廣東執(zhí)信中學2023年高一年級上冊10月月考數(shù)學試題含答案

廣東執(zhí)信中學2023年高一上學期10月月考數(shù)學試題

2023-2024學年高一上學期10月月考

數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.命題，HaeR,G?+1=°有實數(shù)解，，的否定是()

A.X/aeR,加+1/0有實數(shù)解B.3?eR,正+「。無實數(shù)解

C.VaeR,0?+1=。無實數(shù)解D.eR,有實數(shù)解

2.已知全集。=11,集合A={x|x24或xWO},5={x|x>4或xW—2},則圖中陰影部分表示的集合

B.[-2,0]

C.卜2,0]口{4}D.（-2,0]u{4}

3.已知。則()

A.2a<h+cB.Q（〃-C）>〃（Q-C）

11

C.----->------D.（Q-C）3>（Z?-C）3

a-cb-c

x2+x,x<0

4.已知函數(shù)〃x)=<若/[/（〃）]=2,則實數(shù)〃的值為（）

-x2,x>0

A.-2B.1c.V2D.2

5.已知命題p：ac。，命題qH/ER,-cvc()-a<-39若P是4成立的必要不充分條件，則區(qū)間

。可以為()

A.(-co,-6]U[2,+oo)B.(-℃,-4)U(0,+oo)

C.(-6,2)D.[-4,0]

6.若關(guān)于x的不等式4*+(a+2)x—lN0的解集不為空集，則實數(shù)。的取值范圍為()

6)

C.(—00,—2)U[—,+oo)D.(-QO,-2]U—,+GO

-57

7.若對任意實數(shù)x〉O,y〉O,不等式》+而《q(x+y)恒成立，則實數(shù)a的最小值為()

A.@B.V2-1C.V2+1D.四

22

8.設監(jiān)表示函數(shù)/(%)=卜2一我+2|在閉區(qū)間/上的最大值.若氐"藜“滿足叫°,產(chǎn)2Mm2勾，則正實

數(shù)。的取值范圍是()

A.2—^3,—B.[2-73,1]C.[2,2+6]D.[2+73,4]

2

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法中正確的是()

工2+5

A.函數(shù)〃x)=/)的最小值為2

Vx+4

hh4-m

B.若a>b>0,m〉0,則上

aa+m

o_Q

c.函數(shù)"x)=Nr匚二的值域為(-8,2)U(2,+8)

x—\

D.函數(shù)/(x)=GLGR與函數(shù)g(x)=J7二i為同一個函數(shù)

|_r2

10.若函數(shù)—2X)=T-(XHO),則()

人毛卜5B.〃2)=_(

4

c.-,-1(x^0)-l(xw0且xw1)

(x—1)

11.如果某函數(shù)的定義域與其值域的交集是[a,>],則稱該函數(shù)為可交匯函數(shù)”.下列函數(shù)是"[0』]交

匯函數(shù)”的是()

12

A.y=y/\-xB.y-2y[x-xc.y=—；--------D.y-Vl-X-|x|

x~—2x+2

12.對VxeR,[4表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.14]=3,[0.618]=0,[-2.71828]=-3,我們把

y=[x],xeR叫做取整函數(shù)，也稱之為高斯(Gaussian)函數(shù)，也有數(shù)學愛好者形象的稱其為“地板函

數(shù)”.在現(xiàn)實生活中，這種“截尾取整”的高斯函數(shù)有著廣泛的應用，如停車收費、EXCEL電子表格，在

數(shù)學分析中它出現(xiàn)在求導、極限、定積分、級數(shù)等等各種問題之中，以下關(guān)于“高斯函數(shù)的命題，其中是真

命題有()

A.VxeR,[|x|]=|[x]|B.GR,[x-y]<[x]-[v]

C.Vx,yeR,若㈤=3,則D.不等式一口]一32()的解集為

(—8,0)U[2,+8)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知集合4=卜|》2-3尤+2=0},B={x|0<x<6,xeN},則滿足A冥=8的集合C的個數(shù)為

14

14.已知正實數(shù)x,y滿足x+y=l,則--+—^的最小值______.

x+1y+2

15.設函數(shù)/(x)=/+ar+匕(a,beR),若關(guān)于x的不等式0W/(x)W6—x的解集為[2,3]。{6},則

a+b=

A

16.已知函數(shù)〃x)=<若存在為，%2GR,且使得/(%)=/(%2)成立，則實

lax-5,x〉1

數(shù)。的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設集合A={H-24尤45},B=-1<x<2m+11

⑴若機=3時，求AcB,3A)UB

(2)若Au8=A,求加的取值范圍.

