO^/\CFO(ASA),

/.OE=OF,

又：。4=。<7,

二四邊形AECF是平行四邊形，

'JEFLAC,

,平行四邊形AECF是菱形，

：.AE^CE,

設(shè)AE=CE=x,

?.?E尸是AC的垂直平分線，

：.AE=CE=x,DE=l6-x,

在R/ACDE中，CD2+DE2=AE2,

122+(16-X)2=X2,

解得x=，25，

,**AC={AB。+BC?=>/122+162=20，

AO=：AC=10,

，OE=y/AE2-AO2=—,

2

：.EF=2OE=\5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，證得四邊形

AECF是菱形是解題的關(guān)鍵.

2.已知ABC的三條邊分別是。、b、c,則下列條件中不能判斷.ABC是直角三角形的是()

A.a:b:c=3:4:5B.ZC=ZA+ZB

C.ZA:Z5:NC=1:5:6D.ZA:ZB:ZC=3:4:5

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定A正確，利用三角形內(nèi)角和定理判定B和C正確、D錯誤.

【詳解】解：A、設(shè)。=3左,b=4k,c=5k,

?.?(3Z)2+(4Z)2=(5Q2,

即儲+〃=02,

...三角形是直角三角形，

正確；

B、VZA+ZB+ZC=180°,

.,.2ZC=180°,

即NC=90°,

正確；

C、設(shè)NA=x。，ZB=5x°,ZC=6x°,

乂三角形內(nèi)角和定理得x+5x+6x=\80,

解得6x=90,

故正確；

D、設(shè)NA=3x°,ZB=4x°,ZC=5x°,

又三角形內(nèi)角和定理得3x+4x+5x=180,

5戶75,

故不是直角三角形，

錯誤；

故本題選擇D.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、證明最大角是直角.

3.如圖，在等邊AABC中，AD1BC,垂足為。且40=6，則A8的長為（）

A.1B.6C.2D.2石

【答案】C

【分析】先根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到NAOC=90。，ZCAD=30°,再設(shè)CD=x,在AC。中利用勾股定理

計(jì)算即可.

【詳解】?.,等邊AABC中,AD1BC,

：.ZADC=90°

ZCAD=ZBAD=600-?2=30°,

AB=AC,

設(shè)C￡>=x,則AC=2xr,

在/?/△ACD中，

（石）+x2=（2x）2

解得：k±1（舍負(fù)），

：.AB=AC=2.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì).

4.如圖，是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形

4、8、C、。的面積分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是（）

【答案】B

【分析】分別設(shè)中間兩個正方形和最大正方形的邊長為x,y,z,由勾股定理得出f=&/=5,z2=/+丁，

即最大正方形的面枳為z2.

【詳解】解：設(shè)中間兩個正方形的邊長分別為x、y,最大正方形E的邊長為z,則由勾股定理得：

x2=3+5=8,V=2+3=5,z2=x1+y1=13,

2

即最大正方形E的面積為：Z=13.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長

的平方是解答此題的關(guān)鍵.

5.如圖，在放AABC中，ZC=90°,D,E分別為C4,C8的中點(diǎn)，平分NABC,交DE于點(diǎn)、F,若4c=2

#）,BCU,則OF的長為（）

c

D/r\E

AB

A.0.5B.1C.1.5D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)三角形中位線定理得到即"8,但力=3,BE=；BC=2,根據(jù)平

行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理求出EF=BE=2,計(jì)算即可.

【詳解】解：在中，AC=2逐,BC=4,

由勾股定理得：AB=7AC2+BC2~6"

?:8尸平分NA8C,

ZABF=ZEBF,

,：D,E分別為C4,CB的中點(diǎn)，

：.DE//AB,DE=-AB=3,BE=-BC=2,

22

NABF=NEFB,

：.NEFB=/EBF,

:.EF=BE=2,

：.DF=DE-EF=],

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊,

且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.在343c中，AC=3,CD_L45于點(diǎn)。，且49=38。，在CZ）上取點(diǎn)E,使CE=2DE,連接BE,貝lj8E=

c

22

【分析】設(shè)8O=X,DE=y,則4D=3x,CE=2y,CD=3y,由勾股定理求得/+/=i,BE'=x+y,即可

求得答案.