18.分別用符號語言、文字語言敘述并證明基本不等式.

19.設y=nix?+(1—加)x+/〃-2.

(1)若不等式y(tǒng)2-2對一切實數(shù)X恒成立，求實數(shù)〃?的取值范圍；

(2)已知m<()解關(guān)于x的不等式，nx?+(1-〃2)x+,〃-2<m-\

20.某公司決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.

(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該

商品每件定價最多為多少元？

(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)

整，并提高定價到x元，公司擬投入，(r-600)萬元，作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，

投入(尤萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量。至少達到多少萬件時，才可能使改革

后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價.

21.已知函數(shù)/(x)=『+cu+2,aeR.

(1)若不等式/(x)W0的解集為[L2],求不等式/(幻21-尤2的解集；

(2)若對于任意不等式/(》)42。(％-1)+4恒成立，求實數(shù)。的取值范圍:

(3)已知g(x)=-x+根，當。=一3時，若對任意王w[l,4],總存在尤2e(1,8),使/(%)=g(%)成

立，求實數(shù)機的取值范圍.

—x,Q<x<a

22.設函數(shù)=J]a，其中。為常數(shù)且。e(0,1).新定義：若廝滿足

、1一。

/(/(%))=%.但則稱與為/(力的回旋點.

(1)當a=g時，分別求和/的值；

(2)當xe(a,l]時，求函數(shù)>=/(/(幻)的解析式，并求出/(x)回旋點;

(3)證明函數(shù)"X)在xe[0』有且僅有兩個回旋點，并求出回旋點占,補

2023.2024學年高一上學期10月月考

數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.命題，HaeR,G?+1=°有實數(shù)解，，的否定是（）

A.X/aeR,加+1/0有實數(shù)解B.3?eR,依2+二。無實數(shù)解

C.VaeR,0?+1=。無實數(shù)解D.eR,有實數(shù)解

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可求解.

【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，.?AacR,℃2+1=0有實數(shù)解的否定是VaeR,

at?+1=0無實數(shù)解,

故選:C.

2.已知全集〃=1<,集合A={x|xN4或xWO},3={x|x>4或xW-2},則圖中陰影部分表示的集合

A.(-2,0]B.[-2,0]

C.[-2,0]{4}D.(-2,0]^{4}

【答案】D

【解析】

【分析】利用集合的交并補的定義，結(jié)合Me〃〃圖即可求解.

【詳解】因為A={x|xN4或xWO},8={x|x>4或xW-2},

所以4^8={乂尤24或》<0}口{乂》〉4或》(一2}={尤卜24或％40},

ACJB={X|XN4或xW0}c{x|x>4或-2}={x|x>4或x4-2}.

由題意可知陰影部分對于的集合為(J(ACB))C(ADB),

所以。(AcB)={x[-2<x44},

&(AC5))C(AUB)={H-2<XW(^X=4}.

故選：D.

3.已知。>/?>。>0,貝1」()

A.2a<b+cB.4(〃-c)>〃(Q-c)

C.--->---D.(a-c>f>(h-c^

a-cb-c\)\)

【答案】D

【解析】

【分析】由不等式的性質(zhì)判斷ACD；取特殊值判斷B.

【詳解】解：對于A,因為Q>/?>C>0,所以即2a>b+c,故錯誤;

對于B,取4=3>/?=2>C=1>0,則〃(人—c)=3<b(a—c)=4,故錯誤；

對于C,由a>/?>c〉O,^a-c>h-oQ,所以---<—--,故錯誤；

a-cb-c

對于D,由a>〃>c>0,得a-c>b-(?>()，所以(a-c7>他一域，故正確.

故選：D.

A"2+XX<0

4.已知函數(shù)/(力=2'，若/[/(a)]=2,則實數(shù)a的值為()

—X，尢20

A.-2B.1C.72D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用換元法先求得/(。)，由此求得。的值.

【詳解】令f(a)=t,則/⑺=2.

因為當￡20時，/(r)=-Z2<0,所以產(chǎn)+t=2(/<0),

即/+/—2=0(/<0),解得，=—2,所以/'(。)=-2.

因為當a<0時，/(a)=a2+a=(a+g)不符合.

則一“2=一2(。20),所以a=JL

故選：C

5.已知命題命題qH/eR，x^-axa-a<-3,若。是4成立的必要不充分條件，則區(qū)間

?？梢詾?)

A.(-00,-6]U[2,+oo)B.(-oo,-4)U(0,+oo)

C.(-6,2)D,[—4,0]

【答案】B

【解析】

【分析】先由命題4中的”的范圍，再由。是9成立的必要不充分條件，得選項.

【詳解】命題q：3JQ)eR,XQ—ctxn—<—3，則蒞—ux0—a+340,

所以△=4?-4(一a+3)N0,解得aW-6或a22,

又P是q成立的必要不充分條件，所以(—8,—6]u[2,+oo)CD)

所以區(qū)間力可以為(-<?,-4)U(0,+00),

故選：B.

【點睛】結(jié)論點睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：

(1)若。是q的必要不充分條件，則[對應集合是。對應集合的真子集；

(2)P是9的充分不必要條件，則P對應集合是夕對應集合的真子集；

(3)。是g的充分必要條件，則，對應集合與g對應集合相等；

(4)。是1的既不充分又不必要條件，《對的集合與P對應集合互不包含.

6.若關(guān)于x的不等式(。2-4)/+(。+2)》一120的解集不為空集，則實數(shù)〃的取值范圍為()

「c6]「c6一

A.-2,-B.-2,—

I5」L5]

6「6、

C.(—co,—2)kj[—,+oo)D.(-8,—2]u—,+00

5L5)

【答案】C

【解析】

【分析】據(jù)題意，分兩種情況討論：①當4=0時，即.=±2,將。的值代入分析不等式的解集是否

為空集，②當/一4x0時，即a?！?,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析不等式解集非空時a的取值范圍，綜合

2種情況即可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，分兩種情況討論:

①當/一4=0時，即。=±2,

若”=2時，原不等式為4x—120,解可得：x>^,則不等式的解集為2；｝,不是空集：

若。=-2時，原不等式為一120,無解，不符合題意；

②當合一4w0時，即。W±2,

,ca?—4<06

若(。2一4)爐+3+2?-120的解集是空集，貝！I有<22，解得—2vav=,

=(々+2)2+4(/_4)<05

則當不等式(a2-4)x2+(tz+2)x-l>0的解集不為空集時，有。<一2或且。。2,

綜合可得：實數(shù)a的取值范圍為(-^,-2)u[1,+8)；

故選：C.

7.若對任意實數(shù)x>0,y>0,不等式x+而Wa(x+y)恒成立，則實數(shù)〃的最小值為()

A.B.V2-1C.V2+1D.^1

22

【答案】D

【解析】

【分析】分離變量將問題轉(zhuǎn)化為必反對于任意實數(shù)%〉0,〉〉0恒成立，進而求出叵的最大

x+yx+y

值，設F=w>o)及1+1=加(，">1),然后通過基本不等式求得答案.

【詳解】由題意可得，。2史必對于任意實數(shù)%>0,>>0恒成立，則只需求歷的最大值即可,

x+yx+y

小￡=名,設屋”i+、E,

0),則一巨=上二，再設1+，=加(加>i),貝I

]+21+尸

x+yi+2N%

XX

1+R,

m_]<]_]_6+\

Nxl+fm

---1--=----=--------=>71/—2〃z+2一…2JJ―2「2夜-2一2

\+t2l+(m-l)2m+22.m----2

1H----mVm

X

當加=2=>/2=行一i時取得

mvx

所以〃?巫士！，即實數(shù)。的最小值為也上1.

22

故選：D.

8.設弧表示函數(shù)〃％)=卜2-4兀+2|在閉區(qū)間/上的最大值.若氐買算〃滿足/。,,產(chǎn)2%“2“]，則正實

數(shù)a的取值范圍是()

A.2-6；B.[2-73,1]C.[2,2+V3]D.[2+73,4]

【答案】A

【解析】

【分析】作圖分析函數(shù)/(x)的特點，再分類討論.