【詳解】設(shè)DE=y,

"：AD=3BD,CE=2DE.

/.AD=3x,CE=2y,

:.CD=CE+DE=3y,

CDLAB.

：.ZADC=^BDC=90°f

在ACO中，AD2+CD2=AC2,

...（3x）2+（3y）2=32,

x2+y2=\,

在RtABDE中，HE2=BD2+DE2，

，BE2=x2+y2=\,

；.BE=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理求得%>2+。爐=1是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，。是矩形A8C￡>的對角線的交點(diǎn)，M是4。的中點(diǎn).若BC=8,08=5,則0M的長為.

【分析】首先由0是矩形48CC對角線AC的中點(diǎn)，可求得AC的長，然后由勾股定理求得A8的長，即CZ）

的長，又由M是AD的中點(diǎn)，可得0M是AAC。的中位線，進(jìn)而求得答案.

【詳解】解：是矩形A8C。對角線AC的中點(diǎn)，08=5,

：.AC=2OB=\0,

CAAB=[AC?-BC27*8=6，

是AO的中點(diǎn)，

：.0M=^-CD=3.

2

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì).注意利用直角三角形斜邊

上的中線等于斜邊的一半，求得AC的長是關(guān)鍵.

三、解答題

8.已知：△ABC的邊長a=—1,b=2n,c=n2+1>且

(1)判斷三角形的形狀，并說明理由;

(2)若4=60°,求..ABC的三邊長.

【答案】(l)aABC是直角三角形

(2)a=2,b=2A/3,c=4

【分析】(1)利用勾股定理逆定理，即可求解；

(2)根據(jù)4=60°,可得/A=30。，從而得到〃?+1=2(/7),繼而得到〃=外，即可求解.

(1)

解：.A8C是直角一角形，理由如下：

〃=/_1,b=2n、c=/+1,

cr+b2=(1-1)~+(2〃尸

=/-2"+1+病

=n4+2n2+1

=+1)2=/,

，ZC=90°

即「ABC是直角三角形；

(2)

解：ZC=90°,

???ZA=30°,

；?c=2a,即〃~+1=2(〃2—1),

**-n2=3f解得：〃=百或〃=-6(不合題意，舍去)

當(dāng)〃=6時，?！?=(石尸一1=3—1=2,

h=2n=2A/3,c=2a=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理，直角三角

形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

勾股定理(提升測評)

一、單選題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一回。的頂點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(0,4),(0,-2),BC=AC=5,則頂點(diǎn)C

的坐標(biāo)是()

【答案】A

【分析】作于。，根據(jù)題意求*AB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AD,根據(jù)勾股定理求出CD,得

到答案.

【詳解】解：作CO_L4B于￡>,

二?點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別是（0,4）,（0.-2）,

：.AB=6,

'：BC=AC=5,CD±AB,

.?.AO=OB=；A8=3,

：.OD=\,

由勾股定理得，CD=yjAC2-AD2=4-

二頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,1）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，作坐標(biāo)軸的垂線構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理是

解題關(guān)鍵.

2.如圖，矩形A8CO中，AB=3,A￡>=8,E是BC中點(diǎn)，8以LAE于點(diǎn)M,交AO于點(diǎn)F,則AM長為（）

【答案】C

12

【分析】在MAABE中，利用勾股定理求得AE=5,再利用面積法求得,在放△ABM中，利用勾股

定理即可求解.

【詳解】解：???矩形A8CZ）中，AQ=8,“是8c中點(diǎn)，

；.BE=4,NABE=90。,

?.?8F_L4E于點(diǎn)M,

：.ZBME=ZBMA=90°,

在汝ZsMgE中，AB=3,BE=4,

,出招+42=5,

V5AABE=gBExAB=jAExBM,

BM=—>

5

在ABM中，AB=3,BM=—,

1---------------Q

：.AM=y/AB2-BM2=|,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

3.如圖，平行四邊形A8C。中，AC,B。為對角線，N84C=90。，且AC:BO=3:5,若平行四邊形ABC。

的面積為48,則AB的長為（）

A.3百B.46C.3正D.4也

【答案】D

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得AC=20A,BD=20B,再因?yàn)锳C：BD=3：5,則。A：08=3：5,設(shè)

0A=3k,則02=5%,AC=6k,由勾股定理，得A8=4Z,再根據(jù)平行四邊形面積公式求出k值，即可求解.