【詳解】函數(shù)/(x)的圖像如下：

2：4X

02s2*73

的對稱軸為六2"2)=2,〃0)="4)=2；

分類討論如下：①當a>4時，Af[0,a]=f[a),M[a,2a]=/(2a),

依題意，/(。)》/(2")，而函數(shù)在無？2+/時是增函數(shù)，a<2a,

/(?)</(2a),故不可能：

②當aW4時，M\0,a]=2,依題意,2>M[a,2a\,g|JM[a,2?]<1,

令/(x)=l,解得：玉=2—JL々=1，￡=2+JL/=3,如圖;

則有：a22—并且2aW1,解得：2--*/3<a<—；

或者。23并且2442+百，無解；

故選：A.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法中正確的是()

V2-L5

A.函數(shù)〃尤)=7==的最小值為2

...,八八bb+m

B.右。>b>0,>0,貝ij一<-----

aa+m

2Y—3

c.函數(shù)〃x)=——的值域為(—8,2)U(2,+8)

D.函數(shù)'?而T與函數(shù)8卜了47二I為同一個函數(shù)

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式、比較法，結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì)、同一函數(shù)的定義逐一判斷即可.

%2+5x2+4+1L—_1

【詳解】A：/(x)=l——「—=小+4+z

1廠+4蟲+46+4

若五2+4=/1n(Jjg2+4)=inf=_

-3,顯然該方程無實數(shù)解,

V%'+4''

故正+4工r--,

Jf+4

所以/(%)-&+4+f———>2k/x+4-----=2,

“+4VW+4

%2+5

因此/(工)=/『最小值不是2,所以本選項不正確:

"+4

B：因為。>b〉0,/%〉0,

b+mba(人+機)一〃(。+機)m(^a-b^

所以-/、-/、>0,

a+maQ(Q+機)aya+m)

b+mb

即----->-,因此本選項正確；

a+ma

C：因為/(X)=^^=2(XT)-1=2―,

\)x-1x-1x-\

2x—3

所以〃X)H2,因此函數(shù)〃X)=—=的值域為(一應2)U(2,+oo),所以本選項正確;

X—1

D：由可知：所以函數(shù)/（尤的定義域為

由函數(shù)g（x）=1*2-1可知r-iNOnfNinxNi，或X4-1,

所以函數(shù)g（x）=J7=T的定義域為｛x|xNl或x<T｝，

因為兩個函數(shù)的定義域不同，所以兩個函數(shù)不是同一函數(shù)，因此本選項不正確，

故選：BC

1丫2

10.若函數(shù)"1—2X）=LF（XWO）,則（）

B.〃2)=-?

A?嗎卜5

4D./臼二,4.\,.一心40且21)

c.~~彳■_go）

（x-l）

【答案】AD

【解析】

【分析】由換元法求出/（》），可判斷C；分別令x=2或x=；可判斷A,B；求出可判斷D.

【詳解】令l-2x=f（f/l）,則*=Y，所以

則

4

f(x)=-——-7-l(x^l),故C錯誤;

(x-1)-

故A正確；/（2）=3,故B錯誤;

音?T（"0且"1）,故D正確.

故選：AD.

11.如果某函數(shù)的定義域與其值域的交集是可，則稱該函數(shù)為可交匯函數(shù)”.下列函數(shù)是“[0,1]交

匯函數(shù)”的是()

A.y-4\-XB.y-2y/x-XC.y=~~~D.y=yJ\-x2-|x|

x—LX+2

【答案】AB

【解析】

【分析】分別求出各函數(shù)的定義域和值域即可判斷.

【詳解】由目交匯函數(shù)定義可知[0,1]交匯函數(shù)表示函數(shù)定義域與值域交集為[0,1].

對于選項A：丁=，二的定義域4=(-00,1],值域8=[0,+e),則AnB=[0,l],A正確；

對于選項B：曠=2五一%的定義域4=[。,+00),令七620，則y=2f—?=一。一1)2+141,值域

B=則AA8=[0,l],B正確；

117,1

對于選項cy=^1777'：(1)一2二(1)+以一,°<17717T7認定

義域A=R,值域6=(0』],則AnB=(O』],C錯誤；

對于選項D：y=Jl-f-國的定義域A=[-1/],y2=1-X2+X2-2|x|y]1-x2=1-2^x2(1-x2).

-1<X<1,.\0<A:2(1-X2)<1,則0Wy2〈i,...-iwy4i,值域3=11,1],則人口8=[-1,1],D

錯誤.

故選：AB.

12.對VxeR,[4表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.14]=3,[0.618]=0,[-2.71828]=-3,我們把

y=[x],xeR叫做取整函數(shù)，也稱之為高斯(Gaussian)函數(shù)，也有數(shù)學愛好者形象的稱其為“地板函

數(shù)”.在現(xiàn)實生活中，這種“截尾取整”的高斯函數(shù)有著廣泛的應用，如停車收費、EXCEL電子表格，在

數(shù)學分析中它出現(xiàn)在求導、極限、定積分、級數(shù)等等各種問題之中，以下關(guān)于“高斯函數(shù)的命題，其中是真

命題有()

A.VxeR,[|x|]=|[x]|B.eR,[x-y]<[x]-[y]

C.Vx,yeR,若㈤=3,則x—”lD.不等式2[xf-[幻一320的解集為

(-oo,0)u[2,+oo)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)y=[x]的值，分析每個選項，A項可以舉出反例，B項可以在R中找出存在令命題成立的一

對實數(shù)X,y,C項根據(jù)[x]=[y],可以得到X,y屬于相同區(qū)間，D項先解出卜]的范圍，再解出X的取值

范圍.

【詳解】對于A,[|-2.5|]=[2.5]=2,|[-2.5]|=|3|=3,所以A為假命題；

對于B,[2-1.1]=[0.9]=0,[2]-==0<1,所以B為真命題；

對于C因為[x]=[y],所以〃+1),所以x—y<l,C為真命題；

對于D,解不等式2[行一[可一320,得國4-1或所以不等式的解集為(一8,0)u[2,+00)，

D為真命題.

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知集合4=卜|/-3彳+2=0},B={x|0<x<6,xwN},則滿足A$C=8的集合C的個數(shù)為

【答案】7

【解析】

【分析】求出集合A、B,再根據(jù)A寫出所有的滿足條件的集合C,進而可得正確答案.

【詳解】/4={x|x2-3x+2=01={x|(x-l)(x-2)=0}={1,2},

5={x[0<x<6,xeN}={1,2,3,4,5},

因為A與C=8,所以1,2都是集合。中的元素，

集合C中的元素還可以有3、4、5,且至少有一個，

所以集合C為：{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共7

個，

故答案為：7.

14

14.已知正實數(shù)x,y滿足x+y=l,則一-+一^的最小值________.

x+1y+2

9

【答案】-##2.25

4

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由條件可得:[(x+l)+(y+2)]=l,結(jié)合基本不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為x+y=l,x>0,y〉0,所以(x+l)+(y+2)=4,

z

141/14

+=-m+

12412

X+1y+\X+1y+

z\

1y+24(%+l19

\7525

=-++->-+=-

4+y+24X+y+24

(y+2)4(x+l)12

當且僅當日~^時，即x==二時，等號成立,

x+1y+233

149

所以---------1----------的最小值為“

X+1y+2

9

故答案為：一

4

15.設函數(shù)/(%)=%2+狽+6(。力€/?),若關(guān)于X的不等式0W/(x)W6-x的解集為[2,3]U{6}，則

a+b=

【答案】9

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的解集可得2,3,6應為不等式對應方程的根，故分析兩個不等式對應方程的根，即可

求解.

【詳解】由x=6滿足不等式知04/(6)40,即36+6。+6=0,

所以匕=一36—6a,

所以/(x)-x2+ax+b-x2+ax-6a-36-(x-6)(x+6+a)>0,

所以/。)=0的兩根為6,—6—〃,

而/(x)K6—x可化為f+(a+i)x—6(a+7)W0,

即(x-6)(x+a+7)<0,

所以方程(》-6)(》+〃+7)=0的兩根為6,—7—a

且一7-a<—6-a,

不等式0</(x)<6-x的解集為[2,3]u{6},

-7-a=2

可知，

-6-a=3

解得a=-9,

所以b=—36—6。=18,

所以a+b=18-9=9,

故答案為：9

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查不等式與方程的關(guān)系，不等式解集的端點為對應方程的根，本題在理

解2,3,6分別是（x-6）（x+6+。）=0與（%一6）（x+。+7）=0的根，而方程含有公共根6,所以必然2,3兩

根分別是-7-。,-6-。,即可求解，本題屬于難題.