【詳解】解：如圖，

四邊形ABCD是平行四邊形，

."C=2O4,8￡>=2OB,

VAC：80=3：5,

：.0A-0B=3：5,

設(shè)0A=3k,則0B=5k,AC=6k,

■:ABAC=90°,

???由勾股定理，得AB=yJoB2-0A2=](5kj_13k?=4k,

,**S平行四邊形ABCD=AB,AC=48,

.?.4k-6：48,

解得：k=6.,

：.AB=4k=4yj2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題詞的關(guān)鍵.

4.如圖，△AO8中，NAO3=90。，AO=4,30=8,ZVIOB繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)到△A'C因處，此時線段

4所與B0的交點(diǎn)E為80的中點(diǎn)，則線段BE的長度為（）

'市B?萼書

【答案】B

【分析】由勾股定理求出A5,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得4。=4。，4河=/$,再求出OE,從而得到OE=A'O,

過點(diǎn)。作。尸，A'8'于尸，由三角形的面積求出。凡由勾股定理列式求出ER再由等腰三角形三線合一的

性質(zhì)可得A，E=2所，然后由代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可得解.

【詳解】解：VZAOfi=90°,AO=4,30=8,

.，?AB=y/ACf+BO2=742+82=46，

,/叢OB繞頂點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)到△A'OB'處，

二AO=A'O=4,A8'=AB=45

:點(diǎn)E為30的中點(diǎn),

OE=-BO=-x8=4,

22

OE=A'O=4,

過點(diǎn)。作OF_LA'?于F,如圖,

SAAW=gx46.°F=3x4x8,

解得：。尸=座，

5

在RtZ\EO尸中，EF=JOE、一012=4,一（隨］=生叵

\I5J5

VOE=A'O,OF1A'B',

?egC4石8>/5

??AE=2EF=2x------=------,

55

B'E=A'B'-A'E=4>/5--=.

55

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及三角形面積等知識,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小.

二、填空題

5.如圖，在△ABC中，ZACB=2ZB,CD平分NAC8,過A作AH_LCZ),垂足為“，若NAE3=45。,

5

AE=4五,AB=U,則廠/=______

3.BCD

【答案】蔡13

【分析】過點(diǎn)A作A尸〃BC交CD的延長線于點(diǎn)F,可得DA=DF,DB=DC,AF=AC,設(shè)小)=a,貝lj

DC=DH+HC=a+6,在Rt中，AD=6-a,DH=a,AH=4,根據(jù)定理可得A”?+￡>"2=仞?，建

立方程，解得”=。，進(jìn)而求得AO,OB,根據(jù)!迎=槳，即可求解.

3、BCDBD

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作4尸〃8C交CO的延長線于點(diǎn)產(chǎn)，

??.N尸=/BCD,ZB=ZFAB,

VZACB=2ZB,CO平分NAC8,

:./BCD=ZACD=-NAC8=ZB

2

:.ZF=ZFAB=ZACF

:,DA=DF、DB=DC,AF=AC

:.FC=AB9

又???AHLCD,

FH=HC=-FC=-AB=6

22

*/ZAED=45°,AE=4夜，

:、AH=HE=4,

設(shè)則OC=DH+〃C=a+6

/.DB=DC=a+6

JAD=AB-BD=12-(a-^6)=6-a

在RlA￡W中，AD=6-a,DH=a,AH=4

???AH2+DH2=AD2

/.42+a2=(6-tz)2

解得：?=l

513523

AAD=6——=—,BD=6+—=—

3533

._AD_i3

??SBCD~~BD~?3

故答案為：欄13.

23

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，RSA8C中，ZC=90°,ZA=60°,AC=1,點(diǎn)。為邊A8上一個動點(diǎn)，將△COB沿8翻折，得

到_。。8'(其中C