-2

“、-X+X<1

16.已知函數(shù)/(x)=〈若存在玉，X2GR,且玉工工2，使得/（%）=/（々）成立，則實

2ax-5,x>1

數(shù)?的取值范圍是

【答案】（一8,4）

【解析】

【分析】通過分析/（X）的函數(shù)特征，結(jié)合已知條件，對參數(shù)。進行分類討論并結(jié)合圖像即可求解.

【詳解】因為y=—Y+ax是開口方向向下，對稱軸為直線x=￡的一元二次函數(shù),

-X24-OX,X<1

由〃x)=<可知,

2ax-5,x>1

①當|<1,即”<2時，由二次函數(shù)對稱性知：必存在％中尤2,使得/（尤1）=/（々）；

②當即時，若存在玉/々，使得/（%）=/（尤2），

則函數(shù)圖象需滿足下圖所示：

即—l+a>2a—5,解得：a<4,所以2Wa<4；

綜上所述：?<4,從而實數(shù)。的取值范圍為（-8,4）.

故答案為：（一8,4）.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設集合A={無卜2W5},B-|x|m-l<x<2/n+lj

（1）若加=3時，求AcB,（CRA）U3

（2）若Au8=A,求加的取值范圍.

【答案】（1）Ac3={x|2<xK5},（。4）1_]3=民|》<—2或xN2}

（2）〃？<一2或一1<相（2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)交集、補集和并集的概念可求出結(jié)果；

（2）由=4得B=再分類討論8是否為空集，根據(jù)子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

,/A={x\-2<x<5|,B~<x<2根+1},

二當機=3時，則8={x[2Wx<7},所以AcB={H24xW5},

=一2或x>5},又8={x|24x47},

所以（（；A）UB={x|x<—2或xN2}.

【小問2詳解】

VA<JB=A，：.BA,

.,.當8=0時，則有〃?一1>2加+1,即"?<一2,滿足題意;

當BK0時，則有加一1W2m+1,即m>-2,

m-\>-2

可得《解得：—lWmW2.

2m+1<5

綜上所述，團的范圍為根<一2或一1W加W2.

18.分別用符號語言、文字語言敘述并證明基本不等式.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】利用作差法，結(jié)合完全平方公式證明即可.

【詳解】符號語言：

+

"22右(&Z,eR).(當且僅當時取到等號).

文字語言:

兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，當且僅當兩正數(shù)相等時兩者相等.

當且僅當爪=折，即a=匕時取到等號,

所以"；J石(a匕eR,).

19.設丁=+(1-根)工+加一2.

(1)若不等式)>2-2對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù))的取值范圍；

(2)已知機<0解關(guān)于X的不等式〃比24-(1-7/2)X+m-2<-1

【答案】⑴；'+8)

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為蛆2+。-機)*+加20對一切實數(shù)x恒成立，分機=0和加力0,兩種情

況討論，列出不等式組，即可求解；

(2)根據(jù)題意，求得(如+l)(x-1)=0的兩個根為％=-±々=1,分類討論，即可求解.

m

【小問1詳解】

解：由y=加一+0一根)工+加一2之一2對一切實數(shù)x恒成立，

即mx1+(1-m)工+機20對一切實數(shù)工恒成立，

當機=()時，x>0,不滿足題意；

(m>01

當加。0時，則滿足〈/\2,，解得加之一，

A=(l-/n)-W<03

綜上所述，實數(shù)〃，的取值范圍為

【小問2詳解】

解：由不等式如2+(l-m)x+m-2cm-1,gp(znr+l)(x-l)<0,

方程("a+1)(*-1)=0的兩個根為玉=一工,8，=1,

m

①當帆=T時，不等式的解集為(-oo,l)U(l,+8);

②當機<一1時，不等式的解集為,g‘-Al"1>+00)；

③當—1<加<()時，不等式的解集為(—°0,I)u[,+°°).

綜上所述，

當機4一1時，不等式加尤2+(\-m')x+m-2<m-\的解集為(-8,-^U(l,+a>)；

當一1<加<()時，解集為,+8).

20.某公司決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.

(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該

商品每件定價最多為多少元？

(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)

整，并提高定價到x元，公司擬投入，(丁-600)萬元，作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，

投入/x萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量。至少達到多少萬件時，才可能使改革

后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價.

【答案】(1)40元(2)10.2萬件，30元

【解析】

【分析】(1)設每件定價為1元，根據(jù)題意列不等式，然后解不等式即可；

(2)根據(jù)題意得到x〉25時，不等式如Z25x8+50+，(/-600)+；x有解，然后轉(zhuǎn)化為

(1501

a2—++7，再根據(jù)基本不等式求最值即可.

Ix65人正

【小問1詳解】

設每件定價為r元，依題意得(8-2言x0.2^>25x8,

整理得產(chǎn)一65t+1000V0,解得25W40.

所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.

【小問2詳解】

依題意知當X〉25時，不等式以225'8+50+，(/-600)+；》有解,

等價于x〉25時，ci>---1—xd—有解,

x65

當且僅當空=，X,即x=30時等號成立，所以。210.2,

x6

當該商品改革后銷售量。至少達到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,

此時該商品的每件定價為30元.

21.已知函數(shù)/(x)=J?+依+2,aeR.

(1)若不等式/(x)<0的解集為[1,2],求不等式/(x)Nl—V的解集；

(2)若對于任意尤不等式/(無)《2。(工一1)+4恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)己知gQ)=-x+機，當。=一3時，若對任意％總存在々e(l,8),使/(xj=g(x2)成

立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1),雙；U[l,+8)；

(2)

【解析】

【分析】(1)由1,2為方程%2+以+2=0的兩個不等實數(shù)根，根據(jù)韋達定理求解4，然后解一元二次不

等式即可;

(2)將不等式化簡，令-奴+2a-2,可得〃(無)<0對1,1]恒成立，只需滿足

/?(1)<0

,求解。的范圍;

(3)根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)/(x)與g(x)的值域，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(x)值域是函

數(shù)g(X)值域的子集列不等式組求解.

【小問1詳解】

由題意，1,2為方程/+以+2=0的兩個不等實數(shù)根，

:.l+2=-a=>a=-3,所以不等式/(x)21—/為

x~—3x+2>1—x"=>2x*—3x+120，

解得或X21,所以不等式解集為U[l,+8).

【小問2詳解】

,/f(x)<2a(x-i]+4=>x2-0￥+2。-2(0對彳€1-1,1]恒成立，

^-h(x)=x2-ax+2a-2,即〃(x)WO對xe[-1,1]恒成立，

，/、/?(1)<0[l-<z+2tf-2<0

因為函數(shù)Mx)開口向上，故只需滿足〈，J；、0°八，

p?(-l)<0[}+a+2a-2<0

解得所以a的取值范圍為1—8,；

【小問3詳解】

3

當。=一3時，f(x)=x2-3x+2,開口向上，對稱軸為x=]

當xe[l,4]時，/(》)1nhi=-；，/(x)max=61/.-i</(x)<6,

X€(l,8)時，g(X)6(-8+〃2,-1+〃2),由題意，

對任意％e[1,4],總存在無2e(1,8),使/(石)=8(%)成立，

即函數(shù)“X)的值域是函數(shù)g(x)的值域的子集，

lr{1

1z、—8+機<—

即—,6q(―8+加,—1+〃?)，.，.<4,

L」-l+m>6

解得7<根<+，所以加的取值范圍為(7,弓).

【點睛】方法點睛：求解函數(shù)的存在性與恒成立問題一般可用以下的方法：①函數(shù)性質(zhì)法；②分離參數(shù)

法；③主參換位法：④數(shù)形結(jié)合法.

—x.Q<x<a

22.設函數(shù)/(x)=<，其中。為常數(shù)且ae(O,l).新定義：若修滿足

/(/(%))=%.但/(見卜龍0.則稱/為“X)的回旋點.

(1)當a=g時，分別求和的值；

(2)當xe(a,l］時，求函數(shù)y=/(/(%))的解析式，并求出/(x)回旋點;

(3)證明函數(shù)/(X)在xw［0,1］有且僅有兩個回旋點,并求出回旋點為,馬.

【答案】⑴/嗎)=|，

------7(x-a),a<x<a2-a+1

(jA

⑵/(/(x))=<》二牙島是小)的回旋點⑶見解析,

1

----------(l-x),a9-a+\<x<l

a(l-a)

a1

，%=7—

—a~+a+1—+a+1

【解析】

【分析